第13講二次函數［2大考點12大題型】

【題型1由二次函數解析式及圖象判斷頂點坐標、對稱軸及增減性】

1.(2024?四川樂山?中考真題)己知二次函數y=/—2x(—1wxwt—i),當工=一1時，函數取得最大值；

當工=1時，函數取得最小值，則f的取值范圍是()

A.0<t<2B.0<t<4C.2<t<4D.t>2

【答案】C

【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質，二次函數的最值等知識.熟練掌握二次函數的圖象與性質是

解題的關鍵.

由y=/-2X=(X-1)2-1,可知圖象開口向上，對稱軸為直線x=l,頂點坐標為(1,-1),當x=-l時，

y=3,即(―1,3)關于對稱軸對稱的點坐標為(3,3),由當x=—1時，函數取得最大值；當x=l時，函數

取得最小值，可得lWt-1W3,計算求解，然后作答即可.

【詳解】解：,”=久2-2%=(%—1)2-1,

??.圖象開口向上，對稱軸為直線為=1,頂點坐標為(1,-1),

當％=-1時，y=3,

■.(-1,3)關于對稱軸對稱的點坐標為(3,3),

?.?當x=-1時，函數取得最大值；當x=l時，函數取得最小值，

??.l<t-1<3,

解得，2<t<4,

故選：C.

2.(2024?福建?中考真題)己知二次函數y=/-2ax+a(a40)的圖象經過府,％),B(3a,y2)兩點，貝U下

列判斷正確的是()

A.可以找到一個實數a,使得yi>aB.無論實數a取什么值，都有%>a

C.可以找到一個實數a,使得m<0D.無論實數a取什么值，都有丫2<。

【答案】c

【分析】本題考查二次函數的圖象和性質，根據題意得到二次函數開口向上，且對稱軸為％=-二券=a,頂

點坐標為(口以一十)，再分情況討論，當Q>0時，當aVO時，yi，的大小情況，即可解題.

【詳解】解：,?,二次函數解析式為y=%2_2a%+a(awo),

二二次函數開口向上，且對稱軸為久=-二六=處頂點坐標為(見。-小)，

當第=今時，月=a2+a=a—,

當Q>0時，OV^Va,

2

:.a>y1>a—af

當aVO時，a<^<0,

2,

???a—a<y1<af

故A、B錯誤，不符合題意；

???當a>0時，0<aV2aV3a,

由二次函數對稱性可知，y2>a>0,

當aVO時，3a<2a<a<0,由二次函數對稱性可知，y2>不一定大于0,

故C正確符合題意；D錯誤，不符合題意；

故選：C.

3.(2024?浙江衢州?中考真題)已知二次函數y=。(%-一。0),當一時，y的最小值為一4,

則a的值為()

A.g或4B.裁一：C.T或4D.一黑4

【答案】D

【分析】分兩種情況討論，并且利用二次函數的性質即可解答.

【詳解】解：二次函數y=a(%-l)2-a(aw0)的對稱軸為：直線％=1,

(1)當。>0時，當一1<工41時，y隨汽的增大而減小，當y隨工的增大而增大，

???當％=1時，y取得最小值，

???y=a(l—I)2—a=—4,

???a=4；

(2)當。<0時，當一時，y隨％的增大而增大，當y隨工的增大而減小,

???當％=4時，y取得最小值，

???y=a(4—I)2—a=-4,

i

Aa=-?

故選：D.

【點睛】本題主要考查二次函數的性質，掌握二次函數的性質以及分類討論思想是解題的關鍵.

4.(2024?四川宜賓?中考真題)已知拋物線丫=。%2+5%+。的圖象與、軸交于點/(一2,0)、8(4,0),若以45

為直徑的圓與在x軸下方的拋物線有交點，則。的取值范圍是()

1111

A.a>-B.a>-C.0<a<—D.0<a<—

【答案】A

【分析】根據題意，設拋物線的解析式為y=a(x+2)(x-4),進而求得頂點的坐標，結合圖形可知當頂點

縱坐標小于或等于-3滿足題意，即可求解.

【詳解】解：：拋物線y=a%2+6%+c的圖象與X軸交于點4(一2,0)、5(4,0),

設拋物線的解析式為y=a(x+2)(%-4)

???y=ax2—2ax—8a=a(x—l)2—9a

頂點坐標為(1,一9a),

???4B=6,以4B為直徑的圓與在x軸下方的拋物線有交點，則圓的半徑為3,如圖，

*'?-9aW—3

解得a*

故選：A

【點睛】本題考查了圓的性質，二次函數圖象的性質，求得拋物線的頂點縱坐標的范圍是解題的關鍵.

5.(2024?湖南婁底?中考真題)用數形結合等思想方法確定二次函數y=x2+2的圖象與反比例函數y=|的

圖象的交點的橫坐標X。所在的范圍是()

111133

A.0<x7B.-<XQ<-C.-<XQ<-D.-<X<1

044ZZ44-0

【答案】D

【分析】在同一個直角坐標系中畫出兩個函數的圖象，來判斷出交點橫坐標X。所在的范圍.

【詳解】解：在同一個直角坐標系中畫出兩個函數的圖象，如下圖：

當孫=9時，將其分別代入y=/+2與y=；計算得；

4-X

9s4128

丫1=.+2=m及=,=§，

8415c

??.y2f一4有

???此時反比例函數圖象在二次函數圖象的上方，

3

q

故選：D.

【點睛】本題考查了二次函數和反比例函數的圖象，解題的關鍵是：準確畫出函數的圖象，再通過關鍵點

得出答案.

6.（2024?四川德陽?中考真題）已知函數y=|（x—5）2：葭3久W8）的圖象如圖所示，若直線尸近一3

與該圖象有公共點，則人的最大值與最小值的和為

【分析】根據題意可知，當直線經過點（1,12）時，直線y=fcc-3與該圖象有公共點；當直線與拋物線只有

一個交點時，（x-5）2+8=h-3,可得出發的最大值是15,最小值是2,即可得它們的和為17.

【詳解】解：當直線經過點（1,12）時，12=h3,解得Q15；

當直線與拋物線只有一個交點時，（x-5）2+8=foc-3,

整理得N-（10+左）x+36=0,

.?.10+仁士12,解得仁2或Q-22（舍去），

?次的最大值是15,最小值是2,

..k的最大值與最小值的和為15+2=17.

故答案為：17.

【點睛】本題考查分段函數的圖象與性質，一次函數圖象上點的坐標特征，結合圖象求出人的最大值和最

小值是解題的關鍵.

7.（2024?福建?中考真題）己知拋物線y=a/-2a久+6（a>0）經過a（27i+3,yi）,B（n-Ly2）兩點，若4B分

別位于拋物線對稱軸的兩側，且月<丫2,則n的取值范圍是.

【答案】一l<n<0

【分析】根據題意，可得拋物線對稱軸為直線x=l,開口向上，根據已知條件得出點4在對稱軸的右側，且

月<及，進而得出不等式，解不等式即可求解.

【詳解】解：=a%2-2ax+b,a>0

???拋物線的對稱軸為直線久=-姜=1,開口向上，

??,/（2九+3,y。8（九-1》2）分別位于拋物線對稱軸的兩側，

假設點B在對稱軸的右側，則幾-1>1,解得幾>2,

.,.2n+3—（n—1）=n+4>0

.必點在B點的右側，與假設矛盾，則點力在對稱軸的右側，

；2n+3>1

"In-1<1

解得：-1<71<2

又可1<、2，

.?-|(2n+3)-l|<|l-(n-l)|

：.2n+2<2—n.

解得：n<0

1<n<0,

故答案為：-l<n<0.

【點睛】本題考查了二次函數的性質，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵.

8.(2024?江蘇鹽城?中考真題)若點在二次函數y=/+2久+2的圖象上，且點2到〉軸的距離小于2,

則71的取值范圍是.

【答案】lWn<10

【分析】先判斷-2<小<2,再根據二次函數的性質可得：n=m2+2m+2=(m+l)2+1,再利用二次函

數的性質求解〃的范圍即可.

【詳解】解：，?,點P到y軸的距離小于2,

?1.—2<m<2,

?點P(m,n)在二次函數y=x2+2x+2的圖象上，

???n=m2+2m+2=(m+l)2+1,

?1?當m=-1時，ri有最小值為1.

當爪=2時，n=(2+l)2+l=10,

?1?的取值范圍為1<n<10.

故答案為：lWn<10

【點睛】本題考查的是二次函數的性質，掌握“二次函數的增減性”是解本題的關鍵.

9.(2024?內蒙古呼和浩特?中考真題)在平面直角坐標系中，點C和點。的坐標分別為(一1,一1)和(4,一1),

拋物線y=mx2-2mx+2(m*0)與線段CD只有一個公共點，則小的取值范圍是.

【答案】m=3或一1Vm4一9

【分析】根據拋物線求出對稱軸久=1,y軸的交點坐標為(0,2),頂點坐標為(1,2-血)，直線的表達式

y=-l,分兩種情況討論：當巾>0時，當巾<0時，利用拋物線的性質可知，當|a|越大，則拋物線的開口

越小，即可求解.

【詳解】解：拋物線的對稱軸為：％=-親=1，當％=0時，y=2,故拋物線與y軸的交點坐標為（0,2）,

頂點坐標為（1,2-血），直線CZ）的表達式y=-1,

當血>0時，且拋物線過點。（4,一1）時，

16m—8m+2=—1,解得加=一三（舍去），

O

當m>0,拋物線y=mx2-2mx+2（m片0）與線段CO只有一個公共點時，

即頂點在直線CD上，貝U2—m=-1,解得爪=3,

當m<0時，且拋物線過點。（4,一1）時，

3

16m—8m+2=-1,解得m

o

當拋物線過點（-1,-1）時，

m+2m+2=—1

解得，m=-\

由拋物線的性質可知，當越大，則拋物線的開口越小，且拋物線與線段只有一個公共點，

-1<m<一|,

O

,2

綜上所述，血的取值范圍為或一<血工一鼻，

m=31O

故答案為巾=3或一1<巾W

O

【點睛】本題考查了二次函數的性質，理解對稱軸的含義，熟練掌握二次函數的性質，巧妙運用分類討論

思想解決問題是解題的關鍵.

【題型2二次函數圖象與系數的關系】

1.（2024?西藏?中考真題）如圖，已知二次函數y=a/+/）x+c（a#0）的圖象與x軸相交于點4（—3,0）,B

（1,0）,則下列結論正確的個數是（）

①abc<0

②36+2c>0

③對任意實數加，a*+bzn2a-b均成立

④若點（-4,%）,a,〉2）在拋物線上，則月<及

C.3個D.4個

【答案】B

【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質、根據二次函數的圖象判斷式子的符號，由圖象可得：拋物線

開口向上，對稱軸在y軸左側，交y軸于負半軸，即可得出a>0,%=-￡<0,c<0,從而求出6>0,即

可判斷①；根據二次函數與％軸的交點得出二次函數的對稱軸為直線％=要=-1,a+b+c=0①，

9a—36+c=0②，計算即可判斷②；根據當久=-1時，二次函數有最小值a—b+c,即可判斷③；根據

|-4-(-1)|>1-4即可判斷④；熟練掌握二次函數的圖象與性質，采用數形結合的思想是解此題的關鍵.

【詳解】解：由圖象可得：拋物線開口向上，對稱軸在y軸左側，交y軸于負半軸，

.,.b>0,

：.abc<0,故①正確；

,?二次函數y=a/+b%+c(a。0)的圖象與x軸相交于點4(-3,0),8(1,0),

???二次函數的對稱軸為直線％=*=-1,a+b+c=0?,9a-3b+c=0②,

由①)+②)得：10a—2b+2c=0,

b(

,?"=一五=一1，

???b=2a,

???5b—2b+2c=0,即3力+2c=0,故②錯誤;

當欠=一1時，二次函數有最小值。一力+c,

由圖象可得，對任意實數加，am2+bm4-c>a-b+c,

???對任意實數冽，am?+加之q-b均成立，故③正確；

,??點(―4,yD，(，山)在拋物線上，且|一4一(—1)|>|—1—1|,

?.?力>、2,故④錯誤;

綜上所述，正確的有①③，共2個，

故選：B.

2.（2024?黑龍江綏化?中考真題）二次函數丫=口壯+”a大0）的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線x=

-1,則下列結論中：

①?>0②am?+。根3a-b（加為任意實數）③3a+c<1

④若M（xi，y）、N（%2，y）是拋物線上不同的兩個點，則5+久23-3.其中正確的結論有（）

【答案】B

【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質，根據拋物線的開口方向，對稱軸可得a<0,b=2a<0即可判

斷①，%=-1時，函數值最大，即可判斷②，根據x=1時，y<0,即可判斷③，根據對稱性可得巧+%2=-2

即可判段④，即可求解.

【詳解】解：???二次函數圖象開口向下

.,.a<0

??,對稱軸為直線X=-l,

b

.5=一五=一d1

:.b=2a<0

,?,拋物線與y軸交于正半軸，貝Ue>0

4<o,故①錯誤，

???拋物線開口向下，對稱軸為直線刀=-1,

.,?當》=-1時,y取得最大值，最大值為a-b4-c

.,.am2+bm+c<a-b+c（m為任意實數）

2

即am+bm<a-bf故②正確；

vx=1時，y<0

即Q+b+cV0

'.'b=2a

.,.a+2。+cV0

即3a+c<0

??-3a+c<1,故③正確；

(久i，y)、N(%2，y)是拋物線上不同的兩個點，

；.M,N關于x=-1對稱，

.?.牛=-1即省+型=—2故④不正確

正確的有②③

故選:B

3.(2024?湖北十堰?中考真題)拋物線y=a/+力％+c(a,b,c為常數，且經過點(-1,0)和

(m,0),且lVmV2,當xV-1時，y隨著x的增大而減小.下列結論：

①abc>0；

②a+b>0；

③若點A(-3,yi),點B(3,y2)都在拋物線上，則為〈丫2；

(4)a(m—1)+b=0；

⑤若若c<—1,貝必2—4ac<4a.

其中結論錯誤的是.(只填寫序號)

【答案】③⑤.

【詳解】試題分析：如圖，???拋物線開口向上，??.a>0,???拋物線的對稱軸在y軸的右側，???b<0,?.?拋物線與

y軸的交點在x軸上方，???c<0,.?.abc>0,所以①的結論正確；

,?,拋物線過點(-1,0)和(m,0),且.?.a+b>o,所以②的結論正確；

???點A(-3,%)到對稱軸的距離比點B(3,及)到對稱軸的距離遠，.。1〉及，所以③的結論錯誤；

,?,拋物線過點(-L0),(m,0),/.a-b+c=O,am2+bm+c=0,.'.am2—a+bm+fo=0,

a(m+l)(m—1)+b(jn+1)=0,1)+6=0,所以④的結論正確；

???考產<c,而cW—1,.?.叫F<—1,.小2—4ac>4a,所以⑤的結論錯誤.

故答案為③⑤.

4.（2024?湖南岳陽?中考真題）如圖，已知拋物線y=oN+6x+c與x軸交于48兩點，頂點C的縱坐標為

-2,現將拋物線向右平移2個單位，得到拋物線尸a/N+b/x+c/,則下列結論正確的是（寫出所

有正確結論的序號）

①6>0；②。-6+c<0；③陰影部分的面積為4；④若c=-l,則〃=4a.

【答案】③④/④③

【分析】①首先根據拋物線開口向上，可得。>0;然后根據對稱軸為產-5>0,可得6<0,據此判斷即

可.②根據拋物線產如4及+c的圖象，可得--1時，了>0,即。-6+c>0,據此判斷即可.③首先判斷

出陰影部分是一個平行四邊形，然后根據平行四邊形的面積=底、高，求出陰影部分的面積是多少即可.④

根據函數的最小值是否雪=-2,判斷出c=-1時，°、b的關系即可.

4a

【詳解】解：???拋物線開口向上,

??.4>0,又?對稱軸為X=2~a7~>0,

???bV0,

??.結論①不正確；

??x=-1時，>>0,

???〃-6+。>0,

結論②不正確；

???拋物線向右平移了2個單位，

???平行四邊形的底是2,

■：^}^y=ax2+bx+c的最小值是尸-2,

二平行四邊形的高是2,

???陰影部分的面積是：2x2=4,

.??結論③正確；

■?■b2=4a,

二結論④正確.

故答案為：③④.

【點睛】本題考查二次函數圖象與幾何變換；二次函數圖象與系數的關系，解題的關鍵是利用數形結合的

思想進行求解.

5.（2024?山東濟南?中考真題）二次函數y=a久2+bx+。（.<0）圖象與x軸的交點/、3的橫坐標分別為

-3,1,與y軸交于點C,下面四個結論：

①16a-46+c<0；②若P（-5,%），Q（|，》2）是函數圖象上的兩點，則切>g；③。=-gc；④若AABC

是等腰三角形，則6=-2乎.其中正確的有（請將結論正確的序號全部填上）

【答案】①③.

【詳解】解：①「aVO,??.拋物線開口向下，;圖象與x軸的交點/、8的橫坐標分別為-3,1,.?.當x=-4

時，yVO,即16a-46+cVO；

故①正確；

②?.?圖象與X軸的交點48的橫坐標分別為-3,1,.?.拋物線的對稱軸是：X=-1,"P（-5,力），Q（|,

外），-1-（-5）=4,|-（-1）=3.5,由對稱性得：（-4.5,乃）與。（|,小）是對稱點，?,?則為</；

故②不正確；

③,.,一^=-1,-'-b=2a,當x=l時，y=0,即a+b+c=O,3a+c=0,a=-1c；

④要使A4C8為等腰三角形，則必須保證AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC,當AB=BC=4時，）。=1,ABOC

為直角三角形，又的長即為|c|,."2=16-9=7,,由拋物線與y軸的交點在》軸的正半軸上，

與6=2a、a+6+c=0聯立組成解方程組，解得6=-當；

同理當N8=/C=4時，?MOI,ZUOC為直角三角形，又rOC的長即為圖，.??/=16-1=15,?.?由拋物線與y

軸的交點在V軸的正半軸上，”=小，與b=2a、a+6+c=0聯立組成解方程組，解得6=-咿；

同理當4c=2C時，在A4OC中，AC2=\+c2,在△3OC中8c2=c?+9,?.?/C=BC,；.1+C2=C2+9,此方程無實數

解.

經解方程組可知有兩個b值滿足條件.

故⑤錯誤.

綜上所述，正確的結論是①③.

故答案為①③.

點睛：本題考查了等腰三角形的判定、方程組的解、拋物線與坐標軸的交點、二次函數丫=。*2+"+。的

圖象與系數的關系：當。<0,拋物線開口向下；拋物線的對稱軸為直線產-《；拋物線與y軸的交點坐標

為（0,C）,與X軸的交點為（X/,0）、（必，0）.

【題型3拋物線的平移、旋轉、軸對稱】

1.（2024?山東濟南?中考真題）拋物線y=-無2+2小^一爪2+2與》軸交于點c,過點C作直線/垂直于y軸,

將拋物線在y軸右側的部分沿直線/翻折，其余部分保持不變，組成圖形G,點M（m-l,yD，N（m+l,y2）

為圖形G上兩點，若月<>2，則加的取值范圍是（）

A.爪<-1或爪〉0B.—1<m<|C.0<m<V2D.-1<m<1

【答案】D

【分析】求出拋物線的對稱軸、C點坐標以及當％=加-1和％=優+1時的函數值，再根據"?-1<機+1,判斷出V

點在N點左側，此時分類討論：第一種情況，當N點在y軸左側時，第二種情況，當M點在y軸的右側時，

第三種情況，當y軸在M、N點之間時，來討論，結合圖像即可求解.

【詳解】拋物線解析式y=-X2+2皿一S2+2變形為：y-2-（x-m）2,

即拋物線對稱軸為x=m,

當X=7H-1時,有y=2-（ZH-1-771）2=1,

當x=??+l時，有y=2-（m+l-m）2=1,

設（吁1,1）為/點，（心+1,1）為3點，

即點與8（加+1,1）關于拋物線對稱軸對稱，

當x=0時，有丫=2-（0-m）2=2-62,

??.C點坐標為（0,2—小）,

當X=/M時，有y=2-（m-zn）2=2,

二拋物線頂點坐標為0,2),

???直線/1?軸，

二直線I為y=2-m2,

點在N點左側，

此時分情況討論：

第一種情況，當N點在丁軸左側時，如圖,

由圖可知此時加、N點分別對應/、B點,即有yi=y2=l,

此時不符合題意；

第二種情況，當M點在y軸的右側時，如圖，

??.此時不符合題意；

第三種情況，當y軸在M、N點之間時，如圖,

由圖可知此時M、N點滿足乃C及，

??.此時符合題意；

此時由圖可知：m-l<O<m+1,

解得

綜上所述：加的取值范圍為：-1<小<1,

故選：D.

【點睛】本題考查了二次函數的圖像與性質、翻折的性質，注重數形結合是解答本題的關鍵.

2.（2024?四川廣元?中考真題）將二次函數y=-/+2久+3的圖象在x軸上方的部分沿x軸翻折后，所得

新函數的圖象如圖所示.當直線y=x+b與新函數的圖象恰有3個公共點時，6的值為（）

A.-^-或-3B.-^-或—3C.彳或-3D.彳或-3

【答案】A

【分析】由二次函數解析式y=-/+2%+3,可求與x軸的兩個交點/、B,直線y=x+b表示的圖像可看

做是直線y=x的圖像平移b個單位長度得到，再結合所給函數圖像可知，當平移直線y=x經過2點時，恰

與所給圖像有三個交點，故將8點坐標代入即可求解；當平移直線y=x經過C點時，恰與所給圖像有三個

交點，即直線y=%+b與函數丫=一%2+2%+3關于工軸對稱的函數、=久2一2%-3圖像只有一個交點，即聯

立解析式得到的方程的判別式等于0,即可求解.

【詳解】解：由y=—爐+2%+3知，當y=0時，即

—%2+2%+3=0

解得：%i=-l,x2=3

???4(-1,0),8(3,0)

作函數丫=式的圖像并平移至過點6時，恰與所給圖像有三個交點，此時有：

0=3+6

???b=-3

平移圖像至過點。時，恰與所給圖像有三個交點，即當-14%43時，只有一個交點

當一14％W3的函數圖像由y=-/+2%+3的圖像關于x軸對稱得到

???當一1<x<3時對應的解析式為y=x2-2x-3

即｛。:罵人3,整理得：/一3比一3-6=。

??"=(-3)2-4xlx(-3-6)=21+4h=0

21

1.b=-----

4

綜上所述b=-3或一2

故答案是：A.

4/By/

Ai/7T；~-41-/567

【點睛】本題主要考查二次函數翻折變化、交點個數問題、函數圖像平移的性質、二次函數與一元二次方

程的關系等知識，屬于函數綜合題，中等難度.解題的關鍵是數形結合思想的運用，從而找到滿足題意的

條件.

3.(2024?廣西桂林?中考真題)在平面直角坐標系中，將拋物線y=N+2%+3繞著它與y軸的交點旋轉

180°,所得拋物線的解析式是().

A.y——(%+I)2+2B.y=-(x-1)2+4

C.y=-(x—l)2+2D.y——(x+l)2+4

【答案】B

【分析】把拋物線y=x2+2x+3整理成頂點式形式并求出頂點坐標，再求出與y軸的交點坐標，然后求出所

得拋物線的頂點，再利用頂點式形式寫出解析式即可.

2

【詳解】解：-.-y=x+2x+3=(x+1)2+2,

???原拋物線的頂點坐標為(-1,2),

令x=0,貝！|y=3,

???拋物線與y軸的交點坐標為(0，3),

???拋物線繞與y軸的交點旋轉180°,

???所得拋物線的頂點坐標為(1,4),

二所得拋物線的解析式為：y=-x?+2x+3[或y=-(x-1)2+4].

故選：B.

【點睛】本題考查了二次函數圖象與幾何變換，利用頂點的變化確定函數解析式的變化可以使求解更簡便.

4.(2024?四川廣安?中考真題)如圖，把拋物線產$2平移得到拋物線加，拋物線”經過點/(-6,0)和

原點。(0,0),它的頂點為尸，它的對稱軸與拋物線y=|%2交于點0,則圖中陰影部分的面積為.

【答案】y

【分析】根據點。與點4的坐標求出平移后的拋物線的對稱軸，然后求出點P的坐標，過點尸作軸

于點/，根據拋物線的對稱性可知陰影部分的面積等于四邊形NPMO的面積，然后求解即可.

【詳解】過點尸作PMLy軸于點設P0交x軸于點N,

y,

\A\WN'<J\O-x

???拋物線平移后經過原點。和點/(-6,0),

???平移后的拋物線對稱軸為=-3.

???平移后的二次函數解析式為：后(x+3)2+人

1Q

將(-6,0)代入得出：0=5(-6+3)2+h,解得：/!=--.

Q

???點尸的坐標是(—3,--).

根據拋物線的對稱性可知，陰影部分的面積等于矩形NPMO的面積，

...S=3x|-||=Y-

故答案為：

【點睛】本題考查了二次函數的問題，根據二次函數的性質求出平移后的拋物線的對稱軸的解析式，并對

陰影部分的面積進行轉換是解題的關鍵.

5.(2024?甘肅天水?中考真題)如圖，一段拋物線y=-x(x-1)(0<x<l)記為mi，它與x軸交點為0、

A〉頂點為Pi；將兩繞點Ai旋轉180。得m2，交x軸于點A2,頂點為P2;將m2繞點A2旋轉180。得n^,

交x軸于點A3,頂點為P3,…，如此進行下去，直至得mi。，頂點為P10,則Pi。的坐標為.

【答案】(9.5,-0.25)

【詳解】試題分析：y=-x(x-1)(0<x<l),

0Al=A]Az=l,P2P4=P1P3=2r

P2(1.5,-0.25)

Pio的橫坐標是L5+2x[(10-2)-2]=9.5,

Pio的縱坐標是-025,

故答案為(9.5,-0.25).

考點：1、規律題；2、二次函數圖象的幾何變換

6.(2024?湖南湘西?中考真題)已知二次函數y=-N+4x+5及一次函數y=-x+6,將該二次函數在x軸上

方的圖象沿X軸翻折到X軸下方，圖象的其余部分不變，得到一個新圖象(如圖所示)，當直線v=-x+b

與新圖象有4個交點時，6的取值范圍是.

【答案】

【分析】解方程--+以+5=0得/(-1,0),3(5,0),再利用折疊的性質求出折疊部分的解析式為

y=(%+1)(%-5),即y—x2-4x-5(-l<x<5),然后求出直線y=-x+b經過點/(-1,0)時6的值和

當直線>=-x+6與拋物線y=N-4x-5(-l<x<5)有唯一公共點時6的值，從而得到當直線y=-x+6與

新圖象有4個交點時，b的取值范圍.

當y=0時，-x?+4x+5=0,解得x/=-1,x2=5,則/(-1,0),5(5,0),

將該二次函數在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方的部分圖象的解析式為y=(x+l)(x-5),

即y=x2-4x-5(-l<x<5),

當直線y=-x+6經過點/(-1,0)時，1+6=0,解得6=-1；

當直線y=-x+6與拋物線y=N-4x-5(-1SE5)有唯一公共點時，方程/-4%-5=-%+b,即產

-3x-5-b=0有相等的實數解，即A=32-4x1x(-5-b)=0

解得b=-%

所以當直線―-x+6與新圖象有4個交點時，6的取值范圍為—弓<6<-1,

故答案為：一彳<匕<—1.

【點睛】本題考查了拋物線與X軸的交點：把求二次函數^=〃/+樂+。(a,6,。是常數，存0)與X軸的交

點坐標問題轉化為解關于X的一元二次方程.也考查了二次函數圖象與幾何變換.

【題型4拋物線對稱性的應用】

1.(2024?浙江杭州?中考真題)設二次函數y=0,血流是實數)，貝！J()

A.當k=2時，函數y的最小值為一aB.當k=2時，函數y的最小值為一2a

C.當k=4時，函數y的最小值為—aD.當k=4時，函數y的最小值為一2Q

【答案】A

【分析】令y=0,貝【JO=a(%—?n)(%—m—/c),解得：%i=m,x2=rn+kf從而求得拋物線對稱軸為直線

X==普當再分別求出當k=2或々=4時函數y的最小值即可求解.

【詳解】解：令y=0,貝iJO=a(x—m)(x—m—fc),

解得：x1=m,x2=m+k,

???拋物線對稱軸為直線I=空歲=亨

當k=2時，拋物線對稱軸為直線％=m+l,

把％=771+1代入丫=。(%-血)(%-6-2),得y=-a,

va>0

當％=?n+l,k=2時，y有最小值，最小值為一a.

故A正確，B錯誤；

當k=4時，拋物線對稱軸為直線久=m+2,

把汽=m+2代入y=a(x-m)(x-m-4),得y=-4a,

va>0

.??當％=m+2,k=4時，y有最小值，最小值為一4a,

故C、D錯誤，

故選：A.

【點睛】本題考查拋物線的最值，拋物線對稱軸.利用拋物線的對稱性求出拋物線對稱軸是解題的關鍵.

2.(2024?四川自貢?中考真題)經過A(2-3/vn),B(46+c-l,m)兩點的拋物線y=—+bx-/j2+2。(久為

自變量)與%軸有交點，則線段4B長為()

A.10B.12C.13D.15

【答案】B

【分析】根據題意，求得對稱軸，進而得出。=6-1,求得拋物線解析式，根據拋物線與久軸有交點得出△=

b2-4ac>0,進而得出b=2,則c=l,求得48的橫坐標，即可求解.

-1L,b

22

［詳解］解：???拋物線y=--x+bx-b+2c的對稱軸為直線％=--=-2x(_i)=b

,?,拋物線經過/(2-3瓦也)方(4b+c-ljn)兩點

2-3b+4b+c-l,

???------------=b,

即c=b-1,

.,.y=—|x2+bx—b2+2c=~x2+bx—b2+2b—2,

???拋物線與％軸有交點，

=b2-4ac>0,

即匕2-4x(-1)x(_。2+2b-2)>0,

即爐―4b+4W0,即(b—2)2WO,

???b=2,c=b-1=2—1=1,

??.2-3b=2-6=-4,4b+c-l=8+1-1=8,

?.AB=46+c-l-(2-36)=8-(-4)=12,

故選：B.

【點睛】本題考查了二次函數的對稱性，與X軸交點問題，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵.

3.(2024?內蒙古?中考真題)在平面直角坐標系中，已知2(-1,嗎)和B(5,嗎)是拋物線y=N+法+1上

的兩點，將拋物線丫=必+必+1的圖象向上平移〃(”是正整數)個單位，使平移后的圖象與x軸沒有交

點，則"的最小值為—.

【答案】4

【分析】通過/、8兩點得出對稱軸，再根據對稱軸公式算出6,由此可得出二次函數表達式，從而算出最

小值即可推出n的最小值.

【詳解】?；/、8的縱坐標一樣，

.?/、3是對稱的兩點，

對稱軸x=-^=2,即x=-5=U=2，

■■.b=-4.

拋物線解析式為：y=%2-4x+1=x2-4x+4-3=(x-2)2-3.

???拋物線頂點(2,-3).

.??滿足題意"的最小值為4,

故答案為：4.

【點睛】本題考查二次函數對稱軸的性質，頂點式的變形及拋物線的平移，關鍵在于根據對稱軸的性質從

題意中判斷出對稱軸.

4.(2024?江蘇鎮江?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，二次函數y=-示%-1)2+4的

圖像與x軸交于/、2兩點(點/在點2的左側)，頂點為C.

(2)一個二次函數的圖像經過8、C、M(t,4)三點，其中tKl,該函數圖像與x軸交于另一點。，點。在線段

OB上(與點。、2不重合).

①若。點的坐標為(3,0),貝k=；

②求才的取值范圍：

③求OD-DB的最大值.

【答案】⑴4(一2,0),B(4,0),C(l,4)

(2)①6；②3<t<7且tH4；③4

【分析】本題主要考查待定系數法求函數解析式，二次函數的對稱性，二次函數的最值問題等相關知識，

熟練掌握相關知識是解題基礎.

(1)根據頂點式可直接得出點C的坐標；令y=0,解方程，可得出點4B的坐標；

(2)①根據函數的對稱性，可得出對稱軸為直線式=最再根據點C，M的坐標可得出C,M關于對稱軸對稱,

由此可得出t的值；

②由對稱軸的性質可知，二次函數圖象的對稱軸與無軸的交點坐標為(等，0),再由對稱性可知，D(t-3,0),

由點。在線段OB上，且與端點不重合，可得《二即3<t<7,而當t=4時，過點B,C,M三點的二

次函數不存在，由此可得3<t<7且1力4；

③。。-DB=(t-3)-(7-t)=-t2+10t-21=-(t-5尸+4,根據二次函數的性質可得結論.

【詳解】⑴解：???二次函數y=—京久―1)2+4的圖象的頂點為。

??4(1,4)；

令y=—1)2+4=0,解得x=—2或x=4,

???力(—2,0),5(4,0)；

(2)解:①由題知,該函數過點B(4,0),C(l,4),D(3,0),

函數的解析式為：y'=a(x-4)(x-3),

?1?函數的對稱軸為直線久=：,

???點C,M關于對稱軸對稱，

1+t7

?*,t—6,

故答案為：6；

②設二次函數的解析式為：y=ax2+bx+c,

將M(t,4)C(L4)兩點代入，得｛a：：，；：；%。

。(仔—1)+b(t—1)=0,

??,tW1,

.b_t+1

~2a~~9

???二次函數圖象的對稱軸與X軸的交點坐標為(詈，0),

■■B,D兩點關于對稱軸對稱，點8(4,0),

?e?D(t-3,0),

???點。在線段。B上，且與端點不重合，

tZl<4-即3<t<7,

??"=4時，過點8,C,M三點的二次函數不存在，

3<t<7且tK4；

（3）1?'OD=t-3,DB—7-t,

???OD-Z）B=（t-3）-（7-t）.

???ODDB=-t2+10t-21=一（t一5尸+4,

???3<」<7且1#4,

."=5時，有最大值，最大值為4.

5.（2024?北京?中考真題）在平面直角坐標系xOy中，M（久］,月），/功0）是拋物線，=a/+6久+c（a>0）

上任意兩點，設拋物線的對稱軸為x=t.

⑴若對于*1=1,乂2=2有％=及，求t的值；

（2）若對于0<xi<1,1<%2<2,都有yi<y2，求t的取值范圍.

【答案】（l）t=,

（2）t<|

【分析】（1）根據二次函數的性質求得對稱軸即可求解；

（2）根據題意可得（巧,力）離對稱軸更近，5<%2，貝1（X1，月）與。2，、2）的中點在對稱軸的右側，根據對稱性

求得進而根據包戶>3即可求解.

【詳解】⑴解：■.,對于孫=1,%2=2有yi=y2，

???拋物線的對稱軸為直線x="=1，

??,拋物線的對稱軸為x=t.

3

=5；

（2）解：???當0V%iVI,1<%2<2,

,?,yi<y2,a>0,

???3）1）離對稱軸更近，xr<x2,貝心瑪）1）與（%2）2）的中點在對稱軸的右側，

?普〉3

apt<|.

【點睛】本題考查了二次函數的性質，熟練掌握二次函數的對稱性是解題的關鍵.

【題型5二次函數與方程、不等式的關系】

1.（2024?廣西賀州?中考真題）如圖，已知拋物線y=a/+c與直線y=人久+機交于力（-3,月），3（1,故）兩

點，則關于X的不等式a/+c2-依+爪的解集是（）

A.x<-3^x>1B.x<-l^x>3C.-3<x<lD.-1<%<3

【答案】D

【分析】將要求的不等式抽象成兩個函數的函數關系問題，根據二次函數圖象的對稱性，以及兩一次函數

圖象的關系，求出新的一次函數與二次函數的交點，從而寫出拋物線在直線上方部分的x的取值范圍即可.

【詳解】y=kx+瓶與丫=-for+m關于y軸對稱

拋物線y=ax2+c的對稱軸為y軸，

因此拋物線y=ax2+c與直線y=kx+m的交點和與直線y=-kx+m的交點也關于y軸對稱

設丫=-kx+?n與y=ox?+c交點為4、B',則A（-1,丫2），￡（3必）

???ax2+c>—kx+m

即在點4、方之間的函數圖像滿足題意

二a/+c2-kx+ni的解集為：—1WXW3

故選D.

【點睛】本題考查了軸對稱，二次函數與不等式，數形結合是數學中的重要思想之一，解決函數問題更是

如此.理解y=kx+m與y=-kx+ni關于〉軸對稱是解題的關鍵.

2.（2024?甘肅蘭州?中考真題）下表是一組二次函數y=N+3久-5的自變量x與函數值丁的對應值：

X11.11.21.31.4

y-1-0.490.040.591.16

那么方程N+3久-5=0的一個近似根是（）

A.1B.1.1C.1.2D.1.3

【答案】C

【詳解】解：觀察表格得：方程N+3x-5=0的一個近似根為1.2,

故選：C

【點睛】考點：圖象法求一元二次方程的近似根.

3.（2024?山東棗莊?中考真題）二次函數y=x2—2x—3的圖象如圖所示.當y<0時，自變量x的取值范圍

【分析】根