合肥第十一中學高二期中數學模擬試卷一．選擇題（共6小題）1．某班有4名同學報名參加校運會的五個比賽項目，每人參加一項且各不相同，則不同的報名方法有（）A．45種 B．54種 C．種 D．種2．已知函數y＝x2﹣x在x＝2處的切線為l，則直線l與兩坐標軸圍成的三角形面積為（）A．3 B．4 C． D．3．函數，則＝（）A． B． C． D．4．已知（1+ax）（2﹣x）4（a∈R）的展開式中x4的系數為17．則實數a的值為（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．25．現給如圖所示的五個區域A，B，C，D，E涂色，有5種不同的顏色可供選擇，每個區域只涂一種顏色，相鄰區域顏色不相同，則不同的涂色方案種數為（）A．420 B．340 C．260 D．1206．陽春三月，草長鶯飛；絲絳拂堤，盡飄香玉．三個家庭的3位媽媽帶著3名女寶和2名男寶共8人踏春．在沿行一條小溪時，為了安全起見，他們排隊前進，三位母親互不相鄰照顧孩子；3名女寶相鄰且不排最前面也不排最后面；為了防止2名男寶打鬧，2人不相鄰，且不排最前面也不排最后面．則不同的排法種數共有（）A．144種 B．216種 C．288種 D．432種二．多選題（共4小題）（多選）7．丹麥數學家琴生（Jensen）是19世紀對數學分析做出卓越貢獻的巨人，特別是在函數的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果，設函數f（x）在（a，b）上的導函數為f′（x），f′（x）在（a，b）上的導函數為f″（x），若在（a，b）上f″（x）＜0恒成立，則稱函數f（x）在（a，b）上為“凸函數”，以下四個函數在（0，1）上是凸函數的是（）A．f（x）＝sinxcosxB． C．f（x）＝xex﹣x3 D．f（x）＝tanx（多選）8．若，則（）A．a0＝1 B． C． D．a0+2a1+4a2+6a3+?+20a10＝41（多選）9．現將5個不同的小球全部放入標有編號1、2、3、4、5的五個盒子中（）A．若有一個盒子有3個球，有兩個盒子各有1個球，則不同的放球方法種數為 B．若恰有一個盒子沒有小球，則不同的放球方法種數為 C．若恰有兩個盒子沒有小球，則裝有小球的盒子的編號之和恰為1l的不同放法種數為150 D．若這5個小球的編號分別為1～5號，則恰有四個盒子的編號與球的編號不同的放法種數為45（多選）10．已知函數f（x）＝lnx﹣ax，則下列說法正確的是（）A．若f（x）≤0恒成立，則a≥1 B．當a＜0時，y＝f（x）的零點只有1個 C．若函數y＝f（x）有兩個不同的零點x1，x2，則 D．當a＝1時，若不等式me2x+lnm≥f（x）恒成立，則正數m的取值范圍是三．填空題（共4小題）11．從4名男生和3名女生中選出3人組成一個學習小組，其中至少有1名女生的不同選法共有12．在的展開式中，常數項為展開式的第項．13．用數字0、1、2、3、4、5可以組成無重復數字且能被5整除的五位數有個．14．某學校新分配五名教師，學校準備把他們分配到甲、乙、丙三個班級，每個班級至少分配一人，則其中老師C不分配到乙班的分配方案種數是．四．解答題（共5小題）15．已知函數f（x）＝x（1﹣lnx）．（1）討論f（x）的單調性；（2）設a，b為兩個不相等的正數，且blna﹣alnb＝a﹣b，證明：2＜+＜e．16．（1）6名身高互不相等的學生，排成三排二列，使每一列的前排學生比后排學生矮，有多少種不同的排法？（2）6本不同的書分給3名學生，每人至少發一本，共有多少種不同的分法？17．已知函數f（x）＝excosx﹣1．（Ⅰ）求曲線y＝f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；（Ⅱ）求函數f（x）在區間[0，]上的最大值和最小值．18．已知函數f（x）＝+alnx﹣2（a＞0）．（1）若曲線y＝f（x）在點P（1，f（1））處的切線與直線x+2y﹣2＝0垂直，求a的值．（2）若對于任意x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，試求a的取值范圍；（3）記g（x）＝f（x）+x﹣b（b∈R）．當a＝1時，函數g（x）在區間[e﹣1，e]上有兩個零點，求實數b的取值范圍．19．已知函數f（x）＝+alnx﹣2，曲線y＝f（x）在點P（1，f（1））處的切線與直線y＝x+3垂直．（1）求實數a的值；（2）記g（x）＝f（x）+x﹣b（b∈R），若函數g（x）在區間[e﹣1，e]上有兩個零點，求實數b的取值范圍；（3）若不等式πf（x）＞（）1+x﹣lnx在|t|≤2時恒成立，求實數x的取值范圍．參考答案與試題解析一．選擇題（共6小題）題號123456答案CCAAAC二．多選題（共4小題）題號78910答案ABACDBCDBC一．選擇題（共6小題）1．某班有4名同學報名參加校運會的五個比賽項目，每人參加一項且各不相同，則不同的報名方法有（）A．45種 B．54種 C．種 D．種【分析】利用排列數的概念即得．【解答】解：由題可知不同的報名方法數為從5個不同元素中取出4個元素的排列數，所以不同的報名方法有種．故選：C．【點評】本題考查排列的概念，考查學生的推理能力，屬于基礎題．2．已知函數y＝x2﹣x在x＝2處的切線為l，則直線l與兩坐標軸圍成的三角形面積為（）A．3 B．4 C． D．【分析】求出原函數的導函數，得到函數在x＝2時的導數值，利用直線方程點斜式求得直線l的方程，再求出直線在兩坐標軸上的截距，則答案可求．【解答】解：由y＝x2﹣x，得y′＝2x﹣1，∴y′|x＝2＝3，又當x＝2時，y＝2．∴函數y＝x2﹣x在x＝2處的切線l：y﹣2＝3（x﹣2），取x＝0，得y＝﹣4，取y＝0得x＝．∴直線l與兩坐標軸圍成的三角形面積為S＝．故選：C．【點評】本題考查利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，是基礎的計算題．3．函數，則＝（）A． B． C． D．【分析】求出函數的導函數，再令求出，即可得到函數解析式，再代入計算可得．【解答】解：因為，所以，所以，所以，所以函數f（x）＝x﹣2cosx，．故選：A．【點評】本題主要考查導數的運算，屬于基礎題．4．已知（1+ax）（2﹣x）4（a∈R）的展開式中x4的系數為17．則實數a的值為（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【分析】先找到（2﹣x）4的展開式通項為，再由乘法分配律得展開式中x4的系數為1﹣8a，即可得解．【解答】解：二項式（2﹣x）4的展開式的通項公式為，r＝0，1，2，3，4，所以（1+ax）（2﹣x）4的展開式中x4為：，則1﹣8a＝17，解得a＝﹣2．故選：A．【點評】本題考查二項式定理的應用，屬于基礎題．5．現給如圖所示的五個區域A，B，C，D，E涂色，有5種不同的顏色可供選擇，每個區域只涂一種顏色，相鄰區域顏色不相同，則不同的涂色方案種數為（）A．420 B．340 C．260 D．120【分析】討論A，E同色、B，D同色，A，E、B，D一組同色一組不同色，A，B，C，D，E的顏色互不相同，結合排列組合數求對應涂色方法，應用分類加法求不同涂色方案數．【解答】解：由題意五個區域A，B，C，D，E涂色，有5種不同的顏色可供選擇，每個區域只涂一種顏色，相鄰區域顏色不相同，可分情況討論：若A，E同色、B，D同色，有，此時C有3種涂法，共有種，若A，E同色、B，D不同色，有，此時B，C，D有種涂法，共有種，同理B，D同色、A，E不同色也有120種，若A，B，C，D，E的顏色互不相同，則有種，綜上，共有60+120+120+120＝420種．故選：A．【點評】本題考查了排列組合的運用，是中檔題．6．陽春三月，草長鶯飛；絲絳拂堤，盡飄香玉．三個家庭的3位媽媽帶著3名女寶和2名男寶共8人踏春．在沿行一條小溪時，為了安全起見，他們排隊前進，三位母親互不相鄰照顧孩子；3名女寶相鄰且不排最前面也不排最后面；為了防止2名男寶打鬧，2人不相鄰，且不排最前面也不排最后面．則不同的排法種數共有（）A．144種 B．216種 C．288種 D．432種【分析】利用捆綁法和插空法進行求解．【解答】解：第一步：先將3名母親全排，共有：種；第二步：將3名女寶捆綁在一起，共有：種；第三步：將捆綁在一起的3名女寶作為一個元素，在第一步形成的2個空中選擇1個插入，有種；第四步：首先將2名男寶之中的一人，插入第三步后形成的兩個媽媽中間，然后將另一個男寶插入由女寶與媽媽形成的2個空中的1個空，共有：種，所以不同的排法種數有：種．故選：C．【點評】本題主要考查了排列組合知識，考查了捆綁法和插空法的應用，屬于中檔題．二．多選題（共4小題）（多選）7．丹麥數學家琴生（Jensen）是19世紀對數學分析做出卓越貢獻的巨人，特別是在函數的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果，設函數f（x）在（a，b）上的導函數為f′（x），f′（x）在（a，b）上的導函數為f″（x），若在（a，b）上f″（x）＜0恒成立，則稱函數f（x）在（a，b）上為“凸函數”，以下四個函數在（0，1）上是凸函數的是（）A．f（x）＝sinxcosx B． C．f（x）＝xex﹣x3 D．f（x）＝tanx【分析】根據定義只需判斷每一個選項中f″（x）＜0在（0，1）上是否恒成立即可．【解答】解：對于A，因為f（x）＝sinxcosx，f'（x）＝cos2x﹣sin2x＝cos2x，所以f″（x）＝﹣2sin2x，因為x∈（0，1），所以2x∈（0，2），sin2x＞0，所以f″（x）＝﹣2sin2x＜0在x∈（0，1）上恒成立，所以f（x）＝sinxcosx在（0，1）上是凸函數；對于B，因為f（x）＝，x∈（0，1），所以f'（x）＝，f″（x）＝＜0，所以f（x）＝在（0，1）上是凸函數；對于C，因為f（x）＝xex﹣x3，所以f'（x）＝ex+xex﹣3x2，f″（x）＝（x+2）ex﹣6x，因為當x趨于0時，f″（x）趨于2，當x趨于1時，f″（x）趨于3e﹣6＞0，所以f″（x）＜0在（0，1）上不恒成立，所以f（x）＝xex﹣x3在（0，1）上不是凸函數；對于D，因為f（x）＝tanx＝，所以f'（x）＝＝cos﹣2x，f″（x）＝﹣2cos﹣3x?（﹣sinx）＝2sinx?＞0，所以f（x）＝tanx在（0，1）上不是凸函數．故選：AB．【點評】本題屬于新概念題，考查了導數的綜合運用及復合函數的求導，屬于中檔題．（多選）8．若，則（）A．a0＝1 B． C． D．a0+2a1+4a2+6a3+?+20a10＝41【分析】根據二項式展開式定理，令x＝2求得a0的值，判斷選項A；令x＝3求得a0+a1+a2+...+a10，判斷選項B；令x＝1求得a0﹣a1+a2﹣...+a10，即可求得a0+a2+...+a10，判斷選項C；設f（x）＝（2x﹣5）10，求導數，令x＝3求得a1+2a2+3a3+...+10a10，判斷選項D正確．【解答】解：二項式中，令x＝2，得（﹣1）10＝a0，所以a0＝1，選項A正確；令x＝3，得a0+a1+a2+...+a10＝110＝1，選項B錯誤；令x＝1時，得a0﹣a1+a2﹣...+a10＝（﹣3）10＝310，所以a0+a2+...+a10＝，選項C正確；設f（x）＝（2x﹣5）10，則f′（x）＝20（2x﹣5）9＝a1+2a2（x﹣2）+3a3（x﹣2）2+...+10a10（x﹣2）9，則f′（3）＝20＝a1+2a2+3a3+...+10a10，所以2a1+4a2+6a3+...+20a10＝40，所以a0+2a1+4a2+6a3+...+20a10＝41，選項D正確．故選：ACD．【點評】本題考查了二項式的應用問題，也考查了運算求解能力，是基礎題．（多選）9．現將5個不同的小球全部放入標有編號1、2、3、4、5的五個盒子中（）A．若有一個盒子有3個球，有兩個盒子各有1個球，則不同的放球方法種數為 B．若恰有一個盒子沒有小球，則不同的放球方法種數為 C．若恰有兩個盒子沒有小球，則裝有小球的盒子的編號之和恰為1l的不同放法種數為150 D．若這5個小球的編號分別為1～5號，則恰有四個盒子的編號與球的編號不同的放法種數為45【分析】根據排列組合及分步乘法計數原理計算，一一判斷即可．【解答】解：現將5個不同的小球全部放入標有編號1、2、3、4、5的五個盒子中，對于A，不同的放球方法種數為，故A錯誤；對于B，不同的放球方法種數為，故B正確；對于C，5個球放到編號為2、4、5的三個盒子中，因為每個盒子中至少放1個小球，所以在三個盒子中有兩種方法：各放1個，2個，2個的方法有＝90種；各放3個，1個，1個的方法有＝60種．共有150種，故C正確；對于D，恰有四個盒子的編號與球的編號不同，就是恰有1個編號相同，先選出1個小球，放到對應序號的盒子里，有種情況，不妨設5號球放在5號盒子里，其余4個球的放法為（2，1，4，3），（2，3，4，1），（2，4，1，3），（3，1，4，2），（3，4，1，2），（3，4，2，1），（4，1，2，3），（4，3，1，2），（4，3，2，1），共9種，故恰好有1個球的編號與盒子的編號相同的投放方法總數為5×9＝45種，故D正確．故選：BCD．【點評】本題考查了排列組合的混合問題，先選后排是最基本的指導思想，屬于基礎題．（多選）10．已知函數f（x）＝lnx﹣ax，則下列說法正確的是（）A．若f（x）≤0恒成立，則a≥1 B．當a＜0時，y＝f（x）的零點只有1個 C．若函數y＝f（x）有兩個不同的零點x1，x2，則 D．當a＝1時，若不等式me2x+lnm≥f（x）恒成立，則正數m的取值范圍是【分析】定義域為（0，+∞），對于A，分離參數研究y＝最大值即可；對于B，研究f（x）的單調性、極值的符號即可；對于C，利用極值點偏移的解題思路，將問題轉化為證明lnx1+lnx2＞2，然后找到兩個零點的關系，構造函數，利用導數研究最值即可；對于D，利用同構，構造函數并研究單調性解決問題．【解答】解：顯然函數的定義域為（0，+∞），對于A，由已知，問題轉化為，x＞0時恒成立，令g（x）＝，x＞0，令＝0，解得x＝e，0＜x＜e時，g′（x）＞0，x＞e時，g′（x）＜0，x＝e是g（x）唯一的極大值點，也是最大值點，g（e）＝，故a≥1為所求，A錯誤；對于B，a＜0時，＞0恒成立，故f（x）在（0，+∞）上遞增，且x→0時，f（x）→﹣∞，x→+∞時，f（x）→+∞，故f（x）存在唯一的零點，故B正確；對于C，設兩個零點為0＜x2＜x1，則lnx1﹣ax1＝0，lnx2﹣ax2＝0，兩式相加得lnx1+lnx2＝a（x1+x2）①，相減得lnx1﹣lnx2＝a（x1﹣x2）②，假如成立，只需lnx1+lnx2＞2成立，只需a（x1+x2）＞2成立，結合②得，只需?（x1+x2）＞2成立，化簡得＞2成立，令t＝，則上式可化為（t+1）lnt＞2（t﹣1），t＞1③時恒成立，再令h（t）＝（t+1）lnt﹣2（t﹣1），（t＞1），，顯然h′（1）＝0，且h″（t）＝，故h′（t）在（1，+∞）上單調遞增，故h′（t）＞h′（1）＝0，即h（t）在（1，+∞）上是增函數，所以h（t）＞h（1）＝0，故③式成立，即C正確；對于D，a＝1時，不等式me2x+lnm≥f（x）即me2x+lnm≥lnx﹣x，即e2x+lnm+2x+lnm≥elnx+lnx④，構造函數m（x）＝ex+x，顯然該函數是增函數，故④式可化為2x+lnm≥lnx恒成立，即lnm≥lnx﹣2x恒成立，令y＝lnx﹣2x，x＞0，由＝0，得x＝，易知時，y′＞0，時，y′＜0，故是該函數極大值點，也是最大值點，故lnm≥，故m≥符合題意，故D錯誤．故選：BC．【點評】本題綜合考查了利用導數研究不等式恒成立問題，極值點偏移問題，以及與函數零點相關的問題，同時考查了學生的邏輯推理，數學運算等核心素養，屬于難題．三．填空題（共4小題）11．從4名男生和3名女生中選出3人組成一個學習小組，其中至少有1名女生的不同選法共有31種（用數字作答）【分析】由題意知這3人中至少有1名女生的對立事件是只選男生，即則這3人中至少有1名女生等于從全部方案中減去只選男生的方案數，由排列的方法計算全部方案與只選男生的方案數．【解答】解：從4名男生和3名女生中選出3人，組成一個學習小組，有C73種選法，其中只選派男生的方案數為C43，這3人中至少有1名女生與只選男生為對立事件，則這3人中至少有1名女生等于從全部方案中減去只選男生的方案數，即合理的選則方案共有C73﹣C43＝31種結果，故答案為：31【點評】本題考查排列組合的運用，本題解題的關鍵是看出要求的事件的對立事件，遇到求出現至多或至少這種語言時，一般要用間接法來解，正難則反12．在的展開式中，常數項為展開式的第13項．【分析】先求出的通項公式，再令指數為零可得常數項各為展開式的第13項．【解答】解：由題意得Tr+1＝?（9x）18﹣r（）r＝918﹣r?（）r??x，由題間得18﹣r＝0，解得r＝12，所以在的展開式中，常數項為展開式中的第13項．故答案為：13．【點評】本題考查二項式定理的展開式，通項公式是求解這類問題的關鍵，屬基礎題．13．用數字0、1、2、3、4、5可以組成無重復數字且能被5整除的五位數有216個．（用數字作答）【分析】根據題意，五位數的個位必須為0或5，據此分2種情況討論，求出每種情況的五位數數目，由加法原理計算可得答案．【解答】解：根據題意，用0，1，2，3，4，5這六個數字，可以組成沒有重復數字且能被5整除的五位數，則五位數的個位必須為0或5，①若0排在個位，可從1，2，3，4，5這5個數字中選4個排在前面四個數位，有A54＝120種方法，②若5排在個位，0不能在萬位，則萬位有4種情況，在剩下的4個數字中任選3個，安排在中間3個數位，有4×A43＝96種方法，則有120+96＝216個五位數，故答案為：216．【點評】本題考查排列、組合及簡單計數問題，對有0與無0分類討論是關鍵，也可以按末位是0還是5分類，突出分類討論思想的考查，屬于中檔題．14．某學校新分配五名教師，學校準備把他們分配到甲、乙、丙三個班級，每個班級至少分配一人，則其中老師C不分配到乙班的分配方案種數是100．【分析】利用先分組再分配及計數原理即可求解．【解答】解：依題意知，分2步完成，第1步，將5名教師分為3組分2類，第1類，若分為3﹣1﹣1的三組，有種分組方法，第2類，若分為2﹣2﹣1的三組，有種分組方法，則共有10+15＝25種分組方法，第2步，將老師C所在的組安排在甲或丙班，剩下2組任意安排，有2×2＝4種安排方法，所以有25×4＝100種分配方案．故答案為：100．【點評】本題主要考查了排列組合知識，屬于基礎題．四．解答題（共5小題）15．已知函數f（x）＝x（1﹣lnx）．（1）討論f（x）的單調性；（2）設a，b為兩個不相等的正數，且blna﹣alnb＝a﹣b，證明：2＜+＜e．【分析】（1）首先求得導函數的解析式，然后結合導函數的符號即可確定函數的單調性，（2）法一：利用同構關系將原問題轉化為極值點偏移的問題，構造對稱差函數分別證明左右兩側的不等式即可．法二：要證x1+x2＜e，由x1+x2＜x1（1﹣lnx1）+x2＝x2（1﹣lnx2）+x2，故構造g（x）＝x（1﹣lnx）+x，判斷的單調性，即可得證．【解答】（1）解：由函數的解析式可得f'（x）＝1﹣lnx﹣1＝﹣lnx，∴x∈（0，1），f′（x）＞0，f（x）單調遞增，x∈（1，+∞），f′（x）＜0，f（x）單調遞減，則f（x）在（0，1）單調遞增，在（1，+∞）單調遞減．（2）證明：由blna﹣alnb＝a﹣b，得，即，由（1）f（x）在（0，1）單調遞增，在（1，+∞）單調遞減，所以f（x）max＝f（1）＝1，且f（e）＝0，令，，則x1，x2為f（x）＝k的兩根，其中k∈（0，1）．不妨令x1∈（0，1），x2∈（1，e），則2﹣x1＞1，先證2＜x1+x2，即證x2＞2﹣x1，即證f（x2）＝f（x1）＜f（2﹣x1），令h（x）＝f（x）﹣f（2﹣x），則h′（x）＝f′（x）+f′（2﹣x）＝﹣lnx﹣ln（2﹣x）＝﹣ln[x（2﹣x）]在（0，1）單調遞減，所以h′（x）＞h′（1）＝0，故函數h（x）在（0，1）單調遞增，∴h（x1）＜h（1）＝0．∴f（x1）＜f（2﹣x1），∴2＜x1+x2，得證．同理，要證x1+x2＜e，（法一）即證1＜x2＜e﹣x1，根據（1）中f（x）單調性，即證f（x2）＝f（x1）＞f（e﹣x1），令φ（x）＝f（x）﹣f（e﹣x），x∈（0，1），則φ'（x）＝﹣ln[x（e﹣x）]，令φ′（x0）＝0，x∈（0，x0），φ'（x）＞0，φ（x）單調遞增，x∈（x0，1），φ'（x）＜0，φ（x）單調遞減，又0＜x＜e時，f（x）＞0，且f（e）＝0，故φ（x）＝0，φ（1）＝f（1）﹣f（e﹣1）＞0，∴φ（x）＞0恒成立，x1+x2＜e得證，（法二）f（x1）＝f（x2），x1（1﹣lnx1）＝x2（1﹣lnx2），又x1∈（0，1），故1﹣lnx1＞1，x1（1﹣lnx1）＞x1，故x1+x2＜x1（1﹣lnx1）+x2＝x2（1﹣lnx2）+x2，x2∈（1，e），令g（x）＝x（1﹣lnx）+x，g′（x）＝1﹣lnx，x∈（1，e），在（1，e）上，g′（x）＞0，g（x）單調遞增，所以g（x）＜g（e）＝e，即x2（1﹣lnx2）+x2＜e，所以x1+x2＜e，得證，則2＜+＜e．【點評】本題主要考查利用導數研究函數的單調性，利用導數研究極值點偏移問題，等價轉化的數學思想，同構的數學思想等知識，屬于難題．16．（1）6名身高互不相等的學生，排成三排二列，使每一列的前排學生比后排學生矮，有多少種不同的排法？（2）6本不同的書分給3名學生，每人至少發一本，共有多少種不同的分法？【分析】（1）按先取后排（先排第一列，再排第二列，最后排第三列）即可得到結論；（2）先分組，再分給3名學生，利用乘法原理，即可得到結論．【解答】解：（1）從6人中任選2人排在第一列（前矮后高），有＝15種方法，再從剩余的4人中選2人排在第二列（前矮后高），有＝6種方法，最后剩余的兩人排在第三列（前矮后高），有一種方法，由分步乘法計數原理可得共有15×6＝90；（2）先把6本書分成3組，包括1、1、4；1、2、3；2、2、2三種情況，共有＝90種分法，再分給3名學生有＝6種方法，故共有90×6＝540種分法．【點評】本題考查排列、組合及簡單計數問題，突出考查分步乘法計數原理的應用，考查理解與應用能力，屬于中檔題．17．已知函數f（x）＝excosx﹣1．（Ⅰ）求曲線y＝f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；（Ⅱ）求函數f（x）在區間[0，]上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）f′（x）＝ex（cosx﹣sinx），f′（0）＝1．又f（0）＝0，即可得出曲線y＝f（x）在點（0，f（0））處的切線方程．（Ⅱ）令f′（x）＝ex（cosx﹣sinx）＝0，x∈[0，]，解得x＝．利用單調性即可得出最值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝ex（cosx﹣sinx），f′（0）＝1．又∵f（0）＝0，∴曲線y＝f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y﹣0＝x﹣0，即x﹣y＝0．（Ⅱ）令f′（x）＝ex（cosx﹣sinx）＝0，x∈[0，]，解得x＝．∴函數f（x）在上單調遞增，在上單調遞減．又f（0）＝0，＝﹣1，＝﹣1．故求函數f（x）在區間[0，]上的最大值為﹣1，最小值為﹣1．【點評】本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值及其切線方程、方程與不等式的解法、三角函數求值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．18．已知函數f（x）＝+alnx﹣2（a＞0）．（1）若曲線y＝f（x）在點P（1，f（1））處的切線與直線x+2y﹣2＝0垂直，求a的值．（2）若對于任意x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，試求a的取值范圍；（3）記g（x）＝f（x）+x﹣b（b∈R）．當a＝1時，函數g（x）在區間[e﹣1，e]上有兩個零點，求實數b的取值范圍．【分析】（1）根據題意可得直線x+2y﹣2＝0的斜率為﹣，那么切線的斜率為2，根據導數的幾何意義可得f′（1）＝2，進而解得a的值．（2）對f（x）求導數，分析單調性，得f（x）的最小值，對于?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，?f（x）最小值大于2（a﹣1）即可解得答案．（3）對g（x）求導分析單調性，若函數g（x）在區間[e﹣1，e]上有兩個零點，則，解得b的取值范圍．【解答】解：（1）直線x+2y﹣2＝0的斜率為﹣，函數f（x）的定義域為（0，+∞），因為f′（x）＝﹣+，所以f′（1）＝﹣+＝2，所以a＝4．（2）f′（x）＝﹣+＝，由f′（x）＞0解得x＞，由f′（x）＜0解得0＜x＜，所以f（x）在區間（，+∞）上單調遞增，在區間（0，）上單調遞減，所以，當x＝時，函數f（x）取得最小值，ymin＝f（），因為對于?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，所以f（）＞2（a﹣1）即可，則+aln﹣2＞2（a﹣1），由aln＞a解得