專題5.1分式夯實基礎

一'選擇題(每題3分，共30分)

1.下列說法正確的是()

A.分式七的值為零，則X的值為±2

根據分式的基本性質，等式m_

B.方=玄

C.把分式吧片的分子與分母的各項系數都化為整數的結果為

18Q—50力

21。一⑵

D-分式踞耨最簡分式

2.下列關于分式的判斷，正確的是()

A.當x=3時，卓?的值為0

B.當x于3時，?有意義

C.無論x為何值，島不可能是整數

D.無論x為何值，島的值總為正數

3.使等式*=今成立的條件是()

A.%<0B.%>0C.x#0D.x=#C且

X*1

4.下列命題：①關于某條直線對稱的兩個圖形，對稱點所連線段被對稱軸垂直平分；②有兩個

外角相等的等腰三角形是等邊三角形；③已知(x+)>=16,盯，=2,那么(x-y)?=8；④如

果把分式奇中的X、y都擴大2倍，那么分式的值也擴大2倍.正確的有()個.

A.1個B.2個C.3個D.4個

5.在下列各式：①a-b=b-a；②(a-b)2=(b-a)2；③(a-b)2=-(b-a)2；(4)(a-b)3=(b-a)

3；⑤(a+b)(a-b)=(-a-b)(-a+b)中，正確的有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

6.分式的分母經過通分后變成2(a-b)2(a+b),那么分子應變為()

a^-b2

A.6a(a-b)2(a+b)B.2(a-b)

C.6a(a-b)D.6a(a+b)

7.若分式運算耳口々的結果為x,則在口中添加的運算符號為()

x-1x-1

A.+B.+或:C.-或一D.+或x

8.已知a、b是一元二次方程F-3x+1=0的根，則代數式，一+1?“口Z

F+1

A.3B.1C.-3D.-1

9.若b除以非零整數a，商為整數，且余數為零，我們就說力能被a整除(或說a能整除加，記為

a\b,如:在2|4中，4能被2整除，?.葉/2=2,所以2|4=2；類似的2|8=4；3|15=5等等.根

據以上知識回答下列問題：

①若整數”滿足2|m,整數n滿足m\n,則2|n；

，②若y—21y2+5,則符合題意的整數y的值之和9；

③整數x滿足6|x(4x+l)(7x+5)的x的值為任意整數.以上結論中正確的有

()

A.0個B.1個C.2個D.3個

10.已知由=4a=a3=…，=T-^-(n為正整數，且t于0,1),則

1l+7tr2]—Q]。1—02”4-I

用含t的式子方.a2?。3…Q2021的結果為()

A.tB.—tC.t+1D.—(1+t)

二、填空題(每題4分，共24分)

11.若分式士有意義，則X應滿足

12.如果分式吐1的值為0,則a的值是_______.

a—1

13.化簡：-1T+畢二=

14.如圖的解題過程中，第①步出現錯誤，但最后所求的值是正確的，則圖中被遮住的'的值

是.

先化簡，再求值：

臺+L其中'=★?

解：原式=-(x-4)+(x—4)…①

=3~x+X-4

=-1

15.石墨烯是現在世界上最薄的納米材料，其理論厚度僅有0,000000000344米，將數據

0.000000000344米用科學記數法表示為米.

16.人們把早這個數叫做黃金分割數，著名數學家華羅庚優選法中的0.618法就應用了黃金分

割數,設。=與二，力=苧'則疝=1，記％=擊+*'+'

則Si+S?+Sa+…Sitm=

$3=備+$

三、解答題（共8題，共66分）

17先化簡,再求值：籍.繇,其中。=第

18.先化簡,再求值：（1—需）其中，Q=2.

19.閱讀以下內容，完成問題.

解.10丫.y2

畔,x+2y./+4盯+4)，2

x+2y-(x-y).(x+y){x-y)

_x+2y-(x+2y)(x+2y)

(x+2y)(x+2￡3

(x+以x-y)力

-(x+y)(x-)產

xy+2y2

④

x2-y2

（1）小明的計算步驟中，從哪一步開始出現錯誤？（填寫序號）

（2）小明從第①步的運算結果到第②步的運算是否正確？（填“是”或“否”）若不

正確，錯誤的原因是

（3）請你幫小明寫出此題完整正確的解答過程.

20.有7個如圖1的邊長分別為a，匕的小長方形，拼成如圖2的大長方形.

b

圖1圖2圖3

（1）觀察圖2,請你寫出a,匕滿足的等量關系（用含a的代數式表示￡）；

（2）將這7個圖1的小長方形放入一個大長方形中，擺放方式如圖3所示（小長方形

都呈水平或豎直擺放），圖中的陰影部分分別記為I、IkIII.

①記陰影部分I、II的周長分別為nipm2,試求耦的值;

②若陰影部分I、II、III的面積之和為86,求a,匕的值.

21.定義：若分式M與分式N的差等于它們的積，即=則稱分式N是分式M的“關聯

分式“如』與擊'因為擊:一擊:（x+l）；x+2）'xTTxxT7=（x+lix+2X所以與是擊

的“關聯分式”.

（1）已知分式/■；,則3________=的“關聯分式”（填“是”或“不是”）；

a2-l-2FT1az-1

1

（2）小明在求分式尋淳的“關聯分式”時，用了以下方法：

設晟^的“關聯分式”為N，貝IJ益"一N=JyXM

-（7^+1）、=+'

二N=x2+；2+f

請你仿照小明的方法求分式祟當的“關聯分式”.

2Q+3b

（3）①觀察（1）（2）的結果，尋找規律，直接寫出分式的“關聯分式”：▲；

②用發現的規律解決問題：

若黑胃是曳堂的“關聯分式”，求實數w,n的值.

mx+mrnxTn

22.用代數推理的方法證明下列兩個結論：

（1）設礪是一個四位數，若a+b+c+d可以被3整除，則這個數可以被3整除.

(2)已知函數)，=刀2求證：當％〉0時，y隨X的增大而增大.

23.閱讀下列材料，并解答總題：

材料：將分式?一中3拆分成一個整式與一個分式(分子為整數)的和的形式.

X+1

解：由分母x+1,可設%2-x4-3=(x+l)(x+a)+￡

則x2-x+3=(x+l)(x+a)+。=X2+a%+工+Q+匕

=x2+(a+l)x+a+b

??,對于任意x上述等式成立

?fa+1=—1

…Ia+b=39

解得｛1二］,

...x2_,t+3=(x+l)(x—2)+5_95

x+1x+1X'+x+1

這樣，分式與串就拆分成一個整式(X-2)與一個分式嘉的和的形式.

(1)將分式1'+6'-3拆分成一個整式與一個分式(分子為整數)的和的形式

X-1

為;

(2)已知整數x使分式NW-5x—2C的值為整數,則滿足條件的整數

A—3

尸.

24.閱讀材料：若加2一2血71+2冗2一8n+16=0,求m、n的值.

解：tn2-2mn+2n2-8n+16=0,

(m2-2mn+n2)+(n2-8n+16)=0

(m—n)2+(n-4)2=0?

m-n=0,n-4=0>

n=4,m=4.

根據你的觀察，探究下面的問題：

(1)已知％2+2xy+2y2+2y+i=0，求x-y的值.

(2)已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數，且滿足a2+&2-6a-8Z>+25=0.求邊

C的最大值.

(3)若已知Q-b=4,ab+c2-6c+13=0，求。-b+c的值.

答案解析部分

1.c

解：對于A,4=0,貝IJ卜2—4=0,解得x=-2,故A錯誤，不符合題意；

對于B,分式成立的條件為即4=(],故B錯誤，不符合題意;

nnx2

06Q9七

對于C,分式,一黑分子分母同乘30得:手一嚼,故C正確，符合題意；

0.7a-jt21a-⑵

對于D，然哥=韶!，故口錯誤，不符合題意；

故選：C.

根據分式值為。計算排除A,分式的基本性質排除B,分式化簡判斷C,D.

2.D

解：A、當x=3時，分式無意義，A不符合題意；

B、當x=0時，分式無意義，B不符合題意；

C、當x=0時，分式為整數，C不符合題意；

D、無論x為何值，萬，的值總為正數，D符合題意；

xz+l

故答案為：D

根據分式有意義的條件、分式的值結合題意對選項逐一分析即可求解。

3.C

解：等式從左到右的變形是對分式進行了約分，也就是分子、分母同除以x,這樣做的

前提是x*C.

故答案為：C.

根據“分式分母不為0”、“分子分母約分x不能等于0”求解.

4.B

5.B

解：①a-b=?(b-a),不符合題意；

②(a-b)2=(b-a)2,符合題意；

③(a-b)2=(b-a)2,不符合題意；

(4)(a-b)3=-(b-a)3,不符合題意；

⑤(a+b)(a-b)=(-a-b)(-a+b),符合題意.

故答案為：B.

a-b與b-a互為相反數，不一定相等，據此可判斷①；互為相反數的兩個數的偶數次幕相等，據

此可判斷②③；互為相反數的兩個數的奇數次幕互為相反數，據此可判斷④；根據有理數的乘

法法則，兩個因式的積等于這兩個因式的相反數的積，據此可判斷⑤.

6.C

鏟3a=3aMa-b)=6a(a-b)

牛，Q2_^2(a+b)(a二十2(a—b)2(a+b：.

故選C.

分式忌的分母a2-b2=(a-b)(a+b),經過通分后變成2(a-b)2(a+b),那么分母乘

以了2(a-b),根據分式的基本性質，將分子3a乘以2(a-b),計算即可得解.

7.C

8.B

9.C

10.B

11?x>—1

12.-1

解：???分式嗎的值為0,

.[a2-l=0

yQ-1芋o'

??a=-1/

故答案為：-1.

根據分式值為。的條件：分子為0,分母不為0,據此得到方程組：解此方程組即

IQ-1X0

可求解.

13.-1

x2x—l%—2x+l-x+1(

故答案為：-1.

根據異分母分式的加法法則計算即可.

14.5

3-x3—xx-4—1

解,口+1=口+口=口'

由題意可得二=_1，解得X=5,

x一，r

經檢驗，x=5是分式方程的解，

即x=5，

故答案為：5.

根據分式的運算，進行化簡，再根據題意，求得x的值，即可.

15.3.44X10-10

解：0.000000000344=3.44XIO_10,

故答案為：3.44xI。-?

利用科學記數法的定義：把一個數寫成axl()n的形式(其中n為整數)，這種記數法

稱為科學記數法，其方法如下：①確定a,a是只有一位整數的數，②確定n,當原數的絕對值

N10時，n為正整數，n等于原數的整數位數減1；當原數的絕對值<1,n為負整數，n的絕對值

等于原數中左起第一個非。數前0的個數(含整數位上的0),再分析求解即可.

16.2024

每？01,11+&+1+Q2+a+b2+a+b_2+a+bd

用牛：51=T+a+T+F=(l+a)(l+/?)=1+a+b+ab=1+a+b+l=2+a+b=L，

1,1l+Z^+l+a22+a2+b22+a^+b22+a2+b2,

c2

=l+a2+17d2=(l+a2)(l+&2)=l+a2+b2+a2/,2=l+a2+/,2+l=2+。2+。2=

q=[.]=1+,+1+a：=2,a3rb3_=2+93+[3=2+a：+”=1

3-1+a3l+53-(l+a^Cl+b3)—l+a3+63+a3|3-i+a3+d3+l-2+a3+h3-'

c1,11+那+1+戶2+m+92+an+hn2+an+ftn,

=17^+1^=(1+m)(1+爐)=1+泗+那+曲爐、1+m+那+1=2+V+爐=L

，S1+S2+$3+…$2024==1+1+1=2024.

故答案為：2024

根據異分母分式加法法則分別求出Si、S2、S3…、Sn的值，根據計算結果找到規律，根據規律

求解即可。

17.2a；>/3

a-11

18.

喬T守

19.(1)①

(2)否；去括號時，字母y的符號沒有變號

⑶解：］Li'：」2-y2

x+2yx2+4xy+4y2

=1"y(x+2y)(x+2y)

x+2y(x+y)(x-y)

1x+2y

=1-T+y

x+yx+2y

=x+y~x+y

y

=~x+y-

(1)小明的計算步驟中，從第①步開始出現錯誤，題目中有減法和除法，應該先算除法，再算

減法，而小明先算的減法，所以出現錯誤了；

故答案為：①；

(2)小明從第①步的運算結果到第②步的運算不正確，錯誤的原因是去括號時字母y的符號

沒有變號；

故答案為：否；去括號時字母y的符號沒有變號；

(1)第①步就錯了，運算順序錯了，應該先算除法，再算減法；

(2)運算不正確，第一個分式的分子化簡出錯了，去括號時沒有變號；

(3)先把第三項分子分母因式分解，然后把除法轉化為乘法并進行約分，最后再通分，需要注

意的是減去一個多項式需要加括號，并且去括號一定要變號.

20.(1)解：由題可知：4a=3匕，

4

-5=30

(2)解：①陰影部分I、II的周長分別為：mi=4乙

m2=2(3a+b+2a)=10a+2力，

一癡

._4.bi_4xV丁_-1T6a--8

"嗎=l0a+2b=1*+八竽=零=F

②陰影部分I、II、UI的面積之和=(3a+2b)(2a+b)-7曲=6a2+2b2,

將b=ga代入6a2+2/=86得：號a?=86，

...a?=9,即q=3(a=-3舍去),

44

?■?&=3a=3x3=4-

(1)觀察圖2,利用矩形的長線段，可得到關于a,b的方程，然后解方程求出b.

(2)①利用圖形分別表示出陰影部分I、II的周長，再求出兩個陰影部分的周長比，化簡即可;

②利用圖形可表示出陰影部分I、n、in的面積之和，再將b代入，根據陰影部分I、II、III

的面積之和為86,可得到關于a的方程，解方程求出a的值，再求出b的值即可.

21.(1)是

⑵解：設痣短的“關聯分式”為N，

2Q+302Q+3。2Q+3。

?ra-bi“a-b

?“a-b

-'N=3^+2L-

(3)①名；②由題意，可得[4m+2=4n-2

Unx+m=mx+n+4m+2

整理得Cn_m=1，

(n+3m=-2.

(3

m=-T

解得.J

、n=4

(i\解.??2____2_422_4

.*a2—la2+l(.2_])加2+])，a2—ltz2+l(a2-l)(a2+l)

.?.品是我的“關聯分式”

故答案為：是；

(3)解:①設擲“關聯分式”為N,則6N=《xM

Y+1)N=4

??/=備

故答案為：^

(1)通分計算出兩個分式的和，根據分式乘法法則算出兩個分式的積，進而根據“關聯分式”的

定義判斷即可；

(2)根據“關聯分式”的定義列出方程，再解方程即可；

(3)①通過觀察發現：一個分式的關聯分式的分子等于原分式的分子，分母等于原分式的分子

與分母的和，據此即可得出答案；②根據①發現的規律可得+2，求

解即可.

22.(1)證明：ioooa+ioob+10c+a

=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)

=3(333a+33b+3c)+(a+b+c+d)，

若a+b+c+d可以被3整除，顯然這個數可以被3整除.

(2)解：設門=Xj,y2=%2)

%-y2=4-4=但+M)(M-刀2)，

當％1>%2>0時,(41+、2)(M—x2)〉0，

■■■yi-ya>o>

?-?yi>yr

.?.當x>0時，y隨X的增大而增大.

(1)由四位數的表示方法可得：茄尸1000a+100b+10c+d=3(333a+33b+3c)+(a+b+c+d),結合已

知可得證；

(2)由題意設yi=X|2,