第四章三角形第20講銳角三角函數及其應用（3~6分）TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標導航02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一銳角三角函數考點二解直角三角形考點三解直角三角形的應用04題型精研·考向洞悉命題點一銳角三角函數?題型01理解正弦、余弦、正切的概念?題型02求角的三角函數值?題型03已只三角函數值求邊長?題型04由特殊角的三角函數值判斷三角形形狀?題型05含特殊角的三角函數值的混合運算命題點二解直角三角形?題型01構造直角三角形解直角三角形?題型02解非直角三角形?題型03構造直角三角形求不規則圖形的邊長或面積?題型04解直角三角形的綜合問題命題點三解直角三角形的應用?題型01仰角、俯角問題?題型02方位角問題?題型03坡度坡比問題?題型04坡度坡比與仰角俯角問題綜合05分層訓練·鞏固提升基礎鞏固能力提升考點要求新課標要求考查頻次命題預測銳角三角函數利用相似的直角三角形，探索并認識銳角三角函數(sinA，cosA，tanA).知道30°，45°，60°角的三角函數值.會使用計算器由已知銳角求它的三角函數值，由已知三角函數值求它的對應銳角.10年7考實數這一考點在中考數學中銳角三角函數及其應用是數學中考中比較重要的考點,其考察內容主要包括①考查正弦、余弦、正切的定義，②特殊角的三角函數值，③解直角三角形與其應用等.出題時除了會單獨出題以外，還常和四邊形、圓、網格圖形等結合考察，是近幾年中考填空壓軸題?？碱}型.預計2025年廣東中考還將以選題和綜合題的形式出現，在牢固掌握定義的同時，一定要理解基本的方法，利用輔助線構造直角三角形，是得分的關鍵.解直角三角形能用銳角三角函數解直角三角形，能用相關知識解決一些簡單的實際問題.10年6考考點一銳角三角函數1.銳角三角函數的概念：銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數．（其中：0＜∠A＜90°）2.正弦、余弦、正切的概念定義表達式圖形正弦余弦正切3.銳角三角函數的關系：在Rt△ABC中，若∠C為直角，則∠A與∠B互余時，有以下兩種關系：1）同角三角函數的關系：，2)互余兩角的三角函數關系：sinA=cosB,sinB=cosA,4.特殊角的三角函數值三角函數30°45°60°1【補充】表中是特殊角的三角函數值.反過來，若已知一個特殊角的三角函數值，則可求出相應的銳角.5.銳角三角函數的性質性質前提：0°＜∠A＜90°sinA隨∠A的增大而增大cosA隨∠A的增大而減小tanA隨∠A的增大而增大考點二解直角三角形解直角三角形的概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個元素，即三條邊和兩個銳角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程，叫做解直角三角形．在解直角三角形的過程中，一般要用到下面一些關系：1）直角三角形的五個元素：邊：a、b、c，角：∠A、∠B2）三邊之間的關系：（勾股定理）3）兩銳角之間的關系：∠A＋∠B＝90°4）邊角之間的關系：sinA==，sinB==cosA==tanA==解直角三角形常見類型及方法：已知類型已知條件解法步驟兩邊斜邊和一直角邊(如c,a)①②③∠B=90°－∠A兩直角邊(如a,b)①②③∠B=90°－∠A一邊和一銳角斜邊和一銳角（如c，∠A）①∠B=90°－∠A②③一直角邊和一銳角（如a，∠A）①∠B=90°－∠A②③另一直角邊和一銳角（如b，∠A）①∠B=90°－∠A②③考點三解直角三角形的應用解直角三角形的相關的名詞、術語：1）視角：視線與水平線的夾角叫做視角．仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角．俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做俯角．2）方位角：指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90°的水平角叫做方向角．3）坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作.坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．解直角三角形實際應用的一般步驟：1）弄清題中名詞、術語，根據題意畫出圖形，建立數學模型；2）將條件轉化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關系，把實際問題轉化為解直角三角形問題；3）選擇合適的邊角關系式，使運算簡便、準確；4）得出數學問題的答案并檢驗答案是否符合實際意義，從而得到問題的解．測量物體的高度的常見模型：1）利用水平距離測量物體高度（雙直角三角形）解題方法：這兩種模型種都有一條公共的直角邊，解題時，往往通過這條邊為中介在兩個三角形中依次求邊，或通過公共邊相等，列方程求解.2）測量底部可以到達的物體高度模型需測量數據數量關系原理測量儀高m，水平距離n，傾斜角αh=m+n矩形的性質與直角三角形的邊角關系水平距離n，仰角α，俯角β，h==n（）3）測量底部不可到達的物體的高度命題點一銳角三角函數?題型01理解正弦、余弦、正切的概念1．（2024·廣西·模擬預測）如圖，在中，，，，，則下列選項錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了三角函數的相關定義，根據正弦，余弦，正切的定義一一判斷即可．【詳解】解：．，正確，故該選項不符合題意；．，正確，故該選項不符合題意；．，正確，故該選項不符合題意；．，原表示方法錯誤，故該選項符合題意；故選：D．2．（2024·浙江寧波·一模）如圖，在中，，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了銳角三角函數的定義，勾股定理，互余兩角三角函數的關系等知識點，能熟記銳角三角函數的定義是解此題的關鍵；根據銳角三角函數的定義得出，設，，根據勾股定理求出，再根據銳角三角函數的定義求出答案即可．【詳解】解：，設，，由勾股定理得：，．故選：B．3．（2024·天津紅橋·一模）如圖，在中，，為邊上一點，過點作，垂足為，則下列結論中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查解直角三角形，關鍵是掌握銳角三角函數定義．由銳角的三角函數定義，即可判斷．【詳解】解：，，、，故不符合題意；、結論正確，故符合題意；、，故不符合題意；、，故不符合題意．故選：B．4．（2022·湖北·模擬預測）如圖，在中，是斜邊上的高，，則下列比值中等于的是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】由同角的余角相等求得∠A=∠DBC，根據正弦三角函數的定義判斷即可；【詳解】解：∵∠ABD+∠A=90°，∠ABD+∠DBC=90°，∴∠A=∠DBC，A．=cosA，不符合題意；B．=tanA，不符合題意；C．=cos∠DBC=cosA，不符合題意；D．=sin∠DBC=sinA，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了三角函數的概念，掌握直角三角形中銳角的正弦為對邊比斜邊是解題關鍵．?題型02求角的三角函數值5．（2025·上海松江·一模）在中，，，，下列結論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查銳角三角函數定義，根據銳角三角函數的定義即可求得答案．【詳解】解：已知，，，∴，∴A、，故選項錯誤；B、，故選項錯誤；C、，故選項錯誤；A、，故選項正確；故選：D．6．（2025·上海金山·一模）已知中，，，，那么下列各式中，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查求銳角三角函數值，根據銳角三角函數的定義，逐一進行判斷即可．【詳解】解：∵，，，∴，∴，，，；故選A．7．（23-24九年級上·北京平谷·期末）如圖，在的正方形網格中，的頂點都在格點上，則的值是（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】本題考查解直角三角形，可過點B作的垂線，構造出直角三角形即可解決問題．【詳解】解：過點B作的垂線，垂足為D，令小正方形的邊長為1，則，在中，．故選：D．8．（2024·遼寧沈陽·一模）如圖，在中，，是邊上的中線，，，則的正切值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了銳角三角函數的定義，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，等邊對等角的性質．根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，再根據等邊對等角的性質可得，然后根據正切函數的定義列式求出的正切值，即為的值．【詳解】解：∵是邊上的中線，∴，∴，∵，，，∴，∴的值．故選：D．?題型03已只三角函數值求邊長9．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）如圖，菱形周長為，，垂足為，，則長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了解直角三角形，菱形的性質，勾股定理，根據題意得出，，勾股定理求得，進而可得，最后利用勾股定理，即可求解．【詳解】解：∵菱形周長為，∴∵，，∴，則∴∴，故選：B．10．（2023·廣東廣州·二模）如圖，在中，，，則的長是（

）

A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】根據余弦函數的定義直接求解即可．【詳解】解：在中，，，，故選：A．【點睛】本題考查解直角三角形，掌握余弦函數的定義是解題的關鍵．11．（2024·湖南·模擬預測）如圖，將矩形直線折疊，使得點落在點處，交于點，若，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據題意證明出，得到，設，則，根據勾股定理求出，然后根據正切的概念求解即可．【詳解】解：∵四邊形是矩形∴，，由折疊可得，，∴，又∵∴，∴，設，則在中，解得：．故選C．【點睛】此題考查了勾股定理、矩形的折疊問題、全等三角形的性質和判定、正切的定義等知識，熟練掌握折疊的性質和勾股定理是解題的關鍵．12．（2024·陜西榆林·一模）如圖，在中，，D是的中點，，，則的長為（

）A．8 B．6 C．4 D．3【答案】B【分析】本題考查了銳角三角函數，掌握已知正切值求邊長是解題的關鍵，根據正切的概念可得，可得，再由線段中點即可求出答案；【詳解】解：在中，，，D是的中點，，故選：B．?題型04由特殊角的三角函數值判斷三角形形狀13．（2021·廣東廣州·二模）在中，，則的形狀是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定【答案】B【分析】計算出∠A和∠C的角度來即可確定．【詳解】解：∵sinA=cos（90°-C）=，∴∠A=45°，90°-∠C=45°，即∠A=45°，∠C=45°，∴∠B=90°，即△ABC為直角三角形，故選：B．【點睛】本題考查特殊角三角函數，熟練掌握特殊角三角函數是解題的關鍵．14．（2021·貴州黔西·模擬預測）在中，若，都是銳角，且，，則的形狀是（

）A．鈍角三角形 B．等腰三角形 C．銳角三角形 D．直角三角形【答案】D【分析】根據特殊角的三角函數值可判斷，，從而可求出，即證明的形狀是直角三角形．【詳解】∵，都是銳角，且，，∴，，∴，∴的形狀是直角三角形．故選D．【點睛】本題考查由特殊角的三角函數值判斷三角形形狀，三角形內角和定理．熟記特殊角的三角函數值是解題關鍵．15．（2021·浙江金華·三模）若∠A，∠B都是銳角，且tanA＝1，sinB＝，則△ABC不可能是（）A．等腰三角形 B．等腰直角三角形C．銳角三角形 D．直角三角形【答案】C【分析】根據特殊角三角函數值，可得答案．【詳解】解：∵∠A，∠B都是銳角，且tanA＝1，sinB＝，∴∠A=45°，∠B=45°．∴∠C=180°-∠A-∠B=90°，∴△ABC不可能是銳角三角形故選：C．【點睛】本題考查了特殊角三角函數值，熟記特殊角三角函數值是解題關鍵．16．（22-23九年級上·遼寧盤錦·期末）在中，、均為銳角，且，則是（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】先根據非負數的性質求出與的值，再根據特殊角的三角函數值求出、的值即可．【詳解】解：，，，，，，，，在中，，且，是直角三角形．故選：C．【點睛】本題考查實數的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型．解題的關鍵是熟記特殊角的三角函數值，并充分利用非負數的性質．?題型05含特殊角的三角函數值的混合運算17．（2024·廣東深圳·模擬預測）計算：【答案】【分析】本題主要考查了實數的運算，解答此題的關鍵是要明確：在進行實數運算時，和有理數運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行．首先計算零指數冪、負整數指數冪、特殊角的三角函數值、開立方和絕對值，然后計算乘法，最后從左向右依次計算，求出算式的值即可．【詳解】解：原式．18．（2024·廣東深圳·模擬預測）計算：.【答案】【分析】本題考查了含特殊角的三角函數混合運算，先化簡零次冪、正切值，絕對值，負整數指數冪，再運算乘法，最后運算加減，即可作答．【詳解】解：19．（2024·廣東東莞·模擬預測）計算：．【答案】4【分析】本題主要考查了實數的混合運算．先根據零次冪、負整數次冪、特殊角的三角函數值、二次根式的性質化簡，然后再合并同類二次根式即可．【詳解】解：．20．（2024·廣東惠州·模擬預測）計算：．【答案】【分析】本題考查實數的運算．利用特殊銳角三角函數值，負整數指數冪，絕對值的性質，二次根式的性質計算即可．【詳解】解：．命題點二解直角三角形?題型01構造直角三角形解直角三角形21．（2024·廣東·模擬預測）如圖，在中，，，，延長到點，使，連接．利用此圖，可算出的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據銳角三角函數可求，由勾股定理求得，根據等腰三角形的性質以及外角求得，最后在中，．【詳解】解：在中，，，，，，，在中，，故選：A．【點睛】本題考查銳角三角函數，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性質，熟練利用數形結合的思想是解題的關鍵．22．（2024·廣東東莞·三模）如圖，中，，，，是上的一點，垂足為，若，則的長為（

）A． B．2 C．3 D．5【答案】C【分析】本題主要考查了解直角三角形，勾股定理，先利用勾股定理得到，再解直角三角形得到，則．【詳解】解：∵在中，，，，∴，∴，在中，，故選：C．23．（2025·陜西西安·二模）如圖，在平行四邊形中，過D作于點E，若，，則的長為（

）A． B．3 C． D．【答案】C【分析】本題考查的是平行四邊形的性質，銳角三角函數的應用，證明，，根據可得答案．【詳解】解：在平行四邊形中，，∴，，∵，，∴，∴，故選：C24．（2025·陜西·一模）如圖，在矩形中，對角線相交于點O，于點E，且，若，則的長為（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】本題考查了解直角三角形的應用．先求得，得到，利用正弦函數的定義求得，，再利用勾股定理求解即可．【詳解】解：∵矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故選：C．?題型02解非直角三角形25．（2024·重慶九龍坡·模擬預測）在邊長相等的小正方形組成的網格中，點，，都在格點上，那么的值為（）?A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查解直角三角形，過點作的垂線構造出直角三角形及熟知正弦的定義是解題的關鍵．也考查了等腰三角形的三線合一性質．【詳解】解：過點作的垂線，垂足為，設小正方形的邊長為，∵在邊長相等的小正方形組成的網格中，點，，都在格點上，∴，，，∴，∵，∴點是的中點，∴，在中，，∴，∴的值為．故選：C．26．（2020·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，在△ABC中，sinB=，tanC=2，AB=3，則AC的長為（

）

A． B． C． D．2【答案】B【分析】過A點作AH⊥BC于H點，先由sin∠B及AB=3算出AH的長，再由tan∠C算出CH的長，最后在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的長．【詳解】解：過A點作AH⊥BC于H點，如下圖所示：

由，且可知，，由，且可知，，∴在中，由勾股定理有：．故選：B．【點睛】本題考查了解直角三角形及勾股定理等知識，如果圖形中無直角三角形時，可以通過作垂線構造直角三角形進而求解．27．（2024·四川樂山·模擬預測）如圖所示，矩形中，，則點B的坐標為（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了坐標與圖形，矩形的性質，解直角三角形，過點A作y軸的平行線交x軸與點E，過點B過作該平行線的垂線垂足為點I，交y軸于點F，過點C作x軸的垂線，垂足為點D，解直角三角形，求出，利用矩形的性質得到，求出，進而求出，即可得到點B的坐標．【詳解】解：如圖，過點A作y軸的平行線交x軸與點E，過點B過作該平行線的垂線垂足為點I，交y軸于點F，過點C作x軸的垂線，垂足為點D，則，∵矩形中，，∴，∴，∴，同理，，∴在中，，∴在中，，∴在中，，∵，∴四邊形是矩形，∴∴，∵點B在第二象限，∴點B的坐標為:故選：A．28．（2024·山東淄博·中考真題）如圖所示，在矩形中，，點，分別在邊，上．連接，將四邊形沿翻折，點，分別落在點，處．則的值是（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】連接交于點F，設，則，利用勾股定理求得，由折疊得到，垂直平分，則，由代入求得，則，所以，于是得到問題的答案．【詳解】解：連接交于點F，設，則，∵四邊形是矩形，∴，∴∵將四邊形沿翻折，點C，D分別落在點A，E處，∴點C與點A關于直線對稱，∴，垂直平分，∴，，，∵，∴∴，∴∴．故選：A．【點睛】此題考查矩形的性質、翻折變換的性質、勾股定理、解直角三角形等知識，正確地作出輔助線是解題的關鍵．?題型03構造直角三角形求不規則圖形的邊長或面積29．（2020·江西南昌·模擬預測）如圖，在四邊形中，，，，，，直線與直線所夾銳角的度數為．

【答案】【分析】過點B作于點E，作于點F，構造直角三角形，利用銳角三角函數解直角三角形，求出BE、CF的長，利用的正弦值為，得到它是，即直線BC與直線AD所夾的銳角度數．【詳解】解：如圖，過點B作于點E，作于點F，∵AB=40，，∴，∵，∴四邊形BEDF是矩形，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴直線BC與直線AD所夾的銳角度數等于的度數，是．故答案是：．

【點睛】本題考查用銳角三角函數解直角三角形，解題的關鍵是掌握構造直角三角形的方法和特殊角的銳角三角函數值．30．（2020·山西·模擬預測）如圖，在中，，過點作，，連接，則的周長為．【答案】【分析】通過添加輔助線構造出直角三角形，再根據等邊三角形的判定和性質、平行四邊形的性質以及平行線的性質求得，，然后利用勾股定理、銳角三角函數、線段的和差以及三角形周長公式即可求得答案．【詳解】解：過點作交延長線于點，如圖：∴∵，∴是等邊三角形∴，∵四邊形是平行四邊形∴，∴∵∴∵∴∴在中，，∴，∴∴在中，∴的周長為．故答案是：【點睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質、平行四邊形的性質、平行線的性質、勾股定理、銳角三角函數、線段的和差、三角形的周長公式等，適當的添加輔助線構造出直角三角形是解題的關鍵．31．（2018·黑龍江哈爾濱·一模）如圖，在四邊形ABCD中，AC、BD是對角線，AC=AD，BC＞AB，AB∥CD，AB=4，BD=2，tan∠BAC=3，則線段BC的長是．【答案】6【分析】作DE⊥AB，交BA的延長線于E，作CF⊥AB，可得DE=CF，且AC=AD，可證Rt△ADE≌Rt△AFC，可得AE=AF，∠DAE=∠BAC，根據tan∠BAC=∠DAE=，可設DE=3a，AE=a，根據勾股定理可求a的值，由此可得BF，CF的值．再根據勾股定理求BC的長．【詳解】如圖：作DE⊥AB，交BA的延長線于E，作CF⊥AB，∵AB∥CD，DE⊥AB⊥，CF⊥AB∴CF=DE，且AC=AD∴Rt△ADE≌Rt△AFC∴AE=AF，∠DAE=∠BAC∵tan∠BAC=3∴tan∠DAE=3∴設AE=a，DE=3a在Rt△BDE中，BD2=DE2+BE2∴52=（4+a）2+27a2解得a1=1，a2=-（不合題意舍去）∴AE=1=AF，DE=3=CF∴BF=AB-AF=3在Rt△BFC中，BC=＝6【點睛】本題是解直角三角形問題，恰當地構建輔助線是本題的關鍵，利用三角形全等證明邊相等，并借助同角的三角函數值求線段的長，與勾股定理相結合，依次求出各邊的長即可．32．（2019·四川成都·一模）如圖，AC是□ABCD的對角線，且AC⊥AB，在AD上截取AH＝AB，連接BH交AC于點F，過點C作CE平分∠ACB交BH于點G，且GF＝，CG＝3，則AC＝．【答案】.【分析】連接AG，作GN⊥AC于N，FM⊥EC于M．想辦法證明等G是△ABC的內心，推出∠FGN＝∠CAG＝45°，解直角三角形即可解決問題．【詳解】如圖，連接AG，作GN⊥AC于N，FM⊥EC于M．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠AHB＝∠HBC，∵AB＝AH，∴∠ABH＝∠AHB，∴∠ABH＝∠CBH，∵∠ECA＝∠ECB，∠ABC+∠ACB＝90°，∴∠GBC+∠GCB＝45°，∴∠FGC＝∠GBC+∠GCB＝45°，∵FM⊥CG，GN⊥AC，FG＝，∴FM＝GM＝1，∵CG＝3，∴CM＝2，∴tan∠FCM＝，∴CN＝2CG，∴GN＝，∵BG，CG是△ABC的角平分線，∴AG也是△ABC的角平分線，∴∠NAG＝45°，∴AN＝GN＝，∴AC＝AN+NC＝．故答案為．【點睛】考查平行四邊形的性質，解直角三角形，三角形的內心等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題．?題型04解直角三角形的綜合問題33．（2022·廣東·模擬預測）如圖，正方形ABCD，菱形EFGP，點E、F、G分別在AB、AD、CD上，延長DC，PH⊥DC于H．(1)求證：GH＝AE；(2)若菱形EFGP的周長為20cm，，FD＝2，求△PGC的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據菱形、正方形性質證明，即可證明GH＝AE；（2）解直角三角形求出的長度，利用勾股定理求出的長度，從而得到的長度，利用三角形面積公式即可求解．【詳解】（1）證明：由菱形性質可知，，，是正方形，，又，，可得，，，，又，，，．（2）解：菱形EFGP的周長為20cm，，在中，，，，，，在中，，，由（1）知，．【點睛】本題考查了正方形的性質、菱形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理、解直角三角形等知識點，需要根據已知條件綜合運用相關知識．34．（2024·北京昌平·二模）如圖，在四邊形中，，，對角線交于O，平分．(1)求證：四邊形是菱形；(2)過點C作的垂線交其延長線于點E，若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】此題主要考查了菱形的判定和性質，勾股定理，解直角三角形等知識，熟練掌握菱形的判定與性質是解題的關鍵．（1）先證，再證，得，然后證四邊形是平行四邊形，即可得出結論；（2）根據菱形的性質結合三角函數得出，，求出，在中，解直角三角形，即可得出結論．【詳解】（1）證明：平分，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形；（2）解：四邊形是菱形，，，，中，，，，，，過點C作的垂線交其延長線于點E，，中，，．35．（2024·廣東東莞·模擬預測）如圖，為的直徑，D，E是上的兩點，且在直徑的兩側，過點D作的切線交的延長線于點C，連接．(1)求證：．(2)若，，求的半徑．【答案】(1)詳見解析(2)的半徑為【分析】本題考查相似三角形性質及判定，圓周角定理，解直角三角形．（1）根據題意連接，利用圓周角定理得，繼而得，又因為，所以；（2）根據題意證明，繼而得，，所以，所以的半徑為【詳解】（1）解：證明：連接，如圖所示，則，．∵為直徑，∴．∴，即．∵，∴．∴．∴．∴．（2）解：由（1），得．又∵，∴．∴．∵，∴．設的半徑為r，則．∴，．∴的半徑為．36．（2024·北京·模擬預測）如圖，是等腰直角三角形，，，是的中點，連接，過作于點，與交于點．

(1)求的值；(2)是線段上一點，且，過點作的垂線交于點，請在圖中補全圖形，用等式表示和的數量關系，并證明．【答案】(1)；(2)．見解析【分析】（1）證和相似得，由點為的中點及得，設，，則，，進而得，由此可得的值；（2）先證為等腰直角三角形得，，再由得，則，設，由（1）可知，，，則，，進而可求出，，再證和相似得，即，由此得，據此可得和的數量關系．【詳解】（1）解：，，，又，，，即，點為的中點，，，，，設，，在中，，，由勾股定理得：，，在中，，，由勾股定理得：，；（2）解：補全圖形如下圖所示，，證明如下：

，，為等腰直角三角形，，，，，，設，由（1）可知：，，，，，在中，，，則，由勾股定理得：，在中，，由勾股定理得：，，，，，，又，，，即，，，，．【點睛】此題主要考查了等腰直角三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理等，理解等腰直角三角形的判定和性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質，靈活運用勾股定理進行計算是解決問題的關鍵．命題點三解直角三角形的應用?題型01仰角、俯角問題37．（2024·廣東廣州·模擬預測）如圖，小樂和小靜一起從點出發去拍攝木棉樹．小樂沿著水平面步行17m到達點時拍到樹頂點，仰角為；小靜沿著坡度的斜坡步行13m到達點C時拍到樹頂點F，仰角為，那么這棵木棉樹的高度約（

）m．（結果精確到1m）（參考數據：，，）A．22 B．21 C．20 D．19【答案】C【分析】本題考查了解直角三角形的應用仰角俯角問題，坡度坡角問題，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．過點作，垂足為，過點作，垂足為，根據題意可得：，，米，再根據已知可設米，則米，然后在中，利用勾股定理進行計算可得米，米，最后設米，則米，分別在和中，利用銳角三角函數的定義求出和的長，從而列出關于的方程進行計算，即可解答．【詳解】解：過點作，垂足為，過點作，垂足為，由題意得：，，米，斜坡的坡度，，設米，則米，在中，（米，米，，解得：，米，米，設米，米，在中，，米，在中，，米，，，解得：，（米，這棵木棉樹的高度約為20米，故選：C．38．（2023·廣東深圳·模擬預測）如圖，在兩建筑物之間有一旗桿，高15米，從點經過旗桿頂點恰好可觀測到矮建筑物的最底端點處，從點測得點的俯角為，測得點的俯角為30°，若旗桿底部為的中點，則，矮建筑物的高為（）A．18米 B．20米 C．米 D．米【答案】B【分析】過點D作于點F，則點F，D，C三點共線，根據，可得，可得米，然后和中，根據銳角三角函數求出，的長，即可求解．【詳解】解：如圖，過點D作于點F，則點F，D，C三點共線，根據題意得：，∴，∵點G是中點，∴，∴米．在中，，∴米．在中，米，則米．∴米．故選B．【點睛】解直角三角形的應用——仰角俯角問題，相似三角形的判定和性質，特殊角的三角函數值，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．39．（2023·廣東深圳·模擬預測）港珠澳大橋是世界上最長的跨海大橋，被譽為“現代世界七大奇跡”的超級工程，它是我國從橋梁大國走向橋梁強國的里程碑之作．港珠澳大橋主橋為三座大跨度鋼結構斜拉橋，其中九洲航道橋主塔造型取自“風帆”，寓意“揚帆起航”．某校九年學生為了測量該主塔的高度，站在B處看塔頂A，仰角為，然后向后走160米（米），到達C處，此時看塔頂A，仰角為，則該主塔的高度是（

）

A．80米 B．米 C．160米 D．米【答案】B【分析】過點A作于點D，先根據三角形的外角性質可得，從而可得米，然后在中，利用銳角三角函數的定義求出的長，即可解答．【詳解】解：如圖，過點A作于點D，

根據題意得：，∵，∴，∴，∴米，在中，米．即該主塔的高度是米．故選：B【點睛】本題考查了解直角三角形的應用——仰角俯角問題，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．40．（2023·廣東廣州·一模）在某校的科技節活動中，九年級開展了測量教學樓高度的實踐活動．“陽光小組”決定利用無人機A測量教學樓的高度．如圖，已知無人機A與教學樓的水平距離為m米，在無人機上測得教學樓底部B的俯角為，測得教學樓頂部C的仰角為．根據以上信息，可以表示教學樓（單位：米）的高度是（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】分別解，，求出的長即可得到答案．【詳解】解：由題意得，，在中，，在中，，∴，故選：A．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，正確計算是解題的關鍵．?題型02方位角問題41．（2024·廣東廣州·一模）端午節，賽龍舟，小亮在點處觀看400米直道競速賽，如圖所示，賽道為東西方向，賽道起點位于點的北偏西方向上，終點位于點的北偏東方向上，米，則點到賽道的距離為（

）米.A． B． C．87 D．173【答案】B【分析】本題考查解直角三角形的實際應用．過點作于，設，則用表示出，再根據列出等式解出即可．【詳解】解：如圖，過點作于，設米．即點到賽道的距離為米．故選：B．42．（2023·山東泰安·一模）某區域平面示意圖如圖，點O在河的一側，和表示兩條互相垂直的公路．甲偵測員在處測得點位于北偏東，乙勘測員在處測得點位于南偏西，測得，，請求出點到的距離（

）．（參考數據，，）

A．140 B．340 C．360 D．480【答案】D【分析】作于，于，設，根據矩形的性質用表示出、，根據正切的定義用表示出，根據題意列式計算即可．【詳解】解：作于，于，

則四邊形為矩形，，，設，則，，在中，，，則，在中，，由題意得，，解得，，即點到的距離約為480，故選：D．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用，掌握銳角三角函數的定義、正確標注方向角是解題的關鍵．43．（2023·陜西西安·三模）某驅逐艦在海上執行任務后剛返回到港口，接到上級指令，發現在其北偏東方向上有一艘可疑船只，與此同時在港口處北偏東方向上且距離處有另一艘驅逐艦也收到了相關指令，驅逐艦恰好在可疑船只的南偏東的方向上，則可疑船只距離港口的距離為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題目條件，，得到是直角三角形，由的正弦定義即可求解．【詳解】解：船只在港口北偏東方向，在港口A處北偏東方向，，驅逐艦在可疑船只的南偏東的方向上，，，，，．故選：C．【點睛】本題考查了解直角三角形-方位角的應用，三角形內角和定理，熟練掌握特殊角的三角函數值是解題的關鍵．44．（2022·廣東深圳·三模）如圖，在距離鐵軌200米的B處，觀察由深圳開往廣州的“和諧號”動車，當動車車頭在A處時，恰好位于B處的北偏東60°方向上；一段時間后，動車車頭到達C處，恰好位于B處的西北方向上，則這時段動車的運動路程是（

）米（結果保留根號）A． B． C． D．【答案】B【分析】作BC⊥AC于點D，在中利用三角函數求得AD的長，在中，利用三角函數求得CD的長，則AC即可求得．【詳解】解：如圖，作BD⊥AC于點D，∵在中，，∴，(米)，∵在中，，∴（米），則(米)．故選：B．【點睛】本題主要考查了解直角三角形以及勾股定理的應用，用到的知識點是方向角，關鍵是根據題意畫出圖形，作出輔助線，構造直角三角形，“化斜為直”是解三角形的基本思路，常需作垂線（高），原則上不破壞特殊角．定理：直角三角形中所對直角邊是斜邊的一半．?題型03坡度坡比問題45．（2024·廣東深圳·三模）如圖所示，某辦公大樓正前方有一根高度是米的旗桿，從辦公樓頂端測得旗桿頂端的俯角是，旗桿底端到大樓前梯坎底邊的距離是米，梯坎坡長是米，梯坎坡度，則大樓的高度約為（

）（精確到米，參考數據：，，）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了解直角三角形的應用坡度坡角問題，仰角俯角問題，過點作于，則，，米，，由梯坎坡度可得，解直角三角形可得米，米，進而得米，米，即得米，據此即可求解，正確作出輔助線是解題的關鍵．【詳解】解：過點作于，則，，米，∴，在中，∵梯坎坡度，∴，∴，∴米，米，∴米，米，∴米，∴米，故選：．46．（2024·廣東深圳·模擬預測）如圖，為測量觀光塔AB的高度，冬冬在坡度的斜坡的D點測得塔頂A的仰角為，斜坡長為26米，C到塔底B的水平距離為9米．圖中點A，B，C，D在同一平面內，則觀光塔AB的高度約為（

）米．（結果精確到米，參考數據：，，）A．10.5米 B．16.1米 C．20.7米 D．32.2米【答案】D【分析】本題主要考查了解直角三角形的應用?仰角俯角、坡度坡角等知識點，根據題意作出輔助線、構造出直角三角形是解題的關鍵．如圖：延長交過點D的水平面于F，作于E，先解直角三角形，求出，再根據銳角三角函數求出即可．【詳解】解：如圖：延長交過點D的水平面于F，作于E，由題意得：米，米，，在中，，米，∴米，米，在中，米，，∴（米），∴（米），即建筑物的高度為米；故選：D．47．（2024·廣東深圳·二模）如圖，在坡比為的斜坡上有一電線桿．某時刻身高1.7米的小明在水平地面上的影長恰好與其身高相等，此時電線桿在斜坡上的影長為30米，則電線桿的高為（

）米．A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是解直角三角形的應用—坡度坡角問題，正確作出輔助線、熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵，作，由坡比得到，在中，應用三角函數，求出、的長，根據題意求出的長度，根據即可求解．【詳解】解：過點作，交延長線于點，∵坡比為，∴，∴，∵，∴（米），（米），∵某時刻身高1.7米的小明在水平地面上的影長恰好與其身高相等，∴（米），∴（米），故選：．48．（2024·廣東深圳·模擬預測）位于深圳市羅湖區的梧桐山公園自西南向東北漸次崛起，分布著小梧桐、豆腐頭、大梧桐三大主峰．從遠處觀看，山中最為矚目的當屬小梧桐電視塔．登臨小梧桐山頂，可上九天邀月攬星，可鳥瞰深圳關內外壯麗美景．我校某數學興趣小組的同學準備利用所學的三角函數知識估測該塔的高度，已知電視塔位于坡度的斜坡上，測量員從斜坡底端處往前沿水平方向走了達到地面處，此時測得電視塔頂端的仰角為，電視塔底端的仰角為，已知、、、在同一平面內，則該塔的高度為（），（結果保留整數，參考數據；，）

A．24 B．31 C．60 D．136【答案】B【分析】本題考查解直角三角形的應用仰角俯角問題、坡度坡角問題等知識，關鍵是根據已知條件在合適的直角三角形中通過解直角三角形求解．設于，設，則，根據可先列出方程求出的值，從而得出，的長，在中可求出的長，從而由可得到結論．【詳解】解：如圖，設于，設，則，

在中，∵，∴，∴，∴，∴，，在中，（），∴，故選：．?題型04坡度坡比與仰角俯角問題綜合49．（2024·廣東中山·一模）如圖，線段分別表示甲、乙建筑物的高，于點，于點，兩座建筑物間的距離為．若甲建筑物的高為，在點處測得點的仰角為，則乙建筑物的高為多少？【答案】【分析】本題考查了矩形的性質、解直角三角形的實際應用：仰角俯角問題，易得四邊形是矩形，由矩形的性質得，在中，由的正切函數可求出的長，進而根據即可算出答案．【詳解】解：由題意得：四邊形是矩形，，在中，，，答：乙建筑物的高為．50．（2024·廣東·模擬預測）如圖1，明代科學家徐光啟所著的《農政全書》中記載了中國古代的一種采桑工具—桑梯，其簡單示意圖如圖2，已知，，與的夾角為α．為保證安全，農夫將桑梯放置在水平地面上，將夾角α調整為，并用鐵鏈鎖定B、C兩點、此時農夫站在離頂端D處的E處時可以高效且安全地采桑．求此時農夫所在的E處到地面的高度．（結果精確到，參考數據：）

【答案】農夫所在的E處到地面的高度為米．【分析】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，過點作于，先利用三角形內角和等邊對等角求出，，解直角三角形，求解即可．【詳解】解：如圖所示，過點作于H，

∵米，，米，米，∴，米，米，∴，在中，米；答：農夫所在的E處到地面的高度為米．51．（2024·廣東·模擬預測）如圖，是一種家用健身卷腹機，由圓弧形滑軌，可伸縮支撐桿和手柄構成．圖①是其側面簡化示意圖．滑軌支撐桿與手柄在點A處連接，其中D，A，B三點在一條直線上．(1)如圖①，固定若求的度數；(2)如圖②，固定，若時，圓弧形滑軌所在的圓恰好與直線相切于點B，求滑軌的長度．（結果精確到0.1，參考數據：π取3.14，【答案】(1)(2)【分析】（1）過點作，垂足為，根據平角定義可得，然后在中，利用銳角三角函數的定義求出的長，再在中，利用銳角三角函數的定義求出的值，即可解答；（2）過點作，垂足為，根據已知過點作，作的垂直平分線，交于點，連接，從而可得，進而可得圓弧形滑軌所在的圓的圓心為，先利用三角形的外角性質可得，然后在中，利用銳角三角函數的定義求出的長，再在中，利用含30度角的直角三角形的性質可求出的長，最后根據垂直定義可得，從而可得，進而可得為等邊三角形，再根據等邊三角形的性質可得，，從而利用弧長公式進行計算即可解答．本題考查了解直角三角形的應用，弧長的計算，切線的性質，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．【詳解】（1）解：如圖，過點作，垂足為，，，在中，，，在中，，，，的度數約為；（2）解：如圖，過點作，垂足為，圓弧形滑軌所在的圓恰好與直線相切于點，過點作，作的垂直平分線，交于點，連接，，圓弧形滑軌所在的圓的圓心為，，，，在中，，，在中，，，，，，為等邊三角形，，，滑軌的長度，滑軌的長度約為．52．（2024·廣東東莞·模擬預測）如圖1，佛山電視塔坐落于佛山市禪城區文華公園內，它集廣播電視發射、旅游觀光以及飲食娛樂于一體，是佛山市標志性建筑之一．小梁和小羅利用卷尺和自制的測角儀對電視塔的高度進行了測量．如圖2，小梁站在點A處利用測角儀測得電視塔頂端D的仰角為，小羅站在點B處利用測角儀測得電視塔頂端D的仰角為．已知測角儀高度均為，兩人相距．(點A，B，C，D，E，F在同一豎直平面內，點A，B，C在一條直線上)(1)求電視塔的高度．(結果精確到．參考數據：，，，)(2)根據“景點簡介”顯示，佛山電視塔總高為．請提出一條減小誤差的合理化建議．【答案】(1)的高度約為；(2)減小誤差可多次測量，去測量數據的平均值．【分析】本題考查的是解直角三角形的應用-仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵．（1）根據題意可得，再根據銳角三角函數表示出的長，結合圖形列出方程，解方程得到答案；（2）結合（1）誤差為，進而可得減小誤差的建議：多次測量，求平均值．【詳解】（1）解：如圖，延長交于點．由題意知，四邊形和四邊形均為矩形．，，．設，則．在中，，，在中，，，．解得．答：電視塔的高度約為；（2）誤差為．減小誤差可多次測量，去測量數據的平均值．基礎鞏固單選題1．（2024·廣東廣州·模擬預測）在中，，，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了銳角三角函數的定義，先根據勾股定理求出，再根據在直角三角形中銳角三角函數的定義解答．【詳解】在中，，，，，．故選：A．2．（2024·廣東佛山·三模）下表是小亮填寫的實踐活動報告的部分內容：設樹頂到地面的高度米，根據以上條件，可以列出求樹高的方程為（

）題目測量樹頂到地面的距離測量目標示意圖

相關數據米，，A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了解直角三角形的應用，先表示出，，再根據即可列等式，問題隨之得解．【詳解】在中，，即，在中，，即，∵米，，，∴，即：，則有：，故選：B．3．（2024·廣東陽江·二模）如圖，內接于，為的直徑，若，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，解直角三角形．根據圓周角定理，勾股定理，三角函數的定義即可得到結論．【詳解】解：連接，為的直徑，，，，，，故選：A．4．（2024·云南文山·二模）如圖，正方形網格中，點，，，均在格點上，過點，且與交于點，點是上一點，則（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】此題主要考查了同弧所對的圓周角相等，銳角三角函數的定義，根據同弧所對的圓周角相等得出，進而得出，求出答案即可．【詳解】解：由題意可得：，則．故選：C．5．（2024·廣東汕頭·二模）如圖，將三角板的直角頂點放置在直線上的點處，使斜邊．則的余弦值為．【答案】【分析】本題考查特殊角三角函數值的計算，根據平行線的性質及特殊角的三角函數值解答，特殊角三角函數值計算在中考中經常出現，題型以選擇題、填空題為主．【詳解】解：，，，，故答案為：．二、填空題6．（2024·廣東廣州·三模）如圖，，分別表示的是一個湖泊的南、北兩端和正東方向的兩個村莊，村莊位于村莊的北偏東方向上．若，則該湖泊南北兩端的距離為（結果保留根號）．

【答案】【分析】此題考查了解直角三角形的應用——方向角問題，矩形的判定與性質，過作于，根據題意及三角函數可求得的長，從而得到的長，解題的關鍵是添加輔助線構造直角三角形，再運用三角函數定義求解．【詳解】如圖，過作于，

∴四邊形是矩形，∴，在中，，，則，∴，故答案為：．7．（2024·廣東韶關·二模）第24屆國際數學家大會會標是以我國古代數學家趙爽的弦圖為基礎進行設計的．如圖，會標是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形．如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為，則的值為．【答案】【分析】此題中根據正方形以及直角三角形的面積公式求得直角三角形的三邊，進一步運用銳角三角函數的定義求解．根據大正方形的面積求得直角三角形的斜邊是5，根據大正方形減去小正方形的面積即四個直角三角形的面積和是24，求得兩條直角邊的乘積是12．再根據勾股定理知直角三角形的兩條直角邊的平方和等于25，聯立解方程組可得兩條直角邊分別是3，4，即可求解．【詳解】解：根據題意，大正方形邊長，小正方形的邊長．∴三角形的面積．設三角形兩直角邊為，則．又，聯立解得，（舍去）所以．故答案為：．三、解答題8．（2024·廣東深圳·模擬預測）計算：【答案】6【分析】本題考查了含特殊角的三角函數混合運算，先化簡零次冪、正切值正弦值，絕對值，負整數指數冪，再運算乘法，最后運算加減，即可作答．【詳解】解：9．（2024·廣東·模擬預測）如圖，在中，．(1)實踐與操作：作的平分線（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)應用與計算：記的平分線交于點D，E是上一點，且．若，，求的面積．【答案】(1)見詳解(2)【分析】（1）根據作法利用尺規作圖即可．（2）由（1）得為的平分線，利用角平分線的性質可得，再利用三角函數得到，再根據三角形全等的判斷及性質即可求解．【詳解】（1）如圖所示，即為所求．（2）解：∵，∴，∵為的平分線，∴，∵，，∴，在中，∵，∴，∵，，，∴，∴，，∴．【點睛】本題考查了尺規作圖（角平分線），角平分線的定義，銳角三角函數，全等三角形的判定與性質．10．（2024·廣東深圳·三模）如圖，是的直徑，是上一點，過點作的切線交的延長線于點，過點作于點，延長交于點，連接．

(1)求證：平分；(2)若，求的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，如圖，根據切線的性質得到，則根據平行線的判定方法得到，再利用平行線的性質得到，加上，從而得到；（2）根據圓周角定理得，再證明，利用相似三角形的性質得到，則，接著利用正弦的定義得到，然后根據特殊角的三角函數值求解．本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．也考查了圓周角定理和解直角三角形．【詳解】（1）證明：連接，如圖，

為的切線，，，，，，，，平分；（2）解：是的直徑，，，，，，，在中，，，．能力提升一、單選題1．（2024·廣東深圳·模擬預測）圖1是某住宅單元樓的人臉識別系統（整個頭部需在攝像頭視角范圍內才能被識別），圖2為其示意圖，攝像頭A的仰角、俯角均為，高度為．人筆直站在離攝像頭水平距離的點B處，若此人要能被攝像頭識別，其身高不能超過（

）（參考數據：）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了解直角三角形的應用，過點作，垂足為，延長交于點，由題意得，，在中，利用解直角三角形得，則利用進而可求解，根據題意構造直角三角是的關鍵．【詳解】解：過點作，垂足為，延長交于點，如圖：由題意得：，，在中，，，，若此人要能被攝像頭識別，其身高不能超過，故選C．2．（2024·廣東深圳·模擬預測）如圖，是的邊的中點，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質與判定，求角的正弦值，延長至點，使，連接，，可證明四邊形是平行四邊形，得到，則當最大時，最小；過點A作交的延長線于點，由于，則最大為30度，據此可得答案．【詳解】解：如圖，延長至點，使，連接，．是的中點，，四邊形是平行四邊形，∴，，當最大時，最小．過點A作交的延長線于點，∴，當且僅當時等號成立，此時最大，，的最小值為，故選：D．3．（2024·廣東廣州·模擬預測）已知點與點分別在反比例函數與的圖像上，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查反比例函數與幾何的綜合應用，相似三角形的判定和性質，解直角三角形，過點作軸，過點作軸，根據值的幾何意義，得到，，證明，根據相似三角形的面積比等于相似比的平方，求出的值，即可．【詳解】解：過點作軸，過點作軸，則：，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵點與點分別在反比例函數與的圖像上，∴，，∴，∴，∵，∴；故選C．4．（2024·廣東深圳·模擬預測）如圖，港珠澳大橋是粵港澳大灣區的標志性工程，是世界上最長的跨海大橋．項目于2009年12月30日開工建設，2016年9月15日完成竣工驗收．被譽為“當代橋梁建設的巔峰之作”．某校九年級學生為了測量該主塔的高度，站在B處看塔頂A，仰角為，然后向后走160米（米），到達C處，此時看塔頂A，仰角為，則該主塔的高度是（）A．160 B． C．200 D．【答案】D【分析】本題考查了解直角三角形的應用仰角俯角問題，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．過點作，垂足為，先根據三角形的外角性質可得，從而可得米，然后在中，利用銳角三角函數的定義求出的長，即可解答．【詳解】解：過點作，垂足為，是的一個外角，，，，，米，在中，（米），該主塔的高度是米，故選：D．5．（2024·山東臨沂·模擬預測）菱形是日常生活中常見的圖形，如伸縮衣架（如圖1）等，為兼顧美觀性和實用性，活動角的取值范圍宜為（如圖2），亮亮選購了折疊后如圖所示的伸縮衣架，則其拉伸長度的適宜范圍最接近（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了菱形及其計算，解直角三角形的相關計算，解題關鍵是找準直角三角形進行計算．由菱形中，，，得，當時，得，得，得，此時拉伸長度；同理當時，拉伸長度，即可得到答案．【詳解】解：由菱形中，，，得，當時，得，得，得，此時拉伸長度；同理當時，拉伸長度．總之，．故選：B．6．（2024·廣東·模擬預測）陳垣是中國杰出的歷史學家、教育家，陳垣故居位于廣東省江門市，故居的前面矗立著陳垣先生的半身塑像，如圖，從塑像正前方距離底座D點2米的A點處測量，塑像底部C點的仰角為，頂部B點的仰角為，點B，C，D在同一條直線上，則塑像的高度為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】此題考查了解直角三角形的應用，在中，，在中，，即可求出答案.【詳解】解：由題意得，在中，，在中，，∴米．故選：C7．（2024·廣東汕頭·二模）如圖，在平面直角坐標系中，菱形的頂點O為坐標原點，邊在x軸正半軸上，反比例畫數的圖象經過點A，交菱形對角線于點D，軸于點E，若，則長為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】本題考查反比例函數圖象上的點的特征、菱形的性質等知識，作于，分別求出、即可求解．解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，學會利用參數構建方程解決問題．【詳解】解：作于．設，∵，∴，∵四邊形是菱形，∴，則，∴，，∴，∵反比例函數的圖象經過點，∴，∴或（舍去），∴，∵四邊形是菱形，∴，設，則，∴，∴，∴或（舍去），∴，∴，故選：C．二、填空題8．（2024·廣東廣州·一模）如圖，為等邊三角形，點D為外的一點，，，，則的面積為．【答案】【分析】將繞點順時針旋轉得到，得出是等邊三角形，根據得出，進而勾股定理求得，即可求解．【詳解】解：如圖所示，∵為等邊三角形，將繞點順時針旋轉得到，則∴，∴是等邊三角形，∵∴∴，過點作于點∵∴∵，∴在中，∴解得：（負值舍去）∴故答案為：．9．（2024·廣東深圳·模擬預測）如圖，為等腰直角三角形，，，將繞點D旋轉得到，此時點A、E、D三點共線，若，時，則的長為．【答案】/【分析】作交線段于點P，根據旋轉的性質得到為等腰直角三角形，進而得到為等腰直角三角形，結合解直角三角形、勾股定理和等腰直角三角形的性質，可得，，，再證明，可得算出，最后結合勾股定理可求得的長．【詳解】解：作交線段于點P，繞點D旋轉得到，為等腰直角三角形，，，為等腰直角三角形，，，，，為等腰直角三角形，則，，，∴，即，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉的性質，等腰直角三角形的性質，相似三角形的性質與判定，勾股定理，解直角三角形，解題的關鍵是熟練掌握并運用相關知識．10．（2024·廣東惠州·模擬預測）如圖，小明駕車從A地途經B地到C地，在地圖上測得B地在A地的北偏西方向，C地在B地的北偏東方向，C地在A地的北偏東方向，A地到B地的距離是，那么A，C兩地的距離約為．(結果保留到．參考數據：)【答案】5.5【分析】本題解直角三角形的應用方向角問題，正確標注方向角、熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵．過點作于點，根據正弦的定義求出，余弦定義求出，再根據等腰直角三角形的性質求出，即可求解．【詳解】解：如圖，過點作于點，由題意得：，，在中，，，，，∵，∴，在中，，∴，∴，則，∴，答：A，C兩地的距離約為．故答案為：5.5．11．（2024·廣東深圳·模擬預測）如圖，將矩形沿折疊，點A與點重合，連接并延長分別交、于點G、F，且．若，，則．【答案】【分析】如圖，過作于，可得，，利用，結合矩形的性質證明，即，設，而，則，，，再求解，由折疊可得：，，利用，再建立方程求解即可．【詳解】解：如圖，過作于，∴四邊形是矩形，則，，∵，，∵矩形，∴，∴，，∴，，∴設，∵矩形，，，∴，∴，∴，∴，∴，由折疊可得：，∴，∵，∴，∴，∴，

解得：，經檢驗符合題意；∴．故答案為：．【點睛】本題考查的是軸對稱的性質，矩形的性質與判定，勾股定理的應用，銳角三角函數的應用，等腰三角形的判定與性質，熟練的利用以上知識解題是關鍵．12．（2024·廣東深圳·二模）如圖，已知等腰直角，，，點C是矩形與的公共頂點，且，；點D是延長線上一點，且．連接，在矩形繞點C按順時針方向旋轉一周的過程中，當線段達到最長和最短時，線段對應的長度分別為m和n，則的值為．【答案】【分析】根據等腰三角形的性質，銳角三角函數可求得，當線段達到最長時，此時點G在點C的下方，且B，C，G三點共線，求得根據勾股定理求得，即；當線段達到最短時，此時點G在點C的上方，且B，C，G三點共線，則根據勾股定理求得，即，進而求出的值【詳解】解：∵為等腰直角三角形，，，∴，當線段達到最長時，此時點G在點C的下方，且B，C，G三點共線，如圖：則在中，，，當線段達到最短時，此時點G在點C的