專題07函數的奇偶性

專項突破一奇偶性的判斷或證明

1.下列函數中是奇函數的是()

A.y=x3+lB.y=In|x|C.y=sin(x+—)D.y=ex

【解析】對于A,7(x)=V+l,/。)=2,/(-D=0,故了⑺為非奇非偶函數,

對于B,/(x)=ln|x|,定義域為(Y?,0)(0,+oo),f(-x)=\n\-x|=ln|x|,/(x)為偶函數,

TT

對于C,/(x)=sin(x+—)=cosX,7(%)為偶函數,

xx

對于D,易知定義域為R"(x)=e「?一，，f(-x)=e~-e=-f(x)f/(%)為奇函數.

故選：D

2.已知函數/(x)=」+工，則()

xx+2

A./(%+D是奇函數B.7(%-1)是奇函數C.7(-x+1)是偶函數D.是偶函數

【解析】對于A,

x+lwO八/、

尤+3/0=彳力-1且“-3,/(x+1)的定義域不關于原點對稱，函數不具有奇偶性，故A錯誤,

對于B,〃龍)=%為"(1)=3土士，

x—1w0/、

尤+1片0n工21且XW-l,所以/(x-1)的定義域關于原點對稱,

又了(一尤一1)=」7+』=一一二一一二=-〃x+l),所以/(X—1)為奇函數，故B正確,

一x—11—XX—1X+1

對于c,/(x)=J+±n/(-x+l)11—%+1w0

------------1------------

—x+1—x+3—x+3w0

/(-x+1)的定義域不關于原點對稱，函數不具有奇偶性，故C錯誤,

對于D,『(》)=J+—1111

------------1------------

—X—1—X+1x-1x+1'

%—1w0/、

尤+1W0=XW1且XW—1,所以，(一%-1)的定義域關于原點對稱,

X/(x-l)=-^+^-=-f(-x-l),所以函數/(—X-1)是奇函數，故D錯誤,

x—1X+1

故選：B

3.下列函數中，既是偶函數，又在(0,+s)內單調遞減的是()

A.y=2x2-1B.

y二

1

C.y=~rD.y=-ln|x|

【解析】由于2(-X)2-1=2/-1,-ln|-x|=-ln|x|,

所以選項AD的函數是偶函數，選項BC的函數不是偶函數，排除BC,

(0,+到上〉=2尤2_1是增函數，y=-ln|x|是減函數，故選：D.

4.判斷下列函數的奇偶性：

(l)〃x)=^~7；(2)/(x)=2-|x|；(3)/(x)=6-1+Ji?；(4)〃尤)=噌二十尤1.

xTA/1+X+x+l

【解析】(1)(1)???函數f(x)的定義域是卜|無#1｝，關于坐標原點不對稱

/(X)既不是奇函數也不是偶函數.

(2)V函數/(尤)的定義域為R,關于坐標原點對稱.

又〃一力=2—卜,=2—N=〃x),.?.”X)為偶函數.

(3)：函數〃尤)的定義域為｛-1,1｝,關于坐標原點對稱，/(-1)=。)=0

既是奇函數也是偶函數.

(4)/(無)的定義域為區.

..小、"內+11(1+葉(川)1+[(1+葉(1)1

Vl+X2-X+lJl+f+x+l++++X+1)

???/(—X)=—/(九)，???/(%)為奇函數.

5.函數〃x)=|^(xeR).

(1)判斷并證明函數,⑺的單調性；

(2)判斷并證明函數〃尤)的奇偶性；

(3)解不等式/(l-m)+/(l-m2)<0.

2X-12

[?](1)/?=—=1--,mxpx2eR,令yx2,

則"為)T⑷J]一六)“一告)=11)’

,/%<三則2項<2%，可得2為一2?<0,24+1>0,2爸+1>0,

.../(再)_f(/)<0即/(占)<f(x2),：.函數Ax)在R上遞增.

⑵/(X)的定義域為R,

2X-12-12X-11-2X

f(x)+f(-x)=-----1-----------1-----=0即/?=-/(-%),

2X+12~x+l2r+l2X+1

/./(x)為定義在R上的奇函數.

(3)f(l-m)+/(I-TH2)<0gp/(I-rri)<-/(l-m2)=/(m2-l),:函數f(x)在R上遞增,

1一根<4-1即W|加<-2或〃7>1}.

6.已知函數〃x)對一切實數無,yeR都有〃x+y)=/(x)+/(y)+l成立，且"3)=2021.

⑴分別求〃0)和〃-3)的值；

⑵判斷并證明函數F(x)=/(x)+l的奇偶性.

【解析】⑴因為函數/(X)對一切實數都有/(尤+y)=/(尤)+/(y)+i成立，"3)=2021,

所以當x=y=0時〃0)=/(0)+/(0)+1,即〃0)=—1,

令尤=一3,〉=3可得/(0)=/(-3)+/(3)+1,所以一1=/(-3)+2021+1,即〃-3)=-2023

⑵令y=-%可得/(0)=/(x)+/(t)+1,所以/?+/(-%)=-2,

所以/(尤)+1+/(—尤)+1=0,gpF(-x)+F(x)=0,F(-x)=-F(x),

所以函數F(x)=/(x)+1是奇函數.

7.已知函數/'(X)滿足/(x+y)=/(x)+/(y)(x,yeR).

⑴求/(0)的值；

⑵求證：f(-x)=-f(x)-

(3)^/(2)=75,求“200)的值.

【解析】⑴因為〃尤+y)=〃x)+〃y)(尤,yeR),令x=y=o,則〃0+0)=〃0)+〃0),所以〃o)=o；

(2)因為〃x+y)=〃x)+〃y)(x,yeR),令，=一右則〃O)=〃X)+/(T),X/(0)=0,

所以〃x)+/(r)=O,B|Jf(-x)=-/(%)；

(3)因為f(x+y)=/(x)+f(y)(x,ywR)且/(2)=小,所以"4)=〃2)+/(2)=2〃2),

/(8)=/(4)+/(4)=4/(2),/(16)=/(8)+/(8)=8/(2),/(32)=/(16)+/(16)=16/(2),

〃64)=〃32)+〃32)=32〃2),〃36)=/(32)+〃4)=18/(2),所以〃100)=〃64)+/(36)=50/(2),

/(200)=/(100)+/(100)=100/(2)=100A/5；

8.設函數〃X)對任意尤,yeR,都有/(x+y)=/(x)+/(y),且當尤>0時，f(x)<0.

⑴證明：〃元)為奇函數；

(2)證明:/(x)為減函數，

⑶若/(-1)=1,試求關于加的不等式/(2病+1)-/(療+時>-3的解集.

【解析】(1)證明：因為函數“力對任意羽蚱〉,都有〃x+y)=/(x)+/(y),

所以令x=y=o,則〃0)=2〃0),得以令=0,令"-X,則有/(0)=/(x)+/(r),

所以/(x)+/(r)=0,即〃—x)=—/(x),所以“力為奇函數

(2)證明：設%>%,則％=(占一%)+馬，而玉-龍2>。時，有-3)<0,則

/(%)-/(%)=/[(^i-x2)+x2]-f(x2)=f(x1-x2')+f(x2)-f(x2)=f(xl-x2)<0,

所以/(%)</(%)，所以〃x)為減函數

⑶因為為奇函數，f(T)=l，所以〃1)=一1,

所以/(2)=/(I+1)=/(1)+/(1)=-2,所以/(3)=/(2+1)=/(2)+/(1)=-3,

所以不等式/Q〃/+1)-/("，+"。>-3可轉化為f(2nr+1)>/(療++/(3)=f^m2+m+3),

因為/"(X)為減函數，所以2加2+1<+m+3,m2-m—2<0,解得—1</九<2,

所以不等式的解集為(-1,2)

專項突破二利用奇偶性求函數值或解析式

1.已知〃尤)是定義在R上的奇函數，且x>0時，”x)=x(尤-26)，則/GHAT"()

A.27B.-27C.54D.-54

【解析】由已知可得/(9)=9X(9-2次)=27,/(-4)=-/(4)=-4X(4-274)=0,

因此，/(9)+〃T)=27.故選:A.

2.設為奇函數，且當x?0時，f(x)=x2+x,則當x<0時，〃x)=()

A.x2+xB.—x2+x

C.—xD.—了?一不

【解析】設x<0,則一x>0,所以/(-x)=x2-x,

又f(x)為奇函數,所以/卜)=-/(-』)=-(爐-1)=-爐+1,

所以當x<0時，/(x)=—X?+x.故選：B.

e'x>0/1)

3.已知函數=<g(；)為偶函數，貝l|g[ln、=()

A.2B.~C.—2D.—

22

【解析】函數〃尤)為偶函數，，當x<0時，-x>0,/(-x)=e-\-.f(x)=e-z,

即g(x)=e\又ln；=-ln2<0,故g(ln￡|=e*=e*=2.故選：A.

4.已知y=/Q)為奇函數且對任意xeR,f(x+2)+f(x)=0,若當xe[O,l]時，/(x)=log2(x+a),則

/(2023)=()

A.-1B.0C.1D.2

【解析】/(x)是在R上的奇函數，.?.〃。)=0,帶入“x)=log2(x+a)得a=l,

即/(x)=log2(x+l)(xe[O,l]),f(x)+f(x+2)=0,f(x+2)^-f(x)=f(-x),

f(x)=f(-x+2)=f(2-x),關于直線尤=1對稱，

即原點(0,0)是/(x)的對稱點，是對稱軸，

故函數f(無)是周期為4x(1-0)=4的周期函數，

/(2023)=f(506x4+(-1))=f(-1)=-f(1)=-log2(1+1)=-1,故選：A.

5.已知是R上的奇函數，且當x>0時，=2022x-f,若〃1)+2022/(0)=2024,貝ij"-2)=()

A.2020B.-2020C.4045D.-4045

【解析】因為/(%)是R上的奇函數，所以/(。)=0,

所以〃1)+2022〃0)=2022—a=2024,得°=一2,所以當x>0時，〃x)=2022x+*,

X

2

所以/(-2)=-f(2)=-(2022x2+-)=T045.故選：D

6.函數尤)滿足〃%+2)+/(力=2/(1),xeR,函數y=〃％-1)的圖象關于點(1,0)對稱，貝葉(2022)=

()

A.-8B.0C.-4D.-2

【解析】???>=/(尤T)關于(1,0)對稱，.?.yn/。)關于(0,0)對稱，即y=/(x)是奇函數，

令X=-L得，/(-l+2)+/(-D=2/(l),gp/(I)-/(1)=2/(1),解得/⑴=o.

：.f(x+2)+f(x)=2/(1)=0,即f(x+2)=-/(%),

Af(x+4)=f(x),即函數的周期是4..../(2022)=/(4*505+2)=/(2)=-"0)=0.故選：B.

7.若定義在R上的偶函數〃尤)和奇函數g(x)滿足/(x)+g(x)=e\則g(x)的解析式為g(x)=.

【解析】由題意得：/(T)+g(T)=eL即/⑺-g(x)=e-x①，〃尤)+g(尤)=e工②,

②-①得：2g(x)=e、-e-r，解得：g(x)=上1J.

8.設函數/(x)=xcosx+2,若〃%)=一100,則“_彳0)=.

【解析】函數〃x)=xcosx+2的定義域為R,令g(x)=xcosx,xwR,

貝g(-x)=(-x)cos(-x)=-xcosx=-g(x),gpg(-x)=-g(x),所以g(元)為奇函數；

因為〃%)=g(Xo)+2=—lOO,所以g(%)=-102,貝他(—與)=1。2,

所以x0)=g(-x0)+2=102+2=104.

ny-I-/i19

9.若已知函數兀c)=W是定義在(一1,1)上的奇函數，且/(5)=M，則函數加0的解析式為.

【解析】:外尸是定義在(一1,1)上的奇函數，.\/(o)=o,.\/(o)=U=。,??./?=().

a

ax192c2Y

即兀l)=產y,又/()=￡,???一r—=￡..??。=1,???函數外)=鼻.，經檢驗符合題意.

1+x25//人25l+x

10.E^D/(x)=atanx+Z?sin2x—3,且/(2)=—1,則，(一2)=.

【解析】/(2)=atan2+Z?sin4-3=-l,故atan2+/?sin4=2,

所以/(-2)=〃tan(-2)+bsin(~4)_3=_(atan2+Z?sin4)_3=_2_3=_5

11.已知函數/⑶是定義在R上的偶函數，且當時，/(x)=-x(l+x).

(1)當x<0時，求八九)的解析式；

⑵若/(%)=—2,求％的值.

【解析】⑴(1)當元<0時，—x>0,所以x)(l—%)=%(1—%),

又/(x)是偶函數，，/(―x)=/(x),???/(—x)=-(—x)(l—x)=x(l—%)=/(%),

所以當％<0時，f(x)=x(l-x)；

⑵當/(%)=—2時，

當x<0時，/(%)==—2,BPx2—%—2=0解得光=—1(%=2舍去)，

當x>0時，f(-^)=-x(l+x)=—2,.x=l(x=-2舍去)，

綜上，了=-1或x=l.

12.若奇函數/⑶在定義域(TJ)上是減函數，若-IvxvO時，/(X)=-X2-2X,

⑴求了(九)的解析式；

(2)求滿足/(I-機)+/(I-病)<0的實數機的取值范圍

【解析】(1)因為“%)是定義域(-M)上的奇函數，

所以對于任意%￡(-U),貝i」/(—%)=—/。)，且/(0)=0.設0<%vl,則—1<—xvO,

由已知得f(x)=—f(—x)=—[―(―x)2—2(—x)]=X2—2x,而f(0)=。滿足上式，

一%?—2x,-1<x<0

所以/(%)=

X2-2X,0<X<1

(2)由于/(九)在定義域(-U)上是減函數，且為奇函數,

所以/(I—m)+/(I-m2)<0,即—<-/(1-m2)=>/(1-m)</(m2-1),

-1<1-m<1

所以有“-l<m2-l<l^>0<m<l,所以m的取值范圍為0<相<1.

1-m>m2-1

專項突破三由奇偶性解不等式

1.已知函數尤%則關于x的不等式“2尤-l)</(x+3)的解集為()

—00,——jU(4,+00)

A.B.(-1,2)

D.(-1,4)

C.(ro,-l)u(2,+oo)

【解析】/(X)的定義域是R,/(-幻=b+e=(-無>=/(x),故/(a)是偶函數,

又八%)=e"—e-x-2x,

令g(x)=e，-尸-2x,g'(x)=ex+e~x-2>2心b-2=0,當且僅當X=0時取等號,

??./(%)在R單調遞增,而尸(0)=0,

.?.天￡(-",0)時，/\x)<0,/(%)遞減，％w(0,+oo)時，f(x)>0,/(%)遞增,

故由心一1)</(九+3)得|2]—1|<|%+3|,

79

解得\<x<4,即不等式〃2x—l)</(x+3)的解集為(-￡,4),故選：D

。J

2.設“力是定義在R上的奇函數，且當x>0時，〃力=/—8,則/(左一2)<。的解集為()

A.(^4,0)u(2,+oo)B.(0,2)u(4,+co)

C.(f0)_(2,4)D.(-4,4)

【解析】/(2—2)=/(0)=0；x-2>0即x>2時，/(尤一2)=(無一2)3—8<0,x-2<2,即x<4,可得2cx<4,

當x<0時，一x>0,/(x)=-f(-x)=-[(-x)3-8]=x3+8,

因止匕x<2即x-2<0時，/(x-2)=(x-2)3+8<0,x-2<-2,所以x<0,

綜上，不等式的解集為2Vx<4或x<0.故選：C.

x

3.已知函數,⑺為偶函數，且當尤20時，f(x)=e-COsx,則不等式/(尤一3)-/(2尤-1)<0的解集為()

A.-4B.(-℃,-2)

D.(-co,-2)uf|-,+co

C.(-2,+00)

【解析】當x?0時，f(x)=ex-cosx,所以尸(x)=e*+sinx,因為x20,所以/21,

即八x)21+sinM0,所以函數/'(x)在[0,+")上單調遞增，又因為函數/(x)為R上的偶函數,

所以函數/⑺在(-%0]上單調遞減.則不等式f(x-3)-/(2x-l)<0,

即/(尤一3)</(2彳-1)等價于上一3卜|2元一1],解得尤<一2或x>[.故選：D.

4.函數〃x)在(F,M)單調遞增，且為奇函數，若"2)=1,則滿足T<〃x+3)W1的x的取值范圍是()

A.[-3,3]B.[-2,2]C.[-5,-1]D.[1,5]

【解析】/(x)為奇函數，"(f)=-/(x),又/(2)=1,2)=1,

則-1V/(X+3)V1可化為:/(-2)</(x+3)</(2),

/(%)在(72,+00)單調遞增，；.—2Vx+342,解得：—5<x<—1,彳的取值范圍為[―5,—1].故選：C.

5.已知函數f(x)是定義在R上的偶函數，且在區間(-%。)上是減函數，/(1)=0,則不等式〃1嗎力>0的

解集為()

AJO,；]B.(2,+s)

C.g，l]u(2,+?0D.同卜⑵+⑹

【解析】因為函數/(X)是定義在R上的偶函數，且在區間(-8,0)上是減函數，

所以，函數外力在(0,+向上是增函數，所以〃1幅力>0=川1幅可>〃1),即有|1晚引>1,

所以log2X>l或log?尤<-1,解得x>2或0<x<g.故選：D.

6.設〃元)是奇函數，且在(0,+8)上是增函數，又〃-3)=0,則獷(力>0的解集是()

A.(-3,0)D(3,+oo)B.(-co,-3)D(0,3)

C.(-00,-3)u(3,+8)D.(-3,0)D(0,3)

【解析】函數/(%)為奇函數，「?/(—3)=—/(3)=。/./⑶=0,?函數在(。，+8)上是增函數，

/、z、x<0

???函數在(―8。)上是增函數，，對于元?〃力<。，需｛/⑴<0,解得x<—3，

x>0/、/、

或｛40>0,解得x>3,\x的范圍是(ro,-3)u(3,+co).故選：C.

x2+2x,x<0

7.已知函數〃x)=若/(-。)+/(。)<0,則實數。的取值范圍是()

x2—2x,x>0

A.(-2,2)B.[-2,0]

C.(-2,0)_(0,2)D.[-2,2]

x2+2x,x<0

【解析】由題意，函數〃x)=

x2-2x,x>0'

根據二次函數的性質，作出函數f(x)的圖象，如圖所示,

結合圖象，可知函數/(X)的圖象關于y軸對稱，即函數f(x)為偶函數,

所以/(一a)+/(“)=2〃a)<0,即〃a)<0,

當時，不等式/(。)<0,即為“2-2a<0,解得0<。<2；

當。<0時，不等式/(。)<0,即為/+2°<0,解得一2<。<0,

綜上可得，實數。的取值范圍是(-2,0)(0,2).故選：C.

8.若函數“X)是奇函數，且在(-8,0)上是減函數，又/(-1)=0,貝i]"(x)<0的解集是()

A.(-1,0)L(0,1)B.(-8,-1)5。,1)

C.(-oo,-l)<J(l,-H?)D.(-1,0)51,+°0)

【解析】：/(X)在(-8,0)上是減函數且/(T)=0,

.,.當x<-l時,/?>0,當T<x<0時,/(x)<0.又:/⑺是奇函數,

由函數圖象的對稱性知：當0<x<l時，/(%)>0,當x>l時，/(x)<0.

x>0,jx<0

??.不等式獷(無)<0,等價于/0)<。或[/(無)>0

即不等式的解集為(F,-1)51,y).故選：C.

9.已知函數F(x)=xln(Jx2+1),貝|/0+1)+/(24--1)勺。的解集為.

【解析】由題意知，定義域為R,7(-%)=-%-In(7M+1)=-/(%),故AM為奇函數，又

/V)=ln(V77Tj+x.1-^=ln(777T)+-^->0,故/⑴為增函數，

由/(x+l)+/(2x-l)V0可得/(x+l)V-/(2x-l)=/(l-2x),即x+141—2x,解得xVO.故答案為：{x|x<0}.

10.已知定義域為［-2,2］的函數在［-2,0］上單調遞增，且/'(xHA-xhO,若〃_1)=一g,則不等式

/(2^-1)<|的解集為.

【解析】因為定義域為［-2,2］的函數f(x)在［-2,0］上單調遞增，且/(x)+/(-%)=0,

所以函數〃x)在［-2,2］上為奇函數，且在［-2,2］上單調遞增，又〃-1)=一：，所以〃i)=g,

又不等式等價于/(2x—l)W/(l),所以一242X—141,解得一;WxWl,

所以不等式〃2x-l)V1的解集為，［1.

11.已知/(X)是定義在R上的偶函數，其導函數為尸(X).若x>0時，f\x)>2x,則不等式f(2x)-f(x-l)V

3d+2x-1的解集為.

【解析】/'(x)>2xn/3-2x>0n［f(x)-x［>0,

g(x)=/(x)-尤2在［0.+OO)上是增函數，且g(x)為偶函數，

由f(2x)-f{x-1)<3x2+2x-1?f(2x)-(2x)2</(x-1)-(x-1)2,

.?.|2刈4|尤一1|,解得一IVXM；,解集為-1,1

12.已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，當時，“尤)=xTogJx+l).

⑴求函數“X)在(-8,0)上的解析式；

/、

(2)求不等式/log/+〃log2(2x-l))<0的解集.

I27

【解析】⑴當x<0時，—%>0,/(%)=-/(T)=——X-logi(-x+l)=x+logj(-X4-1).

_5」5

所以函數“X)在(一8,0)上的解析式為“x)=X+logKT+l)(x<0).

2

(2)當x20時，〃x)=x+log2(x+l)為增函數，所以“尤)在R上為增函數.

由/log工元+/（log2（2x-l））＜0得/（log?。尤log]x=f-log,=f（log2x）,

\27k27k27

0<2x-l_

log（2x-l）<log%,所以

222x-l<x

X＜1—

所以不等式/log[xj+/（log2（2x-l））＜0的解集為D

專項突破四利用奇偶性求參

1.若函數=為奇函數，則實數。的值為（）

A.1B.2C.-1D.+1

【解析】由/（X）為奇函數，所以/（一封+/（幻=二±3+二±^=*生二+1±3=0,

'/2~x-a2X-al-a^22x-a

所以22-2R2*=0,可得。2=1,解得a=±l,

當a=-L時，/⑺的定義域為R,符合題意，

當4=1時，/（X）的定義域為（T,0）U（0,+00）符合題意，故選：D

2.已知函數〃"=（1+看）是偶函數，則機的值是（）

A.-2B.-1C.1D.2

【解析】函數的定義域為｛元|XH。｝,

因為函數=是偶函數，所以=

所以H=1+2，所以心心=2,得…

=lx1+故選：A

e-11-e1-e

3.若函數小）=（3"+?"'cosS+ZxJ為偶函數，則實數0=（）

A.-9B.3C.-3D.9

【解析】由題意，函數十）=（31-叱3-1人心=30'-今打心為偶函數,

因為函數y=3sin2x為奇函數，所以g（x）=3,-33r為奇函數，

由g⑼=3。*3。=0,可得[=1,解得。=9.故選：D.

4.若函數/（尤）=21'+時-1（〃蚱！1）為偶函數，設。=/（2"'）,b=/（log°23）,c=/（2°3）,則a,6,c的大小關系為

A.a<c<bB.a<b<cC.c<b<aD.b<a<c

【解析】函數/(X)=2|J+m|-l(rneR)為偶函數，/(x)=/(f)恒成立，

升+m=2i+，*恒成立，即〃?=0,/(%)=2兇-1在xe(0,+oo)單調遞增，

03

所以a=f(X),b=/(log023),c=/(2),

0303

a=fW,b=/(log。23)=/(-log53)=f(logs3),c=/(2),0<log53<1<2

所以6<a<c.故選：D

5.已知函數〃x)=，為偶函數,則。=.

、2-x+a-2x2-x+a-2x、2x+a-Tx

【解析】由題設，“T)=M3=Br="x)=Br，所以a=L

6.函數〃%)=(x+a)0x+2〃)是偶函數，且它的值域為(—,2],貝卷十萬=.

【解析】/(x)=(x+tz)(Zzx+2tz)=Zzx2+(2〃+〃人)％+2/為偶函數，

所以2a+/=0,即a=0或人=一2,

當a=0時，/(力=桁2值域不符合(7),2],所以。=0不成立；

當6=-2時，f(x)=-2x2+2a2,若值域為(f,2],則/=i,所以/+6=7.

7.若函數/(苫)=/-加+依在國,2+0上為奇函數，則a+6=.

【解析】因為函數/(彳)=丁-法2+必在[3°,2+0]上為奇函數，所以3。+2+“=0,得a=_g,

2

又f(-x)=一f(x),即(一幻3一久一無了-l(-x)=-x3+bx,即2加=o恒成立，

所以b=0,所以。+6=-1.

8.已知/(x)是奇函數，且當x>0時，/(x)=-ln(ax).^/(-e2)=l,貝|.

【解析】由題設知：a>0,

又Ax)是奇函數，所以"-e2)=-/(e2)=ln(ae2)=lna+2=l,可得a=L

e

9.已知函數〃力=111(非+1)一x是偶函數，則實數a的值為.

【解析】由題意知：定義域為R,函數〃x)=ln(e、l)-x是偶函數,

(ax.i\

則〃f)=ln(ee+l)+x=〃x)=ln(e、l)-x,即In廣石=2x,化簡得Ine"=2無，解得a=2.

10.已知函數/(x)=[e，-21n(4^-x)為R上的偶函數，則實數a=.

【解析】由偶函數得了(一元)=/(元)，

即(二—e')ln(+a+x)=(e'——)ln(J。+a—x)對xeR恒成立

ee

整理得(Le，)lna=0,故lna=0,o=l

ex

11.已知函數/(x)=e2'+b+1是定義域在R上的奇函數,且"2)="

2"+15

⑴求實數。，(的值;

(2)解關于x的不等式：flogl(2x-2)+flog2(l-l%)>0.

_2JL2-

【解析】(1)因為/'(X)是定義域在R上的奇函數，故可得"0)=0，即=—+l

又〃2)=|,故可得4"?+l=g,即4“+b=5；解得。=2,6=-3.

⑵由(1)知人)=22_2=2(2'+1卜4_2__乜，下證/(元)是R上的單調增函數.

')2%+12,+12工+1

444(24_2*)

令占>々，故可得/(%)-/每)=罰-云w-Qhl)"+l)'

因為>=2,是R上的單調增函數，故可得24-2爸>0,又2*+1>0,2』+1>0,

42X1-Y1

故7———J>0,貝廳&)>/(%),即證〃尤)為R上的單調增函數，又〃尤)為奇函數,

(22+1)(2%1+1)

+/log(l-1x)>0,即/log,(2%-2)N-flog2(l_gx)

故/log。龍-2)2

_2,-2」2

Nf-log(l-1x)=flogi(l-|j;)

flog,(2x-2)2

_2

也即logJ2x-2