專題06分式方程及應用過關檢測

（考試時間：90分鐘，試卷滿分：100分）

一.選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分）。

1.下列方程不是分式方程的是（）

%6?105X%

A-3=xB.三=0C.百=2D.3=-3

【答案】D

【分析】本題考查了分式方程的定義，由分式構成的方程即為分式方程，據此進行逐項分析即可作答.

【詳解】解：A,f=p分母含有未知數，是分式方程，故該選項不符合題意；

B、丑=三，分母含有未知數，是分式方程，故該選項不符合題意；

C、告=2,分母含有未知數，是分式方程，故該選項不符合題意；

YY

D、§3,分母不含有未知數，不是分式方程，故該選項符合題意；

故選：D.

2.解分式方程:-愛=1,去分母后，結果正確的是（）

A.3—1—x=1B.3—1+%=1

C.3-1+%=3%D.3—1—x

【答案】c

【分析】本題考查分式方程去分母的知識，分式方程中的分母分別為X和3羽確定出最簡公分母為3x；

再根據等式的基本性質，給方程兩邊同乘最簡公分母，問題即可迎刃而解.

【詳解】解：

方程的兩邊同乘3%,得3—（1—x）=3x.

整理得，3-1+x=3x

故選：C.

3.某施工隊挖一條240m的渠道，開工后，每天比原計劃多挖20m,結果提前2天完成任務.若設原計劃

每天挖xm,則所列方程正確的是（）

c240240rr240240

c-7^--=2D-=20

【答案】A

【分析】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，關鍵是根據“每天比原計劃多挖20m,結果提前2天

完成任務”列方程求解.設原計劃每天挖xm,根據“每天比原計劃多挖20m,結果提前2天完成任務”

可列出方程.

【詳解】解：設設原計劃每天挖xm,根據題意得：

240240

------------=2

xx+20

故選A.

4.關于x的方程笞=1的解是正數，則。的取值范圍是()

X—1

A.a>-1B.a>-1且aHOC.a<—1D.a<—1且a7—2

【答案】D

【分析】本題考查了含參數的分式方程的求解，將分式方程轉化為一元一次方程是解題關鍵.只需在方

程兩邊乘x—l,化為整式方程，求出x=-l—a,再根據解是正數得到一即可求解.

【詳解】解：方程兩邊乘％—1,得2x+a=x—1,

解得：x=-1-a,

...方程箸=1的解是正數，

一1-a>0日.一1一a豐1,

解得：a<—1,且a牛一2,

故選：D.

5.某校在"植樹節”期間帶領學生開展植樹活動，甲、乙兩班同時開始植樹，甲班比乙班每小時多植3棵樹,

植樹活動結束時，甲、乙兩班同時停止植樹，甲班共植70棵樹，乙班共植50棵樹.設甲班每小時植x

棵樹，依題意可列方程為()

7050?

B.—=--3

XX

70_5070_50

D.

%—3xx+3x

【答案】A

【分析】本題考查分式方程的實際應用，甲班每小時植x棵樹，則乙班每小時植(x-3)棵樹，甲班植70

棵樹所用的時間與乙班植50棵樹所用的時間相等，可列方程，即可判斷出錯誤的選項.

【詳解】解：設甲班每小時植x棵樹，則乙班每小時植(%-3)棵樹，根據題意，得：

7050

~~x-3,

故選：A

6.隨著快遞業務的增加，某快遞公司為快遞員更換了快捷的交通工具，公司投遞快件的能力由每周3000

件提高到4200件，平均每人每周比原來多投遞40件，若快遞公司的快遞員人數不變，求原來平均每人

每周投遞快件多少件？設原來平均每人每周投遞快件X件，根據題意可列方程為（）

300042003000，八4200

A.——=——B.——+40=——

【答案】D

【分析】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，設原來平均每人每周投遞快件x件，則現在平均每人

每周投遞快件（久+40）件，根據人數=投遞快遞總數量十人均投遞數量，結合快遞公司的快遞員人數不變,

即可得出關于無的分式方程，此題得解.

【詳解】解：設原來平均每人每周投遞快件x件，則現在平均每人每周投遞快件（％+40）件，

根據快遞公司的快遞員人數不變列出方程，得：誓=鬻，

故選：D.

7.我國明代《永樂大典》記載"綾羅尺價"問題："今有綾、羅共三丈，各值錢八百九十六文，上."其大意

為："現在有綾布和羅布長共3丈（1丈=10尺），已知綾布和羅布分別出售均能收入896文，」."設綾

布有x尺，則可得方程為120-等=髭，根據此情境，題中"表示缺失的條件，下列可以作為補充

條件的是（）

A.每尺綾布比每尺羅布貴120文

B.每尺綾布比每尺羅布便宜120文

C.每尺綾布和每尺羅布一共需要120文

D.每尺羅布比每尺綾布便宜120文

【答案】C

【分析】本題考查分式方程的應用，理解方程的意義是解題的關鍵.

設綾布有x尺，則羅布有（30-x）尺，再表示每尺綾布和每尺羅布需要的費用，最后根據所列的方程求解

即可.

【詳解】解：設綾布有x尺，則羅布有（30-%）尺，

???綾布和羅布分別出售均能收入896文，

，每尺綾布的費用為學元，每尺羅布的費用為總元，

“八896896

；12。一「訴,

建+署=120,

???可以作為補充條件的是：每尺綾布和每尺羅布一共需要120文.

故選：C.

8.已知不透明的袋中只裝有黑、白兩種球，這些球除顏色外都相同，其中白球有4個，黑球有x個，若隨

機從袋子中摸出一個球，記錄下顏色后，放回袋子中并搖勻，經過大量重復試驗發現摸出黑球的頻率穩

定在0.6附近，則x的值為（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】本題主要考查了用頻率估計概率，一已知概率求數量，解分式方程，大量反復試驗下，頻率的

穩定值即為概率值，則摸出黑球的概率為0.6,再由概率計算公式建立方程求解即可.

【詳解】解：???經過大量重復試驗發現摸出黑球的頻率穩定在0.6附近，

二摸出黑球的概率為0.6,

??.*=0.6,

解得久=6,

經檢驗，％=6是原方程的解，且符合題意，

故選：B.

9.解分式方程—+含=3時，可以選擇換元法，如果設丫=子，那么原方程可化為關于y的分式方程,

去分母化為關于y的一元二次方程的一般形式是（）

A.y2—3y—2—0B.y2+3y+2=0C.—3y+2=0D.+3y—2—0

【答案】C

?r2

【分析】本題考查了換元法解分式方程，根據方程的特點先換元，再解分式方程；由題意得方式=7,原

xz—2y

2

方程變為簡單的分式方程y+1=3,去分母即可.

【詳解】解：設丫=七，則

x%z-2y

2

原方程變為y+1=3,去分母得：y2-3y+2=0；

故選：C.

10.若關于x的不等式組無解，且關于y的分式方程舞-1=號的解為整數，則滿足條件

的整數a的值為()

A.2或3B.2或7C.3或4或7D.2或3或7

【答案】D

【分析】本題考查一元一次不等式組的解，分式方程的解，先解不等式組，再解分式方程，從而確定a

的取值，進而解決此題.

【詳解】解:解不等式組產：詈金+6,得：｛3號匕,

??.不等式組無解，

：.a-l>1,

/.a>2,

分式方程舞-1=號，

方程的兩邊同時乘(y—2)，得，ay—5—y+2=3,

整理得，(a-l)y=6,

???方程有整數解，

??-a—1=±1或士2或±3或±6,

.,.a=2或a=0或a=3或a=—1或a=4或a=—2或a=7或a=—5,

,?,a>2,yH2,

.,.aW4,

.,.a=2或a=3或a=7,

故選：D.

二.填空題(本題共6題，每小題2分，共12分)

11-若云+i—L貝!Jx=

【答案】-5

【分析】本題考查了解分式方程，掌握將分式方程化為一元一次方程求解的方法是解題的關鍵，注意

最后要檢驗根是否符合題意.

將分式方程化為一元一次方程得X-4=2久+1,根據解一元一次方程的方法即可求解.

【詳解】解：*=1，

X—4=2%+1,

移項得，x-2x=l+4,

合并同類項得，—x=5,

系數化為1得，%=—5,

檢驗，當久=-5時，原分式方程的分母不為0,

???原分式方程的解為刀=-5,

故答案為：-5.

12.已知甲碼頭與乙碼頭相距36千米，一輪船往返于甲，乙兩碼頭之間，輪船由甲碼頭順流而下到乙碼頭

所用時間比逆流而上所用時間少2小時，已知水流速度為3千米/時，求船在靜水中的速度，設船在靜

水中的速度為“千米/時，根據題意列方程為—.

【分析】本題考查由實際問題抽象出分式方程.根據等量關系：輪船由甲碼頭順流而下到乙碼頭所用

時間比逆流而上所用時間少2小時，列方程即可.

【詳解】解：依題意有：碧一碧=2,

故答案為：碧-瑞=2.

13.方程等=：的解為.

【答案】%=5

【分析】本題考查解分式方程，熟練掌握分式的解法步驟是解答的關鍵，注意結果要檢驗.先去分母

化為整式方程，進而解整式方程即可求得方程的解.

【詳解】解：去分母，得4=x—1,

移項、合并同類項，得X=5,

經檢驗，尤=5是原分式方程的解，

故答案為：%=5,

14.從1,2,3,4,5這五個數字中，隨機抽取一個數記為a,則使得關于x的分式方程三1=1的解為正數

的概率為.

【答案】|/0.4

【分析】此題考查了概率公式的應用，解分式方程，根據已知條件得出a的取值范圍，然后利用概率公

式求解即可.

【詳解】解：?.?當=1,

X一1

.?.a—3=%—1,

解得％=a-2,

???關于X的分式方程分=1的解為正數，

：.x=a-2>0,且久Hl,

.,.a>2,且

??.1,2,3,4,5這五個數字中，使得關于x的分式方程W=1的解為正數的。可以為4,5,

X—1

???解為正數的概率為9

故答案為：

111

15.對于實數a,b,定義一種新運算"*":&*6=>三，等式右邊是實數運算.例如：1*3=^-5=--,

a—b1—3o

則方程X*(-2)=右的解是X=.

【答案】-1

【分析】本題考查了新定義、分式方程的解法，解題的關鍵是理解題中給出的新運算法則及分式方程

的解法.根據題中的新運算法則列出分式方程，再根據分式方程的解法解答即可.

1

【詳解】解：,?,%*(-2)=/J，

11

,\2-(-2)2=7^2

1______1

去分母得1=%+2,

解得：X=-1,

經檢驗，％=-1是原方程的解，

故答案為：-L

16.關于x的分式方程七+三：=1的解為非負數，則二次函數曠=。2-12。+39的最小值是.

【答案】4

【分析】本題考查的是分式方程的解，解分式方程，二次函數的性質，先解方程可得x=5-a,根據解

為非負數可得a<5且a73,再利用二次函數的性質可得結論.

【詳解】解：???/+W=i，

.,*1—u+2=x—2,

：.x=5—a,

???關于x的分式方程之+>|=i的解為非負數，

：.x=5—a>0,且5—aH2,

解得：a<5且aW3.

??,二次函數y=a2-12a+39=（a-6）2+3,

???當a<6時，y隨。的增大而減小.

,.,a<5且Q。3,

???當a=5時，二次函數y=a2-12a+39的最小值為4.

故答案為：4

三.解答題（本題共7題，共58分）。

17.（8分）解方程：

（1）為+展=1；（2）E=廿2?

【答案】⑴*=4

（2）無解

【分析】⑴按照解分式方程的基本步驟求解即可.

⑵按照解分式方程的基本步驟求解即可.

本題考查了分式方程的解法，熟練掌握解分式方程的基本步驟是解題的關鍵.

【詳解】（1）解：???&+而=1,

去分母，得

2

3+x（x-3）=X~9,

去括號，得

3+X2~3X=久2—9,

移項，得

%2—3x—%2=—9—3,

合并同類項，得3%=12,

系數化為1,得％=4,

經檢驗，x=4是原方程的根,

故x=4是原方程的根.

去分母，得

1-久=—1—2(x—2)>

去括號，得

1—x=—1—2%+4,

移項、合并同類項，得

x=2,

經檢驗，無=2使得分母無意義，是原方程的增根，

故原方程無解.

18.(8分)已知關于x的方程黑-工=嘿.

久十33—XX—9

(1)若m=-3,解這個分式方程；

⑵若分式方程無解，求小的值.

【答案】⑴x=5.5

4

(2)m=—l,m=2,m=--

【分析】本題主要考查解分式方程，掌握解分式方程的方法，理解分式方程無解的含義是解題的關鍵.

(1)把?1=-3代入分式方程，將分式方程轉換為整式方程計算即可求解，注意要檢驗根是否符合題意;

(2)根據原分式方程無解“原分式方程的分母為零；原分式方程化成整式方程后，整式方程無解"由此

即可求解.

,/、“am1m+4

【詳解】(1)解：-x+-3---3---x-~--x-2--9f

把m=—3代入分式方程，得施一上=,，

方程兩邊乘(x-3)(%+3)，得-3(%—3)+(x+3)=I,

整理得，2%=11,

解得，x=5.5,

檢驗：把x=5.5代入(X-3)(X+3)。。，

???x=5.5是原分式方程的解.

當(久+3)(尤-3)=。時，％=±3,

方程兩邊都乘最簡公分母(x—3)(x+3)，得-3)+(x+3)=m+4,

整理，得(m+1)%=1+4m,

???原分式方程無解，

m+1=0,

解得，m=-1,

把久=±3代入巾(X一3)+Q+3)=巾+4,

當x=3時，3+3=m+4,

解得，m=2；

當x=-3時，(一3—3)6=血+4

4

解得，m=--；

4

綜上所述，m=-l,m=2,m=

19.(8分)觀察發現：《7=1";2=:9E=9)，…根據你發現的規律，回答下列問題：

_LXZNZX3/5OXT1JT-

1111

⑴利用你發現的規律計算：京+礪+痂:+…+nx(n+l)-

1111

(2)靈活利用規律解方程：xQ+2)+(x+2)(x+4)+…+(x+98)(x+100)=x+100-

【答案】⑴信

(2)%=50

【分析】本題考查了分式的混合運算，解分式方程，關鍵是根據算式的特點，把分式拆分成兩個分式

的差;

（1）根據規律即可完成；

（2）根據規律進行拆分，最后解分式方程即可.

11_1

由題意得:

【詳解】（1）解:n(n—1)71—1n

-----1------1------1---+---------

1x22x33x4nx(n+l)

y1111111

-1——+———+———+...H--------

22334nn+1

1

=1n+1

n

n+1*

(%+2)(%+4)=5G瓦一哀J(%+98)(久+100)-2(98-x+lOo)'

（2）解:,?,康=照-2），%+

------+-------------I---+---------------

x(x+2)丁(x+2)(x+4)丁丁(%+98)(%+100)

=

1(1一+)+X+-士)+…+:扁-

1,11111_1、

2(久x+2+x+2x+4+■,,+x+98久+100,

=照久+100）

_50

x(%+100)，

50_1

"%(%+100)-x+100,

：.x—50或%=—100.

經檢驗，當久=50時，x(x+100)^0；當％=100時，%(%+100)=0.

-x=5°是XQ+IOO)="而的解?

20.（8分）云南昭通蘋果含糖量高，風味濃，肉質脆，比較細嫩，美味可口，今年李叔叔家種植的昭通蘋

果又獲得豐收，先人工采摘了1800公斤蘋果，然后引入采摘機器采摘了5400公斤，已知機器采摘的效

率（單位：公斤/天）是人工采摘效率的5倍，機器采摘用時比人工采摘還少2天

⑴求機器采摘蘋果的效率；

⑵李叔叔把這兩次采摘的蘋果批發給銷售商，批發單價為15元/公斤，單獨人工采摘費用為每天500元,

引入采摘機器后人工和機器合計每天900元，求除去采摘費用，獲得的利潤為多少元？

【答案】⑴2250公斤/天

（2）104200元

【分析】本題考查了分式方程的應用，正確理解題意是解題關鍵.

(1)設人工采摘效率為x公斤/天，則機器采摘效率為5x公斤/天，由題意得：號2=翳，據此即可

求解；

(2)由(1)計算出單獨人工采摘和引入采摘機器后人工和機器采摘的天數即可求解；

【詳解】(1)解：設人工采摘效率為%公斤/天，則機器采摘效率為5萬公斤/天，

由,,題0^意^/得0：—180—02_=—54—00,

解得：x=450；

經檢驗，尤=450是原分式方程的解，

??-5x=2250,

.??機器采摘蘋果的效率為2250公斤/天；

⑵解：15X(1800+5400)-500x^-900x5x^450=104200，

???除去采摘費用，獲得的利潤為104200元

21.(8分)根據規律答題.

小明同學在一次教學活動中發現：方程x+：=2+：的解為巧=2,久2=：方程X+==3+:的解為

1111

=3，%2=3方程％+-=4+4的解為％]=4,%2=4...

以此類推：

(1)請你依據小明的發現，猜想關于X的方程X+工=8+《的解是；

(2)根據上述的規律，猜想由關于x的方程彳+1+擊=。+腦力0)得到％+1=;

⑶拓展延伸：由(2)可知，在解方程久+事=等時，可變形轉化為x+：=a+5的形式求值，按

要求寫出你的變形求解過程.

【答案】⑴/=8優2=5

(2)x+1=a或x+1=；

(3)%i=8,0=-1

【分析】本題主要考查分式的運算，理解材料提示的計算方法，掌握分式的混合運算是解題的關鍵.

(1)根據材料提示方法計算即可；

（2）根據材料提示的計算方法計算;

（3）根據題意原式變形得（x+l）+三=9+，結合材料提示的計算方法即可求解.

【詳解】（1）解：根據題意，方程%+[=8+5的解是對=8,久2="，

故答案為：x1=8,X2=i；

111

（2）解：猜想關于％的方程式+1+=a+式qw0）得到久+1=a或X+1=1

故答案為：x+1=a或％+1=-；

（3）解：x+-1=不，

變形得，%+緇+/）=仁整理得,。+1）+三=9+3，

.-.X+1=9或久+1=-,

解得，牝=8,%2=-9

22.（8分）如果兩個分式M與N的和為常數憶且々正整數，則稱M與N互為"和整分式〃，常數k稱為〃和整

值”.如分式M=系，N=2,用+村=空=1則用與可互為"和整分式"，"和整值7=1.

X十-LX~T~A.XiJ.

（1）已知分式4=咨，8=學盧，判斷4與B是否互為"和整分式"，若不是，請說明理由；若是，請求

z

x—乙x—4

出"和整值"k；

（2）已知分式。=號，D=~,C與。互為"和整分式"，且"和整值"k=3,若x為正整數，分式D的值為

x—2xz—4

正整數.

①求G所代表的代數式；

②求x的值.

【答案】（1）力與B互為"和整分式"，"和整值7=2

⑵①G=-2x—4,②x=l

【分析】本題考查分式的加減運算，分式方程求解，理解"和整分式"概念是解題的關鍵.

（1）根據"和整分式”概念列式計算，并判斷，即可解題；

（2）①根據"和整分式〃概念，以及"和整值％=3,列式計算求解，即可解題；

②根據①表示出分式D,再根據x為正整數，分式。的值為正整數求解，即可解題.

【詳解】（1）解：?；8=華警，

x—6%2+4x4-4

A+B=+-----2~/-----

x—2%z—4

x—6(%+2)2

x—2+(%+2)(x—2)

x—6%+2

=-----H-------

x—2x—2

2x-4

二x-2

2(x-2)

x-2

=2,

??.A與8互為〃和整分式〃，〃和整值7=2；

(2)解：①分式C=與，。=￡互為"和整分式"，且"和整值％=3,

x—Zx—4

??.。+。=岑+&=3,

x-2X2-4

???(3%—4)(%+2)+G=3(%+2)(%—2)，

???G=3(X+2)(x-2)-(3x-4)(x+2)，

???G=3%2—12-3/-2%+8,

G——2x—4,

②...￡>=匹1=，X+2)=___

WX2-4(%+2)(%-2)%—2'

又:工為正整數，分式。的值為正整數.

x—2——1或x—2——2,

解得x=l或％=0(不合題意，舍去).

23.(10分)如圖，“豐收1號"小麥的試驗田是邊長為a米(a>l)的正方形去掉一個邊長為1米的正方形

蓄水池后余