第二十七章27.2.1相似三角形的判定1.

兩個三角形全等有哪些判定方法？2.我們學習過哪些判定三角形相似的方法？SSS、SAS、ASA、AAS、HL(1)通過定義（三邊對應成比例，三角分別相等）(2)平行于三角形一邊的直線(3)三邊對應成比例新知導入知識點1兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似知識探究利用刻度尺和量角器畫△ABC和△A′B′C′,使∠A=∠A′,量出它們的第三組對應邊BC和B′C′的長,它們的比等于k嗎?另外兩組對應角∠B與∠B′,∠C與∠C′是否相等?改變∠A或k值的大小,再試一試,是否有同樣的結論?ABCA′B′C′知識探究

A′B′C′ABCED

【證明】在△ABC的邊AB，AC上分別截取AD=A′B′，AE=A′C′，連接DE，而∠A=∠A′，這樣△ADE≌△A′B′C′知識探究三角形相似判定定理：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似。幾何語言：

ABCC′B′A′知識探究ABCA’B’C’BADBAC

反例：

歸納總結

如果兩個三角形兩邊對應成比例，但相等的角不是兩條對應邊的夾角，那么兩個三角形不一定相似，相等的角一定要是兩條對應邊的夾角.知識探究

已知∠A＝120°，AB＝7cm，AC＝14cm，∠A'＝120°，A'B'＝3cm，A'C'＝6cm，判斷△ABC與△A′B′C′是否相似，并說明理由.∵又

∠A＝∠A'∴△ABC∽△A'B'C'素養考點1利用兩邊成比例且夾角相等識別三角形相似

△ABC∽△A'B'C'.理由如下：解：∴知識探究1.

已知∠A=40°，AB=8，AC=15，∠A'=40°，A'B'=16，A'C'=30，判斷△ABC與△A'B'C'是否相似，并說明理由.解：

∴△ABC∽△A'B'C'△ABC∽△A'B'C'

.

理由如下：∴∠A=∠A'又∵∵鞏固練習解：∵AE=1.5，AC=2，

ACBED例2

如圖，D，E分別是△ABC的邊AC，AB上的點，AE=1.5，AC=2，BC=3，且，求DE的長.∴又∵∠EAD=∠CAB，∴△ADE∽△ABC，∴∴素養考點2利用三角形相似求線段的長度提示：解題時要找準對應邊.知識探究2.如圖，在△ABC中，AC＞BC，D是邊AC

上一點，連接BD．（1）要使△CBD∽△CAB，還需要補充一個條件是;（只要求填一個）（2）若△CBD∽△CAB，且AD＝2，

,求CD的長．ABCD解：（1）CD:CB＝BC:AC

（2）設CD＝x,則CA＝x＋2．當△CBD∽△CAB，且AD＝2，,有CD:CB＝BC:AC，即,所以x２＋2x－3＝0．解得x１＝1，x２＝－3．但x２＝－3不符合題意,應舍去．所以CD＝1．鞏固練習證明：∵CD是邊

AB上的高，

∴∠ADC=∠CDB=90°.∴△ADC∽△CDB，∴∠ACD=∠B，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠B+∠BCD=

90°.ABCD例3

如圖，在

△ABC

中，CD是邊

AB上的高，且，求證：∠ACB=90°．∵素養考點3利用三角形相似求角方法總結：解題時需注意隱含條件，如垂直關系，三角形的高等.知識探究3.如圖，已知在△ABC中，∠C＝90°，D、E分別是AB、AC上的點，AE：AD＝AB：AC．試問:DE與AB

垂直嗎?為什么?ABCDE證明：DE⊥AB．理由如下:∵AE：AD＝AB：AC,∴．又∠A＝∠A,∴△ABC∽△AED．∴∠ADE＝∠C＝90°．∴DE與AB垂直．鞏固練習1.

如圖，D是

△ABC一邊

BC上一點，連接

AD，使△ABC∽△DBA的條件是

（）

A.AC:BC=AD:BD

B.AC:BC=AB:AD

C.AB2=CD·BC

D.AB2=BD·BCDABCD課堂檢測2.

在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=70°，AC=3.5cm，BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm.求證：△DEF∽△ABC.ACBFED證明：∵AC=3.5cm，BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm，又

∵∠C=∠F=70°，∴△DEF∽△ABC.∴課堂檢測3.

如圖，△ABC與△ADE都是等腰三角形，AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠CAE.求證：△ABC∽△ADE.證明：∵AD=AE，AB=AC，∴又∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE，即∠DAE=∠BAC，∴△ABC∽△ADE.ABCDE課堂檢測

如圖，在四邊形

ABCD

中，已知

∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，

，求

AD

的長．ABCD解：∵AB=6，BC=4，AC=5，，

∴又∵∠B=∠ACD，∴△ABC∽△DCA，

∴，∴課堂檢測

如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點，AB=7.8，BD=4.8，AC=6，AE=3.9，試判斷△ADE與△ABC是否相似，某同學的解答如下：解：∵AB=AD+BD，而AB=7.8，BD=4.8，∴AD=7.8-4.8=3.

∵∴這兩個三角形不相似.你同意他的判斷嗎？請說明理由.

課堂檢測解：他的判斷是錯誤的.

∵AB=AD+BD，而AB=7.8，BD=4.8，

∴AD=7.8-4.8=3.∵，，

∴．又∵∠A=∠A，

∴△ADE∽△ACB

．新課講解

知識點1相似三角形對應線段的比合作探究

如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，它們對應高、對應中線、對應角平分線的比各是多少？ABCA'B'C'新課講解練一練1.如果兩個相似三角形的對應高的比為2:3，那么對應角平分線的比是

，對應邊上的中線的比是______.2.

已知△ABC∽△A'B'C'，相似比為3:4，若BC邊上的高AD＝12cm，則B'C'邊上的高A'D'＝______.2:32:316cm新課講解如果△ABC∽△A'B'C'，相似比為k，那么因此AB＝kA'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'，從而結論相似三角形周長的比等于相似比.新課講解

知識點2相似三角形面積的比合作探究

如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，它們的面積比是多少？ABCA'B'C'新課講解由前面的結論，我們有ABCA'B'C'D'D新課講解結論相似三角形面積的比等于相似比的平方．課堂小結相似三角形性質的運用相似三角形面積的比等于相似比的平方相似三角形的性質相似三角形對應線段的比等于相似比當堂小練1.判斷：(1)一個三角形的各邊長擴大為原來的5倍，這個三角形的周長也擴大為原來的5倍

()(2)一個四邊形的各邊長擴大為原來的9倍，這個四邊形的面積也擴大為原來的9倍

()√×當堂小練3.

連接三角形兩邊中點的線段把三角形截成的一個小三角形與原三角形的周長比等于______，面積比等于_____.1:21:42.

在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，AP，DQ是中線，若AP＝2，則DQ的值為()A．2B．4C．1D.C如圖，兩個三角形相似，則：相似比k＝對應邊的比＝

的比＝

的比＝

的比．

對應角平分線對應中線相似三角形對應線段的性質對應高小結：一般地，相似三角形對應線段的比等于相似比.(1)對應角平分線的比等于

；

(2)對應邊上的高的比等于

；

(3)對應邊上的中線的比等于

．

2∶3

2∶3

1．(人教9下P37、北師9上P106)如圖，若△ABC∽△DEF，相似比為2∶3，則：

2∶3

相似三角形周長的比＝

．

相似三角形周長的性質相似比2．若△ABC∽△DEF，周長比為2∶1，則下列說法錯誤的是(

)A．相似比為2∶1 B．對應中線的比為2∶1C．對應角的比為2∶1 D．對應高的比為2∶1C相似三角形面積的比＝

．

相似三角形面積的性質相似比的平方

C小結：相似三角形對應線段、周長和面積的性質的簡單綜合，注意其中只有面積比不同.4．【例1】若△ABC∽△DEF，面積比為9∶1，則下列說法正確的是(

)A．相似比為9∶1 B．對應中線的比為9∶1C．周長比為9∶1 D．對應角的比為1∶1D小結：應用相似三角形的性質求三角形的面積比.

B6．【例3】如圖，在?ABCD中，E是CD的延長線上一點，BE與AD