章末總結1/45網絡建構2/45知識辨析判斷以下說法是否正確(請在括號中填“√”或“×”)1.假如一條直線過平面內一點與平面外一點,那么這條直線與這個平面有且只有一個交點.(

)√2.假如兩個平面有一個交點,則這兩個平面有一條過這個點公共直線.(

)3.假如兩個平面平行,則這兩個平面沒有交點.(

)4.若一條直線上有兩個點在某一平面內,則這條直線上有沒有數個點在這個平面內.(

)5.平行于同一條直線兩個平面平行.(

)6.一條直線垂直于一個平面內三條直線,則這條直線垂直于這個平面.(

)√√√××3/457.兩個相交平面組成圖形叫做二面角.(

)8.垂直于同一條直線兩個平面平行.(

)9.垂直于同一個平面兩條直線平行.(

)10.過一點垂直于一個平面直線有且只有一條.(

)×√√√4/45題型探究真題體驗5/45題型探究·素養提升題型一平面基本性質應用【典例1】在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是CC1和AA1中點,畫出平面BED1F與平面ABCD交線,并說明理由.6/45解:在平面AA1D1D內,延長D1F,因為D1F與DA不平行,所以D1F與DA必相交于一點,設為P,則P∈FD1,P∈DA.又因為D1F?平面BED1F,DA?平面ABCD,所以P∈平面BED1F,P∈平面ABCD,所以P為平面BED1F與平面ABCD公共點.又B為平面ABCD與平面BED1F公共點,所以連接PB(如圖),PB即為平面BED1F與平面ABCD交線.7/45規律方法證實三線共點慣用方法是先證實兩條直線共面且相交于一點;然后證實這個點在兩個平面內,于是該點在這兩個平面交線上,從而得到三線共點.也能夠證實直線a、b相交于一點A,直線b與c相交于一點B,再證實A、B是同一點,從而得到a、b、c三線共點.8/45即時訓練1-1:已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為C1D1,B1C1中點,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,求證:(1)D,B,F,E四點共面;證實:(1)因為E,F分別為C1D1,B1C1中點,所以EF是△B1C1D1中位線,所以EF∥D1B1,因為ABCD-A1B1C1D1是正方體,所以BB1∥DD1,BB1=DD1,所以BB1D1D是平行四邊形,所以DB∥D1B1,所以EF∥DB,所以D,B,F,E共面.9/45(2)若A1C∩平面DBFE=R,則P,Q,R三點共線.證實:(2)因為AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,所以PQ是平面AA1C1C和平面DBFE交線,因為A1C交平面DBFE于R點,所以R是平面AA1C1C和平面DBFE一個公共點,因為兩相交平面全部公共點都在這兩平面交線上,所以P,Q,R三點共線.10/45題型二空間線面位置關系證實【典例2】

在三棱柱ABC-A1B1C1中,側棱與底面垂直,∠BAC=90°,AB=AA1,點M,N分別為A1B和B1C1中點.(1)證實:A1M⊥平面MAC;11/45(2)證實:MN∥平面A1ACC1.證實:(2)連接AB1,AC1,由題意知,點M,N分別為AB1和B1C1中點,所以MN∥AC1.又MN?平面A1ACC1,AC1?平面A1ACC1,所以MN∥平面A1ACC1.12/45方法技巧空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面之間位置關系轉化主要有:(1)平行關系轉化.13/45(3)平行與垂直轉化.14/45即時訓練2-1:(·北京卷)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC,(1)求證:DC⊥平面PAC;(1)證實:因為PC⊥平面ABCD,所以PC⊥DC.又因為DC⊥AC,所以DC⊥平面PAC.15/45(2)證實:因為AB∥DC,DC⊥AC,所以AB⊥AC.因為PC⊥平面ABCD,所以PC⊥AB.所以AB⊥平面PAC.所以平面PAB⊥平面PAC.(2)求證:平面PAB⊥平面PAC;16/45(3)設點E為AB中點,在棱PB上是否存在點F,使得PA∥平面CEF?說明理由.17/45題型三空間位置關系證實與空間角計算【典例3】如圖,三角形PDC所在平面與長方形ABCD所在平面垂直,PD=PC=4,AB=6,點E是CD邊中點,點F,G分別在線段AB,BC上.(1)證實:PE⊥FG;(1)證實:因為PD=PC,點E為DC中點,所以PE⊥DC.又因為平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=DC,所以PE⊥平面ABCD.又FG?平面ABCD,所以PE⊥FG.18/45(2)求二面角P-AD-C正切值.19/45規律方法求角度問題時,不論哪種情況最終都歸結到兩條相交直線所成角問題上,求角度解題步驟是:(1)找出這個角;(2)證該角符合題意;(3)結構出含這個角三角形,解這個三角形,求出角.空間角包含以下三類:①兩條異面直線所成角,找兩條異面直線所成角,關鍵是選取適當點引兩條異面直線平行線,這兩條相交直線所成銳角或直角即為兩條異面直線所成角.②求直線與平面所成角關鍵是確定斜線在平面內射影.③求二面角關鍵是作出二面角平面角,而作二面角平面角時,首先要確定二面角棱,然后結合題設結構二面角平面角.20/45即時訓練3-1:(·河北唐山期中)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1底面ABC是等腰直角三角形,AB=AC=1,側棱AA1⊥底面ABC,且AA1=2,E是BC中點.21/45(1)求異面直線AE與A1C所成角余弦值;22/45(2)求直線A1C與平面BCC1B1所成角正切值.23/45題型四空間幾何體中位置關系證實與體積計算【典例4】(·北京卷)如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D為線段AC中點,E為線段PC上一點.(1)求證:PA⊥BD;(1)證實:因為PA⊥AB,PA⊥BC,所以PA⊥平面ABC,又因為BD?平面ABC,所以PA⊥BD.24/45(2)求證:平面BDE⊥平面PAC;(2)證實:因為AB=BC,D為AC中點,所以BD⊥AC.由(1)知,PA⊥BD,所以BD⊥平面PAC.所以平面BDE⊥平面PAC.25/45(3)當PA∥平面BDE時,求三棱錐E-BCD體積.26/45規律方法(1)求空間幾何體體積關鍵是確定幾何體高,若幾何體高輕易求出,可直接代入體積公式計算,不然可用以下方法進行轉化:①等體積轉化法:對于三棱錐因為任何一個面都可作為底面,所以在求三棱錐體積時,可將其轉化為底面積和高都易求形式求解.②補體法:將幾何體補成易求體積幾何體,再依據它們體積關系求解.③分割法:將幾何體分割為易求體積幾部分,分別求解再求和.(2)相關平面圖形翻折成空間圖形問題,應注意翻折前后各元素(直線、線段、角)相對位置(平行、垂直)和數量改變,搞清楚哪些發生了改變、哪些不變.27/45即時訓練4-1:(·陜西延安期末)如圖,四邊形ABCD是正方形,O是正方形中心,PO⊥底面ABCD,E是PC中點.PO=,AB=2.(1)求棱錐P-ABCD體積;28/45(2)求證:平面PAC⊥平面BDE.(2)證實:因為PO⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,所以PO⊥BD,因為ABCD是正方形,所以AC⊥BD,因為PO∩AC=O,所以BD⊥平面PAC,因為BD?平面BDE,所以平面PAC⊥平面BDE.29/45題型五易錯辨析——推理過程不嚴謹造成錯誤【典例5】如圖,已知E,F分別是正方體ABCD-A1B1C1D1棱AA1,CC1上點,且AE=C1F.求證:四邊形EBFD1是平行四邊形.錯解:因為平面A1ADD1∥平面B1BCC1,D1E=平面A1ADD1∩平面BFD1E,BF=平面B1BCC1∩平面BFD1E,所以D1E∥FB.同理可得D1F∥EB.所以四邊形EBFD1是平行四邊形.糾錯:錯解中盲目地認為E,B,F,D1四點共面,由已知條件并不能說明這四點共面,同時條件AE=C1F也沒有用到.30/4531/451.(·全國Ⅰ卷,文6)如圖,在以下四個正方體中,A,B為正方體兩個頂點,M,N,Q為所在棱中點,則在這四個正方體中,直線AB與平面MNQ不平行是(

)真題體驗·素養升級A32/45解析:如圖,O為正方形CDBE兩條對角線交點,從而O為BC中點,在△ACB中,OQ為中位線,所以OQ∥AB,OQ∩平面MNQ=Q,所以,AB與平面MNQ相交,而不是平行,故選A.33/452.(·全國Ⅲ卷,文10)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱CD中點,則(

)(A)A1E⊥DC1 (B)A1E⊥BD(C)A1E⊥BC1 (D)A1E⊥ACC34/453.(·全國Ⅰ卷,文18)如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)證實:平面PAB⊥平面PAD;(1)證實:由已知∠BAP=∠CDP=90°,得AB⊥AP,CD⊥PD.因為AB∥CD,故AB⊥PD,從而AB⊥平面PAD.又AB?平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.35/45(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,且四棱錐P-ABCD體積為,求該四棱錐側面積.36/454.(·全國Ⅱ卷,文18)如圖,四棱錐P-ABCD中,側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°.37/45(1)證實:直線BC∥平面PAD;38/45(2)若△PCD面積為2,求四棱錐P-ABCD體積.39/455.(·全國Ⅲ卷,文19)如圖,四面體ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.(1)證實:AC⊥BD;40/45(2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD.若E為棱BD上與D不重合點,且AE⊥EC,求四面體ABCE與四面體ACDE體積比.41/456.(·山東卷,文18)由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱錐C1-B1CD1后得到幾何體如圖所表示.四邊形ABCD為正方形,O為AC與BD交點,E為AD中點,A1E⊥平面ABCD.42/45(1)證實:A1O∥平面B1CD1;43/45(2)設M是OD中點,證實:平面A1EM⊥平面B