第四章三角形第18講圖形的相似與位似（3~6分）TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標導航02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一比例線段的概念與性質考點二相似圖形的概念與性質考點三位似圖形04題型精研·考向洞悉命題點一比例線段的概念與性質?題型01成比例線段?題型02黃金分割的實際應用?題型03平行線分線段成比例?題型04平行線分線段成比例求線段或比值問題命題點二相似圖形的概念與性質?題型01理解相似圖形的概念?題型02相似多邊形及其性質命題點三位似圖形?題型01位似圖形的概念?題型02求兩個位似圖形的相似比?題型03畫已知圖形放大或縮小n倍后的位似圖形?題型04求位似圖形的坐標?題型05求位似圖形的面積?題型06在坐標系中求位似圖形的周長?題型07位似圖形的綜合問題05分層訓練·鞏固提升基礎鞏固能力提升考點要求新課標要求考查頻次命題預測比例線段的概念與性質了解比例的基本性質、線段的比、成比例的線段；通過建筑、藝術上的實例了解黃金分割.10年7考在中考中，該模塊內容常出現在選擇題、填空題，較為簡單.本節內容是下一節相似三角形的基礎，需要學生在復習時加以重視.相似圖形的概念與性質通過具體實例認識圖形的相似.了解相似多邊形和相似比.近10年連續考查位似圖形了解圖形的位似，知道利用位似可以將一個圖形放大或縮小.10年8考考點一比例線段的概念與性質線段的比的定義：兩條線段的比是兩條線段的長度之比．比例線段的定義：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度的比)與另兩條線段的比相等，如（即），我們就說這四段線段是成比例線段，簡稱比例線段.其中a、b、c、d叫組成比例的項；a、d叫比的外項，b、c叫比的內項，【補充】當比的內項相等時，即或a：b=b：d，線段b叫做線段a和d的比例中項.【解題思路】1）判斷四條線段是否成比例，需要將這四條線段從小到大依次排列，再判斷前兩條線段的比與后兩條線段的比是否相等即可；2）成比例的線段是有順序的，比如：a、b、c、d是成比例的線段，則成比例線段只能寫成（即：），而不能寫成.比例的性質：1）基本性質：2）變形：核心內容：3）合、分比性質：【補充】實際上，比例的合比性質可擴展為：比例式中等號左右兩個比的前項，后項之間發生同樣和差變化比例仍成立．如：4）等比性質：如果，那么.【補充】根據等比的性質可推出，如果，則.5）黃金分割：點C把線段AB分割成AC和CB兩段,如果,那么線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比.【注意】1）(叫做黃金分割值).簡記為：2）一條線段的黃金分割點有兩個.【擴展】作一條線段的黃金分割點：如圖，已知線段AB，按照如下方法作圖：①經過點B作BD⊥AB，使BD=AB.②連接AD，在DA上截取DE=DB.③在AB上截取AC=AE.則點C為線段AB的黃金分割點.6）平行線分線段成比例定理平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所截得的對應線段成比例.①已知l3∥l4∥l5,可得等①把平行線分線段成比例的定理運用到三角形中，會出現下面的兩種情況：

推論：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例．1.1.求線段之比時，要先統一線段的長度單位，最后的結果與所選取的單位無關系．2.通常四條線段a、b、c、d的單位應該一致，但有時為了計算方便，a和b統一為一個單位，c和d統一為另外一個單位也可以.考點二相似圖形的概念與性質相似多邊形的的概念：若兩個邊數相同的多邊形，它們的對應角相等、對應邊成比例，則這兩個多邊形叫做相似多邊形。相似多邊形的性質：1）相似多邊形的對應角相等，對應邊成比例.2)相似多邊形的周長比等于相似比，相似三角形的面積比等于相似比的平方.考點三位似圖形位似圖形的定義:如果兩個圖形不僅是相似圖形,且對應點連線相交于一點,對應線段相互平行,那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形,位似圖形對應點連線的交點是位似中心.常見的位似圖形：畫位似圖形的方法：兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側，也可能位于位似中心的同側.（即畫位似圖形時，注意關于某點的位似圖形有兩個.）判斷位似圖形的方法：首先看這兩個圖形是否相似，再看對應點的連線是否經過位似中心.位似圖形的性質：1)位似圖形的對應頂點的連線所在直線相交與一點；2）位似圖形的對應邊互相平行或者共線.3)位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于相似比.4)在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或–k.畫位似圖形的步驟：1）確定位似中心,找原圖形的關鍵點.2）確定位似比.3）以位似中心為端點向各關鍵點作射線.4）順次連結各截取點，即可得到要求的新圖形.1.位似圖形一定是相似圖形，具有相似圖形的所有性質，但相似圖形不一定是位似圖形.1.位似圖形一定是相似圖形，具有相似圖形的所有性質，但相似圖形不一定是位似圖形.2.兩個位似圖形的位似中心只有一個，它可能位于圖形的內部、外部、邊上或頂點上.命題點一比例線段的概念與性質?題型01成比例線段1．（2024·湖南永州·一模）已知線段成比例，且，，則線段的長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了比例線段，根據線段成比例，可得，由可得，把，代入比例式計算即可求解，掌握成比例線段的定義是解題的關鍵．【詳解】解：∵線段成比例，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，故選：．2．（2024·安徽蚌埠·模擬預測）已知，且，那么k的值是（

）A．2 B． C．2或0 D．2或【答案】D【分析】本題考查了比例的性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵，注意分類討論．當時，利用比的等比性質求解；當時，則，再代入求值即可．【詳解】解：①當時，由等比性質可得：即：；②當時，則，∴，所以k的值是2或，故選：D．3．（2024·云南玉溪·二模）如圖，在中，點、分別為、上的中點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了中位線，比例的性質．熟練掌握中位線，比例的性質是解題的關鍵．由題意知，，，，則，即．【詳解】解：∵點、分別為、上的中點，∴，，，∴，∴，故選：D．4．（21-22九年級上·湖北武漢·期末）在設計人體雕像時，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺美感．如圖，按此比例設計一座高度為的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設計高度約是（

）（精確到0.01．參考數據：，，）A． B． C． D．【答案】B【分析】設雕像的下部高為xm，根據題意可得，求解即可；【詳解】設雕像的下部高為xm，則上部長為，∵雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，高度為，∴，∴，解得：（舍）或，∴．故選B．【點睛】本題主要考查了比例線段的知識點和一元二次方程的計算，準確列出比例方程是解題的關鍵．?題型02黃金分割的實際應用5．（2024·天津和平·一模）如圖，在設計人體雕像時，使雕像的上部（腰以上）與下部（腰以下）的高度比，等于下部與全部（全身）的高度比，可以增加視覺美感．按此比例，如果雕像的高為，設雕像下部高，則下列結論不正確的是（）A．雕像的上部高度與下部高度的關系為：B．依題意可以列方程C．依題意可以列方程D．雕塑下部高度為【答案】B【分析】本題考查了黃金分割，一元二次方程的應用，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．根據黃金分割的定義進行計算，逐一判斷即可解答．【詳解】解：由題意得：，，，，，，，整理得：，解得：或（舍去），，雕塑下部高度為，故A、C、D都正確，B不正確，故選：B6．（2024·福建南平·一模）如圖，線段上的點滿足關系式：，且，則的長為（

）A．或 B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查黃金分割，設，則，，整理得，然后解方程即可．【詳解】解：設，則，∵，∴，整理得，，解得，或（不符合題意，舍去）∴，故選：C．7．（2024·上海楊浦·一模）已知是線段的黃金分割點，且，那么下列等式能成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查黃金分割點，根據黃金分割點的定義得出線段比例關系，選出正確選項，解題的關鍵是掌握黃金分割點的性質．【詳解】解：如圖，∵點是線段的黃金分割點，且，∴，故選：A．8．（2023·湖北武漢·一模）“黃金分割”給人以美感，它在建筑、藝術等領域有著廣泛的應用．如圖（1），點把線段分成兩部分，如果，那么稱點是線段的黃金分割點．如圖（2），點分別是線段的黃金分割點，（），若，則的長是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題中黃金分割點定義，在圖（1）中令，設，，即，解得，從而，得到黃金分割比由點分別是線段的黃金分割點，可知，，，則，，，根據，代入求解即可得到，，．【詳解】解：如圖（1），點把線段分成兩部分，如果，那么稱點是線段的黃金分割點，令，設，則，則由，代值得，解得，，，點分別是線段的黃金分割點，，，，，，，將，代入求解即可得到，，，故選：A．【點睛】本題查處黃金分割點定義，涉及黃金分割比求解及利用黃金分割比求線段長，讀懂題意，理解黃金分割點定義得到比例是解決問題的關鍵．?題型03平行線分線段成比例9．（2022·黑龍江哈爾濱·一模）如圖，，交于點G，若，則下列結論錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，根據平行線分線段成比例定理得，結合，則，可判斷A；，結合題意得和，則，可判斷B；由，結合已知得和，則，可判定C；由和，則，可判定D．【詳解】解：，，，，故A正確，不符合題意；，，，，，，故B正確，不符合題意；∵，，，，，，，，，故C錯誤，符合題意；∵，∴，∵，，∴，∴，故D正確，不符合題意；故選：C．10．（2023·黑龍江哈爾濱·模擬預測）如圖，在中，，，則下列比例式中正確的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據平行線分線段成比例定理及平行四邊形的判定與性質逐項驗證即可得到答案．【詳解】解：A、，，四邊形是平行四邊形，，，，與的關系不確定，不正確，不符合題意；B、，，四邊形是平行四邊形，，，，，不正確，不符合題意；C、，，，，，正確，符合題意；D、，由可得，與的關系不確定，不正確，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理及平行四邊形的判定性質，熟練掌握平行線分線段成比例定理及平行四邊形的判定與性質是解決問題的關鍵．11．（2023·黑龍江哈爾濱·三模）如圖，中，為邊上一點，過作交于，為的中點，作交于，則下列結論錯誤的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據平行線分線段成比例定理、中點定義及相似三角形對應邊成比例逐項判斷即可得到答案．【詳解】解：A、，由平行線分線段成比例定理可得，，，，，，即，，，由平行四邊形的判定定理得到四邊形為平行四邊形，即，，故該選項正確，不符合題意；B、，，，，，為的中點，，，故該選項正確，不符合題意；C、，由平行線分線段成比例定理可得，，，由平行四邊形的判定定理得到四邊形為平行四邊形，即，，故該選項正確，不符合題意；D、，由平行線分線段成比例定理可得，，由平行線分線段成比例定理可得，只有當為中點時，即時，由于題中并未給出相關條件，故該選項錯誤，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查線段成比例，涉及平行線分線段成比例定理、平行四邊形的判定與性質、中點的定義等知識，熟記相關幾何性質是解決問題的關鍵．12．（2023·黑龍江哈爾濱·三模）如圖，四邊形是平行四邊形，點，分別在的延長線，的延長線上，連接分別交，于點，，則下列結論錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，根據平行線分線段成比例定理得，可判斷不符合題意；由得，所以，可判斷不符合題意；由得，所以，可判斷不符合題意；由證明，得，則，可判斷符合題意，于是得到問題的答案．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，，，，，故A不符合題意；，，，故B不符合題意；，，，故C不符合題意；，，，，故D符合題意，故選：D．【點睛】此題重點考查平行四邊形的性質、平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定與性質等知識，根據平行線分線段成比例定理或相似三角形的性質正確地列出比例式是解題的關鍵．?題型04平行線分線段成比例求線段或比值問題13．（2024·山東聊城·三模）如圖，點D是的邊的中點，過點D作交于點E，點F在上，，連接并延長，與的延長線交于點G，若，則線段的長為（

）A． B．7 C． D．8【答案】C【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質，平行線分線段成比例定理，三角形中位線定理；利用相似三角形的判定與性質是解題的關鍵；由，利用平行線分線段成比例定理得E是的中點，由D是邊的中點，得；再由，得，可求得；由即可求解．【詳解】解：，；D是邊的中點，，，即E是的中點；D是邊的中點，；，，，，；．故選：C．14．（2024·江蘇揚州·二模）如圖，在中，，點M在邊上，線段沿著過M的直線折疊，點C恰巧落在邊上的點N處．如果，，那么a與b滿足的關系式是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了折疊的性質，平行線分線段成比例定理，過點M作于D，由折疊的性質可得，則，，證明，再證明，得到，即可得到．【詳解】解：如圖所示，過點M作于D，由折疊的性質可得，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故選：C．15．（2024·廣西柳州·三模）如圖，已知，，，則的長等于（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根據平行線分線段成比例定理可得，將代入，即可求出的長．本題主要考查了平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例．弄清楚對應線段是解題的關鍵．【詳解】，，，，，解得故選：C．16．（2024·安徽六安·一模）如圖，在中，，是上的一點，且，過點作，交于點，射線交于點，交的延長線于點，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了平行四邊形的性質，平行線分線段成比例定理，三角形相似的判定及性質；由平行四邊形的性質及三角形相似的判定方法得，，由平行線分線段成比例定理，，，即可求解；掌握判定方法及性質進行線段比例轉換是解題的關鍵．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，，解得：，，，；故選：B．命題點二相似圖形的概念與性質?題型01理解相似圖形的概念17．（2024·寧夏銀川·模擬預測）如圖是視力表的一部分，其中開口向右的兩個E之間的變換是（

）A．平移 B．旋轉 C．相似 D．軸對稱【答案】C【分析】本題考查了幾何變換的類型，熟練掌握幾何變換的特征是解題的關鍵．根據幾何變換的特征即可得到答案．【詳解】解：由圖可知，兩個開口向右的大小不一樣，故只可能是相似，故選C．18．（2023·山西大同·模擬預測）剪紙是我國傳統的民間藝術，在創作時，將紙片進行一系列操作，剪出圖樣后再展開，即可得到一由湖光倒影的美景．這體現了數學中的()A．圖形的軸對稱 B．圖形的平移C．圖形的旋轉 D．圖形的相似【答案】A【分析】根據軸對稱，平移，旋轉，相似的特征來判斷即可．軸對稱的特點是一個圖形繞著一條直線對折，直線兩旁的圖形能夠完全重合；平移是將一個圖形沿某一直線方向移動，得到的新圖形與原圖形的形狀、大小和方向完全相同；旋轉是指將一個圖形繞著一點轉動一個角度的變換；相似可以改變圖形的大小，但不改變形狀．【詳解】解：根據圖形可知，將這個圖形上下對折，兩邊的部分能夠完全重合，因此這體現了數學中圖形的軸對稱，故選：A．【點睛】本題考查圖形的對稱、平移、旋轉、相似等知識，掌握四者的特征是解題的關鍵．觀察時要緊扣圖形變換特點，認真判斷．19．（22-23九年級上·山西陽泉·期末）學校藝術節上，同學們繪制了非常美麗的畫并且在其周圍裱上等寬的邊框做成藝術墻．下面是王亮從藝術墻上選取的四幅形狀不同的作品，在同一幅作品中，內、外邊框的圖形不一定相似的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了兩個圖形的相似多邊形的概念，掌握如果兩個多邊形對應角相等，對應邊成比例是解題的關鍵．根據圖形相似的概念進行判斷即可．【詳解】解：兩個矩形不一定相似，但兩個正方形、兩個等邊三角形及兩個圓一定相似．故選：A．20．（21-22九年級上·上海閔行·期中）下列各組圖形中一定是相似形的是（

）A．兩個等腰梯形 B．兩個矩形 C．兩個直角三角形 D．兩個等邊三角形【答案】D【分析】根據相似形的形狀相同、大小不同的特點，再結合等腰梯形、矩形，直角三角形、等邊三角形的性質與特點逐項排查即可．【詳解】解：A、兩個等腰梯形的形狀不一定相同，則不一定相似，故本選項錯誤；B、兩個矩形的形狀不一定相同，則不一定相似，故本選項錯誤；C、兩個直角三角形的形狀不一定相同，則不一定相似，故本選項錯誤；D、兩個等邊三角形的大小不一定相同，但形狀一定相同，則一定相似，故本選項正確．故選D．【點睛】本題主要考查了相似圖形的定義，理解相似形的形狀相同、大小不同的特點成為解答本題的關鍵．?題型02相似多邊形及其性質21．（2023·上海虹口·一模）如圖，四邊形的頂點在方格紙的格點上，下列方格紙中的四邊形與已知四邊形相似的是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了相似多邊形的性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，如果兩個四邊形的四條邊對應成比例，且四個角對應相等，那么這兩個四邊形相似，據此求解即可．【詳解】解：設每個小正方形的邊長為1，則已知四邊形的四條邊分別為1，，2，．選項中的四邊形的四條邊分別為，2，2，，兩個四邊形的四條邊對應不成比例，不符合題意；選項中的四邊形的四條邊分別為2，，，4，兩個四邊形的四條邊不是對應成比例，故選項中的四邊形與已知四邊形不相似，不符合題意；選項中的四邊形的四條邊分別為2，，，4，兩個四邊形的四條邊不是對應成比例，故選項中的四邊形與已知四邊形不相似，不符合題意；選項中的四邊形的四條邊分別為2，，4，，兩個四邊形的四條邊對應成比例．將已知四邊形表示為四邊形，將選項中的四邊形表示為．如圖，連接、，則，．在與中，，，，，．在與中，，，，，，，，，，又，四邊形四邊形．故選：D．22．（2024·福建龍巖·模擬預測）如圖，矩形，小福在矩形左邊分割出正方形，然后小龍在右邊矩形的一組對邊上分別取中點M，N分割出矩形和矩形，最后小馬把矩形對半分割成矩形和矩形，若矩形與矩形相似，則矩形的寬與長的比（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了正方形的性質，相似多邊形的性質，解一元二次方程，熟練掌握各知識點是解答本題的關鍵．設，，由矩形與矩形相似得，求出，解方程得，先求出，進而可求出．【詳解】解：由題意得，，，．設，，則，，∵是正方形，∴，∴．∵矩形與矩形相似，∴，∴，∴，∴，∴或（舍去），∴，∴．故選D．23．（2024·浙江寧波·模擬預測）如圖，已知中，點，，，分別為，，，上的點，且，，分別與，相交于點，，若，則的面積一定可以表示為（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】如圖，過點作于點，過點作于點，過作于，設，設，，，由，得，，再證，四邊形，四邊形，四邊形，四邊形，四邊形，四邊形，四邊形都是平行四邊性質，得，，，，，進而利用面積公式即可得解．【詳解】解：如圖，過點作于點，過點作于點，過作于，設，設，，，

∵，∴，∴，，∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∵，，∴，，∴，四邊形，四邊形，四邊形，四邊形，四邊形，四邊形，四邊形都是平行四邊性質，∴，，，，∴，∵于，，∴，，∴．∵，∴，，∴，∴，即，．∵，∴，∴．故選B．【點睛】本題主要考查了平行線的判定及性質，平行四邊形的判定及性質，解直角三角形，相似形的性質，熟練掌握平行四邊形的判定及性質是解題的關鍵．24．（2022·廣東中山·三模）如圖，在矩形中，，連接，以對角線為邊，按逆時針方向作矩形，使矩形~矩形；再連接以對角線為邊，按逆時針方向作矩形使矩形~矩形····，按照此規律作下去，則邊的長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了矩形的性質，勾股定理，相似多邊形的性質，解此題的關鍵是能根據求出的結果得出規律．根據已知和矩形的性質可分別求得，利用相似多邊形的性質可發現規律，根據規律即可解決問題．【詳解】解：四邊形是矩形，，，按逆時針方向作矩形，使矩形~矩形，∴矩形的邊長和矩形的邊長的比為，∴矩形的對角線和矩形的對角線的比，∵矩形的對角線為，∴矩形的對角線，以此類推，矩形的對角線，矩形的對角線，…，矩形的對角線，∴．故選A．命題點三位似圖形?題型01位似圖形的概念25．（2021·重慶·模擬預測）如圖，在外任取一點，連接、、，并分別取它們的中點、、，順次連接、、得到，則下列說法錯誤的是（

）

A．與是位似圖形 B．與是相似圖形C．與的周長比是 D．與的面積比是【答案】D【分析】根據位似圖形的性質得出與是位似圖形，根據位似圖形一定是相似圖形得出與是相似圖形，再根據周長比等于位似比以及根據面積比等于相似比的平方即可解答．【詳解】解：根據位似性質可得：A、與是位似圖形，故A選項正確，不符合題意；B、與是相似圖形，故B選項正確，不符合題意；C、∵點D，E，F，為中點，∴將的三邊縮小到原來的得到，∴與的周長之比為1：2，故C選項正確，不符合題意；D、∵面積比等于相似比的平方，∴與的面積之比為1：4，故D選項不正確，符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查了位似圖形的性質，正確的記憶位似圖形性質是解決問題的關鍵．26．（2021·河北唐山·一模）如圖，已知ABC，任取一點O，連AO，BO，CO，分別取點D，E，F，使OD＝AO，OE＝BO，OF＝CO，得DEF．下列說法中，錯誤的是（

）A．DEF與ABC是位似三角形 B．OAC與ODF是位似三角形C．DEF與ABC周長的比是1：3 D．圖中位似的兩個三角形面積比是1：9【答案】D【分析】根據位似三角形的定義及性質即可判斷．【詳解】A、由題意知，△DEF與△ABC是位似三角形，故正確；B、由題意知，△OAC與△ODF是位似三角形，故正確；C、由于△DEF與△ABC是位似三角形，因而也是相似三角形，且相似比為1:3，從而周長的比也為1:3，故正確；D、此選項沒有指明是哪兩個位似三角形，故錯誤．故選：D．【點睛】本題考查了位似三角形的定義及性質．熟練運用定義及性質是解題的關鍵．27．（2024·山西晉城·一模）如圖，與是位似圖形，是位似中心，位似比為，若，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查位似變換．解題的關鍵是掌握位似圖形就是特殊的相似圖形，位似比等于相似比，利用相似三角形的性質即可求解．【詳解】解：∵與是位似圖形，位似比為，，∴，∴，∴，∴．故選：D．28．（2023·云南臨滄·模擬預測）如圖，與是位似圖形，點O是位似中心，若，的面積為3，則的面積為（

）A．1 B．6 C．9 D．27【答案】D【分析】本題考查的是位似變換，掌握位似圖形的概念，根據位似圖形的概念得到，證明，根據相似三角形的性質得到，根據相似三角形的面積比等于相似比的平方計算即可．【詳解】解：與是位似圖形，，，，，，的面積為3，的面積為27，故選：D．?題型02求兩個位似圖形的相似比29．（2024·重慶·二模）如圖，已知與是以點為位似中心的位似圖形，位似比為，下列說法錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查位似圖形的性質．根據“位似圖形的對應邊互相平行，位似圖形是相似圖形，相似圖形的面積比等于相似比的平方”逐項判斷可得答案．【詳解】解：A、與是位似圖形，則其對應邊互相平行，即，原說法正確，本選項不符合題意；B、與是以點為位似中心的位似圖形，位似比為，則，所以，原說法錯誤，本選項符合題意；C、與是位似圖形，則其對應邊互相平行，即，則，原說法正確，本選項不符合題意；D、與是相似圖形，相似比為，則其面積之比等于相似比的平方，即，原說法正確，本選項不符合題意．故選B．30．（2024·四川成都·模擬預測）如圖，和是以點為位似中心的位似圖形，若，的周長為，則的周長是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了位似變換，熟練掌握位似變換的性質是解題的關鍵；由和是以點為位似中心的位似圖形，得，則，然后根據位似圖形的周長之比等于相似比即可求解．【詳解】解：∵和是以點為位似中心的位似圖形，∴，∴，∴，∴的周長為的周長，∵的周長為，∴的周長為，故選：．31．（2024·重慶開州·模擬預測）如圖，已知與位似，位似中心為點O，若，則與的周長之比為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查的是位似圖形的概念，掌握位似圖形的對應邊平行、相似三角形的性質是解題的關鍵．根據位似圖形的概念得到，根據相似三角形的周長比等于相似比解答即可．【詳解】解：∵與位似，，，，與的周長之比為，故選：A．32．（2024·重慶·三模）如圖，與位似，點為位似中心，若，的周長為8，則的周長為（

）A．1.5 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】本題考查了位似變換，利用位似的性質得，，然后根據相似三角形的性質解決問題，如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心．位似圖形必須是相似形，對應點的連線都經過同一點；對應邊平行或共線．【詳解】解：與位似，點為位似中心．，，的周長的周長，的周長為8的周長為4．故選：D．?題型03畫已知圖形放大或縮小n倍后的位似圖形33．（2023·山東青島·模擬預測）如圖，在直角坐標系中，先以原點為位似中心，將在第一象限內放大2倍得到，再將繞著原點逆時針旋轉，得到的，若點是對應點，則的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查位似，旋轉變換等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，正確作出圖形是解決問題的關鍵．根據位似，旋轉變換的性質畫出圖象即可解決問題；【詳解】解：如圖，即為所求．觀察圖象可知：故選D．34．（2023·浙江溫州·三模）如圖，矩形與矩形位似，點O是位似中心，已知，，則的值為（

）

A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】先由可得，再由矩形與矩形位似可得，最后代入計算即可．【詳解】解：∵，∴，∵矩形與矩形位似，∴∵，∴．故選C．【點睛】本題主要考查了位似的性質，根據題意得到是解答本題的關鍵．35．（2023·山東濰坊·一模）如圖，將先向左平移4個單位，得到，再以原點O為位似中心，作的位似三角形，使它與的相似比為且在同一象限內，則點A的對應點的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別求得、、的坐標，畫出圖形，根據求線段中點的坐標公式，即可求得．【詳解】解：、、，將向左平移4個單位，得到，、、，如圖：以原點O為位似中心，作的位似三角形，使它與的相似比為且在同一象限內，的坐標為，即，故選：D．【點睛】本題考查了平移和位似作圖，熟練掌握和運用平移和位似作圖的方法是解決本題的關鍵．36．（2022·山東棗莊·一模）如圖，在網格圖中，以O為位似中心，把△ABC縮小到原來的，則點A的對應點為（

）A．D點 B．E點 C．D點或G點 D．D點或F點【答案】C【分析】結合題意，根據位似圖形的性質分析，即可得到答案．【詳解】如圖，連接AO并延長于點G根據題意，得：以O為位似中心，把△ABC縮小到原來的當△ABC縮小后，在位似中心同側時，點A的對應點為點D當△ABC縮小后，在位似中心異側時，點A的對應點為點G故選：C．【點睛】本題考查了位似的知識，解題的關鍵是熟練掌握位似圖形的性質，從而完成求解．?題型04求位似圖形的坐標37．（2025·廣西·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，與是位似圖形，位似中心為點．若點的對應點為，則點的對應點的坐標為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查的是位似變換，根據點A與點的坐標求出相似比，再根據位似變換的性質計算即可．【詳解】解：∵與是位似圖形，位似中心為點O，點的對應點為，∴與的相似比為，∵點B的坐標為，∴點B的對應點的坐標為，即，故選：B．38．（2024·湖南衡陽·二模）如圖，與是以原點為位似中心的位似圖形，且位似比為，點B的坐標為，則點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了位似的性質和位似變換，在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為，那么位似圖形對應點的坐標的比等于或者．根據位似變換的性質，即可解題．【詳解】解：與是以原點為位似中心的位似圖形，且位似比為，點B的坐標為，點在第四象限，點的坐標為即，故選：C．39．（2024·浙江嘉興·模擬預測）如圖，與是位似圖形，都與軸平行，點與位似中心點都在軸上，點在軸上．若點的坐標是，點的橫坐標為，則點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了相似圖形，位數圖形的判定和性質，掌握位似比等于相似比是解題的關鍵．如圖作軸，軸，根據點坐標可得，，根據相似三角形的判定可得，由此可得，由此即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點作軸于點，過點作軸于點，∵的橫坐標為，平行于軸，∴，∵與是位似圖形，∴，即相似比等于位似比，∴點是的中點，∵軸，軸，∴，且，∴，∴，且，，∴，∴，則，∴，故選：A．40．（2024·寧夏銀川·模擬預測）如圖，在直角坐標系中每個網格小正方形的邊長均為1個單位長度，以點為位似中心作正方形，正方形……按此規律作下去，所作正方形的頂點均在格點上，其中正方形的頂點坐標分別為，，，，則頂點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查的是位似變換、點的變化規律．根據當、、的坐標的變化情況，總結規律，根據規律解答即可．【詳解】解：，，，，，，，的坐標為，即，故選：A．?題型05求位似圖形的面積41．（2023·廣東佛山·三模）如圖，以點為位似中心，作四邊形的位似圖形，已知，若四邊形的面積是2，則四邊形的面積是（

）

A．3 B．6 C．9 D．18【答案】D【分析】直接利用位似圖形的性質得出面積比進而得出答案．【詳解】解：以點為位似中心，作四邊形的位似圖形，，，四邊形的面積是2，四邊形的面積是18，故選：D．【點睛】本題主要考查了位似變換，正確得出面積比是解決此題的關鍵．42．（2024·陜西渭南·二模）如圖，與是以坐標原點O為位似中心的位似圖形，若點A、的坐標分別為、，的面積是6，則的面積為（

）

A．18 B．12 C．24 D．9【答案】C【分析】本題考查了位似變換的性質，坐標與圖形的性質，由題意可知，與是位似比為的位似圖形，則根據面積比等于位似比的平方即可求解．【詳解】解：∵與是以坐標原點O為位似中心的位似圖形，點A、的坐標分別為、，∴且相似比為，∴的面積的面積，∵的面積是6，，∴的面積為24，故選：C43．（2023·河南洛陽·一模）如圖，點是的重心，和是以點為位似中心的位似圖形．則與的面積之比為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由是的重心得到，和是以點為位似中心的位似圖形，得到∽，，推出∽，得到，同理可得，由此可解．【詳解】解：點是的重心，，，和是以點為位似中心的位似圖形，∽，，∽，，同理可得，與的面積之比為，故選：C．【點睛】本題考查位似圖形，三角形的重心，相似三角形的性質，解題的關鍵是掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方．44．（2022·重慶·二模）如圖，將△ABC以點O為位似中心放大后得到△A1B1C1，若OB:OB1=1:2，且△ABC的面積為3，則△A1B1C1的面積為（

）A．6 B．9 C．12 D．18【答案】C【分析】根據位似圖形的概念得到△ABC∽△A1B1C1，AB∥A1B1，證明△OAB∽△OA1B1，根據相似三角形的性質解答即可．【詳解】解：∵△ABC與△A1B1C1位似，∴△ABC∽△A1B1C1，AB∥A1B1，∴△OAB∽△OA1B1，∴，∴，∵△ABC的面積為3，∴△A1B1C1的面積為3×4=12，故選：C．【點睛】本題考查的是位似變換的概念和性質，相似三角形的性質，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關鍵．?題型06在坐標系中求位似圖形的周長45．（2024·山西晉城·一模）在平面直角坐標系中，與關于原點位似，點及其對應點的坐標分別為，，則與的相似比為．【答案】/【分析】此題主要考查了位似變換，根據題意得出位似比是解題關鍵．利用位似圖形的性質，結合對應點的坐標得出位似比，即可得出答案．【詳解】解：∵與關于原點位似，點及其對應點的坐標分別為，，∴與的相似比為．故答案為：．46．（2024·吉林長春·一模）如圖，六邊形和六邊形是以點．O為位似中心的位似圖形，．若六邊形的周長為，則六邊形的周長為．【答案】21【分析】本題考查了位似圖形的性質，根據位似的六邊形周長的比等于邊長比進行求解即可．【詳解】解：由位似圖形的性質，可得，六邊形的周長：六邊形的周長，六邊形的周長為，則六邊形的周長為，故答案為：21．47．（2023·山西運城·一模）在平面直角坐標系中，與關于原點位似，點及其對應點的坐標分別為，，則與的相似比為．【答案】【分析】利用位似圖形的性質得出結合對應點的坐標得出位似比，即可得出答案【詳解】解：∵與關于原點位似，點A及其對應點的坐標分別為，，∴與的相似比為．故答案為：．【點睛】此題主要考查了位似變換，根據題意得出位似比是解題關鍵．48．（2022·貴州黔西·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，與位似，位似中心是坐標原點O．若點，點，則與周長的比值是．【答案】2【分析】根據位似的定義，即可得出位似比=OA：OC，而與周長的比值等于位似比，即可得出答案．【詳解】∵與位似，位似中心是坐標原點O，點，點∴OA=4，OC=2∴與的位似比為：4：2=2：1∴與周長的比值為：2：1故答案為：2．【點睛】本題考查了求位似圖形的周長之比，求出位似比是本題的關鍵．?題型07位似圖形的綜合問題49．（2024·寧夏石嘴山·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，把以格點為頂點的三角形稱為格點三角形每個小方格都是邊長為1的正方形），圖中是格點三角形，點A、B、C的坐標分別是．(1)畫出關于原點O成中心對稱的；(2)以為位似中心，在網格中畫出同側的位似圖形，使與的相似比為．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】根據中心對稱的性質找出對應點即可求解；根據位似圖形的性質找出對應點即可求解．本題考查了作圖?位似變換、旋轉變換，熟記位似變換、旋轉變換的性質是解題的關鍵．【詳解】（1）解：根據題意，得．故關于原點O成中心對稱的對稱點坐標分別為，畫圖如下：則即為所求．（2）解：根據題意，畫圖如下：．則即為所求．50．（2024·廣西欽州·三模）如圖，已知在平面直角坐標系中，點、、．請按如下要求畫圖：(1)將繞點逆時針旋轉得到，請畫出；(2)以點為位似中心，位似比為，將在位似中心的異側進行放大得到，請畫出；(3)內部一點的坐標為，寫出在中的對應點的坐標．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】本題考查了利用位似變換作圖，利用旋轉變換作圖，旋轉的性質；（1）根據網格結構找出點繞點逆時針旋轉的對應點的位置，然后順次連接即可；（2）根據位似的性質，找到，順次連接，即可求解；（3）根據旋轉的性質即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求（2）解：如圖所示，即為所求（3）解：如圖所示，過點分別作軸的垂線，垂足分別為，∴∵∴，∵，∴又∴∴當，時，在第四象限，在第一象限，∴當時，在第一象限，在第二象限，∴，綜上所述，51．（2024·江蘇鎮江·一模）已知，點在平面直角坐標系中，小明給了一些m的取值，列出了下表：m…0123……012……232…他在直角坐標系中描出這些點后，猜想點M在以點為頂點的拋物線上．(1)求該拋物線相應的函數表達式，并說明無論m取何實數值，點M都在此拋物線上；(2)設（1）中的拋物線與x軸的交點分別為點B、C（點B在點C的左側），點D在該拋物線的對稱軸上，是以點D為位似中心的位似圖形（點A、B、C的對應點分別是點P、Q、M）．若與的相似比是，求m的值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）設拋物線的解析式為，代入點，求出a的值，再令，整理可得，即可證明；（2）先求出點B和點C的坐標，可證明是等邊三角形，可知點D、P在拋物線的對稱軸上，根據位似圖形的定義可得，拋物線的對稱軸垂直平分，分情況討論即可求解．【詳解】（1）證明：∵點M在以點為頂點的拋物線上，∴設該拋物線的解析式為，將點代入可得∴，∴，當時，，∴無論m取何實數值，點M都在此拋物線上；（2）令，得，解得：，∴，，，拋物線的對稱軸垂直平分，∵，∴是等邊三角形，∵點D在拋物線的對稱軸上，是以點D為位似中心的位似圖形∴點P在拋物線的對稱軸上，∵與的相似比是，∴，，∴，拋物線的對稱軸垂直平分，∴點Q與點M關于對稱軸對稱，當點M在對稱軸左側時，，解得當點M在對稱軸右側時，，解得綜上，．【點睛】本題考查二次函數的性質、二次函數的解析式，位似圖形的性質和等邊三角形的判定與性質，利用數形結合的思想是解題的關鍵．52．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，拋物線與軸交于和，與軸的交于．(1)求拋物線的表達式：(2)以點為位似中心，在軸上方將放大為原來的2倍后得到，且和的位似比是，點，，的對應點分別為，，．若經過，，三點的拋物線記為．在拋物線上是否存在點和點，使得四邊形是平行四邊形？若存在，求出點和點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)存在，，【分析】（1）用待定系數法可得拋物線的表達式為；（2）求出，根據以點為位似中心，在軸上方將放大為原來的2倍后得到，且和的位似比是，可知，，，即可得拋物線記的解析式為，設，，由四邊形是平行四邊形，知的中點與的中點重合，列得方程組，據此計算即可得到答案．【詳解】（1）解：把和代入得：，解得，拋物線的表達式為；（2）解：在拋物線上存在點和點，使得四邊形是平行四邊形，理由如下：在中，令得，，以點為位似中心，在軸上方將放大為原來的2倍后得到，且和的位似比是，，，，設拋物線記的解析式為，把代入得：，，拋物線記的解析式為，設，，四邊形是平行四邊形，的中點與的中點重合，，解得：，∴，．【點睛】本題考查二次函數綜合應用，涉及待定系數法，平行四邊形性質，位似變換等知識，解題的關鍵是掌握待定系數法，用含字母的式子表示相關點坐標．基礎鞏固單選題1．（2025·上海寶山·一模）下列圖形，相似的一組是（

）A．兩個直角三角形B．兩個等腰三角形C．有一個內角為的兩個菱形D．邊長分別是2厘米和3厘米的兩個菱形【答案】C【分析】本題主要考查了相似圖形的判定，根據相似圖形的定義進行判斷即可．【詳解】解：A、兩個直角三角形不一定相似，不符合題意；B、兩個等腰三角形不一定相似，不符合題意；C、有一個內角為的兩個菱形對應邊成比例，相似，符合題意；D、邊長分別為2厘米和3厘米的兩個菱形對應角不一定相等，不符合題意．故選：C．2．（2025·上海閔行·一模）已知：如圖，中，點、、分別在邊、和上，下列條件能判定的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查平行線分線段成比例定理．利用平行線分線段成比例定理判斷即可．【詳解】解：A、，不能判斷，本選項不符合題意；B、，可以判斷，不能判斷，本選項不符合題意；C、，即，能判斷，本選項符合題意；D、，可以判斷，不能判斷，本選項不符合題意；故選：C．3．（2024·云南昆明·模擬預測）如圖與關于點A成位似圖形，若他們的位似比為，則與的面積比為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查的是位似圖形的概念和性質，掌握位似圖形的概念、相似多邊形的面積比等于相似比的平方是解題的關鍵．根據位似圖形的概念得到與相似，根據相似多邊形的性質計算，得到答案．【詳解】解：∵與關于點A成位似圖形，他們的位似比為，∴與相似，他們的相似比為，∴與的面積比為，故選：A．4．（2024·安徽安慶·二模）如圖，在平面直角坐標系中，的三個頂點坐標分別為，，．以點O為位似中心，在第四象限內作與的位似比為的位似圖形，則點C坐標為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了位似變換，根據關于原點位似的關系，將點橫縱坐標都乘以即可，熟練掌握位似變換的規律是解此題的關鍵．【詳解】解：∵以點O為位似中心，在第四象限內作與的位似比為的位似圖形，，∴點C坐標為，即，故選：C．5．（2024·重慶江津·模擬預測）如圖，與是以點O為位似中心的位似圖形，若與的面積比為，則為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是位似變換，熟記位似圖形的概念、相似三角形的性質是解題的關鍵．根據位似圖形的概念得到，，得到，得到，根據相似三角形的面積比等于相似比的平方計算，得到答案．【詳解】解：與是以點為位似中心的位似圖形，，，，，與的面積比，與的相似比，即，，故選：B．6．（2025·上海閔行·一模）形狀與大小都確定的一個銳角三角形，點是邊上一點，下列條件不能唯一確定與面積的比值的是（

）A．點是邊的黃金分割點 B．點是邊的中點C．是邊上的高 D．是的平分線【答案】A【分析】本題考查了黃金分割，三角形的面積，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．根據黃金分割，三角形的中線，三角形的面積，角平分線的性質，逐一判斷即可解答．【詳解】解：A、點D是邊的黃金分割點，而的黃金分割點有兩個，所以與面積的比值不唯一，故A符合題意；B、∵點D是邊的中點，∴，∴與面積的比值為1，故B不符合題意；C、∵是邊上的高，∴與面積的比值為，故C不符合題意；D、∵是的平分線，∴與面積的比值為，故D不符合題意；故選：A．二、填空題7．（2025·上海閔行·一模）如果，那么的值為．【答案】6【分析】本題考查了比例的性質．利用比例的性質，進行計算即可解答．【詳解】解：∵，∴設，，∴，故答案為：6．8．（2024·湖南·模擬預測）點將線段分為兩部分，使得其中較長線段是全長線段與較短線段的比例中項，即滿足，則把稱為線段的“黃金分割”點．已知是線段的黃金分割點，的長介于整數和之間，則的值是(

)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本題考查黃金分割點及黃金分割比，涉及無理數的估算，理解題意，根據黃金分割點及分割比的定義列式求出，再由無理數的估算即可得到答案，理解題意，準確列式求出是解決問題的關鍵．【詳解】解：是線段的黃金分割點，如圖所示：，，，，，則，故選：B．9．（2025·上海虹口·一模）如圖，直線，如果，，那么長．【答案】【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，根據平行線分線段成比例定理列出比例式計算即可，靈活運用平行線分線段成比例定理是解題的關鍵．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：．1-．（2025·上海松江·一模）已知線段，是線段的黃金分割點，且，那么．【答案】/【分析】本題考查了比例的性質，黃金分割點的計算，掌握線段成比例的計算方法，黃金分割點的計算是解題的關鍵．根據黃金分割點的計算可得，代入計算即可求解．【詳解】解：線段，是線段的黃金分割點，且，∴，∴，故答案為：．11．（2024·廣東深圳·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，的邊在軸上，點在第二象限內，，反比例函數的圖象經過，兩點．若的面積是6，則的值為．【答案】【分析】過點作于點，過點作于點，設點坐標為，點坐標為，根據比例關系求出點的坐標，最后根據的幾何意義和三角形的面積公式聯立即可求出結果．【詳解】解：如圖，過點作于點，過點作于點，設點坐標為，點坐標為，，，，又，，，，，，，，，，，，，，由題意得，，解得．【點睛】本題主要考查了反比例函數中比例系數的幾何意義、平行線分線段成比例、相似三角形的判定與性質、三角形的面積公式，解題的關鍵是表示出點的坐標．三、解答題12．（2025·上海徐匯·一模）已知：．(1)求代數式的值：(2)當時，求的值．【答案】(1)(2)，，【分析】本題考查了比例的性質：熟練掌握比例的性質（內項之積等于外項之積；合比性質；分比性質；合分比性質；等比性質）是解決問題的關鍵．（1）設，利用比例性質得到，，，然后把它們分別代入所求的代數式值，然后進行分式的化簡計算；（2）把，，代入中得到關于的方程，然后求出，從而得到、、的值．【詳解】（1）解：設，則，，，所以原式；（2）解：把，，代入得，解得，所以，，．13．（2024·浙江溫州·一模）如圖，在四邊形中，．點E在線段上，交于點F，交于點G，交于點H，連結．(1)試判斷與的位置關系，并說明理由．(2)求的值．(3)若E為的中點，，求的長．【答案】(1)，見解析(2)(3)6【分析】本題考查了平行線分線段成比例，相似三角形的判定與性質，平行線的判定與性質等知識．熟練掌握平行線分線段成比例，相似三角形的判定與性質，平行線的判定與性質是解題的關鍵．（1）由，可得，由，可得，則，證明，則，進而可證；（2）證明，則，證明，則，可得，可求，證明，，則，計算求解即可；（3）由（1）知，，由E為的中點，可得，由（1）可知，則，即，計算求解即可．【詳解】（1）解：，理由如下；∵，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，∴，∵，同理，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：由（1）知，，∵E為的中點，∴，由（1）可知，∴，即，解得，，∴的長為6．能力提升一、單選題1．（2024·重慶渝北·二模）如圖，與位似，點O是位似中心，，若的面積為8，則的面積為（

）

A．2 B．4 C．6 D．8【答案】A【分析】本題主要考查位似的性質，熟練掌握位似的性質即可得到答案．根據面積比等于位似比的平方計算即可．【詳解】解：與位似，點O是位似中心，，，，的面積為8，故的面積為．故選A．2．（2024·山東棗莊·一模）如圖，在中，、兩個頂點在軸的上方，點的坐標是，以點為位似中心，在軸的下方作的位似圖形，使它與的相似比為，設點的橫坐標是，則點的對應點的橫坐標是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查的是位似變換、坐標與圖形的性質，根據位似比的定義，利用兩點間的水平距離等于對應邊的比列出方程是解題的關鍵．設點的橫坐標為，根據數軸表示出、的水平的距離，再根據位似比列式計算即可．【詳解】解：設點的橫坐標為，則、間的水平距離為、間的水平距離為，∵放大到原來的2倍得到，，解得：，故選：A．3．（2024·重慶·一模）如圖，和是以點為位似中心的位似圖形，，的周長為8，則的周長為（

）A．16 B．20 C．24 D．28【答案】B【分析】本題考查的是位似圖形的概念、相似三角形的性質，根據位似圖形的概念得到，得到，根據相似三角形的性質求出，再根據相似三角形的周長比等于相似比計算即可．【詳解】解：∵和是以點O為位似中心的位似圖形，∴，∴，∴，∴的周長：的周長，∵的周長為8，∴的周長為20，故選：B．4．（2024·河南周口·一模）如圖，在平面直角坐標系中，正方形與正方形是以原點為位似中心的位似圖形，且相似比為，點A、B、E在軸上，若正方形的邊長為3，則點坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了位似變換及相似三角形的判定與性質，正確求出的長是解題的關鍵；根據位似變換的性質得到的長，進而得出，進而得出，即可求出點點坐標．【詳解】正方形與正方形是以原點為位似中心的位似圖形，且相似比為，正方形的邊長為3，，，，，，四邊形是正方形，，，，點坐標為，故選：B．二、填空題5．（2024·廣東·模擬預測）《墨子·天志》記載：“輪匠執其規、矩，以度天下之方圓．”知圓度方，感悟數學之美．如圖，以正方形的對角線交點為位似中心，作它的位似圖形，若四邊形的外接圓半徑為4，，則正方形的周長為．

【答案】【分析】此題考查了位似圖形的性質，正多邊形和圓的性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是掌握以上知識點．設位似中心為O，連接，，首先得到，然后利用勾股定理求出，然后根據位似圖形的性質得到，進而求解即可．【詳解】解：如圖所示，設位似中心為O，連接，

∵正方形的外接圓半徑為4，∴，∴∵，∴∴．∴正方形的周長為．故答案為：．6．（2024·廣東·二模）如圖，美術素描課堂上有很多關于黃金分割比的元素，比如臉部素描就需要考慮黃金分割比的問題，按照如下要求作出的人臉圖像比較美觀：（1）眉頭、眼頭、鼻翼在一條豎直直線上；（2）眉頭和眉峰的水平距離（圖中直線①和直線②的距離）和眼長大致相等（設此長度為a），眉頭和眉尾的水平距離（圖中直線①和直線③的距離）設為b，a與b的比例為黃金分割比；（3）眉尾、眼梢、鼻翼在同一直線上．某同學按照以上要求進行素描，已知他的素描作品中眼梢到眉尾的距離為，則眼梢到鼻翼的距離為．（，結果保留兩位小數）【答案】3.24【分析】本題考查的是黃金分割的含義，平行線分線段成比例的含義，先畫出圖形，可得