第1章三角形的證明過關測試卷

（考試時間：90分鐘試卷滿分：100分）

一.單項選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四

個選項中，只有一項是符合題目要求的.）

1.下列長度的三條線段能組成直角三角形的是（）

A.0.1,0.1,0.2B.2,2,4C.6,8,10D.32,42,52

2.已知A/3C（/C<8C）,用尺規作圖的方法在8c上確定一點尸，使尸/+P8=2C,則符

合要求的作圖痕跡是（）

3.如圖，在△4BC中，ZC=90°,AD平分NCAB,BC=8cm,BD=5cm,那么。點到

直線的距離。石為（）

C.5cmD.8cm

4.如圖，在中，NACB=90。，BE平分/ABC,EDLAB于D.如果乙4=30。,

AE=8cm,那么CE=()

試卷第1頁，共6頁

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

5.如圖，在△/BC中，ZA=60°fAB=AC,若△45。的周長為12,則5。的長為（）

A.3B.4C.8D.9

6.到三角形各頂點距離相等的點是（）

A.三條高交點B.三個內角平分線交點

C.三條中線交點D.三條邊垂直平分線交點

7.如圖，在△4BC中，//=32。，。石垂直平分/。，交/2于點。，交公于點處若。。=。8,

則N/C2的度數是（）

A.80°B.84°C.85°D.86°

8.如圖，油紙傘在我國已有一千多年的歷史，是中國古代勞動人民智慧的結晶.圖1是油

紙傘展開后的剖面圖，圖2是油紙傘收起后的剖面圖.已知8,E分別為/C和4尸的中點，

和都為邊長為4的等邊三角形，O為撐桿NM上可移動的點，當傘從展開狀

態到收起狀態的過程中，。移動的距離是（）

圖1圖2

A.2B.4C.6D.8

9.如圖，在ZUBC中，AB=AC,ZBAC=60°,AC1BD,若/。=5,則。C的長為（）

試卷第2頁，共6頁

A

C.10D.5

10.由于木質衣架沒有柔性，所以在掛置衣服的時候不太方便操作.嘉嘉設計了一種衣架,

在使用時能輕易收攏，套進衣服后松開即可.如圖1,衣架桿ON=08=20cm.若衣架收攏

時，ZAOB=60°,如圖2,則此時42兩點之間的距離是（

D.40cm

二.填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分.）

11.如圖，在△4BC中，=為N8/C的平分線，若5c=8,則CD的長為.

12.如圖，在A48c中，BC=3cm,AC=4cm,的垂直平分線/與/C相交于點。,

則△BCD的周長為cm.

13.如圖，在△ABC中，4D平分NBAC,AB=8,NC=6,且的面積為4,則△NBC

的面積為.

14.如圖，在△N2C中，AB=AC,4D18C的于點。，E、廠是/。上的兩點.若

試卷第3頁，共6頁

15.如圖，。/垂直平分EG垂直平分/C,若/氏40=110。，則ND4E=

16.如圖，在△N8C中，AC=8,BC=6,48=10,。為2C延長線上一點,

BEA.AD.若。=6,則BE的長為.

三.解答題（本題共6小題，共52分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.）

17.如圖，OBLAB于點、B,OC_L/C于點C,且02=0C,求證：AB=AC.

18.如圖，在的內部找出一點P,使得PM=PN,且滿足點尸到與的距離相

等.（尺規作圖，保留作圖痕跡）

試卷第4頁，共6頁

A

⑵當/3￡。=50。時，求N/EC的度數.

20.為落實五育并舉，加強勞動教育，某校開展了“我勞動，我快樂，我實踐，我成長”的勞

動實踐主題活動.八年級（1）班的同學發現在校園墻角處有一塊如圖所示的四邊形空地

ABCD,征得學校同意，準備將其打造為勞動實踐基地，為同學們提供更多的實踐機會，測

量得到/3。=90。，48=CD=6m,BC=3m,AD=9m.請幫助他們計算一下這塊實踐

基地的面積.（結果保留根號）

21.如圖，在等邊ZUBC中，點。，E分別在邊8C,48上，且BD=AE,4D與CE交于

點尸.

⑴求證：AD=CE；

試卷第5頁，共6頁

⑵過點。作。GICE于點G,若/尸=1,FG=3,求CE的長.

22.如圖，在RL^/BC,ZC=90°,AD平分/B4C,DE工48于點E,點尸在/C上,

BD=DF.

A

(1)求證：BE=FC；

⑵若N8=15,AF=9,求尸C的長.

試卷第6頁，共6頁

1.c

【分析】題目主要考查勾股定理逆定理，理解題意，熟練掌握運用勾股定理逆定理是解題關

鍵.運用勾股定理逆定理驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可判斷直角三角形.

【詳解】解：A、0.1+0.1=0.2,不滿足三角形三邊關系，不能組成三角形，不符合題意；

B、2+2=4,不滿足三角形三邊關系，不能組成三角形，不符合題意；

C、62+82=100=102,能組成直角三角形，故符合題意；

D、（32）2+（42）2=337,（52）:625,則（31+（4?），（5次，故不能組成直角三角形，故不

符合題意，

故選：C.

2.B

【分析】本題考查了尺規作圖一線段的垂直平分線的基本作圖，熟練掌握線段的垂直平分線

的基本作圖是解題的關鍵.根據尸/+PB=BC,結合圖形分析可得P4=PC,只需作線段NC

的垂直平分線，分析選項即可得出結論.

【詳解】解：根據題意，PA+PB=BC,

由圖可知，PC+PB=BC,

PA=PC,

故符合要求的作圖是作線段/C的垂直平分線，

由作圖痕跡可知，只有B選項符合題意.

故選：B.

3.A

【分析】本題考查了角平分線的相關計算問題，掌握角平分線的性質是解題的關鍵.過點。

作于E,根據角平分線的性質得。E=Z）C,再根據求解即可.

【詳解】解：過點。作。E24B于E,

???ZC=90°,AD平分ZBAC,

DE=DC,

*/BC=8cm,BD=5cm,

答案第1頁，共11頁

/.CD=BC—BD=8—5=3cm,

，點D到AB的距離是3cm,

故選：A.

4.B

【分析】本題考查了角平分線的性質.熟練掌握角平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解

題的關鍵.

線根據角平分線的性質，得到。E=C￡,再利用含30。的直角三角形三邊關系計算出

從而得到CE的長.

【詳解】解：:44cB=90。，

二?EC1BC

BE平分NABC,EDYAB,

，DE=CE,

在中，

???ZA=30°f

DE=-AE=-x8=4cm

22f

二.CE=4cm.

故選B.

5.B

【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質，由乙4=60。，AB=AC,貝必48。是等邊

三角形，根據性質可得/8=8C=/C,再根據周長即可求解，熟練掌握等邊三角形的判定

與性質是解題的關鍵.

【詳解】解：=60。，AB=AC,

.,.△ABC是等邊三角形，

AB=BC=AC,

???△4BC的周長為12,

.-.5C=-xl2=4,

3

故選：B.

6.D

【分析】本題考查了線段垂直平分線的判定：到這條線段兩個端點的距離相等的點在線段垂

答案第2頁，共11頁

直平分線上.根據線段垂直平分線的判定即可直接得出答案.

【詳解】解：到三角形三個頂點的距離都相等的點是這個三角形的三條邊的垂直平分線的交

點，

故選：D.

7.B

【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，三角形的外角性質及內角

和定理，由線段垂直平分線得到D4=OC,進而得到乙DC4=N/=32。，再由三角形外角性

質得到/8DC=64。，又由C￡>=CB得到/CAD=/CD2=64。，由三角形內角和定理得到

NBCD=52°,利用角的和差關系即可求解.

【詳解】解：「DE垂直平分/C,

D4=DC,

ZDCA=NA=32°,

:"BDC=+ZDCA=32°+32°=64°,

CD=CB,

：.ZCBD=NCDB=64°,

."BCD=180°-64°-64°=52°,

.?.N/C8=32°+52°=84°,

故選：B.

8.B

【分析】本題考查等邊三角形的應用，解題的關鍵是熟練掌握等邊三角形的性質.當傘從展

開狀態到收起狀態的過程中，。移動的距離是+據此求解即可.

【詳解】解：：△/AD和AAED都為邊長為4的等邊三角形，

AB=BD=AD=AE=DE=4,

當傘從展開狀態到收起狀態的過程中，D移動的距離是/3+8ND=4+4-4=4,

故選：B.

9.D

【分析】本題考查了等腰三角形的性質，掌握等腰三角形三線合一是解答本題的關鍵.先根

據有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形得到AB=BC,再根據三線合一得到

NABD=4CBD,利用全等三角形的判定與性質即可求解.

【詳解】解：；在中，AB=AC,ZBAC=60°,

答案第3頁，共11頁

:.“BC是等邊三角形，

AB=BC,

■：AC1BD,

：.ZABD=ZCBD,

在和中，

AB=BC

<NABD=ZCBD,

BD=BD

:."BD知CBD(SAS),

即。C=4。=5.

故選：D.

10.B

【分析】此題考查等邊三角形判定與性質，熟練掌握等邊三角形判定與性質是解題的關鍵

根據有一個角是的等腰三角形的等邊三角形進行解答即可.

【詳解】解：CM=08=20cm,ZAOB=60°,

.??△N08是等邊三角形，

AB—OA=OB=20cm,

故選：B.

11.4

【分析】本題考查了等腰三角形的性質，掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵.根據“三線

合一”即可求解.

【詳解】解：,??在△4BC中，AB=AC,為/A4c的平分線，

.?.40是△48C的中線，

BC=8,

.-.BD=DC=-BC=4,

2

故答案為：4.

12.7

【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的性質，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩

個端點的距離相等是解題的關鍵.根據線段垂直平分線的性質得到ND=2。，根據三角形

答案第4頁，共11頁

的周長公式計算，得到答案.

【詳解】解：7/B的垂直平分線/與NC相交于點。,

BD=AD,

.^.△8C。的周長=JBJD+CD+BC=4D+CD+3C=/C+3C=4+3=7(cm)

故答案為：7.

13.7

【分析】本題考查了三角形的角平分線的性質，過點。分別作/瓦/。的垂線，垂足分別為

S.AB4

E,F,則DE=上，根據等面積法得出A薩Rn型=萬=可，即可求解.

^/\ACDm3

【詳解】解：如圖所示，過點。分別作/叢4。的垂線，垂足分別為瓦產，

A

???4。平分/氏4C,

DE=DF,

???4B=8,AC=6,

S"BD"'DEAB4

S"CD-ACDFAC3

2

又???△48D的面積為4,

"S&ADC=3

.?.△/3C的面積為3+4=7

故答案為：7.

14.3

【分析】本題考查等腰三角形的性質、三角形的面積，先根據等腰三角形的三線合一得到

BD=CD,再根據等底等高的三角形的面積相等得到以.=S△團，進而由$陰影部分=S.ABD

求解即可.

【詳解】解：???在△4BC中，4B=AC,4D12C的于點D,

BD=CD,

答案第5頁，共11頁

S=-EF-BD=-EF-CD=S,

△DKtFLFr224CCrF'F

VBD=2,AD=3,

$陰影部分=SJBD=3BD-AD=-X2X3=3,

故答案為：3.

15.40

【分析】本題考查線段垂直平分線的性質，三角形內角和定理，等邊對等角等知識點，根據

三角形內角和定理得到NB+NC=70°,根據線段垂直平分線的性質得到DA=DB,EA=EC,

根據等邊對等角得到ND48=N8,NEAC=NC,進而得到

NDAB+ZEAC=NB+NC=70°,則NDAE=ABAC-ABAD-ZCAE=40°.

【詳解】解：?；/R4c=no°,

/.4+/。=180。-/3/。=180。-110。=70°,

,/。尸垂直平分N8,

：.DA=DB,

ZDAB=ZB,

同理可得：NEAC=NC,

：.ZDAB+ZEAC=ZB+ZC=70°,

/.ZDAE=Z.BAC-/BAD-ZCAE=110。一70°=40°,

故答案為：40.

16.9.6

【分析】利用勾股定理的逆定理判定△/臺。是直角三角形；利用勾股定理求得

AD=^AC2+CD2=10.根據同一個三角形的面積相等，解答即可.

本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面積公式，熟練掌握勾股定理及其逆定理

是解題的關鍵.

【詳解】解：???/C=8,BC=6,AB=\Q,

???AC1+BC2=82+62=100,AB2=IO2=100,

■■AC2+BC2=AB2,

.,.△/2C是直角三角形，

.-.ZACB=90°,

■.ZACD=180°-ZACB=90°,

答案第6頁，共11頁

???CD=6,

?*-AD=y/AC2+CD2=10，

-BELAD,

，

SAABRD=-2BD-AC=-2AD-BE，

：.BDAC=ADBE,

.-.（6+6）x8=105￡,

解得：BE=9.6,

故答案為：9.6.

17.證明見解析

【分析】本題考查直角三角形全等的判定和性質.利用直角三角形全等的判定證明

RtAN3OgRtA/CO（HL）,即可作答.

【詳解】證明：???08,48,OC1AC,

.-.ZABO=ZACO=90°,

在RtAABO和Rt^ACO中，

[AO=AO

[OB=OC'

.?.RtA/8O四RtA/CO（HL）,

：.AB^AC.

18.見解析

【分析】本題主要考查的是角平分線和線段的垂直平分線的尺規作圖，根據角平分線和線段

的垂直平分線的尺規作圖方法作圖即可.

【詳解】解：連接MN,作線段的垂直平分線G”,作/NO8的平分線OE交G”于點

P,如圖所示，點尸即為所求.

答案第7頁，共11頁

19.⑴見解析

(2)65°

【分析】本題主要考查全等三角形的性質，等腰三角形的性質和判定：

(1)根據ABAC-ABAE=ZDAE-ZBAE,即可求得答案;

(2)根據=可得N4￡C=NC,進而可求得乙4皮)=.

【詳解】(1)???△ABC咨LADE,

??.ABAC=/DAE.

???ABAC-NBAE=/DAE-/BAE.

???N1=N2.

(2)-AABC^AADE,

/AED=/C,AC=AE.

??.ZAEC=ZC.

...ZAED=ZAEC=|x(180°-50°)=65°.

20.這塊實踐基地的面積為(9+9。)!!？

【分析】本題主要考查了勾股定理及其逆定理，先根據勾股定理計算BD=」BC?+CD?，得

出//+ADJ//A根據勾股定理的逆定理，判定是直角三角形，且乙48。=90°,

最后根據S=SMCD+SAABD^^-BC-CD+-AB-BD,代入數據計算即可.

【詳解】解：如圖，連接8。，

答案第8頁，共11頁

A

?.?/8CL>=90°,AB=CD=6m,8C=3m,AD=9m

?1?BD=yjBC2+CD2=V62+32=3V5m，

?.-62+（3A/5）2=81=92

???AB2+BD2=AD2，

.?.△48。是直角三角形，且乙4AD=90°,

2

■■S^SABCD+S^ABD=1-5C-CL>+1-^S-5r>=1x3x6+1x6x3V5=（9+9V5）m.

答：這塊實踐基地的面積為（9+9VT）in2.

21.（1）見解析

（2）7

【分析】本題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的性質和判定和三角形外角的性質，直

角三角形的性質，解題的關鍵是熟練掌握相關的判定和性質.

（1）根據等邊三角形的性質，利用SAS證得得