第2講概率專題七概率與統計1/48熱點分類突破真題押題精練2/48Ⅰ熱點分類突破3/48熱點一古典概型和幾何概型1.古典概型概率2.幾何概型概率4/48例1

(1)有2個男生和2個女生一起乘車去抗日戰爭紀念館參加志愿者服務，他們依次上車，則第二個上車是女生概率為答案解析√解析設兩男兩女分別為a1，a2，b1，b2，則基本事件分別是(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a1)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，a2)，(b1，a1)，(b1，b2)，(b2，a2)，(b2，a1)，(b2，b1)，基本事件總數n＝12，其中第二個上車是女生基本事件數m＝6，所以概率P＝

，故選B.5/48(2)(屆江西省重點中學盟校聯考)如圖，在邊長為2正方形ABCD中，M是AB中點，過C，M，D三點拋物線與CD圍成陰影部分，則向正方形內撒一粒黃豆落在陰影部分概率是答案解析√思維升華6/48解析以M為原點，BA所在直線為y軸，BA垂線為x軸，建立平面直角坐標系，7/48思維升華(1)解答相關古典概型概率問題，關鍵是正確求出基本事件總數和所求事件包含基本事件數，這慣用到計數原理與排列、組合相關知識.(2)在求基本事件個數時，要準確了解基本事件組成，這么才能確保所求事件所包含基本事件個數求法與基本事件總數求法一致性.(3)當組成試驗結果區域為長度、面積、體積、弧長、夾角等時，應考慮使用幾何概型求解.8/48跟蹤演練1

(1)(·山東)從分別標有1,2，…，99張卡片中不放回地隨機抽取2次，每次抽取1張，則抽到2張卡片上數奇偶性不一樣概率是答案解析√9/48解析方法一

∵9張卡片中有5張奇數卡片，4張偶數卡片，且為不放回地隨機抽取，10/48(2)RAND(0,1)表示生成一個在(0,1)內隨機數(實數)，若x＝RAND(0,1)，y＝RAND(0,1)，則x2＋y2<1概率為答案解析√11/48熱點二相互獨立事件和獨立重復試驗1.條件概率在A發生條件下B發生概率2.相互獨立事件同時發生概率P(AB)＝P(A)P(B).3.獨立重復試驗、二項分布假如事件A在一次試驗中發生概率是p，那么它在n次獨立重復試驗中恰好發生k次概率為12/4813/48例2

(1)(屆江西贛州二模)如圖，ABCD是以O為圓心、半徑為2圓內接正方形，EFGH是正方形ABCD內接正方形，且E，F，G，H分別為AB，BC，CD，DA中點.將一枚針隨機擲到圓O內，用M表示事件“針落在正方形ABCD內”，N表示事件“針落在正方形EFGH內”，則P(N|M)等于答案解析√14/48解析由題意得，圓O半徑為2，因為E，F，G，H分別為AB，BC，CD，DA中點，所以正方形EFGH面積為S2＝22＝4，15/48答案解析(2)如圖所表示，某快遞企業送貨員從企業A處準備開車送貨到某單位B處，有A→C→D→B，A→E→F→B兩條路線.若該地各路段發生堵車是否是相互獨立，且各路段發生堵車事件概率如圖所表示(比如A→C→D算作兩個路段，路段AC發生堵車事件概率為

，路段CD發生堵車事件概率為).若使途中發生堵車事件概率較小，則由A到B應選擇路線是______________.A→E→F→B思維升華16/48解析路線A→C→D→B途中發生堵車事件概率路線A→E→F→B途中發生堵車事件概率17/48思維升華求相互獨立事件和獨立重復試驗概率注意點(1)求復雜事件概率，要正確分析復雜事件組成，分析復雜事件能轉化為幾個彼此互斥事件和事件還是能轉化為幾個相互獨立事件同時發生積事件，然后用概率公式求解.(2)注意區分獨立重復試驗基本特征：①在每次試驗中，試驗結果只有發生與不發生兩種情況；②在每次試驗中，事件發生概率相同.18/48跟蹤演練2

(1)(屆河北省石家莊市二模)現有3道理科題和2道文科題共5道題，若不放回地一次抽取2道題，則在第1次抽到理科題條件下，第2次抽到理科題概率為答案解析√19/48(2)(屆上海市寶山區二模)生產零件需要經過兩道工序，在第一、第二道工序中產生廢品概率分別為0.01和p，每道工序產生廢品相互獨立.若經過兩道工序后得到零件不是廢品概率是0.9603，則p＝______.0.03解析“不是廢品”這一事件，要確保第一次正品，第二次也是正品，所以概率P＝(1－0.01)(1－p)＝0.9603，解得p＝0.03.答案解析20/48熱點三離散型隨機變量分布列1.離散型隨機變量分布列兩個性質(1)pi≥0(i＝1,2，…，n)；(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.2.期望公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.3.期望性質(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b；(2)若X～B(n，p)，則E(X)＝np.21/484.方差公式D(X)＝[x1－E(X)]2·p1＋[x2－E(X)]2·p2＋…＋[xn－E(X)]2·pn，標準差為5.方差性質(1)D(aX＋b)＝a2D(X)；(2)若X～B(n，p)，則D(X)＝np(1－p).22/48例3

(·全國Ⅲ)某超市計劃按月訂購一個酸奶，天天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出酸奶降價處理，以每瓶2元價格當日全部處理完.依據往年銷售經驗，天天需求量與當日最高氣溫(單位：℃)相關.假如最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；假如最高氣溫位于區間[20,25)，需求量為300瓶；假如最高氣溫低于20，需求量為200瓶.為了確定六月份訂購計劃，統計了前三年六月份各天最高氣溫數據，得下面頻數分布表：最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數21636257423/48以最高氣溫位于各區間頻率代替最高氣溫位于該區間概率.(1)求六月份這種酸奶一天需求量X(單位：瓶)分布列；解答24/48解由題意知，X全部可能取值為200,300,500，由表格數據知，則X分布列為X200300500P0.20.40.425/48(2)設六月份一天銷售這種酸奶利潤為Y(單位：元)，當六月份這種酸奶一天進貨量n(單位：瓶)為多少時，Y期望到達最大值？解答思維升華26/48解由題意知，這種酸奶一天需求量至多為500，最少為200，所以只需考慮200≤n≤500.當300≤n≤500時，若最高氣溫不低于25，則Y＝6n－4n＝2n；若最高氣溫位于區間[20,25)，則Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1200－2n；若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n，所以E(Y)＝2n×0.4＋(1200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n.當200≤n<300時，若最高氣溫不低于20，則Y＝6n－4n＝2n；若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n，所以E(Y)＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n.所以當n＝300時，Y期望到達最大值，最大值為520元.27/48思維升華求解隨機變量分布列問題兩個關鍵點(1)求離散型隨機變量分布列關鍵是正確了解隨機變量取每一個值所表示詳細事件，然后綜合應用各類概率公式求概率.(2)求隨機變量期望與方差關鍵是正確求出隨機變量分布列.若隨機變量服從二項分布，則可直接使用公式法求解.28/48跟蹤演練3

(·江蘇省蘇錫常鎮四市調研)已知袋中裝有大小相同2個白球、2個紅球和1個黃球.一項游戲要求：每個白球、紅球和黃球分值分別是0分、1分和2分，每一局從袋中一次性取出三個球，將3個球對應分值相加后稱為該局得分，計算完得分后將球放回袋中.當出現第n局得n分(n∈N*)情況就算游戲過關，同時游戲結束，若四局過后仍未過關，游戲也結束.(1)求在一局游戲中得3分概率；解答解設在一局游戲中得3分為事件A，29/48(2)求游戲結束時局數X分布列和期望E(X).解答30/48解X全部可能取值為1,2,3,4.31/48所以X分布列為32/48Ⅱ真題押題精練33/48真題體驗1.(·全國Ⅱ改編)從分別寫有1,2,3,4,55張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽得第一張卡片上數大于第二張卡片上數概率為____.解析123答案434/48解析從5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張情況如圖：基本事件總數為25，第一張卡片上數大于第二張卡片上數事件數為10，123435/482.(·浙江改編)已知隨機變量ξi滿足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1,2.若0＜p1＜p2＜

，則E(ξ1)_____E(ξ2)，D(ξ1)_____D(ξ2).(填>，<或＝)解析由題意可知ξi(i＝1,2)服從兩點分布，∴E(ξ1)＝p1，E(ξ2)＝p2，D(ξ1)＝p1(1－p1)，D(ξ2)＝p2(1－p2)，<

<把方差看作函數y＝x(1－x)，答案解析123436/483.(·全國Ⅱ)一批產品二等品率為0.02，從這批產品中每次隨機取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到二等品件數，則D(X)＝______.1.96答案解析解析由題意得X～B(100,0.02)，∴D(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.123437/484.(·江蘇)記函數f(x)＝

定義域為D.在區間[－4,5]上隨機取一個數x，則x∈D概率是____.答案解析解析設事件“在區間[－4,5]上隨機取一個數x，則x∈D”為事件A，由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，∴D＝[－2,3].如圖，區間[－4,5]長度為9，定義域D長度為5，123438/48押題預測1.某校在年中學數學挑戰賽中有1000人參加考試，數學考試成績ξ～N(90，σ2)(σ>0，試卷滿分150分)，統計結果顯示數學考試成績在70分到110分之間人數約為總人數

，則此次數學考試成績不低于110分考生人數約為A.200 B.400 C.600 D.800√答案解析押題依據正態分布多以實際問題為背景，有很強應用價值，應引發考生關注.123押題依據39/48123解析依題意