二次函數(shù)常考幾何模型專項(xiàng)訓(xùn)練

(10大題型+15道拓展培優(yōu))

?題型目錄

題型一二次函數(shù)中的最值模型

題型二二次函數(shù)中的翻折模型

題型三二次函數(shù)中的切線模型

題型四二次函數(shù)中的線段關(guān)系問題

題型五二次函數(shù)中的角度關(guān)系問題

題型六二次函數(shù)中的面積關(guān)系問題

題型七二次函數(shù)與一次函數(shù)、反比例函數(shù)綜合

題型八二次函數(shù)與三角函數(shù)綜合

題型九二次函數(shù)與相似綜合

題型十二次函數(shù)與圓綜合

陋經(jīng)典例題

1經(jīng)典例題一二次函數(shù)中的最值模型】

[^11(24-25九年級(jí)上?黑龍江齊齊哈爾?階段練習(xí))如圖，已知拋物線7=分+加+4經(jīng)過/(-1,0),8(4,0)

兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C

(1)求拋物線的解析式；

(2)連接2C,直線8c的解析式是「

(3)請(qǐng)?jiān)趻佄锞€的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)尸，使2P+PC的值最小，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)，并求出此時(shí)2P+PC的最小值.

X變式訓(xùn)練

1.(24-25九年級(jí)上?吉林長(zhǎng)春?階段練習(xí))如圖，拋物線y=*+2x+3與X軸分別交于點(diǎn)4C,與了軸交于

點(diǎn)5,點(diǎn)尸是線段42上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為加.

(1)在拋物線對(duì)稱軸上取一點(diǎn)Q,使得。2+0。最小，則。點(diǎn)的坐標(biāo)為

(2)連接NM、BM,當(dāng)△48M的面積的最大時(shí)，求出M點(diǎn)的坐標(biāo).

2.(24-25九年級(jí)上?全國(guó)?期中)已知二次函數(shù)了="2+法+。的圖象的頂點(diǎn)為(-1,4),與無軸交于A,5兩

點(diǎn)，與了軸交于點(diǎn)如圖.

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)在拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)使得A5cAz的周長(zhǎng)最小，求出點(diǎn)〃■的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)。在拋物線的對(duì)稱軸上，拋物線上是否存在點(diǎn)尸，使得以4B、0、尸四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四

邊形？若存在，求出滿足條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

3.(24-25九年級(jí)上?山東威海?期中)如圖，拋物線夕=G2+(4。-1b-4與x軸交于點(diǎn)A,B,與V軸交于

點(diǎn)C,且。C=2O2,點(diǎn)。為線段上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)8重合)，過點(diǎn)。作矩形。瓦7點(diǎn)￡在x軸上，點(diǎn)

H,F在拋物線上.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)矩形田的周長(zhǎng)最大時(shí)，求矩形DEE”的面積.

J［經(jīng)典例題二二次函數(shù)中的翻折模型】

19

2

【例2】（24-25九年級(jí)上?河北廊坊?期中）已知：拋物線￡：y=--（x-l）";拋物線G：y=x-2tx-2t

（其中:為常數(shù)），頂點(diǎn)為P.

⑴①直接寫出G的對(duì)稱軸.

②當(dāng)f=2時(shí)，此時(shí)點(diǎn)4-1,%）和點(diǎn)3（4,%）在G上,

則必%（填或“=

⑵設(shè)a的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（私"），用含/的式子分別表示加和〃；并寫出"的最大值.

（3）當(dāng)1=1時(shí),

①拋物線G是由拋物線3沿直線y=。翻折得到,寫出。的值.

②把拋物線G向左平移g個(gè)單位得到拋物線a，求拋物線G和拋物線G的交點(diǎn)坐標(biāo)；

③將拋物線向左平移6個(gè)單位（0<6<1）得到新的拋物線，設(shè)新的拋物線和G的交點(diǎn)為刊和N,點(diǎn)。

是線段九W的中點(diǎn)，則點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為（直接用含。的式子表示）.

X變式訓(xùn)練

1.(24-25九年級(jí)上?江蘇蘇州?期中)如圖，將二次函數(shù)了=》2一4位于X軸下方的圖象沿X軸翻折，再得到

一個(gè)新函數(shù)的圖象(圖中的實(shí)線).

(1)當(dāng)x=-3時(shí)，新函數(shù)值為當(dāng)x=l時(shí)，新函數(shù)值為二

(2)當(dāng)x=_時(shí)，新函數(shù)有最小值；

(3)當(dāng)新函數(shù)中函數(shù)〉隨x的增大而增大時(shí)，自變量x的范圍是」

(4)直線V=a與新函數(shù)圖象有4個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍是

2.(24-25九年級(jí)上?廣東珠海?期中)如圖1所示，拋物線y=a/+2x+c的對(duì)稱軸為直線尤=1,與x軸交

(2)平移線段CD,若點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C'落在拋物線上，點(diǎn)Z)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在直線DE上，求出此時(shí)點(diǎn)C'的坐

標(biāo)；

(3)如圖2,將上方的拋物線沿著直線翻折，點(diǎn)P是。E上方的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，尸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)

Q,連接PQ交。E于點(diǎn)G.

①當(dāng)四邊形DPE0是菱形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②在點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)過程中，求線段P。的最大值.

3.(2024?湖北襄陽(yáng)?一模)在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線》=如2一2辦-3a(a>0).

(1)拋物線的對(duì)稱軸為直線;

⑵當(dāng)-24x42時(shí)，函數(shù)值"的取值范圍是-44^46,求。和b的值；

⑶當(dāng)。=1時(shí)，解決下列問題：

①拋物線上一點(diǎn)P到x軸的距離為6,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②將該拋物線在04xW4間的部分記為G,將G在直線>=?下方的部分沿>=/翻折，其余部分保持不變,

得到的新圖象記為Q.設(shè)。的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為%若%-％<6,請(qǐng)求出/的取值范圍.

41經(jīng)典例題三二次函數(shù)中的切線模型】

【例3】（24-25八年級(jí)上?廣西南寧?階段練習(xí)）數(shù)學(xué)小組在學(xué)習(xí)了二次函數(shù)后，進(jìn)一步查閱其相關(guān)資料進(jìn)行

學(xué)習(xí)：

材料一：給出如下定義：與坐標(biāo)軸不平行的直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，稱直線與拋物線相交；直線與拋

物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，稱直線與拋物線相切，這個(gè)交點(diǎn)稱作切點(diǎn)；直線與拋物線沒有交點(diǎn)時(shí)，稱直線

與拋物線相離.

材料二：判斷：拋物線了=辦2+瓜+。與直線^=h+，"（心0）的位置關(guān)系聯(lián)立｛“得

[y-kx+m

ax2+（b-k）x+c-m-0.根據(jù)一元二次方程根的判別式A=（b-左＞-4a（c-間

①當(dāng)A=（6-左了-4a（c-機(jī)）＞0時(shí)，拋物線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，則直線與拋物線相交（如圖1）.

②當(dāng)A=（6-左A-4a（c-加）=0時(shí),拋物線與直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則直線與拋物線相切.直線叫做拋物

線的切線，交點(diǎn)叫做拋物線的切點(diǎn)（如圖2）.

③當(dāng)A=3-@2-4a（c-M＜0,拋物線與直線沒有交點(diǎn)，則直線與拋物線相離（如圖3）

【探究性質(zhì)】⑴判斷：直線＞=2x+3與拋物線昨-—2X+4的位置關(guān)系是：（選填“相交”或“相

切”或“相離”）；

【運(yùn)用性質(zhì)】（2）若直線y=2x+6與拋物線）=2x2相離，求方的取值范圍；

【問題解決】某小區(qū)修建完成人工噴泉，人工噴泉中心有一豎直的噴水柱，噴水口為A,數(shù)學(xué)興趣小組觀

察發(fā)現(xiàn)，水流在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，其中一條水流落地點(diǎn)為C,興趣小組將噴泉柱

底端標(biāo)為原點(diǎn)。，噴泉柱所在直線為了軸，OC所在直線為無軸，建立如圖所示的井面直角坐標(biāo)系.從水流

噴出到落下的過程中，水流噴出的豎直高度了（⑼與水流落地點(diǎn)與噴水柱底端的距離無（⑼滿足二次函數(shù)關(guān)系,

其表達(dá)式為夕=-/+2苫+；.

（3）小區(qū)現(xiàn)要進(jìn)行噴泉亮化工作，擬安裝射燈，要求射燈發(fā)出的光線與地面的夾角為45。；并且射燈發(fā)出

的光線恰好不穿過下落的水流，請(qǐng)問射燈安裝在什么位置，符合安裝要求.

X變式訓(xùn)練

1.(2022?福建泉州?模擬預(yù)測(cè))已知拋物線=+c與直線48交于8(私〃)兩點(diǎn)，其中

m<0,力>0.當(dāng)加+1=0時(shí)，必有〃一2=0；當(dāng)加+1力0時(shí)，必有“一2*0.

(1)求。與c之間的關(guān)系式；

(2)若點(diǎn)F的坐標(biāo)(0,2-73),以BF為半徑的OB與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn).

①求此拋物線解析式；

②延長(zhǎng)線8尸交拋物線上于點(diǎn)￡,08的切線FK■交拋物線上于M,N兩點(diǎn).求四邊形2九7硒面積的最小值.

2.(23-24九年級(jí)上?福建廈門?期中)矩形AOCD中，把點(diǎn)。沿/E對(duì)折，使點(diǎn)。落在0C上的歹點(diǎn)，己知/。=8,

40=10.

(1)求尸點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)如果一條不與拋物線對(duì)稱軸平行的直線與該拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn)，我們把這條直線稱為拋物線的切線，

已知拋物線過點(diǎn)Q尸,且直線＞=6x-36是該拋物線的切線，求拋物線的解析式；

(3)直線y=Mx-3)-/與(2)中的拋物線交于P，。兩點(diǎn)，點(diǎn)8的坐標(biāo)為3,一丁.求證：肅+左為定

4I4Jro

值(參考公式：在平面直角坐標(biāo)系中，M(%i，yD，N(X2)2)，則M，N兩點(diǎn)之間的距離為

3.(23-24九年級(jí)下?湖南長(zhǎng)沙?開學(xué)考試)在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線/的解析式為：y=kx+m/、加為

常數(shù)且.當(dāng)直線/與一條曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，我們稱直線/與這條曲線“相切”，這個(gè)公共點(diǎn)

叫做“切點(diǎn)

9

⑴求直線/：>=r+6與雙曲線y=—的切點(diǎn)坐標(biāo)；

x

(2)已知一次函數(shù)乂=2x,二次函數(shù)%=—+1,是否存在二次函數(shù)%=ax?+6x+c,其圖象經(jīng)過點(diǎn)(-3,2),

使得直線必=2x與％=/+1,%=辦2+8+。都相切于同一點(diǎn)？若存在，求出力的解析式；若不存在，請(qǐng)

說明理由；

⑶已知直線4：y=《x+g優(yōu)產(chǎn)0),直線4：%=與工+啊的力°)是拋物線y=*+2x+2的兩條切線，當(dāng)/]

與4的交點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為4時(shí)，試判斷匕為是否為定值，并說明理由.

31經(jīng)典例題四二次函數(shù)中的線段關(guān)系問題】

【例4】（24-25九年級(jí)上?廣東東莞?期中）【問題背景】

如圖，拋物線y=Y+bx+c與x軸交于48兩點(diǎn)，與V軸交于點(diǎn)C,OA=OC=3,連接/C.

【知識(shí)技能】

（1）求此拋物線的解析式.

【構(gòu)建聯(lián)系】

（2）在/C下方的拋物線上有一點(diǎn)N,過點(diǎn)N作即〃y軸，交NC于點(diǎn)交x軸于點(diǎn)。，當(dāng)點(diǎn)N的坐

標(biāo)為多少時(shí)，線段的長(zhǎng)度最大？最大是多少？

（3）在了軸上找一點(diǎn)。，使得A/C。為等腰三角形，直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo).

X變式訓(xùn)練

1.(24-25九年級(jí)上?河南新鄉(xiāng)?期中)已知拋物線丁=(x-")2-l.

(1)當(dāng)xWl時(shí)，y隨著龍的增大而減小，求為的最小值；

(2)已知/、8兩點(diǎn)在x軸上，/點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),8點(diǎn)坐標(biāo)為(5,0),若拋物線與線段42只有一個(gè)公共點(diǎn),

求/?的取值范圍.

2.(23-24九年級(jí)上?江蘇泰州?期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)/坐標(biāo)為(2,4),直線x=2與x

軸相交于點(diǎn)5,連接。4,二次函數(shù)了=x2圖象從點(diǎn)。沿。4方向平移，與直線x=2交于點(diǎn)尸，頂點(diǎn)〃到工

點(diǎn)時(shí)停止移動(dòng).

(1)求線段04所在直線的函數(shù)解析式；

(2)設(shè)二次函數(shù)頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為加，當(dāng)機(jī)為何值時(shí)，線段網(wǎng)最短，并求出二次函數(shù)的表達(dá)式；

(3)當(dāng)線段PB最短時(shí)，二次函數(shù)的圖象能否過點(diǎn)。(a,。-1)?若能，求出。的值；若不能，請(qǐng)說明理由.

3.(24-25九年級(jí)上?天津?階段練習(xí))如圖，二次函數(shù)>=爾-辦+c(awO)圖象交坐標(biāo)軸于點(diǎn)44,0),5(0,-2),

點(diǎn)P為線段上一動(dòng)點(diǎn).

(1)求二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)過點(diǎn)尸作軸分別交線段4B、拋物線于點(diǎn)。和點(diǎn)C,求線段C。的最大值及此時(shí)△N8C的面積.

41經(jīng)典例題五二次函數(shù)中的角度關(guān)系問題】

【例5】(24-25九年級(jí)上?重慶開州?期中)如圖，已知拋物線了=；/+云+。經(jīng)過-6,0)、8(2,0)兩點(diǎn),

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P直線是AC下方拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求S-AC的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)將拋物線y=^x2+bx+c向右移動(dòng)兩個(gè)單位得到新拋物線y',在新拋物線上是否存在一點(diǎn)M使

ZMCA+^BCO=45°,若有請(qǐng)直接寫出”的坐標(biāo).

X變式訓(xùn)練

1.(24-25九年級(jí)上?重慶萬州?階段練習(xí))如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線4分別交坐標(biāo)軸于/、2兩點(diǎn),

其中CM=3,ZBAO=45°,直線4分別交坐標(biāo)軸于C、。兩點(diǎn)，直線"與。的交點(diǎn)為反已知

(1)求直線4的解析式和點(diǎn)￡坐標(biāo);

(2)如圖2,若點(diǎn)P為線段CE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與C、￡兩點(diǎn)重合)，點(diǎn)R為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作x

軸的垂線，垂足為0,當(dāng)四邊形48尸。的面積最小時(shí)，求出ABPR周長(zhǎng)的最小值；

(3)如圖3,在(2)的條件下，將直線總繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，與直線05交于點(diǎn)尸，連接CF,若在直

線CO上存在點(diǎn)使得NAME=/CFE,請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo).

2.(24-25九年級(jí)上?黑龍江哈爾濱?期中)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn).拋物線y=-x2+bx+c

與x軸交于點(diǎn)8(-1,0)、C(3,0),與〉軸正半軸交于點(diǎn)

(1)如圖1,求拋物線的解析式；

(2)如圖2,點(diǎn)E為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接BE交y軸于點(diǎn)D.設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為線段OD的長(zhǎng)度

為d.求d與/的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量f的取值范圍)；

(3)如圖3,在(2)的條件下，當(dāng)"=5時(shí)，過點(diǎn)8作點(diǎn)P在拋物線上，連接EP并延長(zhǎng)交班'于

點(diǎn)尸，過點(diǎn)B作BGLEF于點(diǎn)H,交直線4E于點(diǎn)G.若NEFG=2/FBG,求點(diǎn)尸坐標(biāo).

3.（24-25九年級(jí)上?重慶九龍坡?期中）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線夕="2+瓜+4。彳0）的圖象與x軸交

（2）如圖1,點(diǎn)尸是直線5c上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PC、PB；求當(dāng)?shù)拿娣e及點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖2,在（2）的條件下，連接。尸，將拋物線沿射線C3的方向平移得到新拋物線了，使得新拋物線了

經(jīng)過點(diǎn)8,且與直線2C相交于另一點(diǎn)〃，點(diǎn)。為拋物線/上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)=時(shí)，直接寫出

符合條件的所有。點(diǎn)的坐標(biāo).

41經(jīng)典例題六二次函數(shù)中的面積關(guān)系問題】

【例6】(24-25九年級(jí)上?福建漳州?期中)已知拋物線y=r2+2x+3,頂點(diǎn)為點(diǎn)P,與x軸交于點(diǎn)4夕，與了

軸交于點(diǎn)C.

(1)求頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)求AP/C的面積；

(3)點(diǎn)。是直線/C上方拋物線上的點(diǎn)且不同于頂點(diǎn)P,是否存在點(diǎn)。，使得△D4c和AP/C面積相等？若

存在，直接寫出點(diǎn)。的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由？

X變式訓(xùn)練

1.(24-25九年級(jí)上?四川德陽(yáng)?期中)如圖，已知一次函數(shù)y=0.5x+2的圖象與x軸交于點(diǎn)A,與二次圖象

交于V軸上的一點(diǎn)2,二次函數(shù)的頂點(diǎn)C在x軸上，且OC=2.

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)設(shè)一次函數(shù)y=0.5x+2的圖象與二次函數(shù)圖象另一交點(diǎn)為Z).

①在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使△88面積與△8DP面積相等，若存在，求出尸點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說明

理由.

②已知P為x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且△尸50為直角三角形，求點(diǎn)P坐標(biāo).

2.（20-21九年級(jí)上?廣東?期末）如圖，已知二次函數(shù)了="2+。的圖象與x軸分別相交于點(diǎn)/（-5,0),

點(diǎn)、B,與y軸相交于C（0,-5）,點(diǎn)。是拋物線在x軸下方的一動(dòng)點(diǎn)（不與C點(diǎn)重合）.

（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）如圖1,交線段8c于。，令^=鋁，當(dāng)，值最大時(shí)，求。點(diǎn)的坐標(biāo).

（）如圖直線N。，。分別與軸相交于兩點(diǎn),設(shè)。點(diǎn)橫坐標(biāo)為加，2

32,8yM,NSJ=SAQMN,S2=2m,

試問1t是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

3.(20-21九年級(jí)上?江蘇淮安?期末)如圖，拋物線y=ox2+x+c交＞軸于點(diǎn)/(0,2),交x軸于點(diǎn)2

(-1,0)及點(diǎn)C.

(1)填空：。=，c=,點(diǎn)C的坐標(biāo)為；

(2)把A45。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得A4的。(其中點(diǎn)/與4,3與9分別是對(duì)應(yīng)點(diǎn))，當(dāng)A48。”恰好有兩點(diǎn)落

在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)/'的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)、P(m,〃)是位于無軸上方拋物線上的一點(diǎn)，△P/2的面積記為S，aPNC的面積記為邑，4PBC

的面積記為S3,若滿足S/+S2=Sj,求力的值.

【經(jīng)典例題七二次函數(shù)與一次函數(shù)、反比例函數(shù)綜合】

【例7】(24-25九年級(jí)上?湖南長(zhǎng)沙?期中)對(duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義：如果存在實(shí)數(shù)對(duì)于任意的函數(shù)

值V,都滿足那么稱這個(gè)函數(shù)是有上界函數(shù).在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個(gè)函數(shù)的

上確界.例如，函數(shù)V=x+l(14x42)是有上界函數(shù)，其上確界為3；函數(shù)了=-(x-3F+2是有上界函數(shù),

其上確界是2.

(1)請(qǐng)判斷下列函數(shù)是否為有上界函數(shù)，在后面括號(hào)內(nèi)打或“x

①y=x(x42)()

②》=/+2工+4()

③y=-2x2+4x+1()

(2)一次函數(shù)V=h+3(T4x45)是有上界函數(shù)，上確界為4,求實(shí)數(shù)上的值.

⑶如果函數(shù)片T/-4|+7"(OVXV承)是以2/-加-3為上確界的有上界函數(shù)，求實(shí)數(shù)加的值.

X變式訓(xùn)練

1.（24-25九年級(jí)上?安徽宣城?階段練習(xí)）設(shè)二次函數(shù)必=-/+瓜+。（6,。是常數(shù)）的圖像與無軸交于A,B

兩點(diǎn).

⑴若A,3兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1,0）,（2,0）,求函數(shù)必的表達(dá)式及其圖像的對(duì)稱軸.

⑵若函數(shù)為的表達(dá)式可以寫成必=-（x-〃）2-2（〃是常數(shù)）的形式，求6+c的最大值.

（3）設(shè)一次函數(shù)為=x-/w（m是常數(shù)），若函數(shù)必的表達(dá)式還可以寫成弘=-/+（2+2m）x-m2-2m的形式，

當(dāng)函數(shù)y=必-%的圖像經(jīng)過點(diǎn)（%,0）時(shí)，求%-沉的值.

2.(24-25九年級(jí)上?遼寧鞍山?期中)定義：已知一次函數(shù)4:y=ox+6(a*0)和一次函數(shù)4：N=mx+〃(%#0)

若函數(shù)。：夕=(辦+6)(s+〃)，則稱函數(shù)4是一次函數(shù)4、4的累積函數(shù).已知函數(shù)4是一次函數(shù)〃N=gx+l

與一次函數(shù)，2：了=-》+〃的累積函數(shù).

備用圖

(1)若函數(shù)4的圖象恰好經(jīng)過(T,。)，求函數(shù)％的解析式；

(2)若函數(shù)4的圖象頂點(diǎn)為P，當(dāng)點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)最小時(shí)，求此時(shí)頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)若一次函數(shù)4，4的圖象與函數(shù)4的圖象的公共點(diǎn)有且只有三個(gè)時(shí)，求此時(shí)〃的值.

3.(2024?湖北宜昌?模擬預(yù)測(cè))如圖，直線y=x+7與反比例函數(shù)>=&(左為常數(shù)，左二0)的圖象相交于

X

A,B兩點(diǎn),其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,加).

(1)求加的值和反比例函數(shù)的解析式;

(2)求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(3)P(x,y)是直線y=x+7所在第二象限部分上一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作無軸的垂線，垂足為。，連接。尸.當(dāng)工8°>3

時(shí)，請(qǐng)直接寫出x的取值范圍.

J［經(jīng)典例題八二次函數(shù)與三角函數(shù)綜合】

【例8】(23-24九年級(jí)下?上海?自主招生)如圖，已知一次函數(shù)經(jīng)過第一、二、三象限，且與反比例函數(shù)交

于/和8點(diǎn)，交y軸于C點(diǎn)，08=&6,tan/D08=g,

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

(2)已知點(diǎn)4點(diǎn)橫坐標(biāo)是冽，△450的面積是S,求S關(guān)于冽的函數(shù)解析式；

(3)已知△OCD的面積是判斷過/和5點(diǎn)的拋物線在x軸上截得的線段長(zhǎng)度能否等于3.如果能，求其

解析式；如果不能，請(qǐng)說明理由.

X變式訓(xùn)練

1.(2024?山東?模擬預(yù)測(cè))如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y="2+6x+c交X軸于點(diǎn)/、B,交y軸

于點(diǎn)C.連接2C、AC.已知4-1,0),3(5,0),tanZ5CO=2.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)已知點(diǎn)。為線段2c上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接3D、CD.連接力D,分別交y軸與2。于點(diǎn)￡、

F.當(dāng)四邊形N5CD的面積最大時(shí)，求直線2D的表達(dá)式及此時(shí)斯的面積；

(3)點(diǎn)尸為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形/BCD的面積最大時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸》="，上是否存在點(diǎn)0,使

得四邊形C。尸0為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出平行四邊形。尸。的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由.

3

2.(2023?廣西南寧三模)如圖，已知拋物線了="2+加+5與無軸交于點(diǎn)/(-1,0)和點(diǎn)3(3,0),與了軸交

于點(diǎn)C.

(1)求此拋物線的解析式及其頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；

⑵點(diǎn)。(0,〃)在了軸的負(fù)半軸上，過點(diǎn)。作即，y軸，交拋物線于點(diǎn)E,尸(點(diǎn)￡在點(diǎn)尸左邊).若

DF=IDE,求"的值；

(3)在(2)的條件下，過點(diǎn)。的動(dòng)直線/與拋物線交于G,H兩點(diǎn),且點(diǎn)G在第一象限，點(diǎn)〃在第三象限.

在直線/的運(yùn)動(dòng)過程中，若點(diǎn)。恰好是線段G"的中點(diǎn)，求tanNG。尸的值.

3.(2024?上海靜安?三模)已知直角坐標(biāo)平面xQy中，。為原點(diǎn)，拋物線V=爾+6x(a<0)經(jīng)過點(diǎn)4(1,加)、

8(3,加)，點(diǎn)尸為拋物線頂點(diǎn).

(1)當(dāng)機(jī)=1時(shí)，求拋物線解析式及頂點(diǎn)P坐標(biāo).

(2)若點(diǎn)尸在直線y=gx上，且tan/P/B=；,求拋物線的解析式.

(3)聯(lián)結(jié)。尸交于點(diǎn)。，當(dāng)△P03為等腰三角形時(shí)，求加的值.

41經(jīng)典例題九二次函數(shù)與相似綜合】

【例9】(24-25九年級(jí)上?上海寶山?期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xp中，拋物線歹=-Y+bx+c過點(diǎn)

4(2,2)、點(diǎn)5(0,2),頂點(diǎn)為點(diǎn)C,拋物線M的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D

1-

1??_______111A

O1x

(1)直接寫出拋物線M的表達(dá)式和點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)尸在x軸上，當(dāng)A/OP與A/C。相似時(shí)，求點(diǎn)尸坐標(biāo).

X變式訓(xùn)練

1.(2024?山東濟(jì)南?模擬預(yù)測(cè))如圖，已知拋物線了=-/+反+。上點(diǎn)4c的坐標(biāo)分別為(0,2),(4,0),拋

物線與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)3,連接點(diǎn)。為拋物線上的點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)8的坐標(biāo).

(2)拋物線上是否存在點(diǎn)。，使得若存在，求出。的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

⑶點(diǎn)〃■為y軸負(fù)半軸上的點(diǎn)，且＜w=2,點(diǎn)。是線段2c(包含點(diǎn)瓦C)上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)。作X軸的垂線,

交拋物線于點(diǎn)。，交直線CM于點(diǎn)N.若以點(diǎn)0,N,C為頂點(diǎn)的三角形與△MOC相似，請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo).

2.(22-23九年級(jí)下?海南海口?階段練習(xí))如圖，已知拋物線與x軸交于N(T,O),3(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于

點(diǎn)C(0,3),。為頂點(diǎn)，點(diǎn)尸是無軸上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，無軸于點(diǎn)/，與BC交于點(diǎn)E.

(1)求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為/(0<f<3),

①當(dāng)/為何值時(shí)，線段尸E的長(zhǎng)最大；

②連接CD,證明：為直角三角形；

(3)是否存在點(diǎn)尸，使得以點(diǎn)尸、M、2為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在,

請(qǐng)說明理由.

3.（24-25九年級(jí)上?全國(guó)?課后作業(yè)）如圖，拋物線y=-/+3x+4與x軸交于/,2兩點(diǎn)（點(diǎn)/位于點(diǎn)8

的左側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸/與x軸交于點(diǎn)N,長(zhǎng)為1的線段?。（點(diǎn)P位于點(diǎn)。的上方）

在x軸上方的拋物線對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng).

（1）直接寫出4B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）過點(diǎn)尸作尸軸于點(diǎn)當(dāng)△CPM和AQBN相似時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

J［經(jīng)典例題十二次函數(shù)與圓綜合】

【例1。】⑵-24九年級(jí)下?江蘇南京?自主招生)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)k%一的圖象與x

軸交于/、3兩點(diǎn)，點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,3),P是半徑為2的圓C上的動(dòng)點(diǎn)，。為心中點(diǎn)，求。。長(zhǎng)的取值范圍.

X變式訓(xùn)練

1.(23-24九年級(jí)上?江蘇宿遷?期中)定義：平面直角坐標(biāo)系中，過二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸所有交點(diǎn)的

圓，稱為該二次函數(shù)的坐標(biāo)圓.

⑴已知點(diǎn)P(2,2),以尸為圓心，逐為半徑作圓，請(qǐng)判斷OP是不是二次函數(shù)了=x?-4x+3的坐標(biāo)圓，并說

明理由；

⑵已知二次函數(shù)＞-4x+4圖象的頂點(diǎn)為/,交y軸于點(diǎn)C,則該二次函數(shù)的坐標(biāo)圓的圓心為尸在

__________上；

(3)求gON周長(zhǎng)最小值.

2.（2024九年級(jí)上?全國(guó)?專題練習(xí)）如圖，二次函數(shù)v=/-6x+8的圖象與x軸分別交于點(diǎn)A,B（點(diǎn)A

在點(diǎn)5的左側(cè)），直線/是對(duì)稱軸.點(diǎn)尸在函數(shù)圖象上，其橫坐標(biāo)大于4,連接尸PB,過點(diǎn)尸作尸河

垂足為以點(diǎn)〃■為圓心，作半徑為『的圓，PT與。〃■相切，切點(diǎn)為7.

（1）求點(diǎn)A,5的坐標(biāo)；

⑵若以的切線長(zhǎng)尸T為邊長(zhǎng)的正方形的面積與的面積相等，求0M的半徑『.

3.（2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）在一堂數(shù)學(xué)探索課上，一名同學(xué)以坐標(biāo)原點(diǎn)。為圓心作一組同心圓，同心圓的半

徑依次為1,2,3,n（"為正整數(shù)），又作一組平行于x軸的直線＞=T/=-2,y=-3,…,y=（〃為

正整數(shù)），如圖1所示，點(diǎn)/與點(diǎn)2為直線＞=-4與半徑為5的圓的交點(diǎn).

（1）直接寫出點(diǎn)/的坐標(biāo)為；

（2）如圖1,若經(jīng)過部分直線與圓交點(diǎn)的曲線為二次函數(shù)圖象，直接寫出該二次函數(shù)的解析式；

（3）如圖2,這名同學(xué)把這組平行線和其中一些圓都涂掉，保留半徑為5的圓，記為OO,此圓與x軸交于

E,尸兩點(diǎn).把（2）得到的拋物線沿》軸向上平移機(jī)個(gè)單位，使之過點(diǎn)。（4,-3）,連接EC與母'相交于點(diǎn)

D.

①直接寫出m的值為；

②求NEDC的度數(shù)；

③直接寫出叢DBC的面積為.

＞提優(yōu)訓(xùn)練

1.(24-25九年級(jí)上?河北秦皇島?階段練習(xí))綜合與探究

如圖，拋物線y=ax?+2x+c與軸相交于點(diǎn)C(0,3),與x軸正半軸相交于點(diǎn)5,負(fù)半軸相交于點(diǎn)4~1,0).

(1)求此拋物線的解析式；

⑵如圖1,P是第一象限拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作尸。軸，垂足是點(diǎn)。，PD與BC的交點(diǎn)為E,

設(shè)尸(加,〃),

①用含加的式子表示：PD=,DE=；

直接用①的結(jié)論求解②③；

②若PE=DE,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

③若PE=2DE,求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

2.(2025九年級(jí)下?全國(guó)?專題練習(xí))如圖，已知二次函數(shù)y=d—2x7的圖象的頂點(diǎn)為點(diǎn)A,二次函數(shù)

y=ax2+bx的圖象與1軸交于原點(diǎn)。及另一點(diǎn)C，它的頂點(diǎn)3在函數(shù)^二丫一型一］的圖象的對(duì)稱軸上.

(1)求點(diǎn)A與點(diǎn)。的坐標(biāo)；

⑵當(dāng)四邊形AOBC為菱形時(shí)，求函數(shù)歹=。/+法的表達(dá)式.

3.(24-25九年級(jí)上?陜西西安?期中)已知，二次函數(shù)了="2+8+。(。20)圖象與無軸交于點(diǎn)/(-1,0),8(3,0)

兩點(diǎn)，與了軸交于點(diǎn)。(0,-3).

(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)該二次函數(shù)圖象上是否存在一點(diǎn)P(不與點(diǎn)C重合)，使得S.*=SqB，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若

不存在，請(qǐng)說明理由.

4.（24-25九年級(jí)上?重慶?期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線尸*+2》+3與x軸交于3兩點(diǎn)

（點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè)），與V軸交于點(diǎn)C,連接8C、NC.點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上一點(diǎn)，連接尸8、

PC.

（1）求直線BC的解析式；

⑵若S.PBC=|S.4BC，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

5.(24-25九年級(jí)上?安徽宣城?階段練習(xí))圖1,在Rt448C中，zB=9Q°,8C=4cm.點(diǎn)P以lcm/s的速

度從點(diǎn)/出發(fā)沿4B勻速運(yùn)動(dòng)到5同時(shí)，點(diǎn)。以vcm/s(v>l)的速度從點(diǎn)5出發(fā)沿2c勻速運(yùn)動(dòng)到C.兩

點(diǎn)同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，到達(dá)各自終點(diǎn)后停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f(s),APB。的面積為S(cmD.當(dāng)點(diǎn)。在上

運(yùn)動(dòng)時(shí)，S與/的函數(shù)圖象如圖2所示.

(2)求出當(dāng)時(shí)間f在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，APB。的面積為S(cn?)的值不小于

6.(24-25九年級(jí)上?福建廈門?階段練習(xí))已知二次函數(shù)V=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(0,-3),(-b,c)兩點(diǎn)，其

中a,b,c為常數(shù),且而＞0.

(1)求a,c的值；

(2)若該二次函數(shù)的最小值是-4,且它的圖象與x軸交于點(diǎn)/,3(點(diǎn)/在點(diǎn)2的左側(cè)，與y軸交于點(diǎn)C.

①求該二次函數(shù)的解析式

②在y軸左側(cè)該二次函數(shù)的圖象上有一動(dòng)點(diǎn)P,過點(diǎn)尸作x軸的垂線，垂足為。，與直線4c交于點(diǎn)E,連

接PC,CB,BE.是否存在點(diǎn)P,使白"=g?若存在，求此時(shí)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

、CBE"

7.(24-25九年級(jí)上?安徽亳州?期中)已知：如圖，拋物線過點(diǎn)/(-8,0),。(0,6),且其對(duì)稱軸為直線

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)如圖1,求面積的最大值；

39

(3)如圖2,若拋物線上點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為-4,且△0。河的面積為k，求點(diǎn)〃的坐標(biāo).

O

8.（24-25九年級(jí)上?江蘇蘇州?期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)＞="2+瓜+4（。＜0）的圖象與

x軸交于點(diǎn)4（2,0）和點(diǎn)8（-4,0）

⑵過點(diǎn)C作x軸的平行