專題13導數的概念及運算（九大題型+模擬精練）

01題型歸納

目錄：

?題型01變化率問題

?題型02導數定義中簡單的極限運算

?題型03求某點的導數（切線斜率）

?題型04求切線方程

?題型05已知切線求參數（范圍）

?題型06兩條切線平行、垂直、重合（公切線）問題

?題型07切點、切線有關的其他問題

?題型08導數的運算

?題型09抽象函數的導數綜合

?題型01變化率問題

1.（2024高三?全國?專題練習）如果質點A運動的位移S（單位：m）與時間/（單位：s）之間的函數關系

2

是5（。=-］，那么該質點在"3s時的瞬時速度為（）

2222

A.----B.—C.----D.—

3399

【答案】D

【分析】根據瞬時變化率的定義求解即可.

22

［解析］竺=S（3+A,_S⑶=-3+加+§=2,

AzAr3（3+A。

AS「1212

所以hm——=lim----------=—.

）八小卜一0zA-。［3（3+A。」9

故選：D.

2.（23-24高二下?河南洛陽,階段練習）函數y=?在區間［1,4］上的平均變化率為（）

,135

A.-B.—C.-D.3

353

【答案】A

【分析】

直接利用平均變化率的定義求解.

【解析】

設“X）=&,則函數y=?在區間［1,4］上的平均變化率為〃?一;⑴=g.

故選：A.

3.（23-24高二下?重慶?期中）某物體的運動方程為s?）=4f+2（位移單位：m,時間單位：s）,若

v=lims（3+A，）s（3）=24m/s，則下列說法中正確的是（）

At-加

A.24m/s是物體從開始到3s這段時間內的平均速度

B.24m/s是物體從3s到（3+A/）s這段時間內的速度

C.24m/s是物體在3s這一時刻的瞬時速度

D.24m/s是物體從3s到（3+Af）s這段時間內的平均速度

【答案】C

【分析】根據瞬時速度的定義即可得解.

【解析】由v=lims（3+-）-s（3）=24m/s,

Az

可知，24m/s是物體在3s這一時刻的瞬時速度.

故選：C

?題型02導數定義中簡單的極限運算

4.（2024高二下,全國?專題練習）已知（（%）=a,則1加以包士型二也金立的值為（）

…。2Ax

A.-2aB.2a

a

C.ciD.一

2

【答案】B

【分析】由導數的定義變形即可求解.

［解析］lim3Ar）=2lim3Ax）=21（％）=2a.

-f。2Ax―—。4Ax

故選：B.

5.（22-23高二上?陜西咸陽?階段練習）已知函數〃x）在x=x°處的導數為6，則lim上

Ax->02Ax

A.-3B.3C.-6D.6

【答案】A

【分析】根據已知條件及函數在彳=無。導數/（毛）=6的定義即可求解.

【解析】由題意得函數f（x）在x=%處的導數/'（為）=6

Hm=_j_lim“X。-詞-/伉）

-2Ax2以一。-Ax

故A項正確.

故選：A.

6.（22-23高二下?陜西渭南?期中）若函數>=/（尤）在x=2處的瞬時變化率為lim孚,

-Ax

—=/（2+AX）~/（2）=4+Ar,貝上八2）=（）

AxAx

A.2B.4C.2+AxD.4+Ax

【答案】B

【分析】

根據導數的定義，直接代入求值.

【解析】根據導數的定義可知,

:（2）=lim+⑵=]im（4+Ax）=4.

''Axfo/丫Ax->o、"

故選：B

7.（23-24高二上?河北石家莊?期末）設/（x）是可導函數，且=則（⑴=（）

Ax-0A%

A.2B.1C.-ID.-2

【答案】B

【分析】由導數的定義計算即可得出結果.

【解析IlimM+SMT⑴-AW3一川）二2,

心—°AxAX->O3Ax

…/(l+3Ax)-/⑴2

團lim一,

1一。3Ax3

0r(1)=lim=lim/(^3M-/(1)=2

Axf0Ax…。3Ax3

故選：B

?題型03求某點的導數(切線斜率)

8.(21-22高二下?北京通州?期中)已知函數力⑺，力(x),力(x),力(力,它們在平面直角坐標系中的圖

象如圖所示，則如伉),力'(%)，象⑺,象伍)的大小關系是()

A.4'(4)＞力'(％)＞力'(%)＞方'(%)

B.工'(5)＞力'(％)＞力'(％)＞力'(尤。)

C.方(%)＞斤(%)＞。(%)＞。(飛)

D.工'(七)＞力'(尤0)＞力'(尤0)＞力'(尤o)

【答案】A

【分析】根據導數的幾何意義，畫出各個函數圖象在x=x。處的切線，根據切線的斜率來判斷即可.

【解析】依次作出/(無)，力⑺，力⑺，力(力在了=無。的切線，如圖所示：

根據圖形中切線的斜率可知工'(%0)>為'(%)>為'(x0)>力'(九0).

故選：A.

9.(22-23高三上?上海浦東新?期中)若外”為可導函數，且理"JR"⑴則過曲線y=〃x)上

點處的切線斜率為.

【答案】2

【分析】直接根據導數的定義計算得到答案.

【解析】尤)-/⑴=一1,故左二尸⑴二lim"l_2x)_"l)=2.

x->o4xxfo-2x

故答案為：2

10.(2024高三.全國?專題練習)已知函數f(x)=x(xT)?(x-2)??…(x-100),則尸(0)=.

【答案】1X2X3X---X99X100.

【分析】根據函數/(X)在x=x。處的導數的定義即可求解.

［解析］八。)=扁△山”)=1汕醺3T)3一2)…3一必)一°

—Ax-Ax

=lim(Ar-l)-(Ax-2)..…(Ax-100)=(-1)(-2)..…(-100)=lx2x3x---x99xl00.

故答案為：1X2X3X---X99X100.

?題型04求切線方程

1L(2024?全國?模擬預測)函數〃x)=x-co少的圖象在x=0處的切線方程為.

【答案】x-y-l=O

【分析】先求解出導函數，然后計算出x=0時的導數值和函數值，可得切線的點斜式方程，再化為一般式

方程即可.

【解析】由題意，得/'（x）=l+sinx,所以（（0）=1,

X/(O)=-1,所以切線方程為y-(—l)=b(x—0),即為x-y-l=0,

故答案為：x-y-l=0.

12.（23-24高三上?北京?階段練習）曲線y=F7在點處的切線方程是

【答案】4x+4y—5=。

【分析】根據導數的幾何意義，結合直線點斜式方程進行求解即可.

［解析］y==y=-，

所以曲線y=在點處的切線的斜率為一1號

所以方程為y-g=-[x-；]=4x+4y-5=0,

故答案為：4x+4y-5=0

/、[Inx,x>2,

13.（2023?全國?模擬預測）過原點與曲線/（元）=2；相切的一條切線的方程為.

【答案】y=2x或、=-2元或y='x（寫出其中一條即可）

【分析】根據曲線y=Y+l,x<2表示拋物線的一部分，設其切線方程為，=入，利用判別式法求解；設

〃x）=lnx,xN2的切線的切點為戶（4,幾），利用導數法求解.

【解析】解：設曲線，=必+1,》<2表示拋物線的一部分,

設其切線方程為>=依，代入y=/+l,

得f一日+1=0.由A=/-4=0,得左=±2.

當上=2時，x=l,符合題意，

當上=-2時，x=-l,均符合題意，

所以切線方程>=±2九

設〃x）=lnx,xN2的切線的切點為戶（x°,幾）.

由尸（x）=L得/'（%）=,，y0=lnx0,x0>2,

X玉）

1

得切線方程為y=-x.

%

將P（4,幾）的坐標代入切線方程，得%=1,

所以x()=e,所以切線方程為丁='九

e

故答案為：y=2x或>=-2尤或y=』x(寫出其中一條即可)

e

?題型05已知切線求參數(范圍)

14.(22-23高三上?山東臨沂?期中)若直線y=2x+q+l是函數〃x)=x+hu的圖象在某點處的切線，則實

數°=.

【答案】-2

【分析】利用/'(力=2求得切點坐標，代入切線方程，從而求得

【解析】令/(司=1+[=2,解得x=l,所以切點為(1,1),

將(1,1)代入切線>=2尤+0+1得1=2+。+1,。=-2.

故答案為：-2

15.(23-24高二上?廣東深圳?期末)若曲線y=(尤-a)e*有兩條過點(1,0)的切線，則。的取值范圍是.

【答案】(一8,1)(5,+8)

【分析】先利用導數求曲線y=(x-a)e"過坐標(L0)的切線方程，再列出關于“的不等式，進而求得。的取

值范圍.

【解析】由y=(x-a)e，得曠=(x—a+l)e",設切點坐標為(如(％-a)e為),

則切線斜率無=小-4+1)研，

<0A

切線方程為y-(x0-a)e=(x0-a+l)e°(x-x0),

又因為切線過(1,0),所以0-(x0-a)e*。=(x0-a+l)e&(l-/)，整理得看一(a+l)尤0+2。-1=0,

又曲線有兩條過坐標原點的切線，所以該方程有兩個實數解，

所以A=S+l)2-4(2a-l)>0,解得a<1或a>5,

所以。的取值范圍是(一°°,1)(5,+功，

故答案為：(-81)(5,+8).

16.(23-24高三下?全國,階段練習)若存在過原點的直線與函數〃對=，-2依人￡的圖象切于丁軸右側，

則。的取值范圍是()

A.f；

B.

C.(l,+oo)D.2，+C°

【答案】D

【分析】

先求得_f（x）=N+（2-2a）x-2a]e"設切點為?>0）,根據（⑺=乎，列出方程，得到

?+（l-2?）r=0,結合方程的根t=2a—1>0,即可求解.

【解析】

由函數/（X）=（%2,可得了'（%）=[爐+（2-2〃卜一2a]e*,

設切點為9,/（。）《>0）,可得-卜）=?，即r+（2_2a）f_2a=/_2a,

整理得，+（1—2a），=0,解得，=2a—l或，=0（舍去），

因為存在過原點的直線與函數“力=（/-2ox）e”的圖象切于y軸右側，

所以/=2。一1>0,解得〃>g,即實數r的取值范圍為

故選：D.

17.（22-23高二下?陜西西安?期末）若曲線/（x）=j有三條過點（0,。）的切線，則實數。的取值范圍為

【答案】（o,44）

e

【分析】構造新函數〃G）=E,利用導數求得其單調性和極值，進而求得實數。的取值范圍.

e

【解析】設點尸伉,為）為曲線〃》）=吃上一點，則〃％）=多

ee0

又/（x）=[7『=h，則〃*=黃，

則曲線〃x）=g在點尸（5,%）處的切線方程為

y-殺=F（x-x。），又切線過點（°，“），

則。-今=q（r°）,即。=工

「2xex-x2exx（2-x）

令/）=5,則“⑶=（e，==F^，

貝!JxvO時hr(x)<0,加?單調遞減；

0<%V2時〃(%)>0,h(x)單調遞增；

x>2時h\x)<0,單調遞減，

4

則x=0時h(x)取得極小值力(0)=0,%=2時h(x)取得極大值h(2)=—,

e

4

又fi(—l)=e>F=h(2),

e

尤2

當％>0時，/z(x)=—>0恒成立，X-+8時，h(x)->0,

ex

又由題意得方程a有3個根，

4

則y=a與y=〃(x)圖像有3個交點，貝打€(0,二).

則曲線〃x)=三有三條過點(0,?)的切線時實數a的取值范圍為(0,2).

故答案為：(0,—)

?題型06兩條切線平行、垂直、重合(公切線)問題

18.(22-23高二上?陜西西安?期末)若曲線yWnx+V+i在點(1,2)處的切線與直線x+ay-1=0垂直，則實

數。的值為()

A.-4B.-3C.4D.3

【答案】D

【分析】根據導數的運算公式以及切線的幾何意義求解.

【解析】因為yulnx+V+l,所以y'=，+2x,

X

當X=1時，W=3,

所以曲線y=ln尤+/+1在點(L2)處的切線的斜率等于3,

所以直線x+沖-1=。的斜率等于-g,

即一!=-：,解得〃=3,

a3

故選:D.

19.(2023?山西?模擬預測)已知函數/(%)=(。-3)/+(。-2)*2+(。-1卜+。若對任意與?1<,曲線y=〃x)

在點(飛J(飛))和(一%"(-5))處的切線互相平行或重合，則實數。=()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】求得/'("=3(。-3)f+2(4-2)x+。-1,根據題意轉化為y=_f(x)為偶函數，即可求解.

【解析】由函數〃%)=(4-3)1+(。-2)尤2+(a-\)x+a,

可得尸(x)=3(a-3)x?+2(。-2)x+a-1,

因為曲線y=/(x)在點a，/5))和(-%,〃-％))處的切線互相平行或重合，

可得y=f'(x)為偶函數，所以4—2=0,解得4=2.

故選：c.

20.(21-22高三?江西?階段練習)若函數/(無)=3x+--3(尤>0)的圖象與函數g(x)=tre，的圖象有公切線/,

且直線/與直線>=-;x+2互相垂直，則實數/=()

A.—B.e2C.一或2>/^D.—或4人

eee

【答案】D

【分析】根據垂直性質可得勺=2,再求導根據導數的幾何意義可得切線/的方程為y=2x-l,再設函數

g(x)=txe與直線/切于點(如為),列式求解即可

【解析】由題知，勺=2,令/(x)=3-：=2,又x>0,解得x=l,因為/'(1)=1,所以切線/的方程為

y=2x—l.g\x)=t(x+l)ex,

設函數g(x)=ixe*與直線/切于點［,%),

%_二1=走而

2尤0-1=%1。%

所以

2=z(x+l)e"'2%’

0----=作與

飛+1

2%—12O%=1X=--

J或。2.

即一^=17，2xl-xo-l=O,解得<

X。%+1et=4Je

故選：D

?題型07切點、切線有關的其他問題

21.（23-24高三上?山西?階段練習）過點（2,0）作曲線）（力=職工的兩條切線，切點分別為（％,”％））,

（/孫〃/%）），則：1+丁1=（）

A1A2

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【分析】求出導函數，設出切點坐標，利用導數幾何意義建立斜率方程，利用韋達定理化簡計算即可.

【解析】由題意得尸（彳）=（彳+1戶，過點（2,0）作曲線/（x）=xe"的兩條切線，

設切點坐標為貝即（其-2飛-2上=0,

%—2

由于e*>0,故無;—2%—2=0,A=12>0,

由題意可知不，々為龍：-2%-2=。的兩個解，則%+%2=2,尤々1=-2,

%+%二：］

故選：B

22.（2024,云南楚雄,模擬預測）曲線〃x）=x3-lnx在點（1"（1））處的切線與坐標軸圍成的圖形的面積

為.

【答案】1/0.25

【分析】先求出切線方程，后求圍成的三角形面積即可.

【解析】易知Ax）的定義域為xe（0,+8）,而/⑴=1,故切點為（U）,

設切線斜率為3且廣。）=3無2一工，故左=尸（1）=3-1=2,

X

切線方程為》T=2（x-l）,化簡得y=2x-l,

當y=0時，x=l,當*=0時，y=-l,

2

易知圍成的圖形是三角形，設面積為S,^S=|xlx|-l|=1.

故答案為：—

4

?題型08導數的運算

23.(23-24高二下?廣東?階段練習)求下列函數的導數

(1)y=exsinx-cosx

(2)y=tanx+ln(—x)

xx

(3)y=x-sin—cos—

..ln(l-x)

⑷片十

【答案】(1)y=e%(sinx+cosx)+sinx；

11

,1

(3)y=1——cosx；

1+(1-x)ln(l-x)

(4)y=-

(1-X)QX

【分析】(1)(2)(3)(4)利用求導公式、導數的運算法則求解即得.

【解析】(1)y'=(exsinx)r-(cosx\=e"sinx+ex(sinx)r+sinx=ex(sinx+cosx)+sinx.

/_、sinxi、mi,cos2x-sinx(-sinx)111

(2)y=----+ln(-x),則y=-----------------+—?(z―%)=—z—+-.

cosxCOSX-xCOSXX

(3)y=x-^sinx,貝(Jy=1—Jcosx.

(4)廣_占,”")?_山(1_力^_占7n(Lx)l+(lT)m(17)

?(ex)2e'(1)/

24.(23-24高二下?重慶?階段練習)下列求導運算正確的是()

C.(22xy=22x+ID.(YcosJ=-2xsinx

【答案】B

【分析】對于A：根據導數的加法法則運算求解；對于B：根據導數的除法法則運算求解；對于C：根據復

合函數的鏈式法則運算求解；對于D：根據導數的乘法法則運算求解.

【解析】對于選項A：L3+-^=3X2-4-故A錯誤;

Vx)x

對于選項B：(g)[四豆二業=上色，故B正確；

VxJx2x2

對于選項C：(22X=2x22XXIn2=In2X221c+l^故C錯誤；

對于選項D：(尤2cosx)=(x?)cos尤+尤2(cosx)=2xcosx-x2sinx，故D錯誤；

故選：B.

25.(23-24高二下?北京?期中)下列導數運算錯誤的是()

A.f(x)=xcx,則〃x)=(x+l)e*B./(x)=siny,則:⑺=cos4

C.f^x)=4x,則/D.〃尤)=F，則.(x)J

【答案】B

【分析】根據求導法則，求導公式逐個選項計算即可.

【解析】A選項，/(x)=xer,則/(力=(尤)&+天(1)=1+》/=(》+：1)d,A正確;

B選項，f(x)=sinj,f⑺=,哈)=0,B錯誤；

11--1

C選項，=y[x=(X)2,/'(')=5%2=云4，C正確；

D選項，〃到=皿，⑴=皿1上吧包=匕皿，口正確.

X」X2X2

故選：B

?題型09抽象函數的導數綜合

26.(23-24高二下?重慶?期中)已知函數〃x)及其導函數g(x)的定義域均為R,〃x+l)與g(x)均為偶函

2024

數，且/(0)=1,則＞])=()

k=0

A.2025B.2024C.1D.0

【答案】A

【分析】根據條件得到/■(尤)=/(2-尤)，/(x)+/(-x)=2,從而得出函數F(尤)是周期為4的周期函數，再根

據條件得到/(0)+/(D+/(2)+/(3)=4,即可求出結果.

【解析】因為〃x+1)是偶函數，所以關于直線x=l對稱，即〃x)=/(2-x),

由題知g(x)=r(x),又g(x)是偶函數，所以g(-x)=g(x),

貝ur(x)=f[-x),貝u/(%)=-/(-%)+c,

又“0)=1,所以"(0)=c,得到C=2,

所以/'(*)+/(-尤)=2,又由f(x)=〃2—x),得到/(-x)="2+x),

所以/(x)+/(2+x)=2①，/(2+x)+/(4+x)=2②，

由①②得到/(x)=/(x+4),所以函數〃x)是周期為4的周期函數，

由①得到/(1)+〃3)=2,又/(0)"(2)=1,所以〃0)+/(1)+〃2)+門3)=4,

2024

故2〃左)=506(/(0)+/(1)+/(2)+/(3))+/(2024)=4x506+/(0)=2024+1=2025,

k=0

故選：A.

27.(2024?山東?二模)已知〃無)為定義在R上的奇函數，設尸(力為〃尤)的導函數，若

f(x)=f(2-x)+4x-4,貝葉'(2023)=()

A.1B.-2023C.2D.2023

【答案】C

【分析】根據〃X)=〃2T)+4X-4進行((x)奇偶性和周期性的推導，得到廣⑺是周期為4的偶函數,

從而算出((2023)的值.

【解析】因為/(x)=/(2-x)+4x-4,所以兩邊求導，得((尤)=一「(2-幻+4,

即尸(x)+尸(2_月=4①

因為為定義在R上的奇函數，則〃T)=-/(X),

所以兩邊求導，得尸(》)=/(-所以/(X)是定義在R上的偶函數，

所以「(2-x)=「(x-2),結合①式可得，-。)+-。-2)=4,

所以((無一2)+((》-4)=4,兩式相減得，/(x)=f(x-4),

所以/'(X)是周期為4的偶函數，

所以((2023)=尸(-1)=八1).

由①式，令x=l,得/⑴=2,所以/'(2023)=/⑴=2.

故選：C.

28.(2024?河南周口?模擬預測)已知函數;'[x+g]是定義在R上的奇函數且在R上可導，若

/（2—力一/（2+x）+4x=0恒成立，貝lJf'（2024）=（）

A.-2B.0C.1D.2

【答案】D

【分析】借助復合函數的導數計算與函數奇偶性的性質可得函數（（x）的周期性，結合賦值法計算即可得解.

【解析】由/（2—力一/（2+x）+4x=0,W-/，（2-x）-f，（2+x）+4=0,

即廣（2-同+/（2+*=4,

由函數小+為奇函數,故小+=

則一（一1）=廣卜+m’

貝了（工+2）=-"1）=4_/卜+2）,

即/（%-1）+/（x+2）=4=r（x+2）+r（x+5）,

BPr（x-l）=r（x+5）,故廣（X）為周期為6的周期數列，

故f（2024）=/（6X337+2）=/,（2）,

對r（2-x）+r（2+x）=4,令尤=0,有2r⑵=4,即廣⑵=2,

故廣（2024）=尸（2）=2.

故選：D.

29.（23-24高三下,內蒙古赤峰,開學考試）己知定義在R上的函數〃2x+2）為奇函數，且對WxeR,都有

/+=定義在R上的函數尸（x）為的導函數，則以下結論一定正確的是（）

A./（x+2）為偶函數B.=

C.OOD.尸（x）為偶函數

【答案】D

【分析】利用奇偶對稱性、周期性以及復合函數求導法則即可判斷各項正誤.

【解析】對于選項A,因為/（2x+2）為奇函數，所以析（一2x+2）=—f（2x+2）,則有x+2）=-〃x+2）,

故/（x+2）為奇函數，故A錯誤;

對于選項B,因為/[+￡|=(|一^,所以〃=+；卜/=/(f+2),

又〃r+2)=-“x+2),故〃x)=-/(x+2)=/(x+4),即函數〃x)周期為4,

則"3=z[l-4h/卜』手電)，故B錯誤；

對于選項C因為/(-x+2)=-/(x+2),所以"(f+2)]=[-〃龍+2打，

即-f'(-x+2)=-f'(x+2),即/'(-尤+2)=/f(x+2).

因為〃x)T(x+2),所以廣(x)f(x+2)f(T+2),

所以電m+2)—'圖”圖,故C錯誤；

對于選項D,由選項C可知，r(-%+2)=r(x+2),所以/'(x)為偶函數，故D正確.

故選：D

30.(2024?江西鷹潭?一模)已知函數〃尤)，g(x)的定義域為R,g'(x)為g(x)的導函數,且

2023

y(x)+g'(x)-8=0,/(x-2)-g,(6-x)-8=0,若g(x)為偶函數，求￡”“)=.

n-\

【答案】16184

【分析】先利用復合函數的導數與g("的奇偶性判斷g'(x)的奇偶性，進而推得g'(x)與"X)的周期性，再利

用賦值法求得/(2),/(4),/(1)+/(3)的值，從而得解.

【解析】因為g(x)是偶函數，則g(T)=g(x),

兩邊求導得-g'(r)=g'(x),所以g'(x)是奇函數，故g'(0)=。,

由/(x)+g'(x)-8=0n/(x-2)+g〈x-2)-8=0n/(x-2)=8-g'(x-2),

代入/(*一2)—g'(6—尤)一8=0,得8—g'(尤一2)-g'(6-x)-8=0,

貝Ug'(x-2)+g'(6—x)=。，所以g'(尤+4)+g'(r)=0,

又g'(x)是奇函數，所以g'(x+4)=-g'(-x)=g'(x),

所以g'(x)是周期函數，且周期為4,

又/(x)+g'(元)-8=0,可知/(尤)也是以4為周期的周期函數，

令x=4,得/(4)+g'(4)-8=/(4)+g'(0)-8=0,故/(4)=8,

而g'(2)=g'(2-4)=g，(-2)=-g，(2)所以g'(2)=0,

令x=2,得〃2)+g'⑵-8=0,則/(2)=8,

而/(l)+g'(l)-8=0,/(3)+g'(3)—8=。，

又g'(3)=g'(-l)=-g'(l),則/(1)+/(3)=16,

2023

￡/(?)=505"⑴+/(2)+/(3)+/(4)]+/(1)+/(2)+/(3)

n=l

=505x(8+16+8)+(8+16)=16184,

故答案為：16184.

【點睛】結論點睛：函數的對稱性與周期性：

(1)若/(x+a)+/(—x+6)=c,則函數/(尤)關于中心對稱;

(2)若=+6),則函數““關于》=等對稱；

(3)若/(x+a)=〃尤-。)，則函數的周期為2a；

(4)若/(x+a)=—/⑺,則函數的周期為2a

02模擬精練

一、單選題

1.（2021?湖南永州?三模）若某物體做直線運動，路程S（單位：m）與時間"單位:s）的關系由函數s?）=入

2

表示.當f=2s時，該物體的瞬時速度v為--m/s,則當r=6s時，該物體行駛的路程為（）

e

A.2/B.4/6C.2”D.

【答案】D

【分析】首先求出函數的導函數，再根據導數的物理意義求出參數上的值，即可求出函數解析式，再代入即

可；

,1-L2

【解析】解：因為S⑺=*/?，所以S'（f）=-：He2,因為當t=2s時，該物體的瞬時速度v為-^m/s,所

以S〈2）=-gheT=-j,解得％=4,所以s（f）=4/，所以S（6）=4/

故選：D

2.（2024?福建?模擬預測）已知直線）=丘+。既是曲線丁=111%的切線，也是曲線丁=-皿-%）的切線,則（）

A.k=~,b=0B.k=l9b=Q

e

C.k=—,b=-lD.k=l,b=-l

e

【答案】A

【分析】設出切點，寫出切線方程，利用對應系數相等建立方程，解出即可.

【解析】設直線與曲線y=lnx的切點為（&ln占）且占＞0,

與曲線y=-ln（-x）的切點為（無2,Tn（-9））且/＜。，

xy=（inx）=J,y=[-in（-x）]=-I，

則直線廣區+萬與曲線y=ln無的切線方程為y-ln玉=—（x-xj,即、=^^+111%-1,

%xl

直線＞=履+）與曲線y=-ln（-%）的切線方程為y+in（-%2）=-不（%-％2）,即y=-—x+\-]n（-x2）f

11

則《—玉=--x-2，解,,得1M=e，故七‘=一l=l一',/?1=In再—1y=0八,

]nx「l=l-ln（F）民二-e%e

故選：A.

3.（2024?黑龍江?二模）函數〃x）=|刃+1在尸_1處的切線方程為（）

A.y=4x+6B.y=-2x+6

C.y=-3x-3D.y=-3x-l

【答案】D

【分析】當x＜0時/（尤）=-丁+1,利用導數的幾何意義求出切線的斜率，再由點斜式求出切線方程.

【解析】因為〃司=何+1,則｛I）士1,+1=2,

當x＜0時〃力=一丁+1,則〃x）=—3f,所以（（_I）=_3X（_1）2=_3,

所以切點為（-1,2）,切線的斜率為-3,

所以切線方程為y-2=-3（x+l）,即y=-3x-l.

故選：D

4.（2024?遼寧大連一模）斜率為1的直線/與曲線＞=ln（x+a）和圓V+yJ；都相切，則實數。的值為（）

A.0或2B.—2或0C.—1或0D.0或1

【答案】A

【分析】設直線/的方程為＞=x+6,先根據直線和圓相切算出6,在根據導數的幾何意義算以

【解析】依題意得，設直線/的方程為y=x+6,

由直線和圓r+yJ：相切可得，,''2=—,解得6=±1,

271+(-D2

當b=1時，y=%+l和y=ln(x+a)相切，

設切點為(加,〃)，根據導數的幾何意義，一1—=1,

m+a

n=Q

n=m+1

又切點同時在直線和曲線上，即解得m=-l,

a=2

即y=x+l和y=ln(x+2)相切，此時將直線和曲線同時向右平移兩個單位，

y=x-l和y=lnx仍會保持相切狀態，即/＞=-1時，a=0,

綜上所述，。=2或。=0.

故選：A

5.(2024?全國?模擬預測)若直線與曲線yulog。％(。＞0且無公共點，則實數。的取值范圍是

()

A.(l,e)B.l,e?D.ee,+oo

\7

【答案】D

【分析】由。＜“＜1時，易知直線y=x與曲線y=log"％必有一個公共點，當時，由直線與曲線相切,

利用導數法求得“一藍，再由圖象位置判斷.

CL-C

【解析】解：當0＜。＜1時，直線尸X與曲線y=10g〃x必有一個公共點，不合題意,

當行時’若直線與曲線相切‘設直線與曲線尸bg/相切于點(%,%),則4=i,得.=占

由切點在切線上，得%=%0=；---,

Ina

由切點在曲線上，得％=loga%0=log〃e,

Ina

所以/=e，〃=■

如圖所示:

y)

/e,e）

/n"

故當直線丁=龍與曲線"log。》（a>0且"1）無公共點時，fl>el.

故選：D

【點睛】思路點睛：0<。<1時，由y=x單調遞增，y=log,％單調遞減容易判斷；時，利用導數法研

究直線與曲線相切時G的值，再根據對數函數在第一象限內隨底數。的增大，圖象向x軸靠近而得解.

6.（2024?江蘇?模擬預測）貝塞爾曲線（Beziercurve）是應用于二維圖形應用程序的數學曲線，一般的矢量

圖形軟件通過它來精確畫出曲線.三次函數/'（X）的圖象是可由A,B,C,。四點確定的貝塞爾曲線，其中

A,。在的圖象上，f（x）在點A,。處的切線分別過點8,C.若A（0,0）,,C（2,2）,0（1,0）,

則〃x）=（）

A.5%3—4x?—尤B.3%3—3JC

C.3x3—4x~+xD.3%3—2尤2—尤

【答案】C

【分析】由題意設出函數表達式，結合函數值、切線斜率建立方程組，待定系數即可得解.

【解析】設=加+cx+d,貝U/'（x）=3ar2+2bx+c,

/(。)="=0

f^=a+b+c+d=0a—3

b=-4

由題意，/⑼=c=U=L，解得‘c_],所以/(%)=3九一4%2十%

2—0d=0

f(l)=3a+2/?+c=2_1=kDC

故選：C.

7.（2024?海南海口?二模）已知函數〃x）的定義域為R,/（x+1）是偶函數，當尤時，/（x）=ln（l-2x）,

則曲線y=〃x）在點（2,〃2））處的切線斜率為（）

C.2D.-2

【答案】C

3

【分析】根據函數對稱性求出尤時的/'(尤)解析式，利用導數的幾何意義求解.

【解析】因為/(X+1)是偶函數，所以函數/(X)的圖象關于X=1對稱，則/(2-X月(r),

31

當%>一時，2—x<—,

22

;./(2_尤)=111[1_2(2_尤)]=ln(2尤一3),

7

.-./(x)=ln(2x-3),貝|]/(尤)=,

2x~5

二.廣(2)=2,即曲線y=外力在點(2,/(2))處切線的斜率為2.

故選：C.

8.(2024?黑龍江哈爾濱?模擬預測)設〃x)=sinx,4(x)=(x),力(x)=?x),,，篇(力=歌(同,則

型口等于()

AnR百rG-1nJ_

222

【答案】A

【分析】根據題意分析可知：可知力+4(x)=/,(x),且工(x)+力(x)+力(x)+力(x)=0,結合周期性分析求

解.

【解析】由題意可得：fi(X)=cosx,f2(x)=-sin%,f3(x)=-cos無，力(x)=sinx,f5(x)=cos尤，

可知力+4(x)=Z,(x)，且工(x)+,(x)+力(x)+/(x)=0,

2024()

且2024=506x4,所以?[尖=。.

故選：A.

二、多選題

9.(2021?廣東?模擬預測)某地下車庫在排氣扇發生故障的情況下測得空氣中一氧化碳含量達到了危險狀態,

經搶修排氣扇恢復正常，排氣4分鐘后測得車庫內的一氧化碳濃度為64ppm,繼續排氣4分鐘后又測得濃

度為32ppm.由檢驗知該地下車庫一氧化碳濃度y(單位：ppm)與排氣時間f(單位：分)之間滿足函數關

系>=/(力，其中號=R(R為常數).若空氣中一氧化碳濃度不高于0.5ppm,人就可以安全進入車庫了，

則下列說法正確的是（）

1

A-R=e，

?In2

B.R=--------

4

C.排氣12分鐘后，人可以安全進入車庫

D.排氣32分鐘后，人可以安全進入車庫

【答案】BD

【分析】

由已知嘿=氏，找到函數模型，通過待定系數法得到函數解析式，再解不等式即可.

【解析】

因為務=氏，所以/（力=。?小（。30）符合要求.

［〃叱=64

Itz-e8/?=32

解得R=--，a=128,故B正確，A錯誤.

4

In2

f?）=128eF'

In2i

當f?）40.5時,即128「7＜0.5,得e4

所以-半Kin上，即出一41n2-s=32,所以排氣32分鐘后，人可以安全進入車庫，故D正確，C

4256In2

錯誤，

故選：BD.

10.（2024?山東濟南?一模）己知函數八月=￡：0$3+夕）］。＞0,。＜。＜5］的圖象在丫軸上的截距為3，合是

該函數的最小正零點，則（）

兀

A.（p=—

3

B.〃x）+r（x）W2恒成立

C.在J［上單調遞減

D,將y=/（￡）的圖象向右平移