熱點02方程與不等式（組）

明考情.知方向

中考數(shù)學(xué)中方程與不等式（組）部分主要考向分為五類：

一、一元一次方程和二元一次方程組（每年2~4道，8~14分）

二、一元二次方程（每年1~2道，3~8分）

三、分式方程（每年1~3題，3~12分）

四、一元一次不等式（組）（每年2~4題，8~18分）

五、方程（組）的實際應(yīng)用（每年1~2題，3~6分）

方程（組）與不等式（組）在數(shù)學(xué)中考中的難度中等，題型比較多，選擇題、填空題、解答題都可以

考察.其中，一元一次方程與二元一次方程（組）是比較接近的兩個考點，出題一般都只有1題，一元一

次方程多考察其在實際問題中的應(yīng)用，多為選擇題；二元一次方程組則以計算和應(yīng)用題為主占分較多.一

元二次方程單獨出題時多考察其根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系以及在實際問題中提煉出一元二次方程；一

元二次方程的計算則主要出現(xiàn)在幾何大題中，輔助解壓軸題.分式方程的考察內(nèi)容不多，但基本屬于必考

考點，可以是一道小題考察其解法，也可以是應(yīng)用題.不等式組是這四個考點中占分最多的一個，考察難

度也是可大可小，其解法、含參數(shù)的不等式組問題、和方程結(jié)合的應(yīng)用題都經(jīng)?？嫉?雖然該熱點難度中

等，一般不會失分，但是組合出題時，難度也可以變大，復(fù)習(xí)時需要特別注意.

熱點題型解讀

考向一：一元一次方程和二元一次方程組

【題型1解方程（組）】

0?

①解方程組時，常使用加減消元法，求解完后，可以帶回檢驗一下；

②二元一次方程組的解指的是各個方程的公共解，對于已知某方程組的解也同樣適用于其他方程的題

型，有時可以將方程進行重組成新的方程組。

x-----2

1.（2024?山東德州?中考真題）解方程組：2

2x+3y=12

【分析】利用加減消元法求出解即可；

此題考查了分式的混合運算和解二元一次方程組，熟練掌握運算法則和解二元一次方程組的方法和步驟是

解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：（1）原式=1一1當二）義弋

（根+3）（加一3）m+1

1m

=1--------

m+1

_m+l—m

m+1

1

m+1

-X=2?

（2）xJ2

2x+3y=12②

①x2得：2x-y=4③，

②—③得：4y=8,解得：y=2,

2

把y=2代入①得：》-]=2,解得：x=3,

f%=3

，二元一次方程組的解為：「

[y=2

IJQ_|_-4

2.（2024.山東棗莊.一模）已知x,y滿足方程組<,則無論機取何值，x,y恒有關(guān)系式是（）

[y—5=m

A.x+y-1B.x+y=-lC.x+y-9D.無一y=9

【分析】本題考查了二元一次方程組的解和解二元一次方程組，能理解二元一次方程組的解的定義是解此

題的關(guān)鍵.把②代入①，得：x+y-5=4,整理后即可得出答案.

x+m=4①

【詳解】解:

y—5=加②

把②代入①，得：％+y-5=4,

即％+y=9,

故選：C.

[x+y=3[x=a

3.（2023?山東棗莊?模擬預(yù)測）若二元一次方程組\1的解為7,則Q-〃的值為—.

【分析】本題考查二元一次方程組的解，解題的關(guān)鍵是觀察兩方程的系數(shù)，從而求出Q-b的值.

把小y的值代入方程組，再將兩式相加即可求出〃的值.

[x-a,fx+y=3,[a+b=3?

【詳解】將八代入方程組q;1，得：Q『西，

=b[3]-5y=1[3a-5b=l&

①+②，得：4a-4b=4,

貝lja-b=l,

故答案為：1.

4.（2023?山東棗莊?模擬預(yù)測）先化簡，再求值：----匚]:~r，其中XV滿足方程組一二

（x-yx+y）無+2xy+y[x+y=5

【分析】本題主要考查了分式的化簡求值，解二元一次方程組.先計算括號內(nèi)的，再計算除法，然后解出

方程組，得到無，y的值，再代入化簡后的結(jié)果，即可求解.

年解】解：原式君

2y(x+y『

(x+y)(x-y)2y

x+y

x-y

\2x-y=4x-3

解方程組…=5得:

y=2

V4-V

.,.當x=3,y=2時，原式=—=5.

x-y

【題型2實際應(yīng)用】

二元一次方程組的實際應(yīng)用問題，常常與函數(shù)相結(jié)合求最值，對于這類問題，題干往往比較長，涉及到

的信息也比較多，可以采取畫圖或者列表的方式，重新梳理已知信息，找好等量關(guān)系，即可列出方程。

1.（2024.山東濟南?中考真題）近年來光伏建筑一體化廣受關(guān)注.某社區(qū)擬修建42兩種光伏車棚.已知

修建2個A種光伏車棚和1個B種光伏車棚共需投資8萬元，修建5個A種光伏車棚和3個B種光伏車棚

共需投資21萬元.

（1）求修建每個A種，2種光伏車棚分別需投資多少萬元？

（2）若修建A,B兩種光伏車棚共20個，要求修建的A種光伏車棚的數(shù)量不少于修建的8種光伏車棚數(shù)量的

2倍，問修建多少個A種光伏車棚時，可使投資總額最少？最少投資總額為多少萬元？

【分析】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，不等式的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等

量關(guān)系列出方程，根據(jù)不等關(guān)系列出不等式.

（1）設(shè)修建一個A種光伏車棚需投資x萬元，修建一個8種光伏車棚需投資丫萬元，根據(jù)修建2個A種光

伏車棚和1個B種光伏車棚共需投資8萬元，修建5個A種光伏車棚和3個B種光伏車棚共需投資21萬元

列出方程組，解方程組即可；

（2）設(shè)修建A種光伏車棚m個，則修建B種光伏車棚（20-根）個，修建A種和B種光伏車棚共投資W萬元，

先根據(jù)修建的A種光伏車棚的數(shù)量不少于修建的8種光伏車棚數(shù)量的2倍，列出不等式，求出機的范圍，

然后W關(guān)于，〃的關(guān)系式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求出結(jié)果即可.

【詳解】（1）解：設(shè)修建一個A種光伏車棚需投資了萬元，修建一個8種光伏車棚需投資y萬元，根據(jù)題意，

（2x+y=8

C15x+3y=21，

fx=3

解得.

9=2

答：修建一個A種光伏車棚需投資3萬元，修建一個B種光伏車棚需投資2萬元.

（2）解：設(shè)修建A種光伏車棚加個，則修建B種光伏車棚（20-〃?）個，修建A種和B種光伏車棚共投資W萬

元，根據(jù)題意，得〃出2（20-間，

40

解得〃出

W=3m+2（20-/M）=m+40,

vl>0,

,卬隨加的增大而增大，

二當機=14時，W取得最小值，此時W=14+40=54（萬元），

答：修建A種光伏車棚14個時，投資總額最少，最少投資總額為54萬元.

2.（2023?山東日照?中考真題）要制作200個A,8兩種規(guī)格的頂部無蓋木盒，A種規(guī)格是長、寬、高都為20cm

的正方體無蓋木盒，2種規(guī)格是長、寬、高各為20cm,20cm,10cm的長方體無蓋木盒，如圖1.現(xiàn)有200

張規(guī)格為40cmx40cm的木板材，對該種木板材有甲、乙兩種切割方式，如圖2.切割、拼接等板材損耗忽

略不計.

2020

（1）設(shè)制作A種木盒無個，則制作8種木盒__________個；若使用甲種方式切割的木板材y張，則使用乙種

方式切割的木板材張；

（2）該200張木板材恰好能做成200個A和8兩種規(guī)格的無蓋木盒，請分別求出A,B木盒的個數(shù)和使用甲，

乙兩種方式切割的木板材張數(shù)；

（3）包括材質(zhì)等成本在內(nèi)，用甲種切割方式的木板材每張成本5元，用乙種切割方式的木板材每張成本8元.根

據(jù)市場調(diào)研，A種木盒的銷售單價定為。元，8種木盒的銷售單價定為20-go1元，兩種木盒的銷售單價

均不能低于7元，不超過18元.在（2）的條件下，兩種木盒的銷售單價分別定為多少元時，這批木盒的

銷售利潤最大，并求出最大利潤.

【分析】（1）根據(jù)題意即可求解；

（2）根據(jù)題意可得，制作一個A種木盒需要長、寬均為20cm的木板5個，制作一個8種木盒需要長、寬均

為20cm的木板1個，長為10cm、寬為20cm的木板4個；甲種方式可切割長、寬均為20cm的木板4個，乙

種方式可切割長為10cm、寬為20cm的木板8個；列關(guān)系式求解即可；

（3）先根據(jù)（2）中數(shù)據(jù)求得總成本金額，根據(jù)利潤=售價-成本列式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.

【詳解】（1）解：???要制作200個A,8兩種規(guī)格的頂部無蓋木盒，制作A種木盒x個，

故制作B種木盒（200-x）個；

:有200張規(guī)格為40cmx40cm的木板材，使用甲種方式切割的木板材y張，

故使用乙種方式切割的木板材（200-y）張；

故答案為：（200-x）,（200-y）.

（2）解:使用甲種方式切割的木板材y張，則可切割出4y個長、寬均為20cm的木板，

使用乙種方式切割的木板材（200-y）張，則可切割出8（200-y）個長為10cm,寬為20cm的木板；

設(shè)制作A種木盒x個，則需要長、寬均為20cm的木板5x個，

制作8種木盒（200-X）個，則需要長、寬均為20cm的木板（200-X）個，需要長為10cm、寬為20cm的木板

4（200-尤）個；

14y=5x+（200—x）

18（200-3=4（200-x）

故制作A種木盒100個，制作B種木盒100個，

使用甲種方式切割的木板150張，使用乙種方式切割的木板材50張，

（3）解：?.?用甲種切割方式的木板材每張成本5元，用乙種切割方式的木板材每張成本8元，且使用甲種

方式切割的木板150張，使用乙種方式切割的木板材50張，

故總成本為150x5+8x50=1150（元）；

???兩種木盒的銷售單價均不能低于7元，不超過18元，

-7<a<18

即1,

7<20——?<18

I2

[7<a<18

解得：

[4<a<26

故。的取值范圍為74。418；

設(shè)利潤為w,則w=100”+100（20—ga]—1150,

整理得：墳=850+50。，

?/^=50>0,故w隨。的增大而增大，

故當a=18時，w有最大值，最大值為850+50*18=1750,

則此時8種木盒的銷售單價定為20Txi8=11（元），

即A種木盒的銷售單價定為18元，2種木盒的銷售單價定為H元時，這批木盒的銷售利潤最大，最大利潤

為1750元.

3.（2023?山東聊城?中考真題）今年五一小長假期間，我市迎來了一個短期旅游高峰.某熱門景點的門票價

格規(guī)定見下表：

票的種類ABC

購票人數(shù)/人1-5051-100100以上

票價玩504540

某旅行社接待的甲、乙兩個旅游團共102人（甲團人數(shù)多于乙團），在打算購買門票時，如果把兩團聯(lián)合作

為一個團體購票會比兩團分別各自購票節(jié)省730元.

（1）求兩個旅游團各有多少人？

（2）一個人數(shù)不足50人的旅游團，當游客人數(shù)最低為多少人時，購買8種門票比購買A種門票節(jié)省？

【分析】（1）設(shè)甲團人數(shù)有x人，乙團人數(shù)有y人，根據(jù)“甲、乙兩個旅游團共102人，把兩團聯(lián)合作為一

個團體購票會比兩團分別各自購票節(jié)省730元”列方程組求解即可；

(2)設(shè)游客人數(shù)為。人時，購買2種門票比購買4種門票節(jié)省，根據(jù)“人數(shù)不足50人，購買2種門票比購

買A種門票節(jié)省”列不等式求解即可.

【詳解】(1)解：設(shè)甲團人數(shù)有無人，乙團人數(shù)有y人，

x+y=102

由題意得:

45x+50^=102x40+730

x=58

解得:

y=44

答：甲團人數(shù)有58人，乙團人數(shù)有44人;

(2)解：設(shè)游客人數(shù)為a人時，購買8種門票比購買A種門票節(jié)省,

由題意得：45x51<50a,

解得：a>45.9,

?.力為整數(shù)，

/.當游客人數(shù)最低為46人時，購買B種門票比購買A種門票節(jié)省.

4.(2024?山東日照?中考真題)【問題背景】2024年4月23日是第18個“世界讀書日”，為給師生提供更加

良好的閱讀環(huán)境，學(xué)校決定擴大圖書館面積，增加藏書數(shù)量，現(xiàn)需購進20個書架用于擺放書籍.

【素材呈現(xiàn)】

素材一：有A8兩種書架可供選擇，A種書架的單價比8種書架單價高20%；

素材二：用18000元購買A種書架的數(shù)量比用9000元購買B種書架的數(shù)量多6個；

素材三：A種書架數(shù)量不少于8種書架數(shù)量的

【問題解決】

(1)問題一：求出A3兩種書架的單價；

(2)問題二：設(shè)購買。個A種書架，購買總費用為卬元，求w與。的函數(shù)關(guān)系式，并求出費用最少時的購買

方案；

(3)問題三：實際購買時，商家調(diào)整了書架價格，A種書架每個降價機元，8種書架每個漲價;機元，按問題

二的購買方案需花費21120元，求機的值.

【分析】本題考查運用分式方程，一次函數(shù)，一元一次方程解決實際問題.

18000

(1)設(shè)2種書架的單價為x元，則A種書架的單價為0+20%)x元，用18000元購買A種書架爐或而個'

用9000元購買3種書架照個，根據(jù)素材二即可列出方程，求解并檢驗即可解答;

X

(2)根據(jù)總費用=A種書架的總費用+2種書架的總費用即可列出函數(shù)，根據(jù)資料三求出自變量a的取值

范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的增減性即可求出總費用的最小值；

(3)根據(jù)總費用=4種書架的總費用+2種書架的總費用列出一元一次方程，求解即可解答.

【詳解】(1)解：設(shè)8種書架的單價為龍元，則A種書架的單價為(l+20%)x元.

解得x=1000,

經(jīng)檢驗，》=1000是分式方程的解，且符合題意，

(1+20%)^=1200.

答：兩種書架的單價分別為1200元，1000元.

(2)解：購買0個A種書架時，購買總費用w=1200〃+1000(2。—。),

即w=200<7+20000,

2

由題意得，。應(yīng)滿足：a>—(20—a),解得。之8.

v200>0,

隨著a的增大而增大，

當。=8時，w的值最小，最小值為200x8+20000=21600,

?.?費用最少時購買A種書架8個，8種書架12個.

(3)解：由題意得

(1200-m)x8+^1000+1w^|xl2=21120,

解得〃?=120.

考向二：一元二次方程

【題型3解一元二次方程】

70

解一元二次方程時，常用的方法：①配方法：通過將常數(shù)項移項到等號的右邊以及二次項系數(shù)化1,將

方程整理成/+爾=〃的形式，從而兩邊同時加，將方程整理成x+葭=q的形式，結(jié)合平方根的

定義，即可求解；②公式法：*；③配方法.

1.(2023?山東濰坊?中考真題)用與教材中相同型號的計算器，依次按鍵

結(jié)果為.借助顯示結(jié)果，可以將一元二次方程無2+%_1=0的正數(shù)解近似表示

為.(精確到0.001)

【分析】先利用公式法求出一元二次方程的解，再根據(jù)精確度的概念即可得.

【詳解】解：一元二次方程尤2+x-l=0中的4=1,6=l,c=-l,

則X=-1±」2-4xlx（l）=一1±一,

2x12

所以這個方程的正數(shù)解近似表示為士好。-1+2.236067977*0618,

22

故答案為：0.618.

2.（2023?山東淄博?中考真題）若實數(shù)加，〃分別滿足下列條件：

（1）2（m-l）2-7=-5；

（2）n-3>0.

試判斷點根-3,所在的象限.

【分析】運用直接開平方法解一元二次方程即可；解不等式求出解題，在分情況確定2機-3,%'的符

號確定點尸所在象限解題即可.

【詳解】解：2（m-l）2-7=-5

2（m-l）2=-5+7

1）~=1

機一1二1或小一1=一1

班=2,叫=0；

n-3>0,

解得：〃>3；

3〃一m

，當機=2,九>3時，2加一3>0,--—>0,點P在第一象限；

一tn

當m=0,”>3時，2加一3<0,--—>0,點尸在第二象限；

3.（2024.山東東營?中考真題）用配方法解一元二次方程尤2一2元-2023=0時，將它轉(zhuǎn)化為（x+a）2=b的形式,

則〃的值為（）

A.-2024B.2024C.-1D.1

【分析】本題主要考查了配方法解一元二次方程.熟練掌握配方法步驟，是解出本題的關(guān)鍵.

用配方法把爐-2尤-2023=0移項，配方，化為（x-l『=2024,即可.

【詳解】解：；X2-2X-2023=0,

移項得，尤2-2元=2023,

配方得，/-2%+1=2023+1,

即（x-iy=2024,

：.a=-l,b=2024,

.../=(_1)2024=1.

故選：D.

4.(2022?山東東營?中考真題)一元二次方程尤2+以一8=0的解是()

A.玉=2+2A/3,w=2—2>/3B.西=2+2>/2,赴=2—2"\/2

C.%=—2+2\/2,X,=—2—2^/2D.——2+2>/3,x)=—2—2^/^

【分析】利用配方法解方程即可.

【詳解】解：：X2+4X-8=0,

x2+4x=8，

：.f+4x+4=12,

/.(x+2—12,

x+2=±2A/3,

解得%=-2+2后，x2=-2-273,

故選D.

【題型4一元二次方程根的判別式】

①當△=〃一4℃>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Aubz-dmuo時，方程有兩個相等的實數(shù)根；

△=〃-4℃<0時，方程沒有實數(shù)根。

②若已知一元二次方程有實數(shù)根，貝！!△=/一4碇20。

③若已知方程ax?+6x+c=0有兩個實數(shù)根，則可以確定。片。且△=。2-4ac>0；

注意：只有確定了所給方程是一元二次方程時，才能使用根的判別式來判斷方程根的個數(shù)；若無法確定，

則需要討論方程的類型。

1.(2024?山東濟南?中考真題)若關(guān)于x的方程V一X一根=。有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)加的取值范圍

是()

A.m<--B.m>--C.m<-AD.m>~^

44

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程以2+bx+c=O(a*0)的根與A=b2-4ac有如

下關(guān)系：①△>(),方程有兩個不相等的實數(shù)根，②△=(),方程有兩個相等的實數(shù)根，③△<(),方程沒有

實數(shù)根，由題意得出A=(-1)2-4X1X(TW)>0,計算即可得出答案.

【詳解】解：：關(guān)于尤的方程/一工一〃?=0有兩個不相等的實數(shù)根，

A=(-l)2-4xlx(-m)>0,

解得：m>-^~,

4

故選：B.

2.（2024?山東泰安?中考真題）關(guān)于龍的一元二次方程2d-3x+左=0有實數(shù)根，則實數(shù)人的取值范圍是（）

9999

A.k<—B.k〈—C.kN—D.k<—

8888

【分析】本題考查了判別式與一元二次方程根的情況，熟知一元二次方程有實數(shù)根的條件是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)一元二次方程有實數(shù)根的條件是A20,據(jù)此列不等式求解即可.

【詳解】解：???關(guān)于x的一元二次方程.3x+后=0有實數(shù)根，

9

A=（-3）9一4x2420,解得上4-.

8

故選B.

3.（2024?山東?中考真題）若關(guān)于x的方程4/-2犬+m=0有兩個相等的實數(shù)根，則加的值為.

【分析】本題考查了根的判別式，牢記“當△=（）時，方程有兩個相等的實數(shù)根''是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出A="-4ac=22-4x4x7n=0,解之即可得出結(jié)論.

【詳解】解：:?關(guān)于無的方程4尤2-2元+〃7=0有兩個相等的實數(shù)根，

A=Z?2—4ac=22—4x4xm=4—16m=0,

解得：m=~7-

4

故答案為：:.

4.（2023?山東聊城?中考真題）若一元二次方程如2+2%+1=。有實數(shù)解，則根的取值范圍是（）

A.//!>—1B.mWlC.加1且〃件。D.且〃件。

【分析】由于關(guān)于x的一元二次方程皿2+2x+i=。有實數(shù)根，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可知—0,

且〃據(jù)此列不等式求解即可.

【詳解】解：由題意得，4-4m>0,且相片0,

解得，加W1,且〃件0.

故選：D.

5.（2023?山東濱州?中考真題）一元二次方程f+3x-2=0根的情況為（）

A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根C.沒有實數(shù)根D.不能判定

【分析】根據(jù)題意，求得A=^-4改=9+8=17>0,根據(jù)一元二次方程根的判別式的意義，即可求解.

【詳解】解：；一元二次方程爐+3尤-2=0中，a=l,b=3,c=-2,

二A=^-4ac=9+8=17>0,

.?.一元二次方程尤2+3彳-2=0有兩個不相等的實數(shù)根，

故選：A.

6.（2023?山東?中考真題）關(guān)于x的一元二次方程（上一1）N—2尤+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)上的

取值范圍是.

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到人-1邦且△=（-2）2-4*-1）>0,然后求出

兩個不等式的公共部分即可.

【詳解】解：：關(guān)于x的一元二次方程（-1）N—2x+l=0有兩個不相等的實數(shù)根，

1力0且4=（-2）2-4（%—1）>0,

解得：左<2且#1.

故答案為：笈<2且上1.

【題型5一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系】

-豆—

①對于,型，需要通分成進行求解;②工；+考=（再+々）2-2再%2:③（再-%2）2=（%+%2『-4再Z

X]'2'1X?

1.（2024.山東日照.中考真題）己知，實數(shù)%,々（％彳々）是關(guān)于尤的方程丘?+2丘+1=0化W0）的兩個根，

114

若一+—=2,貝IH的值為（）

Xx2

A.1B.—1C.—D.—

22

【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，對于一元二次方程依2+云+。=0（。工0）,若再，x2

是該方程的兩個實數(shù)根，則%+々=-2b,玉e巧=￡，據(jù)此得到再+%=-2,%%=；1，再1由一1+一c=2得到

aa左玉元2

-24=2,據(jù)此可得答案.

【詳解】解：??,士,無2是關(guān)于x的一元二次方程日之+2h+1=?；痺O）的兩個根，

C1

/.玉+%2=-2,XX=—.

x2k

11c

一+—=2,

xxx2

x{x2

.-.T=2

k

:.-2k=2,

解得k=—lf

經(jīng)檢驗，左=-1是原分式方程的解，

故選：B.

2.（2023?山東?中考真題）一元二次方程V+3x—1=0的兩根為七,%2,則J+J的值為（）

33

A.—B.—3C.3D.—

22

11

【分析】先求得%=-3,X,-x2=-l,再將1+丁變形，代入無1+Z與士飛的值求解即可.

【詳解】解：???一元二次方程無2+3x-l=0的兩根為和x2,

——

項+Z3,,x2—1

11

xxx2

_xx+x2

_-3

--1

=3.

故選C.

3.（2024?山東德州,中考真題）已知a和b是方程x?+2024x—4=0的兩個解,貝Ia2+2023a-b的值為.

【分析】本題考查一元二次方程的解和根與系數(shù)關(guān)系、代數(shù)式求值，先根據(jù)方程的解滿足方程以及根與系

數(shù)關(guān)系求得4+2024a=4,a+6=-2024,再代值求解即可.

【詳解】解：?.,。和6是方程爐+2024尤一4=0的兩個解，

+2024。-4=0,。+6=-2024,

er+2024a=4，

a2+2023a-/?

=a?+2024a-（a+b）

=4-（-2024）

=4+2024

=2028,

故答案為：2028.

4.（2024?山東煙臺?中考真題）若一元二次方程2/一4元-1=0的兩根為祖，小則3加?-4機+/的值為.

【分析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系及利用完全平方公式求解，若再，尤2是一元二次方程

hc

?+"+c=0（aw0）的兩根時，石+馬=一，%馬=—，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

aa

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得加+〃=2,mn=--^,2m2-4m=1,再把3帆之-4根+/變形為2療-4根+病+/,然

后利用整體代入的方法計算，再利用完全平方公式求解即可.

【詳解】解：???一元二次方程2爐_4%-1=0的兩個根為加，幾，

m+n=2,mn=——,2m2-4m=1

2

3m2—4m+w2

=2m2-4m+m2+n2

=m2+n2+1

=(m+〃)2—2mn+1

=22-2X(-1)+1

=6

故答案為：6.

【題型6一元二次方程的實際應(yīng)用】

①面積問題：注意未知數(shù)的取值范圍，結(jié)合范圍對方程的解進行取舍；

②增長率問題：若基數(shù)為a,增長率為x,則增長n次，可得“(1+x)”。在做增長率問題時，一定要注

意區(qū)分所給數(shù)據(jù)是增長了n次后的數(shù)值，還是增長了n次后所有數(shù)值的和。

③利潤問題：利潤=總收入-總支出=數(shù)量x(售價-成本)。

1.(2024.山東青島.中考真題)如圖，某小區(qū)要在長為16m,寬為12m的矩形空地上建造一個花壇，使花壇

四周小路的寬度相等，且花壇所占面積為空地面積的一半，則小路寬為ni.

<--------16m---------?

12m花壇

【分析】本題主要考查了一元二次方程的實際應(yīng)用，設(shè)小路的寬為加，則長方形花壇的長為(16-2x)m,

寬為(12-2x)m,再根據(jù)矩形面積計算公式列出方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)小路的寬為由，則長方形花壇的長為。6-2x)m,寬為(12-2x)m,

由題意得，(16-2x)(12-2x)=|xl6xl2,

囿理得靖—14x+24=0,

解得x=2或x=12(舍去)，

，小路的寬為2m,

故答案為：2.

2.(2024.山東淄博.中考真題)“我運動，我健康，我快樂！”隨著人們對身心健康的關(guān)注度越來越高.某市

參加健身運動的人數(shù)逐年增多，從2021年的32萬人增加到2023年的50萬人.

（1）求該市參加健身運動人數(shù)的年均增長率；

（2）為支持市民的健身運動，市政府決定從A公司購買某種套裝健身器材.該公司規(guī)定：若購買不超過100

套，每套售價1600元；若超過100套，每增加10套，售價每套可降低40元.但最低售價不得少于1000

元.已知市政府向該公司支付貨款24萬元，求購買的這種健身器材的套數(shù).

【分析】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

（1）設(shè)該市參加健身運動人數(shù)的年均增長率為x,根據(jù)從2021年的32萬人增加到2023年的50萬人，列

出一元二次方程，解之取符合題意的值即可；

（2）設(shè)購買的這種健身器材的套數(shù)為優(yōu)套，根據(jù)市政府向該公司支付貨款24萬元，列出一元二次方程，

解之取符合題意的值即可.

【詳解】（1）解：設(shè)該市參加健身運動人數(shù)的年均增長率為％

由題意得：32（1+x）2=50,

解得：為=0.25=25%,電=-2.25（不符合題意，舍去）,

答：該市參加健身運動人數(shù)的年均增長率為25%；

（2）解：：1600x100=160000<240000元，

購買的這種健身器材的套數(shù)大于100套，

設(shè)購買的這種健身器材的套數(shù)為加套，

由題意得：加“600-mx40]=240000,

整理得：m2-500/71+60000=0,

解得：叫=200,m2=300,

當機=300時，售價=1600-岑產(chǎn)x40=800<1000元（不符合題意，故舍去），

答：購買的這種健身器材的套數(shù)為200套.

3.（2023?山東東營?中考真題）如圖，老李想用長為70m的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長）圍成一

個矩形羊圈ABCD,并在邊8C上留一個2m寬的門（建在密■處，另用其他材料）.

A\p

BEFC

（1）當羊圈的長和寬分別為多少米時，能圍成一個面積為640m2的羊圈？

⑵羊圈的面積能達到650m2嗎？如果能，請你給出設(shè)計方案；如果不能，請說明理由.

【分析】（1）設(shè)矩形ABCD的邊AB=xm,則邊3c=70—2x+2=（72—2x）m,根據(jù)題意列出一元二次方

程，解方程即可求解；

（2）同（1）的方法建立方程，根據(jù)方程無實根即可求解.

【詳解】（1）解：設(shè)矩形ABCD的邊AB=xm,則邊BC=70-2x+2=（72—2x）m.

根據(jù)題意，得x（72-2x）=640.

化簡，得尤2-36X+320=0.

解得%=16,x2=20.

當x=16時，72—2x=72—32=40；

當x=20時，72-2%=72-40=32.

答：當羊圈的長為40m,寬為16m或長為32m,寬為20m時，能圍成一個面積為640m?的羊圈.

（2）解：不能，理由如下：

由題意，得x（72-2x）=650.

化簡,得尤2—36尤+325=0.

VA=（-36）2-4X325=-4<0,

一元二次方程沒有實數(shù)根.

羊圈的面積不能達到650m2.

考向三：分式方程

【題型7含參問題一有解、無解】

①若已知分式方程有增根，則表示化成的整式方程有解，但是該解會使得原分式方程的分母為零；

②分式方程的無解問題包括兩種情況，一是化成整式方程后，整式方程無解，也就是整理成了0x=非零

（若0x=0則方程有無數(shù)個解）；二是整式方程有解，但是該解是增根。

1.（2023?山東淄博?中考真題）已知x=l是方程Jm——1==3的解，那么實數(shù)用的值為（）

2—xx-2

A.-2B.2C.-4D.4

【分析】將％=1代入方程，即可求解.

mI

【詳解】解：將X=1代入方程，得=7-7==3

2—11—2

解得：m=2

故選：B.

2.（2023?山東煙臺?模擬預(yù)測）若關(guān)于x的分式方程一+1=廣勺有增根，則人的值為（）

x-5J-X

A.；B.—C.8D.；或8

222

【分析】本題考查了增根的概念，先去分母，再利用增根的意義即可求解，正確理解增根的含義是解題的

關(guān)鍵.

【詳解】解：=+1=二

x—55—x

x—6+%—5=-2左,

x=-11-—-2左

2

Y-62〃

..?關(guān)于x的分式方程=+i=#有增根,

x-j3—X

□=9=5,

2

解得：k=',

故選：A.

3.（2023?山東棗莊?三模）己知關(guān)于x的分式方程==/一有增根，則加=.

【分析】本題考查了分式方程的增根，理解產(chǎn)生增根的原因是解題的關(guān)鍵.解出方程的解，根據(jù)方程有增

根，得到關(guān)于加的方程，求出加即可.

【詳解】解：方程兩邊乘（九+D得：x—2=m,

:.x=2+m,

???方程有增根,

一.尤+1=0,

..x——1,

2+%=—1,

.\m=-3.

故答案為：-3.

4.（2024?山東荷澤?三模）若關(guān)于x的分式方程/\="+1無解，則m=_____.

x-2x-2

【分析】此題主要考查分式方程無解的情況求解，解題的關(guān)鍵是熟知解分式方程的方法.先把分式方程化

為整式方程，再根據(jù)方程無解分情況討論即可求解.

mxm+2r

【詳解】解:-------=---------+1

x—2x—2

mx=m+2+x—2

（m—l）x=m

當m-1=0時，即m=1時，原分式方程無解;

當mwl時，％

m—1

??,原分式方程無解

m八

m—1

解得m=2

綜上，根=1或根=2

故答案為：1或2.

5.（2024.山東東營.二模）若關(guān)于x的分式方程==4-2無解，則加的值是_____.

x-22-尤

【分析】此題考查了分式方程的無解問題，增根確定后可按如下步驟進行：①化分式方程為整式方程；②

把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值.先把分式方程去分母變?yōu)檎椒匠?，然后把x=2代入計算，

即可求出加的值.

【詳解】解：；N=4-2,

x-22-x

去分母，得：1-%=-切-2（x-2）,

??,分式方程無解，

/.%—2=0,

解得：x=2,

把％=2代入x=-m-2（x-2）,貝I

1-2=-m-2（2-2）,

解得：m=l；

故答案為：1.

【題型8含參問題一特殊解】

當給出分式方程的解的范圍時，首先應(yīng)該用字母將分式方程的解表示出來，然后結(jié)合題意，列出關(guān)于字

母的不等式，此時應(yīng)該注意，還應(yīng)該限制該解不是增根。

1.（2023?山東日照?中考真題）若關(guān)于x的方程*-2=*^解為正數(shù)，則機的取值范圍是（）

x-12x-2

24242

A.m>——B.m<—C.m>——且根wOD.根<一且根w一

33333

4—4—3/77

【分析】將分式方程化為整式方程解得片一，根據(jù)方程的解是正數(shù)，可得一>。，即可求出加的

取值范圍.

x3m

【詳解】解:

x~l2x—2

2x-2x2（x-l）=3m

2x—4x+4=3m

—2x=3m—4

4-3m

X=-----

2

:方程六一2=事的解為正數(shù)’且分母不等于°

.4-3m八4-3m1

,.-------->0,%=---------w1

22

42

m<—,且加w一

33

故選：D.

2.（2023?山東聊城?中考真題）若關(guān)于x的分式方程/7+1=4的解為非負數(shù)，則機的取值范圍是（）

x-11-x

A.機W1且ntw—1B.加2一1且加C.m<1且相。一ID.zn>—1且加

【分析】把分式方程的解求出來，排除掉增根，根據(jù)方程的解是非負數(shù)列出不等式，最后求出根的范圍.

【詳解】解：方程兩邊都乘以（％-1）,得：x+x-l=-m,

Vx—1^0,即：-~~”wl,

2

mw—1,

又?.?分式方程的解為非負數(shù)，

2

???加W1,

???m的取值范圍是機W1且mw-1,

故選：A.

【題型9分式方程的實際應(yīng)用】

1.（2024.山東東營.中考真題）水是人類賴以生存的寶貴資源，為節(jié)約用水，創(chuàng)建文明城市，某市經(jīng)論證從

今年1月1日起調(diào)整居民用水價格，每立方米水費上漲原價的;?小麗家去年5月份的水費是28元，而今

年5月份的水費則是24.5元.已知小麗家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少3m設(shè)該市去年居

民用水價格為x元/n?,則可列分式方程為.

【分析】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，設(shè)該市去年居民用水價格為尤元/n?,則今年居民用水價格為

。元/n?,根據(jù)小麗家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少3m3,列出方程即可.

4

【詳解】解：設(shè)該市去年居民用水價格為x元/n?,則今年居民用水價格為+元/n?,根據(jù)題意得：

2824.5°

-------^—=3

4

2824.5°

——?__j

故答案為：x5.

——x

4

2.（2024.山東威海.中考真題）某公司為節(jié)能環(huán)保，安裝了一批A型節(jié)能燈，一年用電16000千瓦?時.后購

進一批相同數(shù)量的8型節(jié)能燈，一年用電9600千瓦?時.一盞A型節(jié)能燈每年的用電量比一盞B型節(jié)能燈每

年用電量的2倍少32千瓦?時.求一盞A型節(jié)能燈每年的用電量.

【分析】本題考查分式方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列方程是關(guān)鍵，并注意檢驗.根據(jù)兩種節(jié)能燈數(shù)量相等列式

分式方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)一盞B型節(jié)能燈每年的用電量為尤千瓦?時，

則一盞A型節(jié)能燈每年的用電量為（2x-32）千瓦.時

160009600

2x-32x

整理得5x=3（2尤一32）

解得x=96

經(jīng)檢驗：x=96是原分式方程的解.

2^-32=160

答：一盞A型節(jié)能燈每年的用電量為160千瓦.時.

3.（2024.山東泰安.中考真題）隨著快遞行業(yè)的快速發(fā)展，全國各地的農(nóng)產(chǎn)品有了更廣闊的銷售空間，某農(nóng)

產(chǎn)品加工企業(yè)有甲、乙兩個組共35名工人.甲組每天加工3000件農(nóng)產(chǎn)品，乙組每天加工2700件農(nóng)產(chǎn)品，已

知乙組每人每天平均加工的農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量是甲組每人每天平均加工農(nóng)產(chǎn)品數(shù)量的1.2倍，求甲、乙兩組各有多

少名工人？

【分析】本題考查了分式方程的實際應(yīng)用，設(shè)甲組有了名工人，則乙組有（35-“名工人.根據(jù)題意得

2700=2222x1.2,據(jù)此即可求解.

35-xX

【詳解】解：設(shè)甲組有X名工人，則乙組有（35-x）名工人.

根據(jù)題意得:^20=^22x1.2,

35-xx

解答：x=20,

經(jīng)檢驗，x=20是所列方程的解，且符合題意,

,-.35-x=35-20=15.

答：甲組有20名工人，乙組有15名工人.

345.（2023?山東東營.中考真題）為扎實推進“五育”并舉工作，加強勞動教育，東營市某中學(xué)針對七年級學(xué)

生開設(shè)了“跟我學(xué)面點”烹飪課程，課程開設(shè)后學(xué)校花費6000元購進第一批面粉，用完后學(xué)校又花費9600

元購進了第二批面粉，第二批面粉的采購量是第一批采購量的L5倍，但每千克面粉價格提高了0.4元.設(shè)

第一批面粉采購量為1千克，依題意所列方程正確的是（