第四章三角形第14講線段、角、相交線與平行線（3~8分）TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標導航02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一認識幾何圖形考點二直線、射線、線段的相關概念考點三角的相關概念考點四相交線考點五平行線04題型精研·考向洞悉命題點一幾何圖形的初步?題型01立體圖形?題型02幾何體的展開圖?題型03點線面體?題型04平面圖形的認識命題點二直線、射線、線段的相關概念?題型01線段的和差問題?題型02畫直線、射線、線段?題型03線段的性質命題點三角?題型01方向角和鐘面角問題?題型02角的運算問題?題型03與余角、補角有關的計算?題型04角平分線的相關計算?題型05角的綜合問題命題點四相交線?題型01點到直線的距離（垂線段）?題型02利用對頂角、鄰補角的性質求解?題型03判斷同位角、內錯角、同旁內角命題點五平行線?題型01平行公理的應用?題型02利用平行線的判定進行證明?題型03求平行線之間的距離?題型04平行線性質的應用?題型05根據平行線性質與判定證明05分層訓練·鞏固提升基礎鞏固能力提升考點要求新課標要求考查頻次命題預測認識幾何圖形通過實物和模型，了解從物體抽象出來的幾何體、平面、直線和點等概念.10年6考該專題內容是初中幾何的基礎，在中考數學中屬于基礎考點，年年都會考查，分值為8分左右，預計2025年廣東還將出現.在選擇、填空題中考察可能性較大，主要考察平行線的性質和判定、方位角、角度的大小等知識，這些知識點考查較容易，另外平行線的性質可能在綜合題中出現，考查學生綜合能力，比如：作平行的輔助線，構造特殊四邊形，此類題目有一定難度，需要學生靈活掌握．對本專題的復習也直接影響后續對其他幾何圖形的學習，需要考生細心對待.直線、射線、線段的相關概念會比較線段的長短，理解線段的和、差，以及線段中點的意義.掌握基本事實:兩點確定一條直線和兩點之間線段最短.理解兩點間距離的意義，能度量和表達兩點間的距離.近10年連續考查角的相關概念理解角的概念，能比較角的大小，認識度、分、秒等角的度量單位，能進行簡單的單位換算，會計算角的和、差.理解對頂角、余角、補角等概念，探索并掌握對頂角相等、同角(或等角)的余角、同(或)的補的性質.10年8考相交線理解垂線、垂線段等概念，能用三角板或量角器過一點畫已知直線的垂線.掌握基本事實:同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.理解點到直線的距離的意義，能度量點到直線的距離.識別同位角、內錯角、同旁內角.10年考平行線理解平行線的概念.掌握平行線的性質與判定定理.了解平行于同一條直線的兩條直線平行.10年10考考點一認識幾何圖形幾何圖形的概念:我們把實物中抽象出來的各種圖形叫做幾何圖形,幾何圖形分為平面圖形和立體圖形.立體圖形的概念：有些幾何圖形的各個部分不都在同一平面內，這個圖形叫做立體圖形.平面圖形的概念：有些幾何圖形的各個部分在同一平面內的圖形，這個圖形叫做平面圖形.正方體展開圖（共計11種）：口訣：1）“一四一”、“一三二”，“一”在同層可任意,2）“三個二”成階梯,3）“二個三”“日”相連,異層必有“日”，“凹”“田”不能有，掌握此規律，運用定自如.幾何圖形的組成：1）點：線和線相交的地方是點，它是幾何圖形最基本的圖形.2）線：面和面相交的地方是線，分為直線和曲線.3）面：包圍著體的是面，分為平面和曲面.4）體：幾何體也簡稱體.組成幾何圖形元素的關系：點動成線，線動成面，面動成體.考點二直線、射線、線段的相關概念一、直線、射線、線段的相關概念一、直線、射線、線段的相關概念直線射線線段概念直線是幾何圖形基礎，是一個不做定義的原始概念.直線上一點和它一旁的部分叫做射線.直線上兩點和它們之間的部分叫做線段.圖形表示方法直線AB或直線BA直線m射線OA射線n線段AB線段l端點個數無1個2個延伸、度量情況可向兩方無限延伸不可度量只能以一方無限延伸不可度量不能延伸，可以度量不同點線段向一方延伸就成為射線，向兩方延伸就成為直線相同點都是直的線直線的性質：1）直線公理:經過兩點有且只有一條直線，簡稱：兩點確定一條直線；2）經過一點的直線有無數條，過兩點的直線只有一條，過三點就不一定了.兩點間的距離：連接兩點間的線段的長度叫兩點間的距離.線段的性質：兩點的所有連線中，線段最短.簡稱：兩點之間，線段最短.線段的長度比較方法：1)度量法:分別用刻度尺測量線段AB、線段CD的長度，再進行比較2)疊加法:讓線段某一段端點重合，比較另一邊兩端點的位置.線段中點的概念：把一條線段分成兩條相等的線段的點叫線段中點.考點三角的相關概念角的定義（靜態）：由公共端點的兩條射線所組成的圖形叫做角.角的定義（動態）：由一條射線繞著它的端點旋轉一定角度而形成的圖形.角的分類：∠β銳角直角鈍角平角周角范圍0＜∠β＜90°∠β=90°90°＜∠β＜180°∠β=180°∠β=360°角的表示方法：角的表示圖例適用范圍注意事項用三個大寫字母表示記作：∠ABC或∠CBA任何情況都適用表示頂點的字母一定要寫在中間，邊上的字母寫在兩側.用一個大寫字母表示記作：∠O1）以這個字母為頂點的角只有一個；2）當在一個頂點處有兩個或兩個以上的角時,其中的任意一個角都不能用一個大寫英文字母表示.用一個數字表示任何情況都適用在靠近頂點處畫上弧線，表示出角的范圍，并注上數字或小寫的希臘字母用一個希臘字母表示角度制：以度、分、秒為單位的角的度量制.度、分、秒的運算方法：1°=60′；1′=60″；1°=3600″；1″=（）′；1″=（）°1周角=2平角=4直角=360°.角的大小的比較：1）疊合法：使兩個角的頂點及一邊重合，比較另一邊的位置；2）度量法：分別用量角器測量兩個角的大小，再進行比較.角的平分線的概念：從一個角的頂點出發，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線.【性質】①若OC是∠AOB的平分線，則∠AOC=∠BOC=∠AOB，∠AOB=2∠AOC=2∠BOC．②角平分線上的點到角兩邊的距離相等．余角的概念：如果兩個角的和等于直角，就說這兩個角互為余角，即其中一個是另一個的余角.補角的概念：如果兩個角的和等于平角，就說這兩個角互為補角，即其中一個是另一個的補角.【性質】同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的補角相等.考點四相交線一、相交線直線的位置關系：在同一平面內不重合的兩條直線之間的位置關系只有兩種：相交或平行.垂線的概念：當兩條相交直線所成的四個角中，有一個角是直角，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，交點叫做垂足.垂線的性質：1）在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.2）兩條直線互相垂直，則它們之間所形成的四個角為直角.3）在同一平面內，如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，那么這條直線垂直于另一條.垂線段最短定理：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短，簡稱垂線段最短.點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離.二、相交線中的角第一種對頂角與鄰補角第一種對頂角與鄰補角種類圖形頂點邊的關系大小關系對頂角（∠1與∠2）有公共頂點∠1的兩邊與∠2的兩邊互為反向延長線∠1=∠2鄰補角（∠3與∠4）有公共頂點∠3與∠4有一條公共邊，另一邊互為反向延長線.∠3+∠4=180°第二種同位角、內錯角與同旁內角同位角：兩條直線被第三條直線所截，在截線的同旁，在被截兩條直線同側，具有這樣位置關系的一對角叫做內錯角.（同旁同側）如：∠1和∠5.內錯角：兩條直線被第三條直線所截，兩個角分別在截線的兩側，且夾在兩條被截直線之間，具有這樣位置關系的一對角叫做內錯角.（內部異側）如：∠3和∠5.同旁內角：兩條直線被第三條直線所截，在截線的同旁，在被截兩條直線內部，具有這樣位置關系的一對叫同旁內角.（同旁內側）如：∠3和∠6.【速記同位角、內錯角與同旁內角】三線八角的概念：指的是兩條直線被第三條直線所截而形成的八個角，其中同位角4對，內錯角有2對，同旁內角有2對.正確認識這八個角要抓住:同位角位置相同即“同旁和同側”;內錯角要抓住“內部和異側”;同旁內角要抓住“同旁和內部”.考點五平行線平行線的定義：在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線，平行用符號“∥”表示.平行公理（唯一性）：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.平行公理的推論（傳遞性）：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.平行線的性質：性質1：兩直線平行，同位角相等；性質2：兩直線平行，內錯角相等；性質3：兩直線平行，同旁內角互補..平行線的判定判定方法1：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.簡稱：同位角相等，兩直線平行.判定方法2：兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行.簡稱：內錯角相等，兩直線平行.判定方法3：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行.簡稱：同旁內角互補，兩直線平行.判定方法4：垂直于同一直線的兩直線互相平行．判斷同一平面內兩直線的位置關系時，可以根據它們的公共點的個數來確定：①有且只有一個公共點，兩直線相交；②無公共點，則兩直線平行；③兩個或兩個以上公共點，則兩直線重合.平行線之間的距離概念：兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的距離叫做這兩條平行線之間的距離.性質：1）夾在兩條平行線間的平行線段處處相等；2）平行線間的距離處處相等.命題點一幾何圖形的初步?題型01立體圖形1．（2024·廣東廣州·模擬預測）下列幾何體中，圓錐是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了認識立體圖形，根據每一個幾何體的特征即可判斷．【詳解】A、是圓錐，符合題意；B、是四棱柱，不符合題意；C、是圓柱，不符合題意；D、是三棱柱，不符合題意；故選：A．2．（2023·廣東湛江·二模）下列幾何體中，從正面看和從左面看形狀均為三角形的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了幾何體的三種視圖，掌握定義是關鍵；注意所有的看到的棱都應表現在三視圖中；分別找出各圖形的左視圖和主視圖，然后進行判斷．【詳解】解：A．主視圖為矩形，左視圖為矩形，故本選項不合題意；B．主視圖為矩形，左視圖為矩形，故本選項不合題意；C．主視圖和左視圖均為三角形，故本選項符合題意；D．主視圖為一行兩個相鄰的矩形，左視圖為矩形，故本選項不合題意．故選：C．3．（2022·北京平谷·一模）如圖是某幾何體的展開圖，則該幾何體是（

）A．長方體 B．圓錐 C．三棱錐 D．三棱柱【答案】D【分析】根據幾何體的展開圖可知，該幾何體是一個三棱柱．【詳解】解：根據幾何體的展開圖可知，該幾何體是一個三棱柱，故選：D．【點睛】本題考查空間想象能力，熟記常見幾何體的展開圖是解決問題的關鍵．4．（2022·河北邯鄲·三模）如圖是一個長方體切去部分得到的工件，箭頭所示方向為主視方向，那么這個工件的主視圖是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】找到從正面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應表現在主視圖中．【詳解】解：從正面看主視圖為長方形，且長方形內有一條斜線．故選：B．【點睛】此題考查了三視圖的知識，解題的關鍵是知道主視圖是從物體的正面看得到的視圖．?題型02幾何體的展開圖5．（2024·廣東·模擬預測）如圖所示，正方形盒子的外表面畫有3條粗黑線，將這個正方形盒子表面展開（外表面朝上），其展開圖可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了正方體表面展開圖，觀察原正方體的3條粗黑線的特征，有兩條交于一個頂角，第三條與前面兩條粗黑線沒相交，據此逐個選項分析，即可作答．【詳解】解：觀察，∴其展開圖可能是，故選：D．6．（2024·廣東深圳·三模）某正方體的平面展開圖如圖所示，則原正方體中與“數”字所在的面相對的面上的字是（）A．一 B．定 C．滿 D．意【答案】D【分析】本題考查了正方體相對兩個面上的文字，熟練掌握根據正方體的表面展開圖找相對面的方法是解題的關鍵．根據正方體的表面展開圖找相對面的方法：“”字兩端是對面，即可解答．【詳解】解：原正方體中與“數”字所在的面相對的面上的字是意，故選：D．7．（2024·廣東廣州·二模）如圖是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的展開圖可以是（

）A．B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了由三視圖判斷幾何體及幾何體的展開圖的知識，首先根據三視圖確定該幾何體的形狀，然后確定其展開圖即可．【詳解】解：主視圖和左視圖均為等腰三角形，底面為圓，所以該幾何體為圓錐，∵圓錐的側面展開圖是扇形，底面是圓，∴B選項符合，故選B．8．（2024·廣東廣州·二模）下列幾何體中，其側面展開圖是扇形的是（

）A．B．C． D．【答案】B【分析】本題考查幾何體的展開圖，根據圓錐的側面展開圖是扇形，即可得出結果．【詳解】解：在圓柱體，圓錐，三棱錐，長方體中，只有圓錐的側面展開圖是扇形；故選：B．?題型03點線面體9．（2024·陜西西安·模擬預測）如圖是一種折疊燈籠，壓扁的時候，它看起來是平面的，提起來卻變成了美麗的圓柱形燈籠．這個過程中蘊含的數學原理是（

）A．點動成線 B．線動成面 C．面動成體 D．垂線段最短【答案】C【分析】本題考查了點、線、面、體的相關知識．根據點、線、面、體相關的知識進行解答即可．【詳解】解：由平面圖形變成立體圖形的過程是面動成體，故選：C．10．（2024·陜西咸陽·模擬預測）將如圖所示的平面圖形繞直線l旋轉一周，可得到的立體圖形是（）A． B．\ C． D．【答案】B【分析】本題考查了點、線、面、體的問題，根據將一個直角三角形繞著一條直角邊所在的直線旋轉一周所形成的幾何體是圓錐即可得解．【詳解】解：將一個直角三角形繞著一條直角邊所在的直線旋轉一周，所形成的幾何體是圓錐，故選：B．11．（2024·陜西·中考真題）如圖，將半圓繞直徑所在的虛線旋轉一周，得到的立體圖形是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了點、線、面、體問題．根據旋轉體的特征判斷即可．【詳解】解：將一個半圓繞它的直徑所在的直線旋轉一周得到的幾何體是球，故選：C．12．（2024·陜西渭南·二模）下列圖形分別繞虛線旋轉一周，得到的立體圖形是圓錐的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了點、線、面、體，理解“點動成線”“線動成面”“面動成體”是解題的關鍵，根據選項逐項分析判斷即可求解．【詳解】解：A.繞直線l旋轉后得到的圖形為一個球體；B.選項中的圖形旋轉后為圓柱；C.可得其旋轉后的幾何體為圓錐；D.可知其繞直線l旋轉后得到的圖形為一個圓臺；故選C．?題型04平面圖形的認識13．（2024·上海·三模）七巧板由五個等腰直角三角形與兩個平行四邊形（其中一個平行四邊形是正方形）組成．用七巧板可以拼出豐富多彩的圖形，圖中的正方形就是由七巧板拼成的．下面四個選項中，不正確的是（

）

A．用一副七巧板之中的三塊板可以拼出一個正方形B．用一副七巧板之中的四塊板可以拼出一個正方形C．用一副七巧板之中的五塊板可以拼出一個正方形D．用一副七巧板之中的六塊板可以拼出一個正方形【答案】D【分析】本題主要考查了七巧板拼圖，正確理解題意畫出示意圖是解題的關鍵．【詳解】解：如圖所示，用一副七巧板之中的三塊或四塊或五塊都可以拼成正方形，但是六塊不可以拼成正方形

故選：D．14．（2023·河南商丘·二模）七巧板是一種古老的中國傳統智力玩具，李約瑟稱它是“東方最古老的消遣品之一”．圖1是邊長為4的大正方形，圖2是王林同學將其分割制作的七巧板擺拼而成的“奔跑者”圖，則圖2中陰影部分的面積為（

）

A．4 B． C．6 D．【答案】C【分析】本題考查了正方形的性質，等腰直角三角形的性質，勾股定理．對圖1中的部分圖形進行編號．由題意大正方形的邊長為4，進而得出對角線的長，得出，進而得出，根據即可求解．【詳解】對圖1中的部分圖形進行編號，如解圖所示．由題意，大正方形的邊長為4，則其對角線長為，∴小正方形①的邊長為．又∵．又大正方形的面積為，∴題圖2中陰影部分的面積為，故選C．

15．（2023·河北衡水·模擬預測）將一個正方形紙片對折后對折再對折，得到如圖所示的圖形，然后將陰影部分剪掉，把剩余部分展開后的平面圖形是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】嚴格按照圖中的方法親自動手操作一下，即可很直觀地呈現出來．【詳解】解：將陰影部分剪掉，把剩余部分展開后的平面圖形是：故選：A．【點睛】本題主要考查學生的動手能力及空間想象能力．對于此類問題，學生只要親自動手操作，答案就會很直觀地呈現，同時要注意菱形的判斷方法．16．（2023·湖北武漢·模擬預測）七巧板是中國古代勞動人民發明的一種傳統智力玩具，如圖1，它有五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形，共七塊板，可組成一個面積是1的大正方形．圖2是一個用七巧板拼成的裝飾圖，將其放入矩形ABCD內，則矩形內空白處的面積是（

）

A． B． C． D．1【答案】A【分析】設①的直角邊為，則各邊長度如圖所示，表示矩形的兩邊分別為：，，再利用割補法求解空白部分的面積即可．【詳解】解：設①的直角邊為，則各邊長度如圖所示，

由題意可得：，∴，而矩形的兩邊分別為：，，∴矩形內空白處的面積是，故選A【點睛】本題考查的是勾股定理的應用，正方形，矩形的性質，等腰直角三角形的性質，利用割補法求解圖形的面積，理解題意，選擇合適的解題方法是關鍵．命題點二直線、射線、線段的相關概念?題型01線段的和差問題17．（2023·河北滄州·模擬預測）有兩道作圖題：①“延長線段到，使”；②“反向延長線段，使點是線段的一個三等分點”．小明正確的作出了圖形．他的兩個同學嘉嘉、淇淇展開了討論：嘉嘉說：“點是線段中點”；淇淇說：“如果線段，那么線段”，下列說法正確的是(

)A．嘉嘉對，淇淇不對 B．嘉嘉不對，淇淇對C．嘉嘉、淇淇都不對 D．嘉嘉、淇淇都對【答案】A【分析】根據作圖的方法以及線段的中點，三等分點的定義，即可求解．【詳解】解：①“延長線段到，使”，則點是線段中點，故嘉嘉說法正確；②“反向延長線段，使點是線段的一個三等分點”，如圖，如果線段，那么線段或，故淇淇說法錯誤．故選：A．

【點睛】本題考查了線段的中點，線段的三等分點，畫線段，分類討論是解題的關鍵18．（2022·山東威海·一模）在數軸上，點A，B表示的數分別是和2，則線段AB的中點表示的數是(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】令AB的中點為M，根據兩點之間的距離求得AB，根據中點的性質求得BM，進而即可求解．【詳解】解：令AB的中點為M，，∴，∴AB的中點表示的數是，故選：A．【點睛】本題考查兩點之間的距離、數軸、有理數的減法、線段的中點，解題的關鍵是根據兩點之間的距離求得AB．19．（2023·浙江杭州·二模）已知點A，B，C是直線l上互不重合的三個點，設，，，其中n，a是常數，（

）A．若，則點A在點B，C之間 B．若，則點A在點B，C之間C．若，則點C在點A，B之間 D．若，則點C在點A，B之間【答案】D【分析】根據點A，B，C是直線l上互不重合的三個點，設當點A在點B，C之間時，恒成立；設點C在點A，B之間時，恒成立；分別代入求解即可．【詳解】解：當點A在點B，C之間時，恒成立，即方程至少有一解化簡得若，則，不符合條件，故A選項錯誤；若，則，不符合條件，故B選項錯誤；當點C在點A，B之間時，恒成立，即方程至少有一解化簡得若，則，不符合條件，故C選項錯誤；若，則，符合條件，故D選項正確；故選：D．【點睛】本題考查了線段的和與差，一元二次方程根的判定，根據題意，列方程，結合選項進行驗證是解題的關鍵．20．（2023·浙江·模擬預測）如圖，A，B兩地相距1200m，小車從A地出發，以8m/s的速度向B地行駛，中途在C地停靠3分鐘．大貨車從B地出發，以5m/s的速度向A地行駛，途經D地（在A地與C地之間）時沿原路返回B點取貨兩次，且往返兩次速度都保持不變（取貨時間不計），取完兩批貨后再出發至A點．已知：，則直至兩車都各自到達終點時，兩車相遇的次數為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】由題意可求出，，，．再根據題意結合速度=路程÷時間討論即可．【詳解】解：由題意可知．∵，∴，，∴，．當大貨車第一次到達D地時，用時，∴此時小車行駛路程為．∵，∴此過程兩車不相遇；當大貨車第一次由D地返回B地，且到達C地的過程中，∵，∴大貨車到達C地用時．假設此過程中兩車相遇，且又經過t秒相遇，則，解得：，即說明大貨車到達C地之前沒相遇；當大貨車繼續由C地返回B地時，∵，∴大貨車到達B地用時．此時大貨車共行駛．∵小車到達C地用時，∴當大貨車到達B地時，小車已經到達C地停靠．∵小車中途在C地停靠3分鐘，即，∴當大貨車到達B地時，小車在C地還需停靠．當大貨車又從B地出發前往D地時，用時，∴當大貨車到達D地時小車還在停靠，即此時第一次相遇，∴此時小車剩余停靠時間，∴當小車出發時，大貨車第二次從D地前往B地行駛了．假設大貨車到達B地前小車能追上大貨車，且用時為，則，解得：，即說明大貨車到達B地前小車沒追上大貨車，∴此過程兩車沒相遇．當大貨車最后由B地前往A地時，小車正在向B地行駛，∴兩車此過程必相遇．綜上可知，兩車相遇的次數為2次．故選A．【點睛】本題考查線段的n等分點，線段的和與差，一元一次方程的實際應用．讀懂題意，列出算式或方程是解題關鍵．?題型02畫直線、射線、線段21．（2023·河北廊坊·三模）如圖，已知兩點，畫射線，按照上述語句，下列畫法正確的是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根據射線的概念即可得到答案．【詳解】解：已知兩點，畫射線，如圖所示：

，故選：A．【點睛】本題主要考查了射線的定義，熟練掌握射線的定義：由線段的一端無限延伸所形成的直線，是解題的關鍵．22．（2023·河北·二模）如圖，已知，借助量角器判斷，射線可能經過的點是（

）

A．點 B．點 C．點 D．點【答案】B【分析】借助量角器作出射線即可判定．【詳解】如圖，利用量角器作出，則射線經過點Q．

故選：B【點睛】本題主要考查量角器的使用，正確使用量角器是解題的關鍵．23．（2023·河北邢臺·二模）如圖，以為端點，畫一條射線，若射線與直線相交，則這條射線還可能經過的點是（

）

A．點 B．點 C．點 D．點【答案】D【分析】在圖中作出射線，即可判斷．【詳解】解：如圖所示，只有射線經過點N時，射線與直線相交，

故選：D．【點睛】題目主要考查射線與直線的交點，理解題意是解題關鍵．24．（2023·河北衡水·二模）如圖，若線段與線段有一個公共點，則點C可以是（

）A．點D B．點E C．點Q D．點M【答案】A【分析】把P與各點的連線段畫出來即可得到答案.【詳解】解：如圖，若線段與線段有一個公共點，則點C可以是D，故選A【點睛】本題考查的是線段的概念，熟記線段的特征是解本題的關鍵.?題型03線段的性質25．（2024·湖南·模擬預測）媛媛一家準備周末從A地前往B地游玩，導航提供了三條可選路線（如圖），其長度分別為，，，而兩地的直線距離為，解釋這一現象的數學知識最合理的是（

）A．兩點確定一條直線 B．垂線段最短 C．兩點之間線段最短 D．公垂線段最短【答案】C【分析】本題考查了線段的性質，由兩點之間，線段最短即可得出答案，熟練掌握線段的性質是解此題的關鍵．【詳解】解：由題意得：解釋這一現象的數學知識最合理的是兩點之間線段最短，故選：C．26．（2022·山東濟南·模擬預測）如圖，直線y＝x＋8分別與x軸、y軸交于點A和點B，點C，D分別為線段AB，OB的中點，點P為OA上一動點，當PC＋PD值最小時，點P的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由軸對稱性質可知：作D點關于x軸的對稱點，連接，交x軸于P，此時值最小，再求出直線的解析式，即可求得P點坐標．【詳解】解：如圖所示：作D點關于x軸的對稱點，連接，交x軸于P，此時值最小，且最小值為，∵直線y＝x＋8分別與x軸、y軸交于點A和點B，∴令x=0，則y=8，則，令y=0，則x=-8，則，∵點C，D分別為線段AB，OB的中點，，，D點關于x軸的對稱點為，，設直線解析式為，將，代入得：，解得：，∴直線解析式為，∵P為直線與x軸交點，∴令y=0，則x=-2，．故選C．【點睛】本題考查了待定系數法求一次函數解析式，一次函數與坐標軸交點，中點坐標，軸對稱中的最短路徑問題，熟練掌握軸對稱中的最短路徑問題和求一次函數解析式是解題的關鍵．27．（2022·山東濟南·一模）在邊長為2的正方形ABCD中，E、F分別為DC、BC上的點，且DE=CF，連接DF，BE，求DF+BE的最小值為（

）A． B． C．4 D．【答案】B【分析】延長AB至G，使BG=AB=2，連接DG交BC于F'，連接GF，由四邊形ABCD是正方形，得CD=BC=AB=BG，∠C=∠ABC=90°=∠GBF，根據DE=CF，可得△BCE≌△GBF（SAS），即知BE=GF，故BE+DF=GF+DF，當F運動到F'，即D、F、G共線時，GF+DF最小，即BE+DF最小，最小值為DG的長，勾股定理求出DG，即可得BE+DF最小值．【詳解】解：延長AB至G，使BG=AB=2，連接DG交BC于F'，連接GF，如圖：∵四邊形ABCD是正方形，∴CD=BC=AB=BG，∠C=∠ABC=90°=∠GBF，∵DE=CF，∴CD-DE=BC-CF，即CE=BF，∴△BCE≌△GBF（SAS），∴BE=GF，∴BE+DF=GF+DF，∵DG≤DF+GF，∴DG≤BE+DF，即當F運動到F'，即D、F、G共線時，GF+DF最小，即BE+DF最小，最小值為DG的長，在Rt△ADG中，DG===2，∴BE+DF最小值是2．故選：B．【點睛】本題考查正方形中的動點問題，解題的關鍵是作輔助線，構造全等三角形，把DF+BE轉化為GF+DF．28．（2022·安徽合肥·一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，，，E是AB的中點，P是邊AD上的一動點，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由得∠ADB＝90°，由勾股定理求出BD＝2，得到∠BAD＝∠ABD＝45°，延長BD至點，使得D＝BD＝2，連接E，則點P在E與AD的交點時，PE＋PB的值最小，給出證明，再過點E作EF⊥B于點F，由勾股定理求出EF的長，再求得F＝BD＋D－BE＝3，最后利用勾股定理得出答案．【詳解】解：∵∴∠ADB＝90°∵，∴AB＝2由勾股定理得BD＝∴AD＝BD＝2∴∠BAD＝∠ABD＝45°∵E是AB的中點，∴BE＝AE＝AB＝延長BD至點，使得D＝BD＝2，連接E，則點P在E與AD的交點時，PE＋PB的值最小，如下圖，理由如下：∵’，D＝BD＝2，∴AD垂直平分B∴AD上任意一點P,總有PB＝P，由“兩點之間，線段最短”可知，點P在E與AD的交點處時，PE＋PB的值最小，最小值為E的長，此時過點E作EF⊥B于點F，如上圖，則∠EFB＝∠EF＝90°，∵∠ABD＝45°∴EF＝BF∴EF2＋BF2＝BE2＝2EF2∴EF＝BF＝＝1∴F＝BD＋D－BE＝3在Rt△EF中，由勾股定理得E＝＝＝即的最小值為故選：C【點睛】本題考查了最短路徑問題、勾股定理、等腰直角三角形等知識點，掌握最短路徑的確定方法、靈活應用勾股定理是解題的關鍵．命題點三角?題型01方向角和鐘面角問題29．（2022·廣東珠海·一模）如圖，圓形掛鐘分針針尖到圓心的距離10cm，經20分鐘，分針針尖轉過的弧長是（

）A．πcm B．πcm C．πcm D．πcm【答案】B【分析】根據弧長公式可求得．弧長公式為l=．【詳解】解：l===π（cm）．故選：B．【點睛】主要考查了圓周的弧長公式和鐘表上分針所走過的角度與時間之間的關系．弧長公式為l=，需要注意的是求弧長需要知道圓心角的度數和半徑；分針1分鐘走過的角度為6°．30．（2023·廣東肇慶·一模）如圖，小明騎自行車自A處沿正北方向前進，到達B處后，右拐繼續行駛，若行駛到C處后，小明想按正東方向行駛，則他在C處應該（

）A．左拐 B．右拐 C．右拐 D．左拐【答案】C【分析】過點B作于點B，過點C作，如圖，先求得，再根據平行線的性質得到．于是可判斷他想仍按正東方向行駛，那么他向右拐．【詳解】過點B作于點B，過點C作，并標記角，如圖所示．∵，∴．∵，∴．∴若小明想按正東方向行駛，則他在C處應該右拐70°，故選C．【點睛】本題考查了方位角、垂直的性質和平行線性質，關鍵是作出適當的輔助線，找出要求的角與未知角的關系．31．（2022·廣東深圳·三模）如圖，在距離鐵軌200米的B處，觀察由深圳開往廣州的“和諧號”動車，當動車車頭在A處時，恰好位于B處的北偏東60°方向上；一段時間后，動車車頭到達C處，恰好位于B處的西北方向上，則這時段動車的運動路程是（

）米（結果保留根號）A． B． C． D．【答案】B【分析】作BC⊥AC于點D，在中利用三角函數求得AD的長，在中，利用三角函數求得CD的長，則AC即可求得．【詳解】解：如圖，作BD⊥AC于點D，∵在中，，∴，(米)，∵在中，，∴（米），則(米)．故選：B．【點睛】本題主要考查了解直角三角形以及勾股定理的應用，用到的知識點是方向角，關鍵是根據題意畫出圖形，作出輔助線，構造直角三角形，“化斜為直”是解三角形的基本思路，常需作垂線（高），原則上不破壞特殊角．定理：直角三角形中所對直角邊是斜邊的一半．32．（2024·山東臨沂·模擬預測）如圖，某海域中有A，B，C三個小島，其中A在B的南偏西方向，C在B的南偏東方向，且B，C到A的距離相等，則小島A相對于小島C的方向是（）A．北偏東 B．北偏東 C．南偏西 D．南偏西【答案】C【分析】根據題意可得，，，再根據等腰三角形的性質可得，從而求出的度數，然后利用平行線的性質可得，從而求出的度數，即可解答．【詳解】解：如圖：由題意得：，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴小島C相對于小島A的方向是北偏東，小島A相對于小島C的方向是南偏西．故選C【點睛】本題考查了方向角，等腰三角形的性質，三角形的內角和定理的應用，平行線的性質，熟練掌握等腰三角形的性質是解題的關鍵．?題型02角的運算問題33．（2024·廣東中山·模擬預測）將一副三角板（）按如圖方式擺放，使，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題考查了三角形內角和定理，平行線的性質，解題的關鍵是掌握以上知識點．首先根據三角形內角和定理得到，然后由平行線的性質得到，然后利用三角形內角和定理求解即可．【詳解】∵∴∵∴∴．故選：C．34．（2024·廣東廣州·三模）一把直尺和一個含角的直角三角板按如圖方式放置，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據題意得，結合計算即可，本題考查了平行線的性質，與三角板有關的計算，掌握平行線的性質，是解題的關鍵．【詳解】∵直尺的對邊平行，∴，∵，∴，故選C．35．（2024·廣東深圳·模擬預測）如圖，已知直線，含角的三角板的直角頂點C在上，角的頂點A在上，如果邊與的交點D是的中點，那么的大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查平行線的性質、等邊對等角和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，根據題意得，，由，即可求得答案．【詳解】解：設點E在上，如圖，∵邊與的交點D是的中點，∴，∵，∴，∵，∴，則．故選：C．36．（2024·廣東惠州·三模）一根直尺和一個角的三角板按如圖方式疊合在一起，若，則的度數是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了平行線的性質，三角板中角度的求解，根據題意得：，，根據平行線的性質可得，再由平角的定義，即可求解．【詳解】解：如圖，根據題意得：，，∴，，∵，∴．故選：A．?題型03與余角、補角有關的計算37．（2024·廣東湛江·二模）若和互補，，則的度數是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查補角，根據兩角和為，這兩角互補求解即可．【詳解】解：∵和互補，∴∵，∴，故選：A．38．（2023·廣東佛山·三模）已知，與互為余角，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據互為余角的定義即可求解．【詳解】解：∵與互為余角，∴，又∵，∴，故選：B．【點睛】本題考查互為余角的定義，熟練掌握如果兩個角的和等于，則這兩個角互為余角是解題的關鍵．39．（2023·廣東湛江·一模）將一塊三角板和一塊直尺如圖放置，若，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據平行線的性質，可得，再由對頂角相等可得，從而得到，根據計算求解即可．【詳解】解：如圖，由題意得：，∴，∴，∴，∴．故選：D．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，對頂角相等，直角三角形兩銳角互余．熟練掌握平行線的性質，直角三角形兩銳角互余是解題的關鍵．40．（2022·山東濟南·二模）如圖，將三角板的直角頂點放在兩條平行線中的直線AB上，若∠1＝22°，則∠2的度數為（）A．78° B．68°C．22° D．60°【答案】B【分析】由平行線的性質，可得∠2=∠3，由∠3=90°-∠1，進而求出∠2的度數．【詳解】解：∵將三角板的直角頂點放在兩條平行線中的直線AB上∴∠2=∠3又∠3+∠1=90°，∠1=22°∴∠3=90°-22°=68°∴∠2=68°故選：B．【點睛】本題考查平行線的性質，互余的定義，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．?題型04角平分線的相關計算41．（2024·廣東江門·模擬預測）如圖，為的中位線，的角平分線交于點，若，，則的長為（

）．A．3 B．5 C．6 D．8【答案】C【分析】本題考查的是三角形的中位線的性質，等腰三角形的判定，先證明，，，可得，再證明，從而可得答案．【詳解】解：∵為的中位線，，∴，，，∵，∴，∵，∴，∵的角平分線交于點F，∴，∴，∴，∴，故選：C．42．（2024·廣東梅州·模擬預測）如圖，，直線分別交于點E，F，平分，，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題考查了平行線的性質和角平分線的相關計算，先由角平分線求出，再由兩直線平行同旁內角互補即可得到求出的度數.【詳解】解：∵，平分，∴，∵，∴故選：D43．（2023·廣東陽江·一模）如圖，，，若平分，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了平行線的性質，解題的關鍵是掌握兩直線平行，內錯角相等．根據角平分線的定義得出，再根據兩直線平行，內錯角相等，即可解答．【詳解】解：∵，平分，∴，∵，∴，故選：B．44．（2023·廣東梅州·二模）如圖所示，直線，直線交直線于點，交直線于點，射線平分，若，則的度數為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】先由平行線的性質，得到，，再由角平分線定義得，即可求解．【詳解】解：∵，∴，，∵平分，∴，∴，故選：B．【點睛】本題考查角平分線定義，平行線的性質，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．?題型05角的綜合問題45．（2024·廣東佛山·模擬預測）如圖，在四邊形中，平分，，，求的度數．【答案】【分析】本題考查了多邊形的內角和，角平分線的定義，平行線的性質，根據角平分線的定義求出的度數，再根據平行線的性質即可求出的度數，再根據四邊形內角和的度數即可求出的度數．【詳解】解：平分，，，，，，在四邊形中，，，．46．（2024·廣東珠海·一模）已知如圖，過點A作，且，．(1)求證；(2)若已知平分，，求的度數．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了角平分線的定義，及平行線的判斷和性質，兩直線平行，同位角相對；內錯角相等，兩直線平行；（1）先通過推算出，在結合推算出，根據兩直線平行，同位角相等，得到，從而證得，最后根據內錯角相等，證得；（2）根據（1）中證得，結合平分，得到，再根據平行直線的性質得到，即可求得答案．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：∵平分，∴，由（1）得，∴，∵，∴，∴．47．（2022·廣東清遠·一模）如圖，在中，，(1)通過觀察尺規作圖的痕跡，可以發現直線是線段的________，射線是的________；(2)在（1）所作的圖中，求的度數．【答案】(1)垂直平分線，角平分線(2)75°【分析】（1）根據圖形結合垂直平分線、角平分線的作法即可得到答案；（2）根據垂直平分線的性質及等腰三角形的性質即可得到∠BAD=∠B=40°，再結合三角形的內角和便能求得∠BAC=90°，∠DAC=50°，再根據角平分線的定義可知∠EAC，∠AED=∠EAC+∠C，即可得到答案．【詳解】（1）由圖可知，：直線DF是線段AB的垂直平分線，射線AE是∠DAC的角平分線，故答案為：垂直平分線，角平分線；（2）∵DF是線段AB的垂直平分線，∴DB=DA，∴∠BAD=∠B=40°，∵∠B=40°，∠C=50°，∴∠BAC=90°，∴∠DAC=50°．∵射線AE是∠DAC的平分線，∴∠DAE=25°=∠EAC．∴∠AED=∠EAC+∠C=25°+50°=75°．【點睛】本題考查了垂直平分線、角平分線的作法以及它們的性質，等腰三角形的性質，三角形的內角和，熟練掌握垂直平分線、角平分線的性質是解決本題的關鍵．48．（2024·廣東江門·一模）【綜合與實踐】某數學學習小組在學習了多邊形后對幾何學習產生了濃厚的興趣，他們在同一幾何圖形中進行了不同探究活動．如圖1，直線，垂足為O，三角板的直角頂點C落在的內部，三角板的另兩直角邊分別與交于點D和點(1)活動1：如圖1，不添加輔助線，由四邊形內角和知識容易結論：______．(2)活動2：如圖2，連結，若平分，那么平分嗎？請直接寫出你的結論，不需寫理由．(3)活動3：如圖3，若平分，平分，他們發現與具有特殊位置關系．請判斷DE與BF有怎樣的位置關系并證明你的結論．【答案】(1)(2)平分(3)，證明見解析【分析】本題主要考查四邊形內角和360度、三角形內角和180度、角平分線的性質、垂線的性質等知識點，掌握相關知識是解題關鍵．（1）根據四邊形內角和360度即可解答；（2）根據角平分線性質可得，再根據、，然后根據同角的余角相等可得結論；（3）由（1）（2）結論，結合三角形內角和180度求解即可．【詳解】（1）解：，為直角，，根據四邊形內角和等于得：，，故答案為：（2）解：平分，理由如下：平分，，，為直角，，，，平分；（3）解：與的位置關系是：，證明如下：由（1）可知：，又，，平分，平分，∴，，，為直角，，，又，，，即命題點四相交線?題型01點到直線的距離（垂線段）49．（2022·江蘇常州·中考真題）如圖，斑馬線的作用是為了引導行人安全地通過馬路．小麗覺得行人沿垂直馬路的方向走過斑馬線更為合理，這一想法體現的數學依據是（

）A．垂線段最短B．兩點確定一條直線C．過一點有且只有一條直線與已知直線垂直D．過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行【答案】A【分析】根據垂線段最短解答即可．【詳解】解：行人沿垂直馬路的方向走過斑馬線，體現的數學依據是垂線段最短，故選：A．【點睛】本題考查垂線段最短，熟知垂線段最短是解答的關鍵．50．（2023·廣東廣州·一模）是的角平分線，若，，則點到距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖所示，過點D作于E，根據角平分線的性質得到即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，過點D作于E，∵是的角平分線，，∴，∴點到距離為3，故選A．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質，點到直線的距離，熟知角平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵．51．（2023·廣東廣州·模擬預測）如圖，直線相交于點O，，若，，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了對頂角相等，垂線性質，角度的和差，根據對頂角相等求出的度數，從而求出的度數，根據垂線性質得出，最后根據求出結果即可．【詳解】解：，，，即故選：B．52．（2020·廣東深圳·三模）如圖，直線AB、CD相交于點O，射線OM平分∠AOC，ON⊥OM．若∠BOD＝70°，則∠CON的度數為（

）A．35° B．45° C．55° D．65°【答案】C【分析】直接利用垂線的定義結合角平分線的定義得出答案．【詳解】解：∵∠BOD＝∠AOC＝70°，射線OM平分∠AOC，∴∠AOM＝∠MOC＝35°，∵ON⊥OM，∴∠CON＝90°﹣35°＝55°．故選：C．【點睛】本題考查垂線的定義及角平分線的定義．熟練掌握相應定義并準確應用是解題的關鍵．?題型02利用對頂角、鄰補角的性質求解53．（2024·廣東深圳·模擬預測）如圖，一束平行于主光軸的光線經凸透鏡折射后，其折射光線與一束經過光心O的光線相交于點P，點F為焦點．若，則的度數為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查平行線的性質，三角形外角的性質，對頂角的性質，由對頂角的性質得到，由三角形外角的性質即可求出的度數，由平行線的性質求出的度數即可．【詳解】解：∵∴，∵，∵一束平行于主光軸的光線，故選：A．54．（2024·廣東清遠·二模）如圖，一桿古秤在稱物時的狀態如圖所示，已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了平行線的性質，平角定義，利用平行線的性質得出，利用平角定義求出，即可求解．【詳解】解：如圖，根據題意得，∴，∵，∴，故選：B．55．（2024·廣東江門·模擬預測）下圖是某平臺銷售的折疊椅子及其左視圖，已知與地面平行，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了平行線的性質，鄰補角的性質，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．根據兩直線平行內錯角相等的性質即可求出，根據鄰補角的性質求出．【詳解】解：根據題意得：，，，，故選：D．56．（2023·廣東·模擬預測）如圖，已知，將一個等腰直角三角板放置到如圖所示位置．若，則∠2的度數為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查平行線的性質，對頂角的性質，直角三角形的性質，掌握相關性質是解題的關鍵．由平行線的性質及對頂角的性質可求解∠5的度數，利用直角三角形的性質及對頂角的性質可求解∠2的度數．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．故選：A．?題型03判斷同位角、內錯角、同旁內角57．（2024·廣東佛山·一模）兩條直線被第三條直線所截，形成了常說的“三線八角”，為了便于記憶，同學們可用雙手表示“三線八角”（兩大拇指代表被截直線，兩只食指在同一直線上代表截線），如圖，它們構成的一對角可以看成（

）A．同位角 B．同旁內角 C．內錯角 D．對頂角【答案】A【分析】本題考查了同位角、內錯角、同旁內角的識別，兩條線a、b被第三條直線c所截，在截線的同旁，被截兩直線的同一方，把這種位置關系的角稱為同位角；兩個角分別在截線的異側，且夾在兩條被截線之間，具有這樣位置關系的一對角互為內錯角；兩個角都在截線的同一側，且在兩條被截線之間，具有這樣位置關系的一對角互為同旁內角，據此作答即可．【詳解】解：根據同位角、內錯角、同旁內角的概念，可知它們構成的一對角可以看成是同位角，故選：A．58．（2018·廣東廣州·中考真題）如圖，直線AD，BE被直線BF和AC所截，則∠1的同位角和∠5的內錯角分別是（）A．∠4，∠2 B．∠2，∠6 C．∠5，∠4 D．∠2，∠4【答案】B【分析】同位角：兩條直線a，b被第三條直線c所截（或說a，b相交c），在截線c的同旁，被截兩直線a，b的同一側的角，我們把這樣的兩個角稱為同位角；內錯角：兩條直線被第三條直線所截，兩個角分別在截線的兩側，且夾在兩條被截直線之間，具有這樣位置關系的一對角叫做內錯角．根據此定義即可得出答案．【詳解】解：∵直線AD，BE被直線BF和AC所截，∴∠1與∠2是同位角，∠5與∠6是內錯角，故選：B．【點睛】本題考查的知識點是同位角和內錯角的概念，解題的關鍵是熟記內錯角和同位角的定義．59．（2024·山東東營·模擬預測）如圖，已知直線、、相交于、、三點，則下列結論：①與是同位角；②內錯角只有與；③若，則；④；正確的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題考查了三線八角、三角形外角與內角及對頂角的判別，解答此類題時確定三線八角是關鍵，可直接從截線入手；對平面幾何中概念的理解，一定要緊扣概念中的關鍵詞語；熟練掌握相交線兩線四角及三角形外角與內角的性質：①三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；②三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內角；③對頂角相等；④鄰補角互補．①②根據同位角和內錯角的定義可知；③對頂角相等；④三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的一個內角，是的一個外角；【詳解】解：①因為和是直線、被直線所截得的同位角，此結論正確；②因為內錯角除了和外，還有和等，此結論錯誤；③因為和是對頂角，，若，則；此結論正確；④由三角形的外角定理得，此結論正確；因此正確的結論有3個，故選：C．60．（2022·河北保定·模擬預測）如圖，和不是同位角是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據同位角的定義即可得到結論．【詳解】解：根據同位角的定義可知選項B中的和不是同位角，故選：B．【點睛】本題考查了同位角、內錯角、同旁內角，熟記定義是解題的關鍵．命題點五平行線?題型01平行公理的應用61．（2024·遼寧大連·三模）關于兩條平行直線，，下列說法正確的是（均發生在同一平面內）（

）A．若，被第三條直線所截，則內錯角互補；B．過，外一點作直線，則與一定交于一點；C．對于，外的任意一點，過關于平行的直線有且僅有一條；D．被平行直線所截得線段成比例．【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質、平行公理、平行線分線段成比例等知識；依照相減知識逐項判斷即可．【詳解】解：A、若兩平行直線，被第三條直線所截，則內錯角相等，故說法錯誤；B、過，外一點作直線，則與一定平行或相交，故說法錯誤；C、對于，外的任意一點，過關于平行的直線有且僅有一條，說法正確；D、被平行直線所截得對應線段成比例，故說法錯誤．故選：C．62．（2024·江蘇蘇州·二模）在平面內，下列說法錯誤的是（

）A．過直線外一點有且僅有一條直線與已知直線平行B．若一條直線上有兩點到另一條直線距離相等，則這兩條直線平行C．同平行于一條直線的兩條直線平行D．同垂直于一條直線的兩條直線平行【答案】D【分析】此題考查了平行線的判定和性質，平行公理及推論，根據平行線的判定和性質，平行公理及推論進行判斷即可．【詳解】解：A．過直線外一點有且僅有一條直線與已知直線平行，故選項正確，不符合題意；B．若一條直線上有兩點到另一條直線距離相等，則這兩條直線平行，故選項正確，不符合題意；C．同平行于一條直線的兩條直線平行，故選項正確，不符合題意；D．在同一平面內，同垂直于一條直線的兩條直線平行，故選項錯誤，符合題意．故選：D．63．（2024·黑龍江大慶·一模）下列命題是真命題的是（

）A．相等的兩個角是對頂角B．從直線外一點到這條直線的垂線段，叫做這點到直線的距離C．過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行D．兩條直線被第三條直線所截，同位角相等【答案】C【分析】本題主要考查了對頂角、點到直線的距離、平行線公理、平行線的性質等知識，理解并掌握相關定義和定理是解題關鍵．根據對頂角、點到直線的距離、平行線公理、平行線的性質，逐項分析判斷即可．【詳解】解：A.相等的兩個角不一定是對頂角，故該命題是假命題，不符合題意；B.從直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做這點到直線的距離，故該命題是假命題，不符合題意；C.過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，該命題是真命題，符合題意；D.兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等，故該命題是假命題，不符合題意．故選：C．64．（2024·山西臨汾·二模）反證法是從反方向證明命題的論證方法．如圖、想要證明“如果直線被直線所截，，那么．”先假設，過點作直線，使，由“同位角相等，兩直線平行”，可得．這樣過點就有兩條直線，都平行于直線，這與數學中的一條基本事實相矛盾，說明的假設是不正確的，于是有，上述材料中的“基本事實”是指（

）A．兩點確定一條直線B．兩直線平行，內錯角相等C．經過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行D．在同一平面內，過一點有且只有一條直線與這條直線垂直【答案】C【分析】本題考查了反證法，直接利用反證法的基本步驟以及結合平行線的性質分析得出答案．【詳解】解∶根據題意知∶材料中的基本事實是經過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行，故選：C?題型02利用平行線的判定進行證明65．（2024·廣東云浮·一模）下列圖形中，由能得到的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查平行線的判定，熟練掌握同位角相等，兩直線平行；內錯角相等，兩直線平行；同旁內角互補，兩直線平行是解題的關鍵．根據平行線的判定逐一判斷即可．【詳解】解：對于A選項，由得出，不符合題意；對于B選項，設的對頂角為，如圖所示：的對頂角為，，，，，故由能得出，符合題意；對于C選項，由不能得出，不符合題意；對于D選項，由不能得出，不符合題意；故選B．66．（2021·廣東·三模）如圖，已知直線a、b被直線c所截，下列條件不能判斷的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據平行線的判定定理逐項分析判斷即可求解．【詳解】解：A、，能判斷兩直線平行，故該選項不符合題意；B、，能判斷兩直線平行，故該選項不符合題意；C、∵,,∴，能判斷兩直線平行，故該選項不符合題意；D、，是鄰補角互補，不能判斷兩直線平行，故該選項符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了平行線的判定，熟練掌握兩直線平行的判定方法是解題的關鍵．67．（2024·陜西渭南·三模）如圖，點、分別在、上，連接、，下列條件中，能判斷的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了平行線的判定，掌握其判定方法是解題的關鍵．運用同位角相等，兩直線平行；內錯角相等，兩直線平行；同旁內角互補，兩直線平行的方法進行判定即可求解．【詳解】解：A、，則，不符合題意；B、，則，不符合題意；C、，則，不符合題意；D、，則，符合題意；故選：D．68．（2024·四川達州·三模）如圖，在中，點、、分別是、、上的點，連接，，，則下列條件中，能判定的是(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了平行線的判定，根據平行線的判定定理判斷求解即可．【詳解】解：，，故A不符合題意；，，故B符合題意；，，故C不符合題意；由，不能判定，故D不符合題意；故選：B．?題型03求平行線之間的距離69．（2024·河北邯鄲·二模）如圖，已知點在直線上，、兩點在直線上，且，是個鈍角，若，則、兩直線的距離可以是（

）

A．8 B．6 C．5 D．4【答案】D【分析】根據平行線之間的距離的定義即可得到答案．本題考查了平行線之間的距離，兩條平行線中，過其中一條直線上任意一點向另外一條直線作垂線，這個點和垂足之間的線段的長就是這兩條平行線之間的距離．熟練掌握平行線之間距離的概念是解題的關鍵．【詳解】根據平行線之間的距離的定義可得、兩直線的距離應該小于5，故選：D．70．（2023·河南省直轄縣級單位·一模）如圖，在四邊形中，，對角線相交于點E，若，，則四邊形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由四邊形中，，可得，再利用，，然后可求出，根據可得，從而可得答案．【詳解】解：∵四邊形中，，∴，∵，∴，∴，∵∴，∴．故選：A．【點睛】本題考查的是與三角形的高相關的面積問題，平行線的性質，熟練的掌握同高的兩個三角形的面積之間的關系是解本題的關鍵．71．（2022·安徽滁州·一模）如圖，在中，是的角平分線，交于點E，F為上一點，連接，已知，則的面積（）A．12 B．7.5 C．8 D．6【答案】B【分析】先在中，利用勾股定理求出，然后利用角平分線的定義和平行線的性質可得是等腰三角形，從而可得，然后利用三角形的面積公式求出的面積，最后根據平行線間的距離處處相等可得的面積的面積，即可解答．【詳解】解：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴的面積，∵，∴的面積的面積，故選：B．【點睛】本題考查了角平分線的性質，等腰三角形的判定與性質，平行線的性質，熟練掌握平行線間的距離處處相等是解題的關鍵．72．（2024·安徽蚌埠·模擬預測）如圖，的面積為10，點D，E，F分別在邊，，上，，，的面積與四邊形的面積相等，則的面積為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】本題考查三角形面積性質的應用，可通過作輔助線的方法，做此題時注意理清各個三角形面積之間的關系．由題意可知的面積和四邊形的面積相等，可通過連接的方法，證明出，進而求出的面積，然后即可求出答案．【詳解】解：連接．∵，∴，∵兩個三角形有公共底，且面積相等，∴高相等，∴，從而可得：，∴，又，，即，故選：C．?題型04平行線性質的應用73．（2024·廣東·模擬預測）如圖，直角三角板和直尺如圖放置，若，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了平行線的性質，熟知兩直線平行，內錯角相等是解題的關鍵．根據兩直線平行，內錯角相等得到，再由，即可得到．【詳解】解：如圖，由題意得，，∴，∵，∴，故選C．74．（2024·廣東·模擬預測）光線在不同介質中的傳播速度是不同的，因此當光線從空氣射向水時，要發生折射．由于折射率相同，所以在空氣中平行的光線，在水中也是平行的．如圖，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查平行線性質的實際應用，根據平行線的性質可得，，再結合計算即可．【詳解】如圖，∵在空氣中平行的光線，在水中也是平行的∴，，∵∴，，∴，故選：B．75．（2024·廣東中山·三模）如圖，直線，，于點，若，則的度數為（）A．. B． C． D．【答案】B【分析】本題考查平行線的性質和三角形內角和，根據可得，再結合和三角形內角和即可求解．【詳解】∵，，∴∵∴∵∴故選：B．76．（2024·廣東深圳·模擬預測）如圖，平行于主光軸的光線和經過凹透鏡的折射后，折射光線的反向延長線交于主光軸上一點P．若，則的度數是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了平行線的性質，由平行線的性質推出成為解題的關鍵．由鄰補角的性質得到，由平行線的性質推出，然后根據角的和差即可解答．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴．故選：C．?題型05根據平行線性質與判定證明77．（2023·廣東梅州·一模）如圖，點E，A，C，F在同一直線上，，，．求證：

(1)≌；(2)四邊形是平行四邊形．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【詳解】（1）證明：，，在和中，，≌；（2）由（1）可知，≌，，，，，∴四邊形是平行四邊形．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、平行四邊形的判定以及平行線的性質，熟練掌握全等三角形的判定和平行四邊形的判定與性質是解題的關鍵．78．（2024·廣東東莞·三模）如圖，在等腰中，．點D是邊上的動點，連接，將繞點A旋轉至，使點C與點B重合，連結交于點F．作交于點G，連結，交于點H．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了旋轉的性質、等腰三角形的性質、相似三角形的判定、平行線的判定：（1）根據兩直線平行，內錯角相等，得到，再根據等邊對等角得到，最后根據旋轉的性質得到結果；（2）根據等角對等邊得到，一組對邊平行且相等可得到四邊形是平行四邊形，即，兩直線平行，同位角相等，可得到兩個三角形三個角對應相等，則兩個三角形相似；掌握旋轉的性質是解題的關鍵．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，由旋轉的性質得到：，∴；（2）證明：∵，∴，由旋轉的性質得到：，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，，∴．79．（2024·廣東佛山·三模）綜合探究如圖1，在等腰中，，于D，一個直徑與相等的圓與相切于點E、與相切于點F，連接．(1)求證：；(2)如圖2，過E作交圓于G，連接，求證：四邊形是矩形；(3)與的交點是圓心的位置嗎？為什么？【答案】(1)見詳解(2)見詳解(3)是，見詳解【分析】由題意可得，，則，結合，可得，即可證明；由題意知，進一步得到，即四邊形為矩形．連接，由(2)可知為直徑，可得，又由(1)可知，，則，結合，得到為圓的切線．由于為已知圓的切線得，則是的垂直平分線，則必過圓心，即可證明圓心O就是與的交點．【詳解】（1）解∵圓與相切于點E、與相切于點F，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，（2）∵，，∴，∵與圓切于點E，∴為圓的直徑，∴，∴四邊形為平行四邊形，∵，即四邊形為矩形．（3）圓心O即為與的交點．理由∶連接，由(2)可知為直徑，∴，又由(1)可知，，∴，又∵四邊形為矩形，∴，∴為圓的切線．∵為已知圓的切線，∴，∴是的垂直平分線，則必過圓心，即圓心O就是與的交點．【點睛】本題綜合考查了平行線的判定和性質、等邊對等角、矩形的判定和性質、切線的性質和垂徑定理，解題的關鍵是熟悉圓的性質和等腰三角形的性質。80．（2023·廣東·模擬預測）【學習新知】射到平面鏡上的光線（入射光線）和反射后的光線（反射光線）與平面鏡所夾的角相等．如圖1，若入射光線與水平鏡面夾角為，反射光線與水平鏡面夾角為，則．(1)【初步應用】如圖2，有兩塊平面鏡，，入射光線經過兩次反射，得到反射光線，若，證明：；(2)【拓展探究】如圖3，有三塊平面鏡，，，入射光線經過三次反射，得到反射光線，已知，，若要使，則為多少度？【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據三角形內角和定理得出，進而得到，求出，從而得證；（2）過點作，根據平行線的傳遞性可得，根據平行線的性質及三角形內角和定理求解即可．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴．（2）解：如圖，過點作，∵，，又∵，，，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴．∴為．【點睛】本題考查平行線的判定與性質，熟記平行線的判定定理與性質定理并作出合理的輔助線是解題的關鍵．基礎鞏固單選題1．（2024·廣東佛山·三模）一個角的補角，則這個角的度數是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查求一個角的補角，根據和為180度的兩個角互補，進行求解即可．【詳解】解：由題意，這個角的度數為；故選C．2．（2024·陜西西安·模擬預測）為弘揚“中國航天精神”，設立每年的4月24日為“中國航天日”，如圖是一個正方體的展開圖，將它拼成正方體后，“國”字對面的字是（

）A．航 B．天 C．精 D．神【答案】C【分析】本題考查了正方體相對面上的文字，熟練掌握根據正方體的表面展開圖找相對面的方法是解題的關鍵．根據正方體的表面展開圖找出相對面的文字，即可解答．【詳解】解：原正方體中，與“國”字所在面相對的面上的漢字是“精”，故選：C．3．（2024·山西太原·二模）一個棱柱的側面展開圖如圖所示，則該棱柱底面的形狀是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查棱柱的展開圖，側面展開圖下方線段所圍成的圖形為棱柱底面的形狀，由此可解．【詳解】解：由所給段面展開圖可知，底面圖形由2條長線段、2條短線段圍成，形狀為：，故選B．4．（2024·山西陽泉·二模）下列圖形為正方體展開圖的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了正方體的展開圖．熟練掌握正方體的展開圖是解題的關鍵．根據正方體展開圖包括，，，型，進行判斷作答即可．【詳解】解：由題意知，是正方體的展開圖，故選：C．5．（2024·廣東·模擬預測）如圖，將一張矩形紙片沿著所在直線剪開并錯位放置，點在一條直線上，若，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了平行線的性質，由題意可得，，即可得，，據此即可求解，掌握平行線的性質是解題的關鍵．【詳解】解：由題意可知，，，∴，，∵，∴，∴，故選：．6．（2024·廣東東莞·三模）如圖是某品牌躺椅的側面示意圖，其中，當，時，人躺著最舒服，則此時的度數為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查平行線的性質，關鍵是由平行線的性質推出．由平行線的性質推出，由平角定義求出．【詳解】解：如圖所示，∵，，，．故選：D．7．（2024·廣東惠州·模擬預測）如圖，，，，則的度數為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查平行線的性質，關鍵是由平行線的性質推出．平行線的性質推出，即可求出．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴．故選：．二、填空題8．（2025·廣東·模擬預測）將一副三角板如圖所示放置，，若，則的度數為．【答案】/20度【分析】本題考查了與三角板有關的角度計算，先求出，再根據求解即可．【詳解】解：，，，，，故答案為：．9．（2024·廣東深圳·模擬預測）抖空竹是我國的傳統體育，也是國家級非物質文化遺產之一．明代《帝京景物略》一書中就有空竹玩法和制作方法的記述，明定陵亦有出土的文物為證，可見抖空竹在民間流行的歷史至少在年以上．如圖，通過觀察抖空竹發現，可以將某一時刻的情形抽象成數學問題：，，，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了平行線的性質，延長交于點，先利用平行線的性質可得，然后利用三角形的外角性質進行計算，即可解答．根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．【詳解】解：延長交于點，∵，∴，∵是的一個外角，∴，故選：．10．（2024·廣東佛山·一模）如圖所示為正方體的三個頂點，則的度數為．【答案】/60度【分析】根據正方體各面對角線相等，得到，根據等邊三角形的性質與判定，即可求解；本題考查了正方體的性質，等邊三角形的性質與判定，解題的關鍵是：熟練掌握相關性質定理．【詳解】解：∵為正方體的三個頂點，∴、、是正方體一個面的對角線，∴，∴是等邊三角形，∴，故答案為：．11．（2023·廣東廣州·一模）直線，線段分別與，交于點，，過點作，交直線于點，的平分線交直線于點．若，則的度數是．【答案】【分析】由垂直關系及可求得的度數，由平行線的性質可求得的度數，由角平分線的定義求得的度數，再由平行線的性質即可求得的度數．【詳解】解：∵，，∴；∵，∴，∴；∵平分，∴，∴；故答案為：．【點睛】本題考查了平行線的性質，互余關系，角平分線的定義等知識，其中平行線性質的掌握是解題的關鍵．12．（2024·廣東汕尾·二模）如圖1，小言用七巧板拼了一個對角線長為6的正方形，再用這副七巧板拼成一個矩形（如圖2所示），則矩形的對角線長為．【答案】【分析】本題考查了用七巧板拼圖形，勾股定理，解題的關鍵是找到邊長之間的等量關系，長方形的長等于正方形的對角線，長方形的寬是正方形對角線的一半，根據勾股定理，即可求解，【詳解】解：由圖像可知，長方形的長等于正方形的對角線為6，長方形的寬是正方形對角線的一半為3，根據勾股定理可得：，故答案為：．三、解答題13．（2024·廣東·模擬預測）如圖，是的角平分線，過點D分別作和的平行線，交于點E，交于點F．試判斷四邊形的形狀，并給出證明．

【答案】四邊形是菱形，證明見解析【分析】本題考查了菱形的判定、等腰三角形的判定、平行線的性質等知識，熟練掌握菱形的判定是解題關鍵．先根據平行四邊形的判定可得四邊形是平行四邊形，再根據等腰三角形的判定可得，然后根據菱形的判定即可得．【詳解】解：四邊形是菱形，證明如下：∵，∴四邊形是平行四邊形，∵是的角平分線，∴，又∵，∴，∴，∴，∴四邊形是菱形．14．（2024·廣東廣州·三模）如圖，點在直線上，，且，求證：．【答案】證明見解析【分析】本題考查了平行線的性質，全等三角形的判定和性質，由可得，由可得，即可由證明，掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．【詳解】證明：∵點在直線上，，∴，即，∵，∴，又∵，∴，∴．15．（2024·廣東佛山·三模）如圖，已知三角形，點E是上一點．(1)尺規作圖：在上找到一點F，使得；（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，連接