專題17直線與圓小題

解題秘籍

1.點到直線的距離公式

點P（Xo，No），直線八Ax+3y+C=0,點到直線的距離為：1=邑上壁乂

2.兩條平行線間的距離公式

,G-CJ

4:Ax+By+C1—0,12'Ax+By+C2—0,d——,=-

VA2+B2

3.直線與圓的位置關系

直線/:y=kx+Z?,圓C：(x—a)2+(y-b)2=/

A〉0,相交相交

代數關系］△=（）,相切，幾何關系=r，相切

A<0,相離［d〉r,相離

4.圓上一點的切線方程

2

%2+>2=/在p（x0,%）處的切線方程為：X%0+yyQ=r

（x-af+（丁一。）2=/他（如為處的切線方程為（工一%）（工一0）+。一%*丁一。）=產

5.圓與圓的位置關系

設圓的半徑為設圓。2的半徑為2,兩圓的圓心距為d

若d>/+弓，兩圓外離，若d=6+2，兩圓外切，若4=卜一馬］,兩圓內切

若必一臼<d<可+G，兩圓相交，若044<|「目，兩圓內含，若d=0,同心圓

兩圓外離，公切線的條數為4條；兩圓外切，公切線的條數為3條；

兩圓相交，公切線的條數為2條；兩圓內切，公切線的條數為1條；

兩圓內含，公切線的條數為0條；

6.弦長公式，直線與圓交于A,B兩點，設A（x”％）,B（%2,y2）,有:

2

則|AB|=yjl+k-|%1-X2|=jl+12-?X[+%2)2-4%1%2

或：1陰=j+g-bi~y^\=ji+g,+乂--4%%

8.（22如?通州?三模）過直線廣彳上的一點P作圓（》-5）2+（丫-1）2=2的兩條切線4,12,切點分別為A8,

當直線4，4關于>對稱時，線段R4的長為（）

A.4B.2及C.76D.2

9.（2223下?葫蘆島?一模）定義在區間（0,鼻上的函數y=2cosx的圖象與y=3tanx的圖象的交點為p,過

點P作BPLx軸于點B,直線BP與尸sinx的圖象交于點尸2,則線段尸/尸2的長為（）

A.-B.-C.：D.-

3325

10.（22如海口?一模）己知直線2x-y+r=0與圓C：（x+1）2+（y-3）2=r2（r>0）交于A,3兩點，且

線段AB關于圓心對稱，貝"=（）

A.1B.2C.4D.5

11.（23吃4上?永州?一模）在平面直角坐標系中，過直線2尤->-3=0上一點尸作圓C:尤2+2X+/=I的兩條

切線，切點分別為A、3,貝IsinNAPB的最大值為（）

12.（2223下?益陽?三模）直線>=x+6與曲線7r恰有兩個不同的公共點，則實數6的取值范圍是

（）

A.-l<&<5/2B.-72<b<-l

C.-1<X1或6=-D.-y[2<b<1

13.（22吃3?酒泉?三模）若直線氐-y-3=0分別與x軸，V軸交于A,3兩點，動點P在圓V+（y-l）2=1

上，則AB尸面積的取值范圍是（）

A.[虛,30]B.[A/3,2A/3]C.[6,3否]D.[2忘,3忘]

14.（2223?龍巖?二模）已知M是圓C：V+V=2上一個動點，且直線（：/〃（x-3）-"（y-2）=0與直線右：

22

“（X-2）+〃?（>-3）=0（m,neR,m+?^0）相交于點P,貝”孫1|的最小值是（）

A.4&B.3亞C.20D.y/2

15.（2223下?山東?一模）由點尸（-3,0）射出的兩條光線與a：（x+l『+y2=i分別相切于點A,8,稱兩射

線Bl,PB上切點右側部分的射線和優弧A3右側所夾的平面區域為。1的“背面”.若CQ：

（x-l）2+（y-r）2=l處于a的“背面”，則實數f的取值范圍為（）

A.-2A/3<t<2>/3DR.-----------------F1<^<

33

c.2226

33

二、多選題

16.（2223海口?一模）如圖所示，該曲線W是由4個圓：（x-l）2+y2=l,（x+l）2+y2=l,x2+（y+l）2=l,

必+0-1）2=1的一部分所構成，則下列敘述正確的是（）

A.曲線W圍成的封閉圖形面積為4+2兀

B.若圓苫2+9=/上＞0）與曲線卬有&個交點，則也力。

C.8。與OE的公切線方程為x+y-i-&=。

D.曲線W上的點到直線x+y+5應+1=0的距離的最小值為4

17.(23?24上?湖北?一模)己知a>0,b>0,直線4：x+(a—4)y+l=0,/2：26x+y—2=0,>41Z2,

則（）

A.0<ab?2B.a2+4b2>S

-11、4

C.a2+b2>5D-------1>—

*a+12b5

18.（22?23?葫蘆島?二模）過四點（0,0）,（4,0）,（-1,1）,（4,2）中的三點的圓的方程為（）

A.(x-2尸+(y-1產=5B.(x-2)2+(y-3)2=13

C.(x-g)2+(y_g)2=2289

D.(^-—)9+(y-l9)=—

19.（22?23下?湖南?二模）已知點尸在圓G：（x-2）2+y2=4上,點。在圓C2：1+酎+2x—8y+13=。上,則

A.兩圓外離B.|PQ|的最大值為9

C.|PQ伯勺最小值為1D.兩個圓的一條公切線方程為版-4，+4=0

20.（2324上?浙江?一模）已知直線/：〃a+^-1-2加=0與圓。：/+丁=產有兩個不同的公共點A,B,

則（）

A.直線/過定點（2,1）B.當r=4時，線段A8長的最小值為2萬

C.半徑廠的取值范圍是倒，問D.當廠=4時，0A02有最小值為-16

21.（2223?哈爾濱?三模）在平面直角坐標系尤Oy中，己知定點A（0,l）,B（3,l）,動點尸滿足1PH=2|尸理,

記動點P的軌跡為曲線C,直線/：kx-y+2-3k=0（k&R）,則下列結論中正確的是（）

A.曲線。的方程為口一4），（廣1）2=4

B.直線/與曲線C相交

C.若直線/被曲線C截得的弦長為26，則上=-2

D.忸H的最大值為3

PA

22.（2223?荷澤?三模）已知點A（l,0）,8（-2,0）動點/>滿足同=2,則下面結論正確的為（）

A.點尸的軌跡方程為（x+3>+y2=4B.點尸到原點。的距離的最大值為5

C.PLB面積的最大值為4D.的最大值為18

23.（2223下?長沙?二模）己知圓C:（尤-2）2+（,-3）2=4,恒過點A。,3）的直線/與圓C交于尸，。兩點.下

列說法正確的是（）

A.|PQ怕勺最小值為20B.PCP2e[6,8]

c.CPV。的最大值為-2D.過點C作直線/的垂線，垂足為點8,則點8的運動軌跡

在某個定圓上

24.（2324上?寧波?一模）設。為坐標原點，直線》+〃9-相-2=0過圓M：/+y2_8x+6y=0的圓心且交

圓于P,Q兩點，則（）

A.|PQ|=5B,；

C.△OP。的面積為56D.OMLPQ

25.（2223?保定?二模）已知直線/：履-y-左=0,圓〃：/+；/+m+硝+1=0的圓心坐標為（2,1）,則下列

說法正確的是（）

A.直線/恒過點（1,0）

B.D=Y,E=-2

C.直線/被圓M截得的最短弦長為26

D.當％=1時，圓M上存在無數對點關于直線/對稱

26.（22?23?張家口?一模）已知。為坐標原點，過點玖-5,0）的直線/與圓尤,+丁=9交于上臺兩點，/為A,

8的中點，下列選項正確的有（）

A.直線/的斜率上的取值范圍是

B.點M的軌跡為圓的一部分

C.尸為定值

D.PA.P8為定值

x-l,（x>0）

27.（2324上?長春?一模）已知〃無）=1,、，下列說法正確的是（）

-（尤<0）

、尤

A.1f(x)=l時，x=2

B.若方程/（無）=。有兩個根，則—1<"0

C.若直線近+y-4—1=0與y=/（x）有兩個交點，則上22或0<上<1

D.函數g（x）=/（/（x））+l有3個零點

三、填空題

28.（2223下?天津一模）直線x+y-l=0與圓x2+y、2x+4y+l=0相交，所得的弦的長為.

29.（2223梅州?三模）寫出一個過點尸（4,0）且與直線=x相切的圓的方程：.

30.（2223?深圳?二模）過點（1,1）且被圓尤2+尸_?_分+4=0所截得的弦長為20的直線的方程

為.

31.（22吃3下?大慶?二模）直線/經過點A（〃Z,2）,B（-1,/7I）,若直線/與直線y=x+l平行，則機=

32.（22?23?西安??一模）直線/:/nr-y+2-3加=O（meR）與圓C:x2+y2-2y-15=0交于兩點P、Q,則弦長

|P0的最小值是.

33.（22吃3?惠州?一模）過點尸（1,1）的弦43將圓/+/=4的圓周分成兩段圓弧，要使這兩段弧長之差最大，

貝（陰=.

34.（2324?大理?一模）已知圓C：x2+y2-2x-4y+l=0,過點A。,1）的相互垂直的兩條直線分別交圓C于

點和P,Q,則四邊形MQN尸面積的最大值為.

35.（2223?濰坊?三模）已知圓C:/+y2-4xcosd-4ysin0=0,與圓C總相切的圓。的方程是.

36.（2223?煙臺?二模）已知實數a,b滿足4+02-44+3=0,則Y+0+2『的最大值為.

37.（2223下?長沙?一模）已知圓M:（x-4）2+y2=i6,過點N（2,0）的直線/與圓”交于A,B兩點，。是

的中點，則。點的軌跡方程為.

38.（22如下?杭州?一模）已知點尸（3,4）,直線/與圓：/+丁=25交于43兩點，若上針為等腰直角三

角形，則直線/的方程為.（寫出一條即可）

四、雙空題

39.（22,23?衡水三模）若圓￡:/+V=1和c?：/+9-26ax-2@一5a=01>|）有且僅有一條公切線，

則。=;此公切線的方程為

40.（22?23下糊北?二模）曲線C：x2+y2=|x+y|圍成的封閉圖形的面積為,若直線,=左"-2）與

C恰有兩個公共點，則k的取值范圍為.

專題17直線與圓小題

解題秘籍

7.點到直線的距離公式

點P（Xo，%）,直線/:Ax+3y+C=0,點到直線的距離為：d=

^+B2

8.兩條平行線間的距離公式

C,-C,

4:Ax+By+￡=0,I2：Ax+By+C2—0,d~,=~

一一VA2+B2

9.直線與圓的位置關系

直線/:丁=左％+人，圓C：（x—a》+（y一少）2=r~

A>0,相交d<r,相交

代數關系△=0,相切，幾何關系<d=r,相切

A<0,相離d>r,相離

10.圓上一點的切線方程

2

+y2=/在pH，%處的切線方程為：xx0+yy0=r

（x-af+（y-bf=產他（%,為處的切線方程為（1—%）（%—。）+（丁一為1丁一〃）=/

11.圓與圓的位置關系

設圓G的半徑為彳，設圓。2的半徑為馬，兩圓的圓心距為d

若d>6+2，兩圓外離，若d=/+G，兩圓外切，若4=作一目，兩圓內切

若卜一修<△<么+馬，兩圓相交，若0Wd<h—耳，兩圓內含，若d=0,同心圓

兩圓外離，公切線的條數為4條；兩圓外切，公切線的條數為3條；

兩圓相交，公切線的條數為2條；兩圓內切，公切線的條數為1條；

兩圓內含，公切線的條數為0條；

12.弦長公式，直線與圓交于A,8兩點，設AC%%）,B（x2,y2）,有:

貝"A_B|=J1+左~,|xj—%2|=Jl+k~-J（石+為2）~-4%]%2

或：+到=,1

1+2.■7（%+上）2-4%%

k

模擬訓練

一、單選題

1.（2223?南昌?三模）若。為實數，貝『2=1”是“直線/j：ox+y+2=0與乙：彳+3-3-。=0平行”的（）條

件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

【答案】C

【分析】根據直線平行求得。=1，結合充分、必要條件分析判斷.

【詳解】若“直線小依+y+2=。與/2：》+。/-3-。=0平行”，

則/-I=0,解得a=l或a=—1,

當a=l時，直線4:x+y+2=0,l2:x+y-4=0,此時彳/4，符合題意；

當a=—l時，直線4：一尤+y+2=0,即4：x-y-2=O,l2:x-y-2=Q,

此時心4重合，不符合題意；

綜上所述：“直線4：辦+>+2=。與乙：尤+ay-3-a=0平行”等價于。=1.

所以“4=1”是“直線4：加+丫+2=。與心彳+即-3-a=0平行”的充要條件.

故選：C.

2.（22如?深圳?二模）若過點”（2,1）的直線/與圓O:/+y2=8交于A,B兩點，則弦A3最短時直線/的方

程為（）

A.2尤-y-3=0B.x+y-3=O

C.x+2y-4=0D.2x+y-5=0

【答案】D

【分析】根據題意，由條件可知，當A3最短時，直線即可得到勺，從而得到結果.

【詳解】

當AB最短時，直線/_LOM,所以左（M=-L

乂MM=；,所以勺=-2，

所以/的方程為,一1=一2（尤一2）,即2x+y-5=0.

故選：D

3.（2223?茂名?二模）已知直線/：y=丘與圓C:（x-2），（y-l）2=l,則“0<k<*”是“直線/與圓C相交”

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

【答案】A

4

【分析】先利用直線/與圓C相交可得到。〈上<g,然后利用充分條件、必要條件的定義即可求解

【詳解】由圓C:（無一2）2+（y—l）2=l可得圓心（2,1）,半徑為1,

|21|4

所以直線/與圓C相交O圓心（2,1）到直線/:履-y=0的距離解得0<%<2,

收+T3

所以“o<左<也”是“直線/與圓C相交”的充分不必要條件.

3

故選：A

4.（22?23?石嘴山?二模）已知直線/：履+y—2=0（左ER）是圓C：f+產一6工+2》+9=0的對稱軸，則左的

值為（）

11

A.—1B.—C.—D.1

33

【答案】D

【分析】由已知條件，可知直線/過圓心，將圓的方程化為標準方程，求得圓心坐標，把圓心坐標代入直線

/的方程求得k.

【詳解】由圓C：Y+y2-6x+2y+9=0得，（x-3）2+（y+l）2=1,表示以C（3,-l）為圓心、半徑等于1的

圓.

由題意可得，直線/：丘+丫-2=0經過圓C的圓心（3,-1）,

故有3左一1—2=0,得k=1.

故選：D.

5.(22?23下?河北?一模)直線/：依+勿-4=0與圓O：尤2+丁=4相切，則(“-3)2+(6-4)。的最大值為()

A.16B.25C.49D.81

【答案】C

【分析】利用圓與直線的位置關系得出a,b的方程，根據方程分析利用(a-3)2+(6-4>表示的幾何意義求解

即可.

【詳解】由直線/與圓。相切可得：

圓心0(0,0)到直線/的距離等于圓的半徑，

故"+k=4,即點(。㈤在圓。上,

①-3)2+3-4)2的幾何意義為圓上的點(。/)與點(3,4)之間距離的平方，

由L+及=4圓心為(0,。),

因為3?+42>4,

所以點(3,4)在圓片+k=4外，

所以點(。力)到點(3,4)的距離的最大值為圓心到(3,4)的距離與圓半徑之和，

即“+〃="3-0y+(4-Op+2=7,

所以(a-3y+(b-4)2的最大值為7?=49.

故選：C.

6.(2223?白山?一模)已知圓C:/+y2-4x-6y+12=0與直線/：x+y-l=。，P,。分別是圓C和直線/

上的點且直線尸。與圓C恰有1個公共點，則|PQ|的最小值是()

A.77B.2忘C.V7-1D.2直-1

【答案】A

【分析】|PQ|=J|CQ『TC〃|2=J|CQ1-1,|CQ|的最小值為圓心c(2,3)到直線的距離，可求|P9的最小值.

【詳解】圓C：/+y2-4x-6y+12=0化為標準方程為C:(x-2)2+(y-3)2=l,

則圓C的圓心為C(2,3),半徑廠=1,則|。尸卜1,

直線PQ與圓C相切，有|PQ卜2TOf=，

2_i_3_i

因為點2在直線/上，所以=20,貝|J|P02J7.

即|PQ|的最小值是近.

故選:A

7.（22吃3?濟寧?三模）若直線區->+1-2左=0與圓C：（尤-iy+y2=4相交于A,3兩點，貝力的最小

值為（）

A.2百B.2.72C.6D.夜

【答案】B

【分析】求出直線過的定點并判斷與圓的位置關系，再求出垂直于經過該定點的圓的直徑的弦長作答.

【詳解】直線履一了+1-2左=0,即,（無一2）—（y-l）=0恒過定點”（2,1）,

而（2-l）2+F=2<4,即點M在圓C內，

因此當且僅當AB，CM時，IABI最小，

而圓C的圓心C（l,0）,半徑廠=2,|CM|=0,

所以IAB11nhi=2J,_?CM『=2/五=2五.

8.（2223?通州?三模）過直線y=x上的一點P作圓（x-5）2+（y-1）2=2的兩條切線工12,切點分別為A,8,

當直線乙，4關于y=x對稱時，線段的長為（）

A.4B.2忘C.46D.2

【答案】C

【分析】根據題意畫出圖形，觀察圖形可知圓心與點p的連線垂直于直線利用這一關系即可得到切

線的長.

【詳解】如圖所示，圓心為C（5,l）,連接CP,

因為直線乙，4關于y=x對稱，所以CP垂直于直線y=%

故|。尸|=號=2豆，而|AC|=拒，

所以|PA卜J|C7f=A/6.

故選：C

9.（2223下?葫蘆島?一模）定義在區間上的函數y=2cosx的圖象與y=3tanx的圖象的交點為P,過

點P作BPLx軸于點B,直線BP與產siwt的圖象交于點乃，則線段尸/尸2的長為（）

A.-B.-C.；D.-

3325

【答案】C

【分析】設戶伍，幾），則雙尤°,。），￡（%,sin%）,所以線段勺心的長為卜也⑷，根據

2cosx。=3tanx。結合同角三角函數基本關系可計算sinx。的值，即可求解.

【詳解】設尸（4，兒），則勺（%,0）,由題意知2cosxo=3tanx0=^^,

所以2cos之x0=3sinx0,

因為sin?+cos?%=1,所以2（l—sin2%）=3sin/,

即Zsin?x0+3sinx0-2=0,所以（2sin犬0-l）（sinxo+2）=O,

所以sin%=g,

直線必與函數V=sinx的圖象交于點鳥，可得E（%,sinxo）,

所以=|sinx0|=i,

故選：C.

10.(2223?海口?一模)已知直線2尤-y+r=0與圓C：(彳+咪+(,_3)2=/(r>0)交于A,B兩點，且

線段A2關于圓心對稱，貝什=()

A.1B.2C.4D.5

【答案】D

【分析】先求得圓心C的坐標，進而列出關于『的方程，解之即可求得『的值.

【詳解】圓C：("1)2+(丫-3)2=，的圓心。(-1,3),

由圓心C(—1,3)在直線2元—y+r=0上，可得一2—3+r=0,

解之得r-5.

故選：D

11.(23?24上?永州?一模)在平面直角坐標系中，過直線2尤一丁一3=0上一點尸作圓C:無？+2尤+丁=1的兩條

切線，切點分別為A、2,貝UsinNAPB的最大值為()

A.城B.空C.逅D.—

5555

【答案】A

【分析】由題意圓C：%2+2%+y2=1的標準方程為C：(x+i)+y2=2,g|sinZAPB=sin2a=2sinacosa,

又sina=盟=，所以cosa=Jl-sin2a=卜。，又由圓心到直線的距離可求出|C“的最小值，

進而求解.

【詳解】如下圖所示:

由題意圓C的標準方程為C:(x+1)+j2=2,sinZAPB=sin2a=2sinarcosa,

AC\

又因為sinCC=-------r,所以cosa=Jl—sin2a=

CP\

、

所以sinNAP5=2sinecosa=2

1-2-0-31廣

又圓心C（T,0）到直線2x-y-3=0的距離為“=心+㈢了=爽，

所以|。?|21=正，所以不妨設/=,。＜￡,

則sinZAPB=2I+:=/（。,

又因為/⑴在（

o3單調遞增，所以當且僅當即|CP|=&,即當且僅當直線CP垂直已知直線

2x_y_3=0時,

212n

sinNARB有最大值（sinZAPB）=fH——二----------

\/max45

故選：A.

12.（2223下?益陽?三模）直線>=x+6與曲線x=手恰有兩個不同的公共點，則實數b的取值范圍是

（）

A.-\<b<y[iB.-4i<b<-\

C.-1<6W1或6=—D.—y/2<b<1

【答案】B

【分析】丫=尤+6是斜率為1的直線，曲線尤二后了是以原點為圓心1為半徑的圓的右半圓，利用點到直線

距離公式，結合圖形可得答案.

【詳解】y=x+匕是斜率為1的直線，

曲線尤=正了是以原點為圓心1為半徑的圓的右半圓,

畫出它們的圖象如圖,

㈤

當直線與圓相切時，[=l=b=-應,6=應（舍去）,

當直線過（1,0）時，b=-\,

由圖可以看出：

當一時，直線與半圓有兩個公共點,

故選：B.

13.（2223?酒泉?三模）若直線gx-y-3=0分別與x軸，，軸交于A,8兩點，動點P在圓/+（y-1）2=1

上，則4?尸面積的取值范圍是（）

A.[72,372]B.[73,273]C.[石,36]D.[2友,3夜]

【答案】C

【分析】先求得點A、點8的坐標，進而求得|AB|,再求出圓上的點尸到直線距離的最值，代入三角形面

積公式即可求得結果.

【詳解】如圖所示，

因為直線氐-y-3=0與坐標軸的交點4（退,。），8（0,-3）,貝U||=7^工？=2指，

圓爐+（〉一1）2=1的圓心C為（0,1）,半徑為r=l,

則圓心C（o,1）到直線gx-y-3=0的距離為d==2,

所以圓f+（y-l）2=l上的點P到直線區-y-3=0的距離的最小值為d-r=2-l=l,最大距離為

d+r=2+1=3,

所以ABP面積的最小值為:義2石xl=6,最大值為;義2百x3=3后，

即.ABP面積的取值范圍為[石,36].

故選：C.

14.(2223?龍巖?二模)已知〃是圓C:/+y2=2上一個動點，且直線(：m(x-3)-〃(y-2)=。與直線/2：

〃(x-2)+:w(y-3)=0(7/7,neR,加十/片。)相交于點p,貝”尸閭的最小值是()

A.4&B.3亞C.20D.垃

【答案】D

【分析】根據直線過定點及垂直關系確定尸軌跡，結合圓的位置關系求最值即可.

由兩直線方程可知小4分別過定點A(3,2)、3(2,3),且兩直線互相垂直，

設A3的中點為。，則0(25,2.5),

如圖所示，則兩直線的交點P的軌跡為以。為圓心A3為直徑的圓。，|AB|=JI|OC上平，

可知兩圓相離，設直線0C交圓C于E,交圓。于。，

顯然1PMiVIEZ)|=10C|TCE|_|0"=平_0_,=VL

故選：D

15.(2223下?山東?一模)由點尸(-3,0)射出的兩條光線與0,：(犬+1)2+丁=1分別相切于點A,B,稱兩射

線B4,P8上切點右側部分的射線和優弧A3右側所夾的平面區域為二。1的“背面”.若C&：

(x-l)2+(y-r)2=l處于Q的“背面”，則實數r的取值范圍為()

A.-2A/3<t<2^3B.-記+lVfW遞-1

33

c.-1</<1D.

33

【答案】D

【分析】設過點p的切線方程為y=-x+3),進而可得切線方程，利用新定義可求/的最值，進而可求實數

f的取值范圍.

【詳解】解：設過點P的切線方程為y=Mx+3),

直線AP的方程為y=^(x+3),即x-gy+3=0,

直線PB的方程為廣-竽(x+3),即x+6y+3=0,

2

O2:(x-1)+(yT)2=1處于0。］的“背面”,

與PB相切時f取最小值，由""W=i，解得,=一域或”一2后,

J1+33

結合圖形可得f的最小值為-空，

3

同理與相切時可得r的最大值為r=2叵,

3

.Lt2.

33

故選：D.

二、多選題

2

16.（22?23海口?一模）如圖所示，該曲線W是由4個圓：（x-iy+y2=i,（x+iy+〉2=i,+（-y+1）=1,

/+（y-l）2=l的一部分所構成，則下列敘述正確的是（）

A.曲線W圍成的封閉圖形面積為4+2兀

B.若圓/+/=/&>0）與曲線W有8個交點，則0W/V2

c.8。與。E的公切線方程為x+y-1-五=0

D.曲線W上的點到直線x+y+5應+1=0的距離的最小值為4

【答案】ACD

【分析】A選項可將曲線W圍成的封閉圖形可分割為一個邊長為2的正方形和四個半徑為1的相同的半圓，

即可判斷；

B選項可直接由圖討論判斷對錯；

C選項可由圓心到直線的距離等于半徑，求出公切線；

D選項可先找到百2,HG的公切線方程為X+Y+1+應=0,曲線W上的點到直線x+y+5后+1=0的距離

的最小值即為平行線間的距離.

【詳解】曲線W圍成的封閉圖形可分割為一個邊長為2的正方形和四個半徑為1的相同的半圓，

所以其面積為2x2+2x7x12=4+2萬，故A選項正確.

當一立時，交點為B,D,F,H；當r=2時，交點為A,C,E,G；

當0<10或廠>2時，沒有交點；當&<r<2時，交點個數為8,故B選項錯誤.

設8D與DE的公切線方程為丁=h+《％<0,/>0），

由直線和圓相切的條件可得/,=1=/,

yll+k2yjl+k2

解得k=-1,r=l+V2（1-血舍去），

則其公切線方程為y=-x+l+應，即x+y-0-l=O,故C選項正確.

同理可得qB，HG的公切線方程為x+y+l+四=0,

則兩平行線的距離d=卜0+1二1一啰1=4，故D選項正確.

V2

故選：ACD.

17.（23?24上?湖］匕模）已知〃>0,b>0,直線4：x+（a—4）y+l=0,/2：2bx+y-2=0,

貝IJ（）

A.0v"?2B.?2+4Z?2>8

114

C.a2+b2>5D-----1--->——

?a+12b~5

【答案】ABD

【分析】由4，/2,得a+2）=4,利用基本不等式和二次函數的性質，判斷各選項中的不等式是否成立.

【詳角軍】由/i，(，得2b+a—4=0,即a+2Z?=4,

a>Q,b>0,則a+2b=422d2ab，當且僅當a=2b,即a=2,》=l時等號成立，

所以有0v"?2,A選項正確；

由Q+2Z?=4,有16=(a+2〃y=a2+4b2+4ab<2(a2+4b2),

當且僅當a=2),即。=2/=1時等號成立，所以有"+4廿>8,B選項成立；

由a+2b=4,有，=4-2h,a>0,b>0,則0<b<2,

22222

a+b=(4-2Z?)+b=5b-16b+16,由二次函數性質可知，》=|時，有最小值g，C選項錯誤;

由Q+2Z?=4,有(Q+1)+2/?=5,

j[(a+l)+26]=g2b〃+4

>—

a+12b5a+12b5a+12b5

當且僅當二4=察，即。*=3時等號成立，D選項正確.

a+\2b24

故選：ABD.

18.（2223?葫蘆島?二模）過四點（0,0）,（4,0）,（4,2）中的三點的圓的方程為（）

A.(X-2)2+(J-1)2=5B.(x-2)2+(y-3)2=13

8、？，「9

D.(%--)+(y-l)-=-

【答案】AB

【分析】可以把點代入圓的方程，驗證點是否在圓上，再判斷各選項.

【詳解】對于A,點（0,0卜（4,0）,（4,2）在圓（工-29+。-1）2=5上,故A正確；

對于B,點（0,0）,（4,0）,（-1,1）在圓（1-2）2+0-3）2=13上，故B正確；

對于C,點（0,0）,（-U）都不在圓。-寺+（丫-+2=22上，故c錯誤；

對于D,點（4,0）,（-1,1）都不在圓。-/+。-1）2=（上，故D錯誤；

故選：AB.

19.（22?23下?湖南?二模）已知點F在圓￡：（x—2）2+J?=4上，點。在圓C2：/+y?+2x-8y+13=。上，則

A.兩圓外離B.|PQ|的最大值為9

C.|尸@的最小值為1D.兩個圓的一條公切線方程為版-4，+4=0

【答案】ABC

【分析】將兩圓的方程化為標準方程，求出兩圓的圓心和半徑，再逐項分析.

【詳解】圓C］：(x-2)::+y2=4的圓心坐標G(2,0),半徑廠=2,

圓+/十2x-8y+13=0,即(x+l)2+(y-4)2=4的圓心坐標G(—l,4),半徑R=2,

所以圓心距2021=J(-l-2)2+(4-0)2=5，

因為|GQ|>R+r=4,所以兩圓外離.故A正確；

因為尸在圓C1上，Q在圓G上，所以pQLTGGl-R-rnLlPQLxTGGl+R+rng,故B、c正確；

,、1-1x3-4x4+41

因為圓心C2(-1,4)到直線3x-4y+4=0的距離d=J~^-―~=3主R,所以3x_4y+4=0不是兩圓公

切線，故D錯誤；

故選：ABC.

20.(23?24上?浙江一■模)已知直線/：儂+〉-1-2〃7=0與圓。：x?+丁=產有兩個不同的公共點A,B,

貝I()

A.直線/過定點(2,1)B.當r=4時，線段A8長的最小值為2萬

C.半徑r的取值范圍是(0,有］D.當廠=4時，0A02有最小值為-16

【答案】ABD

【分析】化簡直線為機(x-2)+(y-l)=0,進而可判定A正確；利用弦長公式，求得A3的最小值，可判定

B正確；根據直線/與圓。有總有兩個公共點，可得點加(2,1)在圓。內部，可判定C不正確；結合向量的

數量積的公式，以及直線與圓的位置關系，可判定D正確.

【詳角軍】由直線］:mx+y_l_2相=0,可化為機(x—2)+(y_l)=0,

fx-2=0/、

由方程組,C，解得X=2,y=l,即直線/過定點M(2,l),所以A正確；

［y-l=0

當r=4時,圓。的方程為/+;/=16,可得圓心。(。,0),

則=妹，可得線段A3長的最小值為=2而，所以B正確;

因為直線/與圓。有總有兩個公共點，可得點M(2,l)在圓。內部，

所以22+『</，解得0<"&,所以C不正確；

當廠=4時，圓。的方程為Y+V=16,

則OA?08=|O聞OB|COSZAOB=16cosZAOB,

當直線/過圓心0(0,0),止匕時44。3=兀，可得cos/AOB的最小值-1,

所以0A03有最小值為-16,所以D正確.

故選：ABD.

21.(2223?哈爾濱?三模)在平面直角坐標系尤Oy中，已知定點A(O,1),3(3,1),動點尸滿足|勃=2|尸理,

記動點尸的軌跡為曲線C,直線/：履->+2-3左=0伏eR),則下列結論中正確的是()

A.曲線。的方程為口一4)，(廣1)2=4

B.直線/與曲線C相交

C.若直線/被曲線C截得的弦長為26，貝必=-2

D.忸H的最大值為3

【答案】ABD

【分析】設P(x,y),代入|必=2|尸理，得曲線C的方程判斷選項A；由直線/過的定點，判斷直線/與曲線

C的位置關系，驗證選項B；由垂徑定理求解左，驗證選項C；忸尸|的最大值為8點到圓心距離加上半徑,

計算驗證選項D.

【詳解】對A,設動點PCr,y),由|冏=2歸網，貝Ujx2+(y_D2=2j(x—3)2+(y_l)2,化簡得

(x-4)2+(y-l)2=4,A選項正確;

對B,直線/"(x-3)-y+2=0過定點￡>(3,2),點。在圓C內，直線/與曲線C相交，B選項正確;

附_1+2_3耳—

對弦長為白，半徑為故圓心到直線的距離=后N=，即即k+q=jr+i,

C,22,(4,1)d1收+14

解得左=0,C選項錯誤；

對D,由。一4)2+(>一1)2=4,圓心c(4,l),半徑為2,怛兒忸q+2=(4—3)+2=3,D選項正確.

故選：ABD

22.(2223?荷澤?三模)己知點4(1,0),8(-2,0)動點P滿足廊?=2,則下面結論正確的為()

A.點P的軌跡方程為5+3)2+y=4B.點尸到原點。的距離的最大值為5

C.A4B面積的最大值為4D.P4PB的最大值為18

【答案】ABD

【分析】設動點尸(x,y),根據兩點之間的