福建省福州第三中學2025屆高三下學期第十次質量檢測數學

試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.設復數Z滿足z-（l+2i）=5,則Z的虛部是（）

A.2B.2iC.-2D.-2i

22

2.“2<〃?<6”是“方程\+A=l表示的曲線為橢圓”的（）

m—2o—m

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.攢尖是中國古代建筑中屋頂的一種結構形式,宋代稱為撮尖，清代稱為攢尖.通常有圓形攢

尖，三角攢尖，四角攢尖，八角攢尖,也有單檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑，園林建筑.如圖所

2元

示的建筑屋頂是圓形攢尖,可近似看作一個圓錐，已知其軸截面是底邊長為61n，頂角為胃的

等腰三角形，則該屋頂的面積約為（）.

2

A.1Tly■B.67rm2C.6下n研D.12A/3TIm

4.某醫院擬派甲、乙、丙、丁四位專家到3所鄉鎮衛生院進行對口支援，若每所鄉鎮衛生

院至少派1位專家，每位專家對口支援一所醫院，則選派方案有（）

A.18種B.24種C.36種D.48種

5.已知數列｛%｝的前〃項和為S.=〃2+桁，且%=6,則數列g的前10項和為（）

6已知點小。），點尸在曲線V上運動，點/為拋物線的焦點，則身^的最小值

為（

A.73B.2(V5-1)C.4小D.4

7.已知atana—tan力=3石，則cos(a+￡)的值為()

\_

A，—2BcD.

-I-46

(a>D的值域為g+e

8.已知=<則。的取值范圍是()

ac1

XH-----2,x>一

x2

36c

A.(1,2)B.C.(2,5)D.—,2

25

二、多選題

9.已知函數/(x)=|sinx|+2cos,則下列說法中正確的是()

A.f(x)為奇函數B.f(x)的一個周期是T=2兀

C./(x)的一條對稱軸為x=]D./(■的值域是(-2,番]

10.如圖，在直四棱柱ABCD-AB1G2中，底面ABCD為菱形，^BAD=6Q°,AB=AAl=2,P

為CG的中點，點。滿足雙=幾成+〃西(共[0,1],〃且0,1]),則下列結論正確的是()

A.若;1+〃=1,則四面體4刀尸。的體積為定值

B.若42=6，則點。的軌跡為一段圓弧

c.若aAB。的外心為o，則乖?即為定值2

D.若4=1且必=；,則存在點使得+EQ的最小值為也+2M

11.甲、乙兩選手進行象棋比賽，有3局2勝制，5局3勝制兩種方案.設每局比賽中甲獲勝

的概率為p(0<p<l),且每局比賽的結果互不影響，則下列結論正確的有()

A.若采用3局2勝制，則甲獲勝的概率為"(3-2p)

試卷第2頁，共4頁

B.若采用5局3勝制，則甲以3:1獲勝的概率為5P'(I—。)

C.若。=0.6,則甲在5局3勝制中獲勝的概率比在3局2勝制中獲勝的概率大

D.若P=06,采用5局3勝制，在甲獲勝的條件下，比賽局數為4局的可能性最大

三、填空題

12.已知向量￡=(一1,1),方=(-2,4),若"〃入a1(5+c),貝咽=.

13.己知等比數列｛q｝的前3項和為39,且%-6%+9%=。，貝1J%=.

14.函數〃x)=2x-sinx上存在互異兩點A,B,若曲線/⑺在A,B處的切線均為直線/,

且/在A,8之間與無公共點，貝門的斜率為.

四、解答題

15.在銳角VABC中，內角AB,C的對邊分別為a,b,c,且c-次osA=A.

(1)求證：A=2B；

311

(2)若NA4C的平分線交5C于。，AD=1,smB=-求:+―的值.

5fbc

16.已知定義在(0,+功上的函數/(x)=e"一機(X+1)2,M￡R.

(1)若加=),判斷/'(X)是否存在極小值點，并說明理由；

(2)若/(x)存在兩個零點，求機的取值范圍.

17.如圖，在三棱柱AC。-AGQ中，點E,&分別在棱CD,CR上，且A

E,&,A四點共面.

aEi「

(1)證明：四邊形AE&A為平行四邊形;

(2)若點滿足麗=A?+G"，側面CC^Dl底面

ACD,AD±AC,AD=AGCD=DDX=2,ACDDX=60°,若平面AEE^與平面

ABR夾角的余弦值為3白，求受OF的值.

13EC

18.品酒師需要定期接受酒味鑒別功能測試，一種常采用的測試方法如下：拿出"瓶外觀相

同但品質不同的酒讓其品嘗，要求按品質優劣為它們排序，經過一段時間，等其記憶淡忘之

后，再讓其品嘗這"瓶酒，并重新按品質優劣為它們排序，這稱為一輪測試.根據一輪測試

中的兩次排序的偏離程度的高低為其評分.現設"=4,分別以％,出，/，他表示第一次排序時

被排為1,2,3,4的四種酒在第二次排序時的序號，并令X=|l-⑷+|2-囚+|3-聞+R-甫，

則X是對兩次排序的偏離程度的一種描述.

⑴寫出X的所有可能取值（不需要說明理由）；

⑵假設4,外,生嗎等可能地為1，2,3,4的各種排列，求X=4的概率；

（3）假定各輪測試相互獨立，某品酒師在相繼進行的三輪測試中，都有X42,求這種現象出

現的概率；并判斷該品酒師的酒味鑒別功能如何，并說明理由.

19.已知雙曲線c的對稱中心在原點0,以坐標軸為對稱軸，兩條漸近線分別為4：y=x和

k-y=-x，其右焦點為（行

⑴求雙曲線c的方程；

⑵直線/：y=2x-4與雙曲線c交于A，瓦兩點（A在耳的上方），過點A，耳分別作44的平

行線相交于點4,過［作/的平行線與雙曲線c交于4,星兩點（&在的上方），再過點

4,當分別作44的平行線相交于點鳥，…，這樣一直操作下去，可以得到一系列點

&鳥,…,&〃23,aeN*.證明：

①兒打，…,匕共線；

②I。碟一］耳為定值,1Mi4〃-1"eN*.

試卷第4頁，共4頁

《福建省福州第三中學2025屆高三下學期第十次質量檢測數學試題》參考答案

題號12345678910

答案CBCCCDDDBDABD

題號11

答案ACD

1.C

【分析】根據復數的除法運算求解.

/、55（1-2i）,,

【詳解】因為z-（l+2i）=5,所以z=.=（］+2i）（i.2i）=l一公,

所以z的虛部是-2,

故選:C.

2.B

【分析】利用橢圓的標準方程結合充分、必要條件的定義計算即可.

【詳解】易知2<〃z<6時，m-2>0,6-m>0,但%=4時有〃?一2=6-〃?=2,

此時方程表示圓，所以不滿足充分性，

-2>0

若方程上+上二=1表示的曲線為橢圓，則6>0=>/7ie（2,4）u（4,6）,

m—26—m

m-2^6-m

顯然2<〃z<6成立，滿足必要性，

22

故"2<根<6”是“方程—+=1表示的曲線為橢圓”的必要不充分條件.

m-2o-m

故選：B

3.C

【分析】根據題意作出圓錐軸截面圖像,根據圖像求出圓錐底面半徑廠和母線/，根據側面積公

式即可求解.

【詳解】如圖所示為該圓錐軸截面，

由題意，底面圓半徑r=3,母線/

Sm3

所以側面積兀力=TIX3X2A/5=6A/§71m2.

故選：C.

答案第1頁，共15頁

4.C

【分析】根據題意，分2步進行分析：①將甲、乙、丙、丁四位專家分為3組，②將分好的

三組全排列，對應3所鄉鎮衛生院，由分步計數原理計算可得答案.

【詳解】解：根據題意，分2步進行分析：

①將甲、乙、丙、丁四位專家分為3組，有=6種分組分法；

②將分好的三組全排列，對應3所鄉鎮衛生院，有喜=6種情況，

則有6x6=36種選派方案;

故選：C.

【點睛】本題考查排列組合的應用，涉及分步計數原理的應用，屬于基礎題.

5.C

【分析】先求出k=1,然后利用=裂項相消求出結果.

Snn+nnn+\

【詳解】由己知有6=%=&—邑=（32+34）一（22+2左）=左+5,故左=1.

1

所以從而

Snn+nn^n+1)nn+1

110

11iT

故選：c.

6.D

【分析】如圖所示：過點尸作PN垂直準線于N,交y軸于Q,則|「耳-1=|尸網-1=|尸（2],

設尸（x,y）,x>0,則震二=尤+'，利用均值不等式得到答案.

\PF\-1x

【詳解】如圖所示：過點尸作PN垂直準線于N,交丁軸于Q,則|尸耳-1=|PN|-1=|PQ|,

設尸(x,y),x>0,儂匚駕上-2）?、口-2）?+4x…

\PF\-1|尸@xxx

4』

當工=—,即x=2時等號成立.

x

故選：D.

答案第2頁，共15頁

【點睛】本題考查了拋物線中距離的最值問題，意在考查學生的計算能力和轉化能力.

7.D

【分析】由已知條件切化弦，整理得出cosacos/7,然后把cos(。-/?)展開可求出sinasin6,

從而利用兩角和的余弦公式可求解.

【詳解】由于tancz-tan/?=3A/3,且cz-/=：,

如

則sinasin(3sinacos/3-cosasin)3_sin(c)f-/?)_2_3J3J

cosacos/3cosacos[3cosacospcosacos夕

整理得cosacos

6f

貝Ucos(i—分)=cosacos/?+sinasin尸=g,

整理得sinasin(3=

263

所以cos(a+〃)=cosacos/3—smasin/3.

636

故選：D.

8.D

【分析】分別討論〃>2,〃=2,lvav2時，由分段函數的定義域，可求出其值域范圍，

根據集合的子集解不等式即可求解.

【詳解】當。〉2時，由指數函數的單調性得到。取值范圍為(0,7^1],此時

|,+")不成立，故舍去；

l,x<—

91

當〃=2時，/(x)=<2若xW：時，/(X)=l,

XH--,---c2,x>l一z

x2

若時，/(x)=x+|-2>2>/2-2,當且僅當x=0時，等號成立;

答案第3頁，共15頁

此時Oq1,+^j

當lvav2時，若xW；時，/(%)=(〃一1)，單調遞減，所以/⑺￡(/〃-1,+8上

若尤〉工時，f(x)=x+--2>2^-2,當且僅當％=布>!時，等號成立；

2%2

\<a<2

?>；解之可得||va<2,

即《

2AA?-2>|

綜上可知。e［不'>2］.

故選：D

9.BD

【分析】利用奇偶函數的定義、周期函數定義、軸對的性定義依次判斷ABC；求出值域判

斷D.

【詳解】對于A,函數/(x)的定義域關于數。對稱，f(-x)=|sin(-x)|+2cos(-x)=f(x),

且/(x)不恒為0,則/(x)為偶函數，不為奇函數，A錯誤；

對于B,/(尤+27i)=|sin(x+27i)|+2cos(x+27i)=/(x),f(x)的一個周期是7=2兀，B正確；

對于C,/(re-x)=|sin(7i-x)|+2COS(K-x)=|siar|-2cosxf(x),f(x)的圖象關于不對

稱，C錯誤；

對于D,當xe(0,7i)時，/(x)=sinx+2cosx=&sin(x+夕)，其中銳角。由tan0=2確定,

2

而尤+°€(夕,兀+。)，則［sm(x+e)］max=l,sin(x+o)>sm(7i+o)=-sme=一巧，

因此由選項A知，當xc(—7t,O)U(O,7i)時，/(x)e(-2,正］,

由選項B知，在定義域上/(x)e(-2,右］,于是/'(x)的值域是(-2,6bD正確.

故選：BD

10.ABD

【分析】連接QC,由線面平行的判定定理即可證明QC〃平面ABP,從而判斷A；建立

空間直角坐標系，結合空間向量的坐標運算即可判斷BD,由空間向量數量積的定義即可判

斷C.

答案第4頁，共15頁

【詳解】對A項，連接2C,故點。在線段2c上，因為AB〃口C,故2c〃平面AfP,

所以。到平面48尸的距離為定值，又因為為定值，所以四面體A8PQ的體積為定值,

A對;

對B項，如圖，取A8中點R,因為底面為一個內角60。的菱形,

所以D/?_LAB,以。為原點建系如圖，故4（也,-L2）,

設。(0,242〃),由AQ=6可得(22+1)2+(2〃-2>=2,

故。點為以S（0,-1,2）為圓心，血為半徑的圓落在正方形CD。。內的部分,

設OQ與圓交于點H,因為SH=0,SQ=1,所以/S=45。,

故點。軌跡的長度為四、應=叵，B對；

44

-----.------1------2

對C項，如圖，取48中點T,所以。7,4出，故=4,C錯;

答案第5頁，共15頁

對D項，結合B項中建系，EB=aA[B,aG[0,1],可得￡（6,1-2凡2ab

所以A上+￡Q=J8a2-8〃+4+，8〃2+5=2拒

如圖，設燈=工,3丫=巫,/3=’,燈_1/6,1/6_13丫，

242

在線段JG上取點L,設LG=a,貝|2及（總+VZ）=AE+EQ,

顯然，連接KM使得K,L,V共線，此時AE+E。有最小值

2-J2KV=20-Jg+乎=加+2廂，故D對.

故選:ABD.

11.ACD

【分析】根據題意，由相互獨立事件的概率公式代入計算，即可判斷ABC,由條件概率公

式代入計算，即可判斷D

【詳解】對A：采用3局2勝制，甲獲勝分為第一二局勝，第一三局勝，第二三局勝三種情

況，

最終甲獲勝的概率為p?+2/?。-p）=-2p3+3〃2=Q2（3-2p）,故A正確;

對B：采用5局3勝制，甲以3:1獲勝，則甲前三局勝兩局，第四局獲勝，

故甲獲勝的概率為C/（i一p”=3p3（l_p）,B錯；

對C：因為。=0.6,結合A項可知若采用3局2勝制，甲獲勝的概率為4=。648,若采用

5局3勝制，甲獲勝的概率為鳥=06+3x06x0.4+C：0.62x0.42x0.6=0.68256>々，故C

正確；

對D：因為0=0.6,結合C項可知若采用5局3勝制，甲獲勝的概率為外，

甲獲勝的條件下，比賽局數X可取值為3,4,5,

n/v-0.2163V人0.2592八八，0.20736

由條件概率公式可得：尸（X=3）=一^―,P（X=4）=--—，尸（X=5）=---

^2^2^2

故D正確.

故選：ACD.

12.372

答案第6頁，共15頁

【分析】設干=(x,y),根據向量平行、垂直關系求得^=(3,-3),進而可得結果.

【詳解】設萬=(x,y),貝!j6+c=(x-2,y+4),

若Z//3川He)，可得］,_”+4=0,解得A—

即”(3,-3),所以間=42+(一3)2=30.

故答案為：3及.

13.34-"

【分析】根據等比數列的通項公式，列出關于4和q的方程組,解方程組求得q和4,即可求得

3.

【詳解】依題意可得

q(1+q+q?)=39

，解得"：M=27,

a4(1-69+9q2)=0

故答案為：34-"

14.2

【分析】利用導數求出切線斜率和切線方程，代入兩個切點的橫坐標，利用斜率相等得到切

點橫坐標的關系，然后代入兩個切點的橫坐標得到兩個截距相等，利用截距相等，運算后得

出結論.

,

【詳解】設切點為小，2Ao-sinxo),/(^)=2-cosx0,

切線方程為：y=(2-008^0)(%-^0)+2^0-sinr0=(2-cosx0)x+x0cosx0-sinx0(*),

設切點4(占,%),切點3(%,%)，切線的斜率為上

貝U有左=2—cos%=2-cos/，即cosxj=cos%，

將切點A(玉,%),代入切線方程(*),求得切線在y軸上的截距為^cos^-si嗎，

將切點3(9,%)，代入切線方程(*),求得切線在y軸上的截距為x/os%-sin%2,

則有^cosx,-sinx,=J^CO&X2-sinx,(**)

答案第7頁，共15頁

①當馬=%+2矽1（玄wZ）時,由（**）得:

Ajcos^i-sin%i=（萬+2左萬）cos（玉+2E）-sin（玉+2kit）=（石+2E）cos^-sinxj；

所以2E-cos%=0,即cos%,=0,

所以左二2-cosX]=2；

當玄=±1時，滿足F（x）與/在A,3之間無公共點.

②當馬=一玉+2左/（ZbZ）時，由（**）得：

玉co叫-sin^=（一石+2br）cos（一石+2k叫-sin（一百+2k/）=（一%+2左乃）以）岡+sinxP

=（一%+2左乃）COSA^+si叫，

即x1cosx1-sinxj=ku-cos%③,

y=（2—cosx）x+xcosx—sinx...

''nxcosx-sinx=xcosx-sinx.，

y=2x-siwc

結合③式可知，（析，2砌是〃元）與/的公共點，且在A,B之間，該情況無解.

綜上所述，切線/的斜率為2.

故答案為：2

15.（1）證明見解析

（2）^+-=|

bc5

【分析】（1）由正弦定理將邊轉化為角可得sinC-2sinBcosA=sinB,由內角和定理和兩角

和與差的正弦公式，結合角的范圍即可求解;

3

（2）由sinB=g,6為銳角，可得sinA,由，筋0=54鉆0+5/。°結合?1=25即可求解.

【詳解】（1）由正弦定理三=占=三;,

sinAsinBsinC

可得sinC-2sinBcosA=sinB,

因為A+3+C=7l,

所以sin（A+8）—2sinBcosA=sinAcosB-sinBcosA=sin（A-B）=sinB,

因為Ae,所以A-Be

答案第8頁，共15頁

因為y=sinx在(-gqj上單調遞增，

所以A—B=B,即A=23；

3

(2)因為sin8=w，8為銳角，

424

所以cosB=—,sinA=sin2B=2sinBcosB二一,

525

依題意有S..c=^hABD+SZACD,

由(1)可知A=23,

所以gbcsinA=ge+c)xADxsinB,

123

又因為AD=1,所以石6c=布修+c),

化簡得8加=5(6+c),

兩邊同除以反可得8=5

在z118

所以六二手

16.(1)無極小值點；理由見解析

⑵

【分析】(1)求導，確定單調性即可判斷;

e,

(2)參編分類得到〃?=問題轉換成y=帆與y=恰有兩個交點，對

(X+l)2(x+1)2

v

e

y=--k求導確定單調性，極值，即可求解；

(x+l)-

【詳解】⑴依題意可得/'("=e￡—2機(x+1),

m=~>故/''(x)=e，'-(x+1),

設g(x)=/'(x)，貝(lg'(x)=e*-l,

,.,x>O,;.g'(x)>g'(O)=O,

在(0,+“)上單調遞增,

.?"'(x)>/''⑼=0,

\/(X)在(。,+e)上單調遞增，無極小值點;

答案第9頁，共15頁

(2)令〃x)=0,可得加二;一-7,

(x+1)

所以y=相與y=7一/恰有兩個交點，

(x+1)

設〃(十仁,則〃(小若￥

令〃(x)=0可得x=l,

當0<x<l時，〃(x)<0；當尤>1時，//(x)>0,

.?./7(X)在(0,1)上單調遞減，在(1,y)上單調遞增

.-.A(x)>/t(l)=|,

,當x->0時，當x-+s時，

???加的取值范圍是u

17.(1)證明見解析

⑵2

【分析】(1)先利用線面平行的判斷定理與性質定理證明M//E月,再利用面面平行的性

質證明AE"/AE,從而可得四邊形AE￡；4為平行四邊形；

(2)取CD的中點。,連接OR,,以。為坐標原點，直線OA,OC,OD,分

別為x軸，>軸，z軸建立空間直角坐標系，設￡(0,r,0)(-l<r<l),求出平面

AE&4的法向量與平面A與，的法向量，利用空間向量夾角公式列方程求出/=；,從而可

得答案.

【詳解】(1)因為AA}HDDX,平面CCRD,44]<z平面CCRD,

所以AX】//平面CCQQ.

又知u平面AEE]A,平面AE&Ac平面CCQQ=Eg,

所以4V/E&.

因為平面ACD//平面，平面AEEJAC平面,平面AEE；Ac平面

答案第10頁，共15頁

ACD=AE,所以AE"/AE,

所以四邊形AEE{\為平行四邊形.

(2)如圖，取C。的中點0,連接OR，OA,

由CD=DD=2及NC￡?2=60。，得ACDZ),為等邊三角形，所以OD,±CD,

又平面CGR￡>_L底面AC￡),OQu平面CCRD,

所以ODJ底面ACD,因為。4u底面ACD,從而OQ，OA；

由ADLAC及AD=AC,得AACD為等腰直角三角形，

所以Q4LC。.

以0為坐標原點，直線OAOC,分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系。-孫z,

如圖所示，

則(9(0,0,0),A(l,0,0),C(0,1,0),D(0,-l,0),R(0,0,也)，

則可=西=(0,1,道)；設E(0j,0)(—1<芯1),則荏=(一1/0).

y+A/3Z=0

設平面AEEtAt的法向量為諭=(x,y,z),由22，得

m-AE=Q-x+fy=0

取y=A/3,則，力=(^/§?,指,-1).

福=(-1,0，⑹,啊=職+醞=9+配=(1,1,0)+(0,2,0)=(1,3,0),

/\為，AZ).=0[-a+也c=0

設平面ABQ的法向量為五=a,b,c,由」得"十二"'

丹?￡>]耳=0|a+36=0

取a=3,貝U為二(3,-1,6).

答案第11頁，共15頁

|m-n|卜碼3

所以|cos防n\=

網同43t2+4.岳13

整理得27產-3%+10=0，

J.

101DFi+o

解得/=當(舍去)或t，此時R;=T=2

93EC

3

18.(1)0,2,4,6,8

7

⑵唳=4)=五

⑶可以認為該品酒師的酒味鑒別功能優秀，理由見解析

【分析】(1)根據已知條件即可求解；

(2)用(4%%，%)表示L2,3,4的一個排列，由古典概型概率公式可得對應概率;

(3)由題意分別得到X=0,2時的概率值，即可判斷.

【詳解】(1)在1,2,3,4中，奇數和偶數各有兩個，所以出，%中奇數個數等于％，生中偶

數個數,

因此口-蜀+3-蜀與R—%|+|4|的奇偶性相同,

從而乂=|1-旬+|2-%|+|3-匈+|4-甫必為偶數，又X的值非負，且其值不大于8,

所以X的所有可能取值有024,6,8；

(2)用(4,%,%,%)表示123,4的一個排列，則當X=4時，所有可能的情況如下:

X=l+1+1+1=2+2+0+0=2+1+1+0,

若X=1+1+1+1,則(％,%,%,4)=(2』,4,3),

若X=2+2+0+0,則3,%%,&)=(1，4,3,2),或(％,%,03MJ=(3,2,1,4),

若X=2+l+l+0,貝!!(o1M2,%,%)=(3,1,2,4),或

或(4,4,%,%)=Q,3』,4),或(&%,g,%)=。,3,4,2),

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故「(X="=戀=9；

(3)依題意可得尸(X=0)=(,

當X=2時，X=l+l+0+0,

答案第12頁，共15頁

則(q,%,03M4)=(2,1,3,4),或(q,%,%,%)=(1,2,4,3),

或(41，%,%,%)=(1,3,2