第03講分式［2大考點12大題型】

知識網絡1

題型1分式有、無意義的條件

題型2分式的值為0的條件

題型3分式的值

題型4分式的基本性質

題型5約分、通分

題型6最簡分式

題型7分式的乘除

題型8分式的加減

昌R題型9分式的混合運算）

題型io分式的化簡求值

題型11分式的最值問題

題型12分式運算的實際應用

【新考向：新趨勢j

特色專項練+4新考向：新情境

〈新考向：跨享。

中考真題練

考點口分式的概念和性質

知識導航1

1、分式的定義

A

一般地，如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子一叫做分式。

B

注：A、B都是整式，B中含有字母，且BWO。

2、分式的基本性質

分式的分子與分母乘（或除以）同一個不等于0的整式，分式的值不變。

AACAA^C“小

BBCBB三C

3、分式的約分和通分

定義1:根據分式的基本性質，把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分。

定義2：分子與分母沒有公因式的分式，叫做最簡分式。

定義3：根據分式的基本性質，把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式，叫做

分式的通分。

定義4：各分母的所有因式的最高次幕的積叫做最簡公分母。

典例分析

【題型1分式有、無意義的條件】

1__________

【例1】（2024?四川綿陽?中考真題）使代數式胃+喜二獲有意義的整數萬有（）

Vx+3

A.5個B.4個C.3個D.2個

【變式1-1］（2024?福建泉州?模擬預測）若工=-1使某個分式無意義，則這個分式可以是（）

x—12x+l2x—1x+1

A?西TB.二C.一"D,—

【變式1-2］（2024?黑龍江綏化?中考真題）若式子逅有意義，則x的取值范圍是.

X

【變式1-3】（2024內蒙古呼和浩特?一模）在算式三士!中，不能為零的字母是.

【題型2分式的值為0的條件】

【例2】（2024?江蘇?中考真題）若代數式的值是0,則實數x的值是（）

A.-1B.0C.1D.2

【變式2-1］（2024?四川成都?二模）若分式（戰喜）的值為0，貝反的值為；若無2-2%-2=0,則％=

2+x

【變式2-2］（2024?上海,一模）當久=時，分式口―的值為零.

1+X

【變式2-3】（2024?北京?一模）若分式等胃的值為0,則x的值為.

【題型3分式的值】

【例3】（2024?四川雅安?中考真題）己知"Rl（a+bK0>則鬻=<）

A.1B.1C.2D.3

【變式3-1］（2024?吉林，中考真題）當分式嗇的值為正數時，寫出一個滿足條件的x的值為.

【變式3-2】（2024?江蘇揚州?三模）能使分式穿楂為整數的整數x有個.

【變式3-3】（2024?福建?中考真題）己知非零實數x,y滿足y=2，則上鏟1的值等于.

【題型4分式的基本性質】

【例4】（2024?河北保定?一模）不改變分式的值，將分式箭潦中的分子、分母的系數化為整數，其結

果為（）

5x+125y20%+500y2x+50y2x+5y

A，250x+yioo%+4y仁i000x+4y口?x+4y

【變式4-1］（2024?山東濟南?中考真題）若x,y的值均擴大為原來的3倍，則下列分式的值保持不變的是

（）

A—B到C空D上^

"工—yJ3/（久-4

【變式4-2］（2024?河北邢臺?模擬預測）把分式：分母乘4,要使分式的值不變，分子應該加上（）

A.4B.7C.21D.28

【變式4-3］（2024?河北?中考真題）若aWb,則下列分式化簡正確的是（）

1

a+2aa—2aa'a5aa

A

-詬=%B.—=TC.-=^D,曠了

【題型5約分、通分】

【例5】（2024?河北滄州?一模）若將分式會與痣不通分，則分式黑;的分子應變為（）

771十71ILJTll~rTl

A.6m2—6mnB.6m—6n

C.2（m—n）D.2（m—n）（m+n）

【變式5-1】（2024?廣東廣州?二模）分式翳，當，焉的最簡公分母是（）

jxy2xbxy

A.3%B.xC.6x2D.6x2y2

【變式5-2】（2024?廣西崇左?中考真題）化簡：與富=孤?.

2232

【變式5-3］（2024?廣東廣州?中考真題）己知a>3,代數式：A=2a-8,B=3a+6a,C=a-4a

+4a.

⑴因式分解/;

⑵在N,B,C中任選兩個代數式，分別作為分子、分母，組成一個分式，并化簡該分式.

【題型6最簡分式】

【例6】（2024?山東濰坊?模擬預測）已知三張卡片上面分別寫有6,x-1,y-I,從中任選兩張卡片，組

成一個最簡分式為.（寫出一個分式即可）

【變式6-1】（2024?福建福州?二模）若山為實數，分式等2不是最簡分式，則爪=

x+m

【變式6-2］（2024?河北保定?一模）要將分式照-化成最簡分式，應將分子分母同時約去它們的公因式，

20mn

這個公因式是.

【變式6-3］（2024?河北石家莊?一模）有分別寫有x,尤+1,尤-1的三張卡片，若從中任選一個作為分式白

的分子，使得分式為最簡分式，則應選擇寫有的卡片.

1、分式的乘除

①乘法法則:q二="。分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。

bab-a

②除法法則:f。分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘。

DaDCb'C

M=—o分式乘方要把分子、分母分別乘方。

③分式的乘方:

⑸bn

④整數負指數暴：

a

2、分式的加減

同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減;

異分母分式相加減,先通分，變為同分母的分式，再加減。

①同分母分式的加減：-+-=^;

CCC

a、cad,bead±bc

②異分母分式的加法:—zt——zt------

bdbdbdbd

典例分析1

【題型7分式的乘除】

【例7】（2024?江西?模擬預測）計算（-以4的結果為（）

21

【變式7-1】（2024?湖北隨州?中考真題）殺與十工石的計算結果為（）

X2x2x2

A------B.c.D，x(x+2)

八?x+2x+2x-2

【變式7?2】（2024?河北?中考真題）老師設計了接力游戲，用合作的方式完成分式化簡，規則是：每人只

能看到前一人給的式子，并進行一步計算，再將結果傳遞給下一人，最后完成化簡.過程如圖所示:

老師甲乙丙丁

2222

-x------2---x—.---x---?；?!---x------2--x-?--l----x-x~2xx~lx(x-2)tx-lx-2

22

X~1l-x'7X-lXr，X-l7X-l7X

接力中，自己負責的一步出現錯誤的是（）

A.只有乙B.甲和丁C.乙和丙D.乙和丁

【變式7-3］（2024?寧夏銀川?二模）老師在黑板上書寫了一道題目的正確計算過程，隨后用手遮住了其中

一部分，如圖所?。?/p>

xx-+x=x+\

-------X2—2x+lx+1x—1

（1）求被手遮住部分的代數式.

（2）等式左邊代數式的值能等于0嗎？請說明理由.

【題型8分式的加減】

【例8】（2024?新疆烏魯木齊?中考真題）若實數a,6滿足ab=l,設"=捻+后，可=言+言，則

"T"!■UiJ.Cl十J.Ui

M,N的大小關系為MN.（用">"、"="或"（"連接）

【變式8-1］（2024?黑龍江大慶?中考真題）已知（二：；_2廠言*，則實數A=—.

【變式8-2］（2024?河北?中考真題）如圖，約定：上方相鄰兩數之和等于這兩數下方箭頭共同指向的數.示

④③

例：即4+3=7,貝!J（1）用含x的式子表示加=；（2）當y=2時，〃的值為.

【變式8-3］（2024?四川達州?中考真題）人們把年《0.618這個數叫做黃金比，著名數學家華羅庚優選法

中的“0.618法”就應用了黃金比?設口=與1,武警，記Si=±+出，52=5+作，…，力。0=咨

100L,

7^，貝US1+S2+…+Sioo=-

【題型9分式的混合運算】

【例9】（2024?四川瀘州?中考真題）化簡：（鬻+X1"鬻?

【變式9-1]（2024?山東威海?中考真題）試卷上一個正確的式子（擊+工）+★=總被小穎同學不小心

滴上墨汁.被墨汁遮住部分的代數式為（）

aa4a

A.CD.

a-b-小a2-b2

【變式9-2]（2024?內蒙古通遼?中考真題）以下是某同學化簡分式乎+（a-箱子）的部分運算過程:

解：原式=二十。一厘+到世.第一步

aaa

a

第二步

2ab-b2

a—ba—b

第三步

a22ab-b2

⑴上面的運算過程中第步開始出現了錯誤;

（2）請你寫出完整的解答過程.

【變式9-3】（2。24?河北?中考真題）如圖,若久為正整數，則表示量普一去的值的點落在（）

????

■、、jj、、jj、、1/、、J?

^02041L6Tr

A.段①B.段②C.段③D.段④

【題型10分式的化簡求值】

【例10]（2024?西藏?中考真題）先化簡,再求值：（1+總）?誓，請為加選擇一個合適的數代入求值.

【變式10-1】（2024?山東荷澤?中考真題）若a2_2a_15=0,則代數式（口―毛）.告的值是

化簡分式：忐^+罟,并求值（請從小宇和小麗的對話

【變式10-2】（2024?山東淄博?中考真題）

中確定a,b的值）

小宇

【變式10-3】（2024?浙江麗水?中考真題）如圖，標號為①，②，③，④的矩形不重疊地圍成矩形

PQMN,已知①和②能夠重合，③和④能夠重合，這四個矩形的面積都是5/E=a,DE=b,且a>6.

ED

B

（1）若a,6是整數，貝UPQ的長是;

（2）若代數式。2-2必-廬的值為零，則警竺竺的值是

?矩形PQMN

【題型11分式的最值問題】

【例11】（2024?河北滄州?模擬預測）觀察分式變形過程：n=三彳=?+*=1+六，其中

"O""口”"?”分別蓋住了一個整數.

（1）口""?"表示的整數;（填"相同"或"不相同"）

（2）當a20時，鬻的最小值為.

11

【變式11-1】（2024?山東荷澤?一模）已知M==,N^—,記P=M?N.

⑴若選擇一個你喜歡的整數作為x的值，求P的值.

（2）求P的最大值.

【變式11-2】（2024?福建泉州?模擬預測）由淺入深是學習數學的重要方法.已知權方和不等式為尤+叫2

xy

瞎，當且僅當?時，等號成立.那么：若正整數居y,z滿足x+3y+2z=l,求彘+磊的最小值.

Xiy人VyA.I4y

【變式11-3】（2024?重慶沙坪壩?三模）如果有一個三位數小，百位為9,十位和個位之和也是9,我們把

這個三位數稱為“爾畔數"，把小的百位和個位互換位置得到數次.并規定尸（㈤=手，例如918,79=1+8

且百位是9,??.918是“爾畔數”，尸（918）=少產=193.

（1）判斷946是不是“爾畔數”，求出F（936）；

（2）己知s和t都是“爾畔數”，且2F⑸+F（t）=570,并規定K=需，求K的最大值為多少？

【題型12分式運算的實際應用】

【例12】（2024?福建寧德?一模）福安葡萄享有“北有吐魯番，南有閩福安"的美譽，某農場分別種植甲、乙

兩種葡萄，去年甲種葡萄總產量3萬千克，乙種葡萄總產量2萬千克，原計劃甲、乙兩種葡萄都按萬元/千克

出售，實際因成熟時間不同，甲種葡萄8折出售，乙種葡萄加價3元出售，實際總收入與計劃總收入相同.

⑴求去年甲、乙兩種葡萄的實際銷售單價分別是多少元？

（2）今年農場改進技術，兩種葡萄品質提升、產量增加，農場準備在去年實際售價的基礎上，單價都增加a元

（a>0）后全部出售給某經銷商，該經銷商提供了以下兩種收購方案：

方案一：甲、乙兩種葡萄都按產量小萬千克收購；

方案二：甲、乙兩種葡萄都按總價n萬元收購.

通過計算甲、乙兩種葡萄的總平均單價，說明農場選用哪種方案合算.

【變式12-1】（2024?四川?中考真題）一輛貨車送上山，并按原路下山.上山速度為a千米/時，下山速度為

b千米/時.則貨車上、下山的平均速度為（）千米/時.

I,,、ab-a+b2ab

A?式a+6）B.何C.—D,—

【變式12-2113.（2024?山東青島?一模）臨近五一勞動節，甲廠決定包租一輛車送員工返鄉過節，租金為

5000元，出發時，乙廠有3名同鄉員工也隨車返鄉（車費自付），總人數達到“名，如果包車租金不變，那

么甲廠為員工支付的人均車費可比原來元（用最簡分式表示）.

【變式12-3】（2024?寧夏銀川?一模）現在汽車已成為人們出行的交通工具.小李和小王元旦那天相約一起

到某加油站加油，當天95號汽油的單價為〃?元/升，他倆加油的情況如圖所示.半個月后的某天，他倆再

次相約到同一加油站加油，此時95號汽油的單價下調為〃元/升，他倆加油的情況與上次相同，請運用所學

的數學知識計算小李、小王兩次加油誰的平均單價更低？

特色專項練

【新考向：新考法】

(~r>a>b

1.(2024?浙江杭州?模擬預測)定義運算"※":(!※。二卜”,八，若的值為整數,則整數x的值為

島”一

【新考向：新趨勢】

1.(2024?江蘇連云港?中考真題)若一個分式含有字母小，且當爪=5時，它的值為12,則這個分式可以

是(寫出一個即可)

【新考向：新情境】

1.(2024?江蘇連云港?中考真題)下面是某同學計算」1--的2解題過程：

m—1m—1

鏟12_rn+12

用牢：m-1m2-l-(m+l)(m-l)(m+l)(m-l)^->

=(m+1)-2②

=m-1(3)

上述解題過程從第幾步開始出現錯誤？請寫出完整的正確解題過程.

【新考向：跨學科】

ill

1.(2024?江蘇揚州?一模)在物理并聯電路里，支路電阻和與總電阻R之間的關系式為2=瓦+瓦，若

RHR1，用R、&表示/?2正確的是

RR]RR]—RR—R1

A-R2=EB.氏2==C.&=祈D-*2=衍

2.(2024?廣西玉林?一模)綜合與實踐

【問題背景】以函數的角度來看待和解決問題.

（1）通過觀察以下一位數的積：1x9,2x8,8x2,9x1.其中每個式子中的兩數之和為10,推測

在這些式子中，乘積最大的算式是.（只需填符合的算式，不需要算出結果）

（2）通過觀察以下兩位數的積：11x19,12x18,18x12,19x11.其中每個式子中的兩數之和為

30,推測在這些式子中，乘積最大的算式是.（只需填符合的算式，不需要算出結果）

【初步探討】以問題（2）為例，設第一個數為x,寫出你對問題（2）的猜想（包括條件和結論）.嘗試用

二次函數的知識證明你對問題（2）的猜想；

【實踐應用】（3）物理電路理論知識中有以下幾個結論：串聯電路的總電阻等于各串聯電阻之和；并聯電

路總電阻的倒數等于各并聯電阻的倒數之和；電壓一定的情況下，電流與電阻成反比關系.在如圖1所示

的電路中，％=2Q,&=3Q，滑動變阻器的最大電阻的=5Q，其等效電路圖如圖2所示，其中Rap+4p

=R3,在滑片從0端滑到b端的過程中，設/?卬=y0,請你結合電路知識以及函數知識來說明，當兩支路

的電阻相等時，電流表示數最小，并求出電流表示數的最小值.

圖1圖2

3.（2024?江蘇泰州?一模）（1）我們知道，鹽水加鹽后濃度會增加.請你用數學的方法證明這個結論；

（2）化學實驗室一容器內的40克食鹽水中含鹽4克.在實驗室無食鹽的情況下，如何處理，可使該容器

內的食鹽水濃度提高到原來的2倍？

中考真題練1

1.（2024?湖北武漢?中考真題）已知/_久一1=0,計算（京_：）一支言的值是（）

A.1B.-1C.2D.-2

2.（2024?黑龍江大慶?中考真題）已知6>a>0,則分式*與震的大小關系是（）

aa+1aa+1aa+1?

A,b<b+lb~b+lC-b>b+1D.不H匕確定

3.（2024?山東濟寧?中考真題）計算Q/+（a+1—空的結果是（）

A.*B.合C.（isD,三

a—2a+2aa

4.（2024?四川遂寧?中考真題）函數y=算中，自變量x的取值范圍是（）

/x-1

A.x>-2B.x>-2C.x>-2x^lD.-2且xHl

5.（2024?湖北孝感?中考真題）已知二元一次方程組則^^^^的值是（）

A.-5B.5C.-6D.6

a—3a2-4,2

6.（2024?四川自貢?中考真題）化簡:'-----------------

a2+4a+4a—3a+2

7.（2024?湖北黃岡?中考真題）人們把等這個數叫做黃金分割數，著名數學家華羅庚優選法中的0.618法

=

就應用了黃