第18講計(jì)數(shù)原理與概率（3大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練）

［考情分析］1.主要考查兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、排列、組合的簡(jiǎn)單應(yīng)用，時(shí)常與概率相結(jié)合，以選擇題、填空題為

主.2.二項(xiàng)式定理主要考查通項(xiàng)公式、二項(xiàng)式系數(shù)等知識(shí)，近幾年也與函數(shù)、不等式、數(shù)列交匯考查3概率重

點(diǎn)考查古典概型、條件概率、全概率公式的基本應(yīng)用.

知識(shí)導(dǎo)圖

?考點(diǎn)一：排列與組合問題

★計(jì)數(shù)原理與概念?考點(diǎn)二：二項(xiàng)式定理

考點(diǎn)三：概率

I考點(diǎn)分類講解

考點(diǎn)一：排列與組合問題

解決排列、組合問題的一般過程：

（1）認(rèn)真審題，弄清楚要做什么事情；

（2）要做的事情是需要分步還是分類，還是分步分類同時(shí)進(jìn)行，確定分多少步及多少類；

（3）確定每一步或每一類是排列（有序）問題還是組合（無序）問題，元素總數(shù)是多少及取出多少元素.

規(guī)律方法排列、組合問題的求解方法與技巧

（1）合理分類與準(zhǔn)確分步；（2）排列、組合混合問題要先選后排；（3）特殊元素優(yōu)先安排；（4）相鄰問題捆綁處理；

（5）不相鄰問題插空處理；（6）定序問題除法處理；（7）“小集團(tuán)”排列問題先整體后局部；（8）正難則反，等價(jià)

轉(zhuǎn)化.

【例1】（2023?新高考全國(guó)I）某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選

修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）.

【變式1】（2024?福建漳州?模擬預(yù)測(cè)）A：+C：。=（）

A.65B.160C.165D.210

【變式2】（2024?浙江,模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)有一項(xiàng)需要用時(shí)兩天的活動(dòng)，要從5人中安排2人參加，每天安排一

人，若其中甲、乙2人在這兩天都沒有參加，則不同的安排方式有（）

A.20種B.10種C.8種D.6種

【變式3］（2024?四川涼山?二模）為了傳承和弘揚(yáng)雷鋒精神，凝聚榜樣力量.3月5日學(xué)雷鋒紀(jì)念日來臨

之際，涼山州某中學(xué)舉辦了主題為〃傳承雷鋒精神，踐行時(shí)代力量〃的征文比賽.此次征文共5個(gè)題目，每

位參賽學(xué)生從中隨機(jī)選取一個(gè)題目準(zhǔn)備作文，則甲、乙，丙三位同學(xué)選到互不相同題目的概率為（）

3412

A.-B.一D.

5525

考點(diǎn)二：二項(xiàng)式定理

1.求二項(xiàng)展開式中特定項(xiàng)或項(xiàng)的系數(shù)問題的思路：

（1）利用通項(xiàng)公式將％+1項(xiàng)寫出并化簡(jiǎn).

（2）令字母的指數(shù)符合要求（求常數(shù)項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為零；求有理項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為整數(shù)等），解出k.

（3）代回通項(xiàng)公式即得所求.

2.對(duì)于兩個(gè)因式的積的特定項(xiàng)問題，一般對(duì)某個(gè)因式用通項(xiàng)公式，再結(jié)合因式相乘，分類討論求解.

規(guī)律方法二項(xiàng)式（。+6）"的通項(xiàng)公式:Q+i=C/"r〃/=0,l,2,…，ri）,它表示的是二項(xiàng)式的展開式的第

1項(xiàng)，而不是第左項(xiàng)；其中C￡是二項(xiàng)式展開式的第4+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，而二項(xiàng)式的展開式的第左+1項(xiàng)的

系數(shù)是字母賽前的常數(shù)，要區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù).

【例2】（2024?貴州畢節(jié)?一模）二項(xiàng)式的展開式中含/項(xiàng)的系數(shù)為（）

「0「2「3「4「5「6

【變式1】（2024.遼寧大連.一模）》一1+/一號(hào)+』_工+』=（）

3°313233343536

646411

A----R---C----D---

?729?729?729,729

【變式2］（2024?浙江溫州?二模）在（3-%）。-％）5展開式中，1的奇數(shù)次幕的項(xiàng)的系數(shù)和為（）

A.-64B.64C.-32D.32

【變式3］（2022?湖南?模擬預(yù)測(cè)）下列不屬于"-2）3的展開式的項(xiàng)的是（）

A.x3B.6x2C.12尤D.-8

考點(diǎn)三：概率

1.古典概型的概率公式

事件A包含的樣本點(diǎn)數(shù)

產(chǎn)⑷=試驗(yàn)的樣本點(diǎn)總數(shù).

2.條件概率公式

設(shè)A,8為兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)>0,

則尸(硒=鏘?

3.全概率公式

一般地，若事件A”Az,…，A”兩兩互斥，且它們的和￡也1AFQ,P(AO>0,i=l,2,3,n,則對(duì)于Q

中的任意事件B,有P(B)=2也iP(Ai)P(BA).這個(gè)公式稱為全概率公式.

規(guī)律方法求概率的方法與技巧

(1)古典概型用古典概型概率公式求解.

(2)條件概率用條件概率公式及全概率公式求解.

(3)根據(jù)事件間關(guān)系，利用概率的加法、乘法公式及對(duì)應(yīng)事件的概率公式求解.

【例3】(多選)(2023?新高考全國(guó)II)在信道內(nèi)傳輸0,1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立.發(fā)送0時(shí)，收到1的概

率為a(0<a<l),收到0的概率為1一四發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為伙0<或<1),收到1的概率為1一及考慮兩

種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏?單次傳輸是指每個(gè)信號(hào)只發(fā)送1次；三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3

次.收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中

出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如，若依次收到1,0,1,則譯碼為1).()

A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為(1—a)(l—￡)2

B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為伙1—SA

C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為￡(1—￡)2+(1—￡)3

D.當(dāng)0<a<0.5時(shí)，若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率

【變式1](23-24高三下?山東荷澤?階段練習(xí))依次拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記骰子向上的點(diǎn)數(shù).用x表

示第一次拋擲骰子的點(diǎn)數(shù)，用》表示第二次拋擲骰子的點(diǎn)數(shù)，用(x,y)表示一次試驗(yàn)的結(jié)果.記"尤+>=7"為

事件A,"孫=2左一1(左eN*卜為事件B,“尤43”為事件C,則()

A.A與8相互獨(dú)立B.A與B對(duì)立

C.A與C相互獨(dú)立D.B與C相互獨(dú)立

【變式2](2024?安徽黃山?一模)2024年是安徽省實(shí)施"3+1+2〃選科方案后的第一年新高考，該方案中的

“2"指的是從政治、地理、化學(xué)、生物4門學(xué)科中任選2門，假設(shè)每門學(xué)科被選中的可能性相等，那么化學(xué)

和地理至少有一門被選中的概率是()

【變式3】（2024?陜西西安?二模）甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各自等可能地從紅、黃、白、藍(lán)4種顏色的運(yùn)動(dòng)服中選

擇1種，則他們選擇不同顏色運(yùn)動(dòng)服的概率為（）

3324

A.—B.-C.-D.一

4535

強(qiáng)化訓(xùn)練

一、單選題

1.（2024?山東青島?一模）在（2+尤）5的展開式中，/項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.1B.10C.40D.80

2.（2023?陜西?模擬預(yù)測(cè)）2024年1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月每月都是31天，2月是29

天，其余月份是30天，從2024年2月、4月、6月、8月、10月、12月中任取兩個(gè)月份，則所取的兩個(gè)

月份的天數(shù)之和不小于60的概率為（）

134113

A.—B.—C.—D.一

155155

3.（2024?山西?模擬預(yù)測(cè)）從集合8={1,2,3,4,5,6,7,8}中任取兩個(gè)不同的數(shù)，和為2的倍數(shù)的概率為（）

31113

A.—B.-C.—D.一

54127

4.（2024,陜西銅川?二模）從1,2,…,9這九個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)的和為質(zhì)數(shù)的概率為（）

14713

A.-B.—C.—D.—

391836

5.（2024?新疆?一模）在古典名著《紅樓夢(mèng)》中有一道名為"茄餐"的佳肴，這道菜用到了雞脯肉、香菌、新

筍、豆腐干、果干、茄子凈肉六種原料，烹飪時(shí)要求香菌、新筍、豆腐干一起下鍋，茄子凈肉在雞脯肉后

下鍋，最后還需加入精心熬制的雞湯，則烹飪"茄餐”時(shí)不同的下鍋順序共有（）

A.72種B.36種C.工2種D.6種

6.（2024?貴州畢節(jié)?二模）某學(xué)校參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的1名教師和甲、乙、丙、丁4名學(xué)生站成一排合影

留念，則教師不站在兩端，且甲、乙相鄰的概率為（）

2311

A.—B.—C.—D.—

510510

7.（2024?北京石景山?一模）中國(guó)民族五聲調(diào)式音階的各音依次為：宮、商、角、徵、羽，如果用這五個(gè)

音，排成一個(gè)沒有重復(fù)音的五音音列，且商、角不相鄰，徵位于羽的左側(cè)，則可排成的不同音列有（）

A.18種B.24種C.36種D.72種

8.（22-23高三?河北?階段練習(xí)）從1,2,3,…,100這100個(gè)自然數(shù)中隨機(jī)抽取三個(gè)不同的數(shù)，這三個(gè)數(shù)成等差

數(shù)列的取法數(shù)為隨機(jī)抽取四個(gè)不同的數(shù)，這四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列的取法數(shù)為N,則N"的后兩位數(shù)字為

A.89B.51C.49D.13

二、多選題

1.（2024?遼寧沈陽?模擬預(yù)測(cè)）若加,〃為正整數(shù)且“>%>1,則（）

A.C；+C"..+C：=2"B.C：=CZ'-C：+'

C.mC：=（n-l）C：：；D.A：+mA：-'=A：+1

2.（2024?吉林延邊?一模）已知當(dāng)x>0時(shí)，—1―<ln|1+-|<-,則（）

1+XIX）X

1Q

A.e8>-

7

?111…

B.1H---1—F,?—vln8

237

1111,

C.—+-+—+…+—<lno8

2348

「0「1「2「8

D―———d----1--<e,

,8°818288

3.（2024?河南鄭州?模擬預(yù)測(cè)）近幾年隨著Al技術(shù)的發(fā)展，虛擬人的智能化水平得到極大的提升，虛擬主播

逐步走向商用，如圖為2014?2022年中國(guó)虛擬主播企業(yè)注冊(cè)年增加數(shù)（較上一年增加的數(shù)量）條形圖，根

據(jù)該圖，下列說法正確的是（）

2014—2022年

中國(guó)虛擬主播企業(yè)注冊(cè)增加數(shù)

A.2014?2022年中國(guó)虛擬主播企業(yè)注冊(cè)數(shù)量逐年增加

B.2014?2022年中國(guó)虛擬主播企業(yè)注冊(cè)年增加數(shù)的中位數(shù)為410

C.2014?2022年中國(guó)虛擬主播企業(yè)注冊(cè)年增加數(shù)的極差為915

D.從圖中9年企業(yè)注冊(cè)增加數(shù)字中任取2個(gè)數(shù)字，這兩個(gè)數(shù)字的平均數(shù)大于110的概率9

io

三、填空題

1.（2024?山東濰坊?一模）第40屆濰坊國(guó)際風(fēng)箏會(huì)期間，某學(xué)校派5人參加連續(xù)6天的志愿服務(wù)活動(dòng)，其

中甲連續(xù)參加2天，其他人各參加1天，則不同的安排方法有種.（結(jié)果用數(shù)值表示）

2.（2024?寧夏銀川?一模）某班為了響應(yīng)“學(xué)雷鋒”活動(dòng)，將指定的6名學(xué)生隨機(jī)分配到3個(gè)不同的校辦公室

打掃衛(wèi)生，要求每個(gè)辦公室至少分配1人，6名學(xué)生中甲、乙兩人關(guān)系最好，則恰好甲、乙兩人（僅有兩

人）打掃同一個(gè)辦公室的概率為.

3.（2024?福建泉州?模擬預(yù)測(cè)）/.-5］展開式中常數(shù)項(xiàng)為10,則〃=.

四、解答題

1.（2023高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知可=2"、解關(guān)于"的不等式：

3

/C：++OJC+a4Cn+-??+?！?iG<2024.

2.(2023高三?全國(guó)?專題練習(xí))求證：L+1|-[x"+—|>2K-2,(x>0,〃eN*).

3.（2024?浙江?模擬預(yù)測(cè)）如圖，小軍與小玲共同發(fā)明了一種"字母棋"，進(jìn)行比勝負(fù)的游戲她們用四種字母

做成10個(gè)棋子，其中A棋1個(gè)，8棋2個(gè)，C棋3個(gè)，D棋4個(gè)，

^-^1—

〃字母棋〃的游戲規(guī)則為:

①游戲時(shí)兩人各摸一個(gè)棋子進(jìn)行比賽稱一輪比賽，先摸者摸出的棋子不放回;

②A棋勝8棋，C棋；B棋勝C棋，。棋；C棋勝。棋；。棋勝A棋；

③相同棋子不分勝負(fù)，

⑴若小玲先摸，問小玲摸到C棋的概率是多少?

（2）已知小玲先摸到了C棋，小軍在剩余的9個(gè)棋中隨機(jī)摸一個(gè)，問這一輪中小玲勝小軍的概率是多少？

⑶已知小玲先摸一個(gè)棋，小軍在剩余的9個(gè)棋中隨機(jī)摸一個(gè)，問這一輪中小玲希望摸到哪種棋勝小軍的概

率最大？

4.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）求正整數(shù)。、6、c、“，使得2"=a!+6!+c!成立.

5.（2024高三■全國(guó)?專題練習(xí)）有"個(gè)元素，將其中相同的元素歸成一類，共有人類，這左類元素中每類分

別中小々…,〃個(gè)，rx+r2+---+rk<n,將這"個(gè)元素全部取出的排列叫做"個(gè)不盡相異元素的全排列.

⑴求上述九個(gè)不盡相異的元素的全排列數(shù).

⑵由結(jié)論（1）,回答"1個(gè)球隊(duì)與10個(gè)球隊(duì)各比賽1次，共有10場(chǎng)比賽，問五勝三負(fù)二平的可能情形有多

少種？”

第18講計(jì)數(shù)原理與概率（3大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練）

［考情分析］1.主要考查兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、排列、組合的簡(jiǎn)單應(yīng)用，時(shí)常與概率相結(jié)合，以選擇題、填空題為

主.2.二項(xiàng)式定理主要考查通項(xiàng)公式、二項(xiàng)式系數(shù)等知識(shí)，近幾年也與函數(shù)、不等式、數(shù)列交匯考查.3.概率重

點(diǎn)考查古典概型、條件概率、全概率公式的基本應(yīng)用.

知識(shí)導(dǎo)圖

考點(diǎn)分類講解

考點(diǎn)一：排列與組合問題

解決排列、組合問題的一般過程：

（1）認(rèn)真審題，弄清楚要做什么事情；

（2）要做的事情是需要分步還是分類，還是分步分類同時(shí)進(jìn)行，確定分多少步及多少類；

（3）確定每一步或每一類是排列（有序）問題還是組合（無序）問題，元素總數(shù)是多少及取出多少元素.

規(guī)律方法排列、組合問題的求解方法與技巧

（1）合理分類與準(zhǔn)確分步；（2）排列、組合混合問題要先選后排；（3）特殊元素優(yōu)先安排；（4）相鄰問題捆綁處理；

（5）不相鄰問題插空處理；（6）定序問題除法處理；（7）“小集團(tuán)”排列問題先整體后局部；（8）正難則反，等價(jià)

轉(zhuǎn)化.

【例1】（2023?新高考全國(guó)I）某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選

修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）.

【答案】64

【解析】①當(dāng)從8門課中選修2門時(shí)，不同的選課方案共有CICI=16（種）；

②當(dāng)從8門課中選修3門時(shí)，

（i）若體育類選修1門，則不同的選課方案共有C1Q=24（種）；

（ii）若體育類選修2門，則不同的選課方案共有CK1=24（種）.

綜上所述，不同的選課方案共有16+24+24=64（種）.

【變式1】（2024?福建漳州?模擬預(yù)測(cè)）A：+C：°=（）

A.65B.160C.165D.210

【答案】C

【分析】根據(jù)排列數(shù)、組合數(shù)的公式計(jì)算可得.

【詳解】A；+C：O=A：+C；O=6X5X4+"，=165.

2x1

故選：C.

【變式2】（2024,浙江?模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)有一項(xiàng)需要用時(shí)兩天的活動(dòng)，要從5人中安排2人參加，每天安排一

人，若其中甲、乙2人在這兩天都沒有參加，則不同的安排方式有（）

A.20種B.10種C.8種D.6種

【答案】D

【分析】根據(jù)排列數(shù)的定義和公式，即可求解.

【詳解】由題意可知，從除甲和乙之外的3人中選2人，安排2天的活動(dòng)，有A；=6種方法.

故選：D

【變式3】（2024?四川涼山?二模）為了傳承和弘揚(yáng)雷鋒精神，凝聚榜樣力量.3月5日學(xué)雷鋒紀(jì)念日來臨

之際，涼山州某中學(xué)舉辦了主題為“傳承雷鋒精神，踐行時(shí)代力量”的征文比賽.此次征文共5個(gè)題目，每

位參賽學(xué)生從中隨機(jī)選取一個(gè)題目準(zhǔn)備作文，則甲、乙，丙三位同學(xué)選到互不相同題目的概率為（）

34912

A.-B.—C.—D.—

552525

【答案】D

【分析】根據(jù)分步計(jì)算原理得到總情況數(shù)，再利用排列公式得到滿足題意的情況數(shù)，最后利用古典概率的

計(jì)算公式即可.

【詳解】甲同學(xué)可以選擇一個(gè)題目共有5種選法，同理，乙、丙也有5種選法，

由分步乘法計(jì)數(shù)原理，3人到四個(gè)社區(qū)參加志愿服務(wù)共有5?=125種選法；

若甲、乙，丙三位同學(xué)選到互不相同題目，共有A；=60種選法；

貝甲、乙，丙三位同學(xué)選到互不相同題目的概率為尸=鋰;=2.

故選：D.

考點(diǎn)二：二項(xiàng)式定理

1.求二項(xiàng)展開式中特定項(xiàng)或項(xiàng)的系數(shù)問題的思路：

（1）利用通項(xiàng)公式將％+1項(xiàng)寫出并化簡(jiǎn).

（2）令字母的指數(shù)符合要求（求常數(shù)項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為零；求有理項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為整數(shù)等），解出左

（3）代回通項(xiàng)公式即得所求.

2.對(duì)于兩個(gè)因式的積的特定項(xiàng)問題，一般對(duì)某個(gè)因式用通項(xiàng)公式，再結(jié)合因式相乘，分類討論求解.

規(guī)律方法二項(xiàng)式（。+6）"的通項(xiàng)公式:Q+i=C/"r〃/=0,l,2,…，ri）,它表示的是二項(xiàng)式的展開式的第

1項(xiàng)，而不是第左項(xiàng)；其中C￡是二項(xiàng)式展開式的第4+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，而二項(xiàng)式的展開式的第左+1項(xiàng)的

系數(shù)是字母賽前的常數(shù)，要區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù).

【例2】（2024?貴州畢節(jié)?一模）二項(xiàng)式，2一］］的展開式中含/項(xiàng)的系數(shù)為（）

【答案】B

【分析】利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式即可求解.

【詳解】由二項(xiàng)式定理可知，:的展開式的通項(xiàng)為

令8—3〃=2,解得廠=2,

所以*臥2=|/,

所以二項(xiàng)式（無2_J_丫的展開式中含一項(xiàng)的系數(shù)為之

故選：B.

【變式1](2024.遼寧大連一模)與一與+與一冬+與一3+與=()

3°313233343536

646411

A.-------B.-----C.-------D.-----

729729729729

【答案】B

【分析】根據(jù)表達(dá)式特征可知利用二項(xiàng)式定理的逆運(yùn)用可得結(jié)果.

「001「203「405063

【詳解】易知2-W+W-W+W-2+a=CK-l)6gy㈠YIy(-1)4i+c：E

3°313233343536'/III

+c式-嗚"（-哨+或（-嗚、3H高喘

故選：B

【變式2］（2024?浙江溫州?二模）在（3-%）。-％）5展開式中，x的奇數(shù)次基的項(xiàng)的系數(shù)和為（）

A.-64B.64C.—32D.32

【答案】A

【分析】設(shè)（3-%）（1一%）5=%+%兀+々2X2+〃313+%%4+〃5%5+4616,利用賦值法計(jì)算可得.

523456

［詳解］設(shè)（3—兀）（1一x）=a0+a^x+tz2x+tz3x+tz4x+a5x+a6x,

令^龍=1Pja。+q+622+/+%+。5+。6=。，

令X=—1可得%—4+/一〃3+〃4一〃5+〃6=128,

匕c、［0-128,.

所以q+。3+。5=——--=-64,

即在（3-X）（1-X）5展開式中x的奇數(shù)次幕的項(xiàng)的系數(shù)和為-64.

故選：A

【變式3】（2022?湖南?模擬預(yù)測(cè)）下列不屬于（彳-2）3的展開式的項(xiàng)的是（）

A.%3B.6x2C.12xD.-8

【答案】B

【分析】按照二項(xiàng)式定理直接展開判斷即可.

【詳解】由二項(xiàng)式定理可知，（》-2）3=》3-6/+12彳-8,故6/不是展開式的項(xiàng).

故選：B

考點(diǎn)三：概率

1.古典概型的概率公式

事件A包含的樣本點(diǎn)數(shù)

P（4）=試驗(yàn)的樣本點(diǎn)總數(shù).

2.條件概率公式

設(shè)A,3為兩個(gè)隨機(jī)事件，且尸(A)>0,

則尸那尸鏘.

3.全概率公式

一般地，若事件Al,Az,…，An兩兩互斥，且它們的和2X1At=Q,P(Ai)>0,i=l,2,3,n,則對(duì)于Q

中的任意事件B,有P(B)=￡也iP(ADP(B|Ai).這個(gè)公式稱為全概率公式.

規(guī)律方法求概率的方法與技巧

(1)古典概型用古典概型概率公式求解.

(2)條件概率用條件概率公式及全概率公式求解.

(3)根據(jù)事件間關(guān)系，利用概率的加法、乘法公式及對(duì)應(yīng)事件的概率公式求解.

【例3】(多選)(2023?新高考全國(guó)II)在信道內(nèi)傳輸0,1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立.發(fā)送0時(shí)，收到1的概

率為a(0<a<l),收到0的概率為1一a；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為夕(0<或<1),收到1的概率為1一及考慮兩

種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏?單次傳輸是指每個(gè)信號(hào)只發(fā)送1次；三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3

次.收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中

出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼(例如，若依次收到1,0,1,則譯碼為1).()

A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為(1—a)(l—.)2

B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為伙1—SA

C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為￡(1—向2+(1一夕>

D.當(dāng)0<a<0.5時(shí)，若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為。的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率

【答案】ABD

【解析】對(duì)于A,依次發(fā)送1Q1,則依次收到1,0,1的事件是發(fā)送1接收1、發(fā)送。接收0、發(fā)送1接收1

這3個(gè)事件的積，

它們相互獨(dú)立，所以所求概率為(1一夕)(1—a)(l—夕)=(1—a)(l一川)2,故A正確；

對(duì)于B,三次傳輸，發(fā)送1,相當(dāng)于依次發(fā)送1,1,1,則依次收到1,0,1的事件是發(fā)送1接收1、發(fā)送1接收

0、發(fā)送1接收1這3個(gè)事件的積，

它們相互獨(dú)立,所以所求概率為(1—￡)以1一夕)=伙1一￡)2,故B正確；

對(duì)于C,三次傳輸，發(fā)送1,則譯碼為1的事件是依次收到1,1,0;1,0,1;0,1,1和1,1,1這4個(gè)事件的和，

它們互斥,所求的概率為C婚(1—02+(1—03=(1—￡)2(1+2”),故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,三次傳輸，發(fā)送0,則譯碼為0的概率p=(l—a)2(l+2a),

單次傳輸發(fā)送0,則譯碼為0的概率P=l-a,而0<a<0.5,

因此P—P=(l-a)2(l+2a)-(l-ct)=a(l-a)(l-2a)>0,即尸>P',故D正確.

【變式1](23-24高三下?山東荷澤?階段練習(xí))依次拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記骰子向上的點(diǎn)數(shù).用x表

示第一次拋擲骰子的點(diǎn)數(shù)，用》表示第二次拋擲骰子的點(diǎn)數(shù)，用(匹丹表示一次試驗(yàn)的結(jié)果.記"無+>=7"為

事件A,"孫=2"l,eN*卜為事件8,“x43”為事件C,則（）

A.A與B相互獨(dú)立B.A與B對(duì)立

C.A與C相互獨(dú)立D.8與C相互獨(dú)立

【答案】C

【分析】用列舉法列出所有可能結(jié)果，再結(jié)合互斥事件、對(duì)立事件、相互獨(dú)立事件及古典概型的概率公式

計(jì)算可得.

【詳解】依題意依次拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，基本事件總數(shù)為6x6=36個(gè)；

其中事件4="x+y=7"包含的樣本點(diǎn)有：

（1,6）,（2,5）,（3,4）,（4,3）,（5,2）,（6,1）共6個(gè);

事件B="孫=2左一l,eN*）",包含的樣本點(diǎn)有：

（1,1）,（3,3）,（5,5）,（1,3）,（1,5）,（3,1）,（3,5）,（5,1）,（5,3）共9個(gè)，

事件C="無＜3",包含的樣本點(diǎn)有：（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,

（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,

（3,1）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,（3,5）,（3,6）共18個(gè),

所以A與8不能同時(shí)發(fā)生，但是能同時(shí)不發(fā)生，故不是對(duì)立事件，故B錯(cuò)誤;

因?yàn)锳與B不能同時(shí)發(fā)生，所以A與8是互斥事件，則尸（AB）=O,

又產(chǎn)（田=2=1，P（2）=總=='所以「（鈣片尸（A）尸①），

oxoo0X04

所以A與8不相互獨(dú)立，故A錯(cuò)誤；

又事件AC包含的樣本點(diǎn)有：（1,6）,（2,5）,（3,4）共3個(gè),

所以P（C）=g，尸（A）P（C）=g則尸（AC）=%3囁1=尸⑷尸（0

所以A與C相互獨(dú)立，故C正確;

事件BC包含的樣本點(diǎn)有：（1,1）,（3,3）,（1,3）,（1,5）,（3,1）,（3,5）共6個(gè),

因?yàn)镻（8C）=!#尸（8）尸（C）,所以B與C不相互獨(dú)立，故D錯(cuò)誤.

O

故選：C

【變式2]（2024?安徽黃山?一模）2024年是安徽省實(shí)施"3+1+2”選科方案后的第一年新高考，該方案中的

“2"指的是從政治、地理、化學(xué)、生物4門學(xué)科中任選2門，假設(shè)每門學(xué)科被選中的可能性相等，那么化學(xué)

和地理至少有一門被選中的概率是（）

1125

A.—B.-C.-D.一

6236

【答案】D

【分析】分別計(jì)算出任選兩門的種類數(shù)，再得出化學(xué)和地理都沒有被選中的情況，即可得出結(jié)果.

【詳解】依題意從從政治、地理、化學(xué)、生物4門學(xué)科中任選2門共有C：=6種情況，

其中化學(xué)和地理都沒有被選中共有C；=1種，

因此化學(xué)和地理至少有一門被選中的概率是尸=1-3="

66

故選：D

【變式3】（2024?陜西西安?二模）甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各自等可能地從紅、黃、白、藍(lán)4種顏色的運(yùn)動(dòng)服中選

擇1種，則他們選擇不同顏色運(yùn)動(dòng)服的概率為（）

3324

A.-B.-C.—D.一

4535

【答案】A

【分析】利用列舉法列出所有可能結(jié)果，再利用古典概型的概率公式計(jì)算可得.

【詳解】甲，乙兩名運(yùn)動(dòng)員各自等可能地從紅、黃、白、藍(lán)4種顏色的運(yùn)動(dòng)服中選擇1種有4x4=16種不同

的結(jié)果，

分別為（紅，紅），（紅，黃），（紅，白），（紅，藍(lán)），

（黃，紅），（黃，黃），（黃，白），（黃，藍(lán)），

（白，紅），（白，黃），（白，白），（白，藍(lán)），

（藍(lán)，紅），（藍(lán)，黃），（藍(lán)，白），（藍(lán)，藍(lán)）.

他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服有4種不同的結(jié)果，即（紅，紅），（黃，黃），（白，白），（藍(lán)，藍(lán)），

故他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的概率為％:，所以他們選擇不同顏色運(yùn)動(dòng)服的概率為

16444

故選：A.

Fl強(qiáng)化訓(xùn)練

一、單選題

1.（2024?山東青島?一模）在（2+%）5的展開式中，/項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.1B.10C.40D.80

【答案】D

【分析】利用通項(xiàng)求解可得.

【詳解】通項(xiàng)公式為

322

當(dāng)廠=2時(shí)，T3=C^2X=80X,

所以爐項(xiàng)的系數(shù)為80.

故選：D

2.(2023?陜西?模擬預(yù)測(cè))2024年1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月每月都是31天，2月是29

天，其余月份是30天，從2024年2月、4月、6月、8月、10月、12月中任取兩個(gè)月份，則所取的兩個(gè)

月份的天數(shù)之和不小于60的概率為()

134113

A.—B.—C.—D.一

155155

【答案】A

【分析】列舉出所有可能并找出所有符合要求的情況計(jì)算即可得.

【詳解】所有取出的月份可能為：

2月與4月、2月與6月、2月與8月、2月與10月、2月與12月、4月與6月、

4月與8月、4月與10月、4月與12月、6月與8月、6月與10月、6月與12月、

8月與10月、8月與12月、10月與12月共15種，

其中天數(shù)之和不小于60的可能有：

2月與8月、2月與10月、2月與12月、4月與6月、4月與8月、4月與10月、

4月與12月、6月與8月、6月與10月、6月與12月、8月與10月、8月與12月、

10月與12月共13種，

13

故所取的兩個(gè)月份的天數(shù)之和不小于60的概率為行.

故選：A.

3.(2024?山西?模擬預(yù)測(cè))從集合S={1,2,3,4,5,6,7,8}中任取兩個(gè)不同的數(shù)，和為2的倍數(shù)的概率為()

31113

A.—B.—C.—D.一

54127

【答案】D

【分析】用列舉法寫出任取兩個(gè)不同的數(shù)，和為2的樣本點(diǎn)，得出樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)后，由概率公式計(jì)算概率.

【詳解】由題知和為2的倍數(shù)的有(1,3),(1,5).(1,7),(3,5),(3,7),(5,7),(2,4),(2,6),(2,8),(4,6),

(4,8),(6,8)共12種可能,

.P上=3

"既7。

故選：D.

4.（2024?陜西銅川?二模）從1,2,…,9這九個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)的和為質(zhì)數(shù)的概率為（）

14713

A.—B.—C.—D.—

391836

【答案】C

【分析】求所有組合個(gè)數(shù)，列舉和為質(zhì)數(shù)的情況，古典概型求概率.

【詳解】這九個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)，有C；種取法，

和為質(zhì)數(shù)有（1,2）,（1,4）,（2,3）,（1,6）,（2,5）,（3,4）,（2,9）,（3,8）,（4,7）,（5,6）,（4,9）,（5,8）,（6,7）,（8,9）共14種情

況，

147

因此所求概率為方=..

故選：C.

5.（2024?新疆?一模）在古典名著《紅樓夢(mèng)》中有一道名為"茄餐"的佳肴，這道菜用到了雞脯肉、香菌、新

筍、豆腐干、果干、茄子凈肉六種原料，烹飪時(shí)要求香菌、新筍、豆腐干一起下鍋，茄子凈肉在雞脯肉后

下鍋，最后還需加入精心熬制的雞湯，則烹飪"茄餐"時(shí)不同的下鍋順序共有（）

A.72種B.36種C.12種D.6種

【答案】C

【分析】利用排列知識(shí)計(jì)算即可.

【詳解】由題意可知六種原料中可以把香菌、新筍、豆腐干看成一種，即有A：種放法，

又茄子凈肉放在雞脯肉后，則有多=12種放法.

故選：c

6.（2024?貴州畢節(jié)?二模）某學(xué)校參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的1名教師和甲、乙、丙、丁4名學(xué)生站成一排合影

留念，則教師不站在兩端，且甲、乙相鄰的概率為（）

2311

A.—B.—C.—D.—

510510

【答案】C

【分析】利用捆綁法和特殊元素優(yōu)先的原則，先求滿足條件的方法種數(shù)，再根據(jù)古典概型，即可求解.

【詳解】教師和4名學(xué)生站成一排一共有A：=120種方法,

將甲和乙看成一個(gè)元素，有A；種方法，這樣就有4個(gè)不同的元素，教師不站兩端，則教師有2種方法，其

余3個(gè)元素有A；種方法，則滿足條件的站法有2A；A；=24種，

241

所以教師不站兩端，且甲、乙相鄰的概率p=①=不

故選：C

7.（2024?北京石景山?一模）中國(guó)民族五聲調(diào)式音階的各音依次為：宮、商、角、徵、羽，如果用這五個(gè)

音，排成一個(gè)沒有重復(fù)音的五音音列，且商、角不相鄰，徵位于羽的左側(cè)，則可排成的不同音列有（）

A.18種B.24種C.36種D.72種

【答案】C

【分析】先排宮、徽、羽三個(gè)音節(jié)，然后商、角兩個(gè)音階插空即可求解.

【詳解】解：先將宮、徽、羽三個(gè)音節(jié)進(jìn)行排序，且徽位于羽的左側(cè)，有至=3,

2

再將商、角插入4個(gè)空中的2個(gè)，有A：=12,

所以共有3x12=36種.

故選：C.

8.（22-23高三,河北?階段練習(xí)）從1,2,3,…,100這100個(gè)自然數(shù)中隨機(jī)抽取三個(gè)不同的數(shù)，這三個(gè)數(shù)成等差

數(shù)列的取法數(shù)為隨機(jī)抽取四個(gè)不同的數(shù)，這四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列的取法數(shù)為N,則N"的后兩位數(shù)字為

（）

A.89B.51C.49D.13

【答案】C

【分析】先根據(jù)抽取三個(gè)數(shù)為等差數(shù)列，求出公差為L(zhǎng)2,L時(shí)，滿足題意的數(shù)列的個(gè)數(shù)，通過等差數(shù)列前〃項(xiàng)

和公式，求出M即可，同理求出N的值,因?yàn)橐蟮氖荖",即1617%。的后兩位，將1617245。寫為（1600+17戶5°,

用二項(xiàng)式定理展開可得1617塊。的后兩位與17245。后兩位一致，將17245。寫為28935=（T+290甘”，利用二項(xiàng)式

定理展開，因?yàn)镃葭（-1）3*2902+…+C摟（-1）°x29（嚴(yán)的后兩位一定是00,則17245。的后兩位數(shù)與

122512241

C?225（-l）x290°+C；225（-l）X290的后兩位一致，計(jì)算結(jié)果即可.

【詳解】解:由題知，當(dāng)抽取三個(gè)不同的數(shù),成等差數(shù)列時(shí)，記公差為d,

當(dāng)d=l時(shí)，數(shù)列可為：

{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},…,{98,99,100}共計(jì)98個(gè)，

當(dāng)d=2時(shí)，數(shù)列可為：

{1,3,5},{2,4,6},{3,5,7},{4,6,8},…,{96,98,100}共計(jì)96個(gè),

當(dāng)d=3時(shí)，數(shù)列可為：

{1,4,7},{2,5,8},{3,6,9},…,{94,97,100}共計(jì)94個(gè)，

當(dāng)d=48時(shí)，數(shù)列可為：

{1,49,97},{2,50,98},{3,51,99},{4,52,100}共計(jì)4個(gè),

當(dāng)d=49時(shí)，數(shù)列可為：

{1,50,99},{2,51,100}共計(jì)2個(gè),

故M=98+96+94+…+4+2

49(98+2)-。,

2

當(dāng)抽取四個(gè)不同的數(shù)，成等差數(shù)列時(shí)，記公差為4,

當(dāng)4=1時(shí)，數(shù)列可為:

{1,2,3,4},{2,3,4,5},{3,4,5,6},{97,98,99,100}共計(jì)97個(gè),

當(dāng)4=2時(shí)，數(shù)列可為：

{1,3,5,7},{2,4,6,8},{3,5,7,9},{4,6,8,10},{94,96,98,100}共計(jì)94個(gè),

當(dāng)4=3時(shí)，數(shù)列可為:

{1,4,7,10},{2,5,8,11},{3,6,9,12},…,{91,94,97,100}共計(jì)91個(gè),

L

/

當(dāng)4=32時(shí)，數(shù)列可為：

{1,33,65,97},{2,34,66,98},{3,35,67,99},{4,36,68,100}共計(jì)4個(gè),

當(dāng)4=33時(shí)，數(shù)列可為：

{1,34,67,100}共計(jì)1個(gè),

故N=97+94+91+…+4+1

33(1+97)

=1617,

2

所以N"=16172450=(17+1600)2450

244912450

=C°45017-5。x1600°+CZo17xl600+…C繆17°xl6OO,

所以1617%。的后兩位與"245。的后兩位一致，

172450=2891225=(-1+290)1225,

224112

因?yàn)?一1+290產(chǎn)=%(-產(chǎn)x290°+C；225(-I)'x290+C^5(-l)^x290

+…+C窩(-l)°x290“25,

因?yàn)镃艮5(T廣3x2902+…+C：就(-1)°x29(產(chǎn)5的后兩位一定是00,

122512241

故17耶。的后兩位數(shù)與C?225(-l)x290°+C]225(-1)x290的后兩位一致，

因?yàn)?-1)1225X290°+C、5(-1)3X29(y=-1+1225X290=355249,

故的后兩位數(shù)為49,即NM的后兩位數(shù)為49.

故選:C

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:該題考查數(shù)列和二項(xiàng)式定理綜合問題，屬于難題，關(guān)于數(shù)列問題的思路點(diǎn)睛有:

⑴數(shù)列新定義問題，先寫出幾項(xiàng)找到規(guī)律；

(2)根據(jù)規(guī)律,寫出相對(duì)應(yīng)的式子；

⑶利用累加，累乘，公式法等進(jìn)行解決問題.

二、多選題

1.(2024?遼寧沈陽?模擬預(yù)測(cè))若沉，〃為正整數(shù)且則()

A.C；+C：+…+C：=2"B.C：W

C.仁=(〃-心D.A：+〃ZA；7=A：M

【答案】BD

【分析】對(duì)A：借助二項(xiàng)式的展開式計(jì)算即可得；對(duì)B、C、D：結(jié)合排列數(shù)與組合數(shù)的計(jì)算公式計(jì)算即可

得.

【詳解】對(duì)A：2"=(1+1)"=C°+€；,+.?.+€；-,又C：=l,故A錯(cuò)誤;

對(duì)B：C詈-C；M=

(n+1)!(n+1—n+m)(n)!(〃)！

(m+l)m!(H—m)!+—m)!(m+l)m!(n—m)!m\(n—m^\

故B正確;

(n-1)!m(n-l)!m(n—1)!

對(duì)C：

?(m-l)!(n—m)!—m)!m\(n-m)\'

j/i(〃)i

"c：=3，即"C"(〃-1)C：，故c錯(cuò)誤;

n\+m-n!(n-m+l+m)-n!(n+1)!

對(duì)D：A：+Z

(n-m+1)!