必刷05動態平衡及平衡中的臨界極值問題

01關鍵能力

【考點一共點力動態平衡分析】

1.共點力動態平衡問題

在共點力動態平衡過程中物體始終處于一系列的平衡狀態，在問題的描述中常用“緩慢”等語言敘述。

2.解決共點力動態平衡問題的常用方法

(1)解析法

確定研究對象并進行受力分析，先畫出受力示意圖，再根據物體的平衡條件列式求解，得到因變量與自變

量的函數表達式(通常為三角函數關系)，最后根據自變量的變化確定因變量的變化。

⑵圖解法

此法常用于求解三力平衡問題中，已知一個力是恒力、另一個力方向不變的情況。一般按照以下流程解題。

受

力化“動”為“靜”畫不同狀態下的受力平衡圖(力的

分

析平行四邊形或力的矢量三角形)

“靜”中求“動”

確定力的變化

(3)相似三角形法

三力平衡問題中，正確作出力的三角形后，如能判定力的三角形與圖形中的線、桿、壁等圍成的幾何三角

形相似，則可用相似三角形對應邊成比例求出力的比例關系，進而求解。注意構建三角形時可能需要畫輔

助線。

三個共點力，其中一個力為恒力，另兩個力的方向均發生變化，則通常用相似三角形法分析。

(4)正弦定理法

如圖所示，物體受三個共點力作用而處于平衡狀態，則三個力中任何一個力的大小分別與另外兩個力的夾

角的正弦成正比，即"=，3=上匚。

sinasinPsiny

儲

(5)外接圓法

三力平衡問題中，一力恒定，另外兩力方向一直變化，但兩力的夾角不變，作出不同狀態的矢量三角形，

利用兩力夾角不變，可以作出外接圓，恒力為圓的一條弦，根據不同狀態的矢量三角形邊角關系判斷各力

的大小、方向變化，如圖所示。

考向1解析法

【典題例證1】（23-24高一上?江蘇連云港?期末）如圖所示，繞過滑輪的輕繩一端A固定在豎直墻上，站在

地面上的人用手拉著繩的另一端3,動滑輪下吊著一個小球處于靜止狀態。現將3端豎直向上緩慢移動一小

段距離，手與繩無相對滑動，滑輪未到達A端，不計滑輪與繩之間的摩擦，則該過程中（）

A.繩上張力變小

C.滑輪受到繩的作用力變大D.地面對人的摩擦力不變

考向2圖解法

【典題例證2】（23-24高一下?云南紅河?期末）掛燈籠是我國年俗文化的重要組成部分。圖甲中燈籠豎直懸

掛在輕繩ON和。2的結點。處，CM、03與水平桿的夾角均為60。，OA.08的拉力大小分別為片、鳥。

現保持CM方向不變，僅將沿順時針緩慢旋轉至圖乙所示的水平位置。夕，則此過程中（）

A.片大小不變B.與先變小后變大

C.片與鳥的合力變小D.耳與月的合力變大

考向3相似三角形法

【典題例證3】（23-24高一下?陜西榆林?期末）如圖所示，質量為加的物體由兩根繩子吊在半空中處于靜止

狀態，右側繩子的另一端固定在高樓的4點且與豎直方向的夾角為左側繩子由人拉著且與豎直方向的

夾角為當人不動而緩慢釋放繩子,下列說法正確的是（）

A.兩根繩子對物體的合力變大B.兩繩子的拉力都變小

C.地面對人的支持力變小D.地面對人的摩擦力變大

考向4外接圓法

【典題例證4】（多選）（23-24高一上?湖南衡陽?期末）如圖所示，三根等長的光滑桿構成三角架，桿Q4豎

直放置。質量均為加的兩小球用細線相連后，分別套在兩桿上，在圖示位置能保持靜止。現將三角架繞N

端在豎直平面內沿順時針方向緩慢轉動，直到02桿豎直。下列說法正確的是（）

A.。/桿對小球的彈力先增大后減小

B.桿對小球的彈力一直減小

C.轉至48桿水平時桿上的彈力大小為2加g

D.轉至48桿水平時繩上拉力為2百加g

【考點二共點力平衡中的臨界與極值問題】

1.臨界問題

在問題的描述中常用“剛好”“剛能”“恰好”等語言敘述。臨界問題常見的種類:

（1）由靜止到運動，摩擦力達到最大靜摩擦力。

（2）繩子恰好繃緊，拉力尸=0。

（3）剛好離開接觸面，彈力尸彈=0。

2.極值問題

在力的變化過程中存在力的最大值或最小值。

3.解決共點力平衡中的臨界問題和極值問題的方法

（1）極限法：首先要正確地進行受力分析和變化過程分析，找出平衡的臨界點和極值點；臨界條件必須在變

化中去尋找，不能停留在一個狀態來研究臨界問題，而要把某個物理量推向極端，即極大或極小。

（2）數學分析法：通過對問題的分析，依據物體的平衡條件寫出物理量之間的函數關系（或畫出函數圖像），用

數學方法求極值（如求二次函數極值、公式極值、三角函數極值）。

（3）物理分析法：根據物體的平衡條件，作出力的矢量圖（力的平行四邊形或力的矢量二角形），通過對物理過

程的分析，在力的矢量圖上進行動態分析，確定最大值或最小值。

考向1極限法

【典題例證5】（23-24高一上?江蘇泰州?期末）如圖所示，輕繩。系物塊A懸掛在。點，A、B之間用輕

繩6水平連接，物塊B靜止于傾角為。的斜面上，。與豎直方向的夾角也為a0=30。，B與斜面間的動摩擦因

數〃=半，設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，g取lOm/s?。若加4=lkg,mB=4kg,求：

（1）輕繩。拉力A的大小；

（2）物塊B與斜面之間摩擦力日的大小；

（3）若數值未知，其它條件均不變，系統始終處于靜止狀態，求為的最大值。

"“

考向2物理分析法

【典題例證6】（23-24高一上?安徽黃山?期末）某商場為應對經濟不景氣、客源不足，推出了用筷子夾金磚

的游戲來刺激消費。商家為了不讓顧客夾起金磚，將金磚的豎直剖面設計為等腰梯形，并要求顧客按如圖

所示方向夾金磚，若筷子與金磚之間的動摩擦因數為0.75（滑動摩擦力等于最大靜摩擦力）則梯形的底角

必須滿足（）

筷筷子

金磚

A.小于53。B.大于53。C.小于60。D.大于60。

【關鍵能力提升】

（1）共點力平衡中的臨界與極值問題常與動態平衡問題結合起來考查，應用圖解法進行分析，作出力的平行

四邊形或矢量三角形，常常有助于直觀地得到結果。

（2）由靜摩擦力變為滑動摩擦力、摩擦力方向改變、彈力有無及方向改變常常是臨界與極值問題中要特別注

意的。

02必刷提升練

【刷基礎】

—＞單選題

1.（23-24高一上?云南昆明?期末）單杠是一項大眾喜聞樂見的體育健身運動，如圖所示，健身者上杠后雙

手間距增大后且再次穩定時，下列說法正確的是（）

A.健身者所受重力就是兩手臂拉力的合力

B.當健身者兩手臂夾角到達120。時，健身者每只手臂拉力大小等于健身者所受重力

C.健身者所受重力和兩只手臂拉力的合力是一對作用力和反作用力

D.健身者兩手臂所受的拉力增大，健身者所受的合力增大

2.（23-24高一上?寧夏銀川?期末）如圖所示，某健身愛好者手拉著輕繩，在粗糙的水平地面上緩慢地移動,

保持繩02一直處于水平方向，在。點懸掛重物C,則（）

A.若健身者緩慢向右移動，繩。/的拉力變小

B.若健身者緩慢向右移動，繩。8的拉力變大

C.若健身者緩慢向右移動，繩04、。8拉力的合力變大

D.若健身者緩慢向右移動，健身者與地面間的摩擦力變小

3.（23-24高一上?浙江嘉興?期末）如圖甲為消防員在搶險救災工作中從頂樓直降到某一樓層的瞬間，其下

降過程可簡化為：消防員的腳與墻壁接觸點為4點，人的重心在B點、,/到2可簡化為輕桿，0B為輕繩，

O點為輕繩懸掛點且保持固定.已知消防員初始時NOBA=900保持靜止，緩慢下降過程中AB長度以及AB

與豎直方向的夾角均保持不變，如圖乙所示.在消防員下降過程中（）

A

甲乙

A.桿對人的力方向從N指向8且變小B.N8桿提供拉力且大小保持不變

C.03繩拉力先減小后增大D.消防員所受合力增大

4.（22-23高一上?浙江杭州?期中）如圖所示，輕繩。1將一質量為根的小球懸掛于。點，0/與豎直方向

的夾角為￡=30°,在水平力尸作用下，小球靜止。現使力尸沿逆時針方向緩慢旋轉至豎直向上，小球位置

始終不變，上述過程中（）

O

A.力尸逐漸減小B.力廠逐漸增大

C.輕繩。4對球的拉力先增大再減小D.力廠最小值為g小g

5.（23-24高一上?浙江?期末）如圖所示，工人利用滑輪組將重物緩慢提起，下列說法正確的是（）

A.工人受到的重力和支持力是一對平衡力

B.工人對繩的拉力大于繩對工人的拉力

C.重物緩慢拉起過程，繩子拉力不變

D.重物緩慢拉起過程，人受到的支持力變小

6.（23-24高一上?浙江?期末）如圖所示，橡皮筋的一端固定在。點，另一端拴一個物體（可視為質點）,

。點的正下方4處有一垂直于紙面的光滑細桿，CM為橡皮筋的自然長度。已知橡皮筋的彈力與伸長量成正

比，現用水平拉力廠使物體在粗糙的水平面上從2點沿水平方向勻速向右運動至。點，已知運動過程中橡

皮筋處于彈性限度內，且物體對水平地面始終有壓力，下列說法正確的是（）

A.物體所受水平面的摩擦力保持不變

B.物體所受地面的支持力先減小后增大

C.橡皮筋對細桿的作用力先增大后減小

D.水平拉力/變小

7.（23-24高一上?湖北武漢?期末）如圖所示，一根輕繩的一端固定在墻上4點，另一端繞過動滑輪懸掛一

重物，其中滑輪與N之間的細繩水平，另有一根輕繩5尸，其一端與動滑輪的轉軸尸相連，另一端點B固定

在直角墻壁的頂點上，此繩與豎直方向夾角為6,整個系統處于平衡狀態，光滑輕質滑輪的大小可以忽略，

現緩慢移動輕繩端點B，下列說法正確的是（）

A.若端點B沿墻壁水平向左移動,則e變大，8尸繩上拉力變小

B.若端點8沿墻壁水平向左移動,則19變小，5P繩上拉力變大

C.若端點B沿墻壁豎直向上移動,則e變大，8尸繩上拉力變小

D.若端點3沿墻壁豎直向上移動，則e變小,3P繩上拉力變大

8.（23-24高一上?山西朔州,期末）一個小朋友在搭積木時，將兩個相同的三棱柱甲、乙相鄰置于水平地面

上，表面光滑的圓柱體丙架在兩個三棱柱之間，截面如圖所示。三塊積木的質量均為加且處于靜止狀態（重

力加速度為g）,下列說法正確的是（）

A.甲受到3個力的作用

B.甲對丙的支持力為僅g

C.若增大甲、乙間的距離，丙未落地且三者仍靜止，則甲對丙的作用力不變

D.地面對甲的支持力大小為3%g

9.（23-24高一上?湖南?期末）小明在觀察如圖所示的沙子堆積時，發現沙子會自然堆積成圓錐體，且在不

斷堆積過程中，材料相同的沙子自然堆積成的圓錐體的最大底角都是相同的。小明測出這堆沙子的底部周

長為31.4m,利用物理知識測得沙子之間的動摩擦因數為0.5,估算出這堆沙子的體積最接近（圓錐體的體

積公式/=；酣，其中S是圓錐體的底面積，〃是圓錐體的高，兀取3.14）（）

A.20m3B.60m3C.100m3D.140m3

10.（23-24高一上?重慶沙坪壩?期末）如圖所示，一玻璃清潔工人坐在簡易的小木板8C上，通過樓頂的滑

輪和輕質繩索04在豎直平面內緩慢下降。在下降過程中，工人腿部與豎直玻璃墻的夾角〃=60。，且保持

不變。玻璃墻對腳的作用力始終沿腿方向，小木板2C保持水平且與玻璃墻平行。某時刻輕繩04與豎直玻

璃墻的夾角。=30。，連接小木板的兩等長輕繩N8、NC的夾角6=120。，且與。/在同一傾斜平面內。已知

工人及工具的總質量機=80kg小木板的質量可忽略不計，g=10m/s2。假設工人姿勢保持不變，下列說

法正確的是（）

A.此時，玻璃墻對腳的作用力大小為400瓜

B.此時，48、NC繩上的張力大小均為400N

C.從該時刻起，工人緩慢下降過程中，玻璃墻對腳的作用力逐漸減小

D.從該時刻起，工人緩慢下降過程中，0/繩上的張力逐漸減小

11.（23-24高一上?海南省直轄縣級單位?期末）如圖所示，物體的質量為2kg,兩根輕細繩和/C的一

端固定于豎直墻上，另一端系于物體上（/"C=6=60。），在物體上另施加一個方向與水平線也成。角的

拉力R若要使繩都能伸直，下列尸中不可能的是（取g=10m/s2）（

A.4仆NB.8百ND.12百N

12.（23-24高一上?山西陽泉,期末）如圖所示為機械手抓取籃球的照片。為便于研究，將機械手簡化為三

根"手指"，且不考慮籃球的明顯形變。抓取點平均分布在同一水平面內，抓取點與球心的連線與該水平面夾

角為，"手指"與籃球的動摩擦因數為〃，籃球的重力大小為G,最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。下列說法正

確的是（）

s

A.只要"手指"對籃球的壓力足夠大，a不論取何值都能將籃球抓起

B.若〃與a的關系滿足〃>tana,則一定能將籃球抓起

C.若能抓起籃球，則每根“手指"對籃球壓力的最小值為三——G

3（"cosa-sina）

D.若抓起籃球豎直向上做加速運動，則每根"手指"對籃球的壓力一定變大

13.（23-24高一上?湖北恩施?期末）如圖所示，一光滑的輕滑輪用輕繩皿懸掛于M點，站在地面上的人

用輕繩跨過滑輪拉住漏斗，拉漏斗的繩與延長線的夾角為a,人所拉輕繩與延長線的夾角為在

砂子緩慢漏出的過程中，人握住輕繩保持不動，則在這一過程中（）

A.a不一定等于尸B.輕繩M4的拉力逐漸增大

C.人對地面的壓力逐漸減小D.人對地面的摩擦力逐漸減小

二、多選題

14.（23-24高一上?貴州畢節?期末）如圖所示，質量為用的物體用。4和08兩根等長的輕繩懸掛在半圓形

的支架上，。點位于半圓的圓心上。開始時，CM與。2之間的夾角為90。且/、3關于最高點C對稱。現保

持3點固定不動，/點由圖示位置向。點緩慢移動。在此過程中（0405始終處于緊繃狀態）（）

A.繩04、08的拉力的合力會發生變化

B.繩的拉力逐漸增大

C.繩。/的拉力逐漸減小

D.N點移動到。點時，繩的拉力大小為亞加g

15.（23-24高一上?四川綿陽?期末）近年來，多人秋千在游樂場很受歡迎，南山中學為了豐富高三學子的

課余生活，在高三園區添置了該設施，已知多人秋千的水平座椅由16根等長的繩子（不計繩子的質量）等

間距的固定在兩根平行的橫梁上，假設每根繩子與豎直方向的夾角。=30。。初始時座椅靜止在最低點，現

將座椅用水平拉力緩慢拉至繩子平面（如圖乙）與座椅平面的夾角為a=45。（如圖丙），該過程中所有繩子

始終繃直。座椅的質量為加，當地的重力加速度為g。關于該過程，下列說法正確的是（）

一■一■

甲乙丙

A.初始時，每根繩子的拉力為在加g

24

B.繩子平面與座椅平面的夾角為夕=45。時，每根繩子的拉力為e7Mg

8

C.水平拉力逐漸變大

D.若保持a=45。不變，拉力方向緩慢逆時針旋轉至豎直方向，拉力逐漸變小

16.（23-24高一上?山東聊城?期末）如圖，甲、乙兩物體的質量相等，物體甲通過輕繩懸掛在光滑輕質動

滑輪A上，動滑輪A置于輕繩上。輕繩的一端固定在水平天花板上的。點，另一端通過光滑定滑輪B與物

體乙相連，系統處于平衡狀態。現將定滑輪B水平向右緩慢移動一小段距離x,移動滑輪的過程中，物體、

滑輪始終沒有相碰。設輕繩通過動滑輪A形成的夾角為且不計兩滑輪的大小。下列說法正確的是（）

A,未移動滑輪B之前，。=120。

B.移動滑輪B的過程中，e不變

C.移動滑輪B后，物體甲水平方向移動的位移大小為:

D.移動滑輪B后，物體乙豎直方向移動的位移大小為"x

3

17.（23-24局一上?湖北襄陽■階段練習）如圖所示，傾角6=30。的斜面體A固定在水平地面上，一根輕繩

跨過斜面體頂端的小滑輪，繩兩端系有質量為25〃和根的小物塊a、b,整個裝置處于靜止狀態.現給物塊

b施加一個水平向右的力尸，使其緩慢運動到繩與豎直方向成60。角的位置。整個過程中小物塊。一直保持

不動，不計繩與滑輪間的摩擦.在此過程中（）

A.力尸一直增大

B.小物塊a受到的摩擦力先增大再減小

C.繩上張力先增大后減小

D.小物塊a與斜面之間的動摩擦因數最小值為由

5

三、解答題

18.（23-24高一上?北京東城?期末）門下縫隙處塞了一個木楔，木楔尺寸比門小得多，側面如圖所示。已

知木楔質量為m,其上表面可視作光滑，下表面與水平地面間的動摩擦因數為〃，木楔上表面與水平地面間

的夾角為仇重力加速度為g,最大靜摩擦力近似等于滑動摩擦力。

（1）若門推動木楔在地板上緩慢移動，求木楔對門下端的支持力大小；

（2）小明研究發現，存在一種情境：不管用多大力推門，塞在門下縫隙處的木楔（質量較小）都能將門卡

住而不再運動。求這一情境下木楔傾角。與動摩擦因數〃所滿足的關系式。

19.（23-24周一上?重慶?階段練習）如圖所示，質量均為加=2kg的兩個半圓柱體A、B放在粗糙水平地面

上，質量加=V§kg、外表面光滑的圓柱體C放在A、B之間，A、B、C均處于靜止狀態，A、B恰好接觸且

A、B間沒有作用力。已知A、B、C的半徑相同，A、B與地面間的動摩擦因數均為〃=船，取重力加速度

大小g=10m/s。認為最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。

（1）求C對A的壓力大小N；

（2）求地面對A的支持力大小歹和摩擦力大小/；

（3）若其他條件不變，用相同半徑的光滑圓柱體D取代C,使A、B、D仍在圖示位置處于靜止狀態，求D

的質量M應滿足的條件。