機(jī)密★啟用前

昌平區(qū)2024?2025學(xué)年第一學(xué)期高二年級(jí)期末質(zhì)量抽測(cè)

數(shù)學(xué)試卷

本試卷共4頁，150分.考試時(shí)長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.

考試結(jié)束后，將答題卡收回.

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要

求的一項(xiàng).

1,已知”(羽3，1),3=(-2/,2),若、〃石,則x+y=()

A-5B.-3C.3D.5

2.已知直線/：2x—3y+6=0,則直線/的傾斜角的正切值為()

3223

A.B.C.一D.一

2332

3.在的展開式中，x的系數(shù)為()

A.-80B,-40C.40D.80

4.以2(2,3),8(4,9)為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)的圓的方程為()

A.(x-l)2+(y-3)2B.(x-3)2+(y-6)2=Vw

C.(x-l)2+(v-3)2=10D.(x-3)2+(v-6)2=10

5.已知四面體O—48C中，設(shè)況=3，OB=b＜OC=c＞。為5c的中點(diǎn)，￡為。。的中點(diǎn)，則通用

向量扇可表示為()

A.-a+-b+-cB.a--b--c

4444

C.-a+-b+-cD.a--b--c

2222

22x2J

6.曲線上+2L=1與曲線+(左＜7)的

16716-k7-k

A.短軸長相等B.長軸長相等

C.焦距相等D.離心率相等

7.有3位男生和2位女生站成一排拍照，要求2位女生不能相鄰，不同的站法共有（）

A24種B.48種C.72種D.144種

8.“。〉1”是“坐標(biāo)原點(diǎn)在圓/+/—即+。—i=o的外部”的（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C充要條件D.既不充分也不必要條件

9.在中國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中，稱圖中的多面體4BCDEE為“芻（chu）薨（meng）若底

面Z5c。是邊長為4的正方形，EF=2,且EF11AB,和ABCF是等腰三角形，

ZAED=ZBFC=90°,則該芻薨的高（即點(diǎn)尸到底面4BCD的距離）為（）

A.1B.V3

C.2D.272

10.已知集合Z=｛（x,y）|y=，人wo｝,對(duì)于實(shí)數(shù)加，集合5=｛（x,y）|y=機(jī)"且滿足

AHB=0,則（）

A.m=±lB.m~\

C.me（-1,1）D.me[-l,l]

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.已知直線4:2x+即—3=0與直線4：x-y+l=0垂直，則實(shí)數(shù)加的值為.

12.已知雙曲線u三一或=1,則其漸近線方程為；過C的右焦點(diǎn)/作圓/+/=6的

63----------------------

切線，切點(diǎn)為M,則|〃F|=.

13.在正方體ABCD-4四。。1中，直線AB,與B3所成角大小為.

14.已知拋物線的焦點(diǎn)為/，準(zhǔn)線為/.則焦點(diǎn)/到準(zhǔn)線/的距離為；若點(diǎn)M在拋

物線。上，過點(diǎn)/作準(zhǔn)線/的垂線，垂足為￡,2(3,1),貝+|九閨的最小值為.

15.已知曲線用：￥+了2=4_|孫］.關(guān)于曲線少的幾何性質(zhì)，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①曲線少關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

②曲線少圍成的區(qū)域(不含邊界)內(nèi)恰好有8個(gè)整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))；

③曲線沙圍成區(qū)域的面積大于8；

?曲線平上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不小于友.

一3

其中正確結(jié)論的序號(hào)是.

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

16.已知V48C的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為2(—1,2),8(3,—2),C(l,4).

(1)設(shè)。為ZC的中點(diǎn)，求直線AD的方程；

(2)求V4SC的面積.

665432

17.(2x-1)=a6x+a5x+a4x+a3x+a2x+axx+aQ,求：

(1)以+。5+。4+。3+。2+；

(2)。6+&+。2+。0；

(3)64&+32a§+16%+8%+42+2%+a。-

18.如圖，在棱長為2的正方體48CD—4AG3中，￡為。1〃的中點(diǎn)，與平面交于點(diǎn)廠?

(1)求證：EFIIAC；

(2)求直線與平面NCE所成角的正弦值;

(3)求點(diǎn)用到平面ACE的距離.

19.已知圓C:(x-l)2+(y—3)2=5.

(1)過點(diǎn)2(2,-1)的直線/與圓C交于〃,N兩點(diǎn)，當(dāng)|MN|=4時(shí)，求直線/的方程;

(2)判斷直線加x—y+1—機(jī)=0與圓C的位置關(guān)系，并說明理由.

20.如圖，在四棱柱48CD-451G2中，側(cè)面NAB/1是邊長為2的正方形，平面，平面

ABCD,AB//CD,AD=CD=1,E為的中點(diǎn)，再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作

為己知.

條件①：AD1BE；

條件②：4。=&.

(1)求證：AD±AB；

(2)求平面5CE與平面ZDD/i夾角的余弦值;

(3)已知點(diǎn)M在線段CG上，直線EN與平面5。。1片所成角的正弦值為逆，求線段CW的

3

長.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

22

21.已知橢圓C：=+1=l(a〉b>0)的短軸長為2,尸是C的右焦點(diǎn)，。是。的下頂點(diǎn)，且

ab

|DF|=V2.過點(diǎn)。作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓C于48兩點(diǎn)(不與點(diǎn)。重合)，過點(diǎn)。作直線

48的垂線，垂足為

(1)求橢圓C的方程和離心率；

(2)判斷在y軸上是否存在定點(diǎn)。，使得M0的長度為定值？若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)和的長度；

若不存在，請(qǐng)說明理由.

參考答案

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要

求的一項(xiàng).

1.己知，=13，1）,3=（—2/,2）,若g//B,則x+y=（）

A.-5B.-3C.3D.5

【答案】D

【解析】

【分析】依題意可得彳萬=B，根據(jù)向量相等的充要條件得到方程組，解得即可.

【詳解】解：因?yàn)镵=(x,3,l),B=(—2/,2)且g〃B，

Ax——2(

x——]

所以41=3,即3X=.v,解得＜,,

V=0

4=2U

.'.x+jv=—1+6=5,

故選：D.

2.已知直線/:2x—3y+6=0,則直線/的傾斜角的正切值為（）

【答案】C

【解析】

【分析】直線方程化為斜截式，可得斜率，即可得到傾斜角的正切值.

2

【詳解】直線方程2x-3j+6=0化為斜截式y(tǒng)=§x+2,

則直線的斜率為2,

3

因?yàn)橹本€的斜率等于傾斜角的正切值，

所以直線/的傾斜角的正切值為-.

3

故選：C.

3.在（4-2『的展開式中，x的系數(shù)為（）

A.-80B,-40C.40D.80

【答案】A

【解析】

【分析】由展開式的通項(xiàng)可得.

［詳解］—的展開式通項(xiàng)為4M=《(4)2(—2『=(_2)無

5—kw

當(dāng)二一=1,即左=3時(shí)，得7；=(—2)C；x=—80x,系數(shù)是—80,

故選：A

4.以42,3),8(4,9)為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)的圓的方程為()

A.(x-1)2+(y-3)2=VH)B.(x-3)2+(y-6)2=V10

C.(X-1)2+(J-3)2=10D.(X-3)2+(J-6)2=10

【答案】D

【解析】

【分析】利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程待定系數(shù)計(jì)算即可.

【詳解】易知該圓圓心為2(2,3),8(4,9)的中點(diǎn)C(3,6),半徑子=耳1=而，

所以該圓方程為：(x—3)2+(y—6)2=10.

故選：D.

5.已知四面體O—48C中，設(shè)況=3，OB=b<OC=c>。為5c的中點(diǎn)，￡為。。的中點(diǎn)，則通用

向量扇可表示為()

A.-ClH---bH----C

44

C.—aH—bH—cD.a——b——c

2222

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算的幾何表示可得.

o

-------1*-11/**\1-*j

如圖，AE=AO+OE=AO+-OD=AO+-x-(OB+OC]=-a+-b+-c,

222、>44

故選：A

2222

6.曲線土+匕=1與曲線上二+工=1（左＜7）的

16716—左7—左

A.短軸長相等B.長軸長相等

C,焦距相等D.離心率相等

【答案】C

【解析】

【分析】本道題結(jié)合/=〃+c2，計(jì)算a,b,c的值，即可.

【詳解】A選項(xiàng)，明顯短軸不相等，一個(gè)7力2=7—左，故錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，一個(gè)/=16,

另一個(gè)為/=16-左，故錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，離心率e=9,結(jié)合前面提到了a不相等，故錯(cuò)誤；曲線

a

2222

工+匕=1的焦半徑滿足02=16—7=9,而^―+上一=1焦半徑滿足

16716—k7—左

。2=16-左一（7-左）=9,故兩曲線的焦半徑相等，故焦距相等，c正確.

【點(diǎn)睛】本道題考查了橢圓的基本性質(zhì)，關(guān)鍵抓住/=〃+°2,難度中等.

7.有3位男生和2位女生站成一排拍照，要求2位女生不能相鄰，不同的站法共有（）

A.24種B.48種C.72種D.144種

【答案】C

【解析】

【分析】利用插空法可得.

【詳解】由題意，先把3位男生排成一排，然后將2位女生插入3個(gè)男生中間或兩邊，不同的站法共

A；A”72種,

故選：C

8.“。〉1”是“坐標(biāo)原點(diǎn)在圓f+j?—即+。一i=o的外部”的（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C,充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】先由“坐標(biāo)原點(diǎn)在圓V+j?—即+。—i=o的外部”得。〉1且進(jìn)而可得.

Q—1〉0

【詳解】由坐標(biāo)原點(diǎn)在圓/+v?-av+a-1=0的外部可得\2/、，即。〉1且。/2,

（一口）-4（a-1J>0

故“a〉1”是“a〉1且aw2”的必要不充分條件，

故選：B

9.在中國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中，稱圖中的多面體4BCDEE為“芻（chu）薨（meng）若底

面Z5CD是邊長為4的正方形，EF=2,支EF11AB,“。石和ABCF是等腰三角形，

ZAED=ZBFC=90°,則該芻薨的高（即點(diǎn)尸到底面48CD的距離）為（）

A.1B.百

C.2D.2亞

【答案】B

【解析】

【分析】如圖，利用線面垂直的判定定理與性質(zhì)確定W為芻薨的高，求出萬H即可.

【詳解】如圖，取幺。,8c的中點(diǎn)J,G,連接JG,龍,GN,

則GF1BC,過點(diǎn)E,F分別作EI1JG,FH1JG,垂足分別為I,H,

則四邊形〃為矩形，且〃=G8,

由GE_L8C,JGVBC,JG[}GF=G,JG.GFu平面E尸GJ,

得8C_L平面EFGJ,又EBu平面EPGJ,

所以8CLW,又FHLJG,JGCBC=G,JG、BCu平面幺5。￡),

所以平面48CD,即W為芻薨的高.

又EF=2,AB=JG=4,所以GH=1,

因?yàn)槭珻=EB,尸CLEB,G為8c的中點(diǎn)，所以26=。6=砥?=2,

所以FH^FG^-HG。=出，

即該芻薨的高為VL

故選：B

10.己知集合z={(x,y)|y=/m,〃W0},對(duì)于實(shí)數(shù)加，集合5={(x,y)|y=機(jī)x}且滿足

A^B=0,則()

A.m=±1B.m=l

C.me(-1,1)D.me[-l,l]

【答案】A

【解析】

【分析】由題意可知集合A表示焦點(diǎn)在7軸上的雙曲線的上支或焦點(diǎn)在無軸上的雙曲線的上部分，集合B

表示過原點(diǎn)的直線，求出雙曲線的漸近線方程即可滿足題意.

_______22

【詳解】由y=1*2+w0，得^——=l(y>0),

nn

當(dāng)〃〉0時(shí)，集合A表示焦點(diǎn)在歹軸上的雙曲線的上支,

而集合8表示過原點(diǎn)的直線，如圖，

因?yàn)閦n5=0,所以雙曲線的上支與過原點(diǎn)的直線沒有交點(diǎn),

該直線即為雙曲線的漸近線，即y=±x,所以—iw加41；

當(dāng)"<0時(shí)，集合A表示焦點(diǎn)在無軸上的雙曲線的上部分，

而集合5表示過原點(diǎn)的直線，如圖，

因?yàn)殓劭?=0,所以雙曲線的上部分與過原點(diǎn)的直線沒有交點(diǎn),

該直線即為雙曲線的漸近線，即y=±x,所以機(jī)<-1或

綜上，m=±1.

故選：A

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.已知直線乙：2x+即—3=0與直線4：x-V+l=0垂直，則實(shí)數(shù)加的值為

【答案】2

【解析】

【分析】根據(jù)兩直線的位置關(guān)系計(jì)算即可求解.

【詳解】當(dāng)機(jī)=0時(shí)，4：2x-3=0,此時(shí)不成立；

2

故加。0,若則1=-1，解得加=2.

m

綜上，m=2.

故答案為：2

12.已知雙曲線C：三一金=1,則其漸近線方程為；過C的右焦點(diǎn)/作圓/+/=6的

63----------------------

切線，切點(diǎn)為M,則|"F|=.

【答案】?.y=+^-x②.拒

【解析】

【分析】由雙曲線漸近線方程的定義，即可得到雙曲線的漸近線方程；由是圓/+/=6的切線，則

在RtZ\O“中，利用勾股定理即可求得|I.

則a=V6,b=,

所以其漸近線方程為J=+-x=土與X=+—X;

。J62

因?yàn)閏=飛a2+/=3，

所以雙曲線C的右焦點(diǎn)為E(3,0),則IOF1=3,

因?yàn)椤盀閳A/+r=6上的點(diǎn)，所以|(W|=八，

因?yàn)楸皇菆A的切線，所以。

則在RtAOMF中，=yl0F2-0M2=,3?—(#丁=JL

故答案為：y=-~^~x'出.

13.在正方體ABCD-451GA中，直線AB,與BCX所成角大小為.

71

【答案】-

3

【解析】

【分析】先連接401,由異面直線的夾角可得直線48］與8。所成角即為/。/用，由△Ng。為等邊三角

如圖,連接4Di，D[B],

由正方體性質(zhì)知BCJIADX,則直線ABX與8。所成角即為ND",

因ABX,ADX,24都是正方體的面對(duì)角線，所以ABi=ADi=D[Bi,

7T

故△4813為等邊三角形，故

JT

故答案為：一.

3

14.已知拋物線C:%2=2y的焦點(diǎn)為廠，準(zhǔn)線為/.則焦點(diǎn)廠到準(zhǔn)線/的距離為；若點(diǎn)M在拋

物線。上，過點(diǎn)M作準(zhǔn)線/的垂線，垂足為E,幺（3,1）,貝+W閨的最小值為.

【答案】①.1②.亙

2

【解析】

【分析】①根據(jù)拋物線中p的幾何意義可求解；

②根據(jù)拋物線的定義，轉(zhuǎn)化同為點(diǎn)M到焦點(diǎn)E的距離，利用數(shù)形結(jié)合可求解.

【詳解】①由拋物線/=2y知，2。=2,

所以拋物線的焦點(diǎn)/到準(zhǔn)線的距離是P=L

②如圖所示，過點(diǎn)兒化工/,貝U|M4|+|〃E|=|MF|+|M4|2NE,

當(dāng)點(diǎn)"在線段AF上時(shí)等號(hào)成立，

所以|九訓(xùn)+1兒閨的最小值為AF=

2

4(3,1)

x

故答案為：①1;②叵.

2

15.已知曲線少:公+了2=4_|孫］.關(guān)于曲線%的幾何性質(zhì)，給出下列四個(gè)結(jié)論：

①曲線少關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

②曲線少圍成的區(qū)域（不含邊界）內(nèi)恰好有8個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；

③曲線沙圍成區(qū)域的面積大于8；

?曲線沙上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不小于渲.

一3

其中正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】①③④

【解析】

【分析】對(duì)①：將（-兀-日代入，依舊滿足該方程即可得；對(duì)②，由曲線可得」町區(qū)3，將所有整點(diǎn)

x2+y2<4

求出即可得對(duì)③，借助對(duì)稱性，證明該曲線在第一象限部分面積大于直線》+>-2=0與坐標(biāo)軸圍成的面

積即可得；對(duì)④由基本不等式可得進(jìn)而可得.

【詳解】曲線沙：/+產(chǎn)=4_回|,將x換成-X,將y換成-y,方程不變，

故曲線少關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，①正確；

x2+y2=4-\xy\>2\xy\,得」孫歸3,要使均為整數(shù)，

x2+y2<4

則可得整點(diǎn)有（0,0）、（0,±1）、（±1,0）、（±1,±1）共9個(gè),故②錯(cuò)誤;

曲線少:公+/=4_|切，將x換成-X,方程不變，故曲線少關(guān)于了軸對(duì)稱，

故曲線沙圍成區(qū)域的面積大于8,只需在曲線第一象限的面積大于2,

當(dāng)x>0,y〉0時(shí)，x2+y2=4-xy,得(x+y)2=4+孫，

故x+y=J4+盯〉2,因x+y=2與x軸，了軸構(gòu)成的三角形面積為2,

故曲線葉圍成區(qū)域的面積大于8,故③正確；

2I23Q

由對(duì)稱性，根據(jù)孫W土千得；仁+了2)24,得必+/2§,

故曲線火上的點(diǎn)(X/)到原點(diǎn)的距離為正+了2>半，故④正確，

故答案為：①③④

三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

16.已知V48C的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為2(—1,2),8(3,—2),C(l,4).

(1)設(shè)。為ZC的中點(diǎn)，求直線AD的方程；

(2)求V4SC的面積.

【答案】(1)5x+3v-9=0

(2)8

【解析】

【分析】(1)先確定NC中點(diǎn)。的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)確定直線5。的斜率，利用直線方程的點(diǎn)斜式寫出直線

方程.

(2)法一：確定直線3c的方程及忸C|,利用點(diǎn)到直線的距離求三角形的高，再求三角形面積；

法二：通過判斷直線AB與/C的關(guān)系，可得V48C為直角三角形，利用直角三角形的面積的計(jì)算方法求

三角形面積.

法三：利用行列式的方法求三角形面積.

【小問1詳解】

NC的中點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,3).所以直線8D的斜率kBD=得言=-1■

所以直線8。的方程為y=—gx+3,即5x+3y—9=0.

【小問2詳解】

法一：

因?yàn)檠荨?4：(二2)=一3,所以直線8。的方程為。—4=一3(%—1),即3x+y—7=0-

1-3

_3x(-l)+2-74而

所以點(diǎn)A到直線BC的距離d=?'J—?=展乜

V32+l25

因?yàn)殁頒|=^/(3-1)2+(-2-4)2=2710,

所以=-ISClxc/=1x2710x^^=8.

AHOC21?25

法二：

因?yàn)榈腂==^=T，踴=5言.

-1-3i一(7

所以eB,心c=-L

所以ZBINC.

因?yàn)?481=7[3-(-l)]2+(-2-2)2=472,

\AC|=7[l-(-l)]2+(4-2)2=2V2,

所以S?Bc=：|48|x|/C|=；x4jix2貶=8.

-121

法三：由題意：S：=33-21=-(2+2+12+2-6+4)=8

2

141

665432

17.(2x-1)=a6x+a5x+a4x+a3x+a2x+axx+aQ,求:

(1)以+。5+。4+。3+。2+%；

(2)&+。4+。2+。0；

(3)646+32%+16%+8%+4%+2al+a。-

【答案】(1)0(2)。6+。4+%+/=365

(3)729

【解析】

【分析】(1)(2)(3)根據(jù)給定的展開式，利用賦值法計(jì)算得解.

【小問1詳解】

在展開式中，令X=0,得：%=(-1)6=1,

X—1,：。6+。5+。4+%+。2+=(2—I)'=1,

以6+%+。4+。3+%+4=1—1=0.

【小問2詳解】

令X——1,(導(dǎo)：6—％+%—°3+42_。］+%=(_2_1)6=729,

由(1)知，。6+。5+。4+。3+。2+%+。0=1，

兩式相加得：2(4+&+出+4)=1+729=730,

所以。6+。4+。2+。0=365.

【小問3詳解】

令x=2,得：64a6+32%+16%+8%+4出+2%+%=(4-1)，=729.

18.如圖，在棱長為2的正方體A8CD—481G2中，E為GA的中點(diǎn)，4〃與平面NCE交于點(diǎn)尸.

(1)求證：EF//AC；

(2)求直線與平面NCE所成角的正弦值；

(3)求點(diǎn)4到平面NCE的距離.

【答案】(1)證明見解析

(2)述

15

(3)2

【解析】

【分析】(1)可以用面面平行的性質(zhì)定理證明線線平行，也可以用線面平行的性質(zhì)定理證線線平行.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量求線面角.

(3)用空間向量求點(diǎn)到平面的距離.

【小問1詳解】

法一：

在正方體ABCD—A1BlC1Dl中，

因?yàn)槠矫?5］。］。］//平面ABCD,

平面ABCD八平面ZCE=/C,平面4片。1。A平面ACE=EF,

所以ZC//E/.

法二：

在正方體ABCD—4BCD］中，

因?yàn)槠矫?8CD//平面ZCu平面45C3,

所以NC//平面4454.

又因?yàn)閆Cu平面NCE,平面ZCECI平面4與。2=E尸，

所以ZC//EE.

【小問2詳解】

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系。-師.則

￡>(0,0,0),幺(2,0,0),C(0,2,0),￡(0,1,2),男(2,2,2).

_ULIU

所以通二(—2,1,2),就=(—2,2,0),。￡=(0,1,2).

設(shè)平面4CE的法向量]二(x，Nz)，則

n-AE=0f-2x+y+2z=0

《—,即《

n-AC=0[-2x+2y=0

令x=2,則y=2,z=l.

所以3=(2,2,1)

設(shè)直線DE與平面ACE所成角為a,

\DE-n\_|0x2+lx2+2xl|_4V5

\DE\-\n\75x3

所以直線DE與平面ACE所成角的正弦值為生6

15

【小問3詳解】

-.\AB}-n\|0x2+2x2+2xl|

因?yàn)榱?=(0,2,2),所以=--------------------------=2

所以點(diǎn)Bx到平面ACE的距離為2.

19.已知圓C:(x-1)2+(y—3)2=5.

(1)過點(diǎn)2(2,-1)的直線/與圓C交于W,N兩點(diǎn)，當(dāng)|MN|=4時(shí)，求直線/的方程；

(2)判斷直線機(jī)x—了+1-機(jī)=0與圓C的位置關(guān)系，并說明理由.

【答案】(1)x=2或15x+8y—22=0.

(2)直線M-.v+l-m=0與圓C相交，理由見解析

【解析】

【分析】(1)易知直線x=2符合題意，當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程，利用點(diǎn)線距公式和幾何

法求弦長建立關(guān)于左的方程，解之即可求解；

(2)法一：求出直線恒過定點(diǎn)，將定點(diǎn)代入圓的方程，結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可下結(jié)論；

法二：利用點(diǎn)線距公式，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系計(jì)算即可下結(jié)論.

【小問1詳解】

由圓C:(x-1)~+(y-3)-=5可得，圓心C(l,3),半徑廠=.

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，直線/的方程為x=2.

圓心C(l,3)到直線/的距離為d=1,

此時(shí)=一/=心符合題意.

當(dāng)直線I的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為y+l=k(x-2),

即依一歹一2左一1二0.

7\k-3-2k-l\\k+4\

J1

圓心C(l,3)到直線I的距離為d=—I、=r=^.

,--------,-------\k+4\,

因?yàn)閨MV|=24戶-/=245-屋=4,所以d=l.所以「—=1

7k+1

解得左所以直線/的方程為y+l=(x—2),即15x+8y—22=0.

88

綜上，所求直線的方程為x=2或15x+8y—22=0.

【小問2詳解】

因?yàn)橹本€機(jī)x-y+l-機(jī)=0過定點(diǎn)。(1,1),

又因?yàn)閨CO|=7(l-l)2+(3-l)2=2<y/5,

所以點(diǎn)。(1,1)在圓C內(nèi).

所以直線機(jī)x-y+l-機(jī)=0與圓C相交.

,\m-3+\-m\2

圓心C到直線mx-y+\-m=0的距離d=,2—=/2

7m+1\lm+1

因?yàn)镴/+l21,所以

ylm+1

所以0</2<2<4^>_

，加~+1

所以直線機(jī)x-y+1-機(jī)=0與圓C相交.

20.如圖，在四棱柱4BCD-451G2中，側(cè)面是邊長為2的正方形，平面46呂4,平面

ABCD,AB//CD,AD=CD=1,E為441的中點(diǎn)，再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作

為己知.

條件①：AD1BE-,

條件②：4c=46.

(1)求證：AD±AB；

(2)求平面5CE與平面NDD/i夾角的余弦值；

(3)已知點(diǎn)M在線段CG上，直線EN與平面5。。］與所成角的正弦值為逆，求線段CAZ的

3

長.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】(1)證明見解析

⑵—

6

13

(3)CA/=—或CN=—.

22

【解析】

【分析】(1)選①：通過證明線面垂直來得出線線垂直；選②：通過線面垂直來得出線線垂直，同時(shí)結(jié)合

勾股定理來證明垂直；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量來解決二面角的問題，用到公式為：cos6)=|cosm,H|；

(3)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量結(jié)合線面角的正弦值建立關(guān)于參數(shù)的等式進(jìn)行求解即可.

【小問1詳解】

解：選擇條件①：ADLBE.

因?yàn)閭?cè)面48與4為正方形，

所以441，4g.

又因?yàn)槠矫鍭BBXAX1平面ABCD,平面ABB.A,Q平面ABCD=AB,

AAXu平面4BB[A],

所以441，平面48CD.

因?yàn)?Du平面ABCD,

所以40,平面ZAS/i.

所以40148.

選擇條件②:4c=V6.

連接NC.

因?yàn)閭?cè)面48g4為正方形，

所以，4g.

又因?yàn)槠矫?BB41平面ABCD,平面ABB&Q平面ABCD=AB,

AAXu平面ABBXAX,

所以，平面48CD.

所以，ZC.

所以NC=J4c2_"=V2.

因?yàn)?0=CD=1,

所以Z￡>2+C02=ZC2.

所以40LCD.

因?yàn)殓?〃CD,

所以4D14B.

【小問2詳解】

因?yàn)?4，平面AD±AB,

所以441,Z。,ZB兩兩垂直.

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系孫z,則

N(0,0,0),5(0,2,0),C(l,l,0),￡(0,0,1),51(0,2,2),G(l,l,2),2(1,0,2).

所以瑟=(1,—1,0),礪=(0,—2,1).

設(shè)平面8CE的法向量機(jī)=(x,y,z),貝！I

m-BC=0,

<

m-BE=0.

x-v=0,

即《'

~2y+z=0.

令x=l,則>=l,z=2.

所以浣=(1,1,2).

因?yàn)槠矫鍭DDXAX的法向量[=(0,1,0),

設(shè)平面BCE與平面ND。/]的夾角為。，則

cl一T\m-n\V6

cos〃=cos私川二^―rr4=——.

11\m\\ii\6

所以平面BCE與平面ND。/]夾角的余弦值為—.

6

【小問3詳解】

法一：

設(shè)亂(七,必,2]),CA7=2CQ,2G[0,1].

所以(再一1,必—1,Z[)=40,0,2).

所以為=1,必=1,句=22.

所以M(l,l,24).

所以詼=(1,1,2彳一1).

因?yàn)橥?=(1,—1,0)，函=(0,0,2),

設(shè)平面BCC&]的法向量7=(々,Z2)，則

t-BC=Q,(x-y=0,

<____.即\22

t?BB]—0.[2Z2=0.

令％=1，則>2=1/2=0.

所以7=(i,i,o).

設(shè)直線與平面BCC1A所成角為則

I.I|￡A/-Fl22V2

sin/3=\cosEM,t\=———/=—

11V2XV422-42+33

13

解得幾=—,或4=—.

44

13

所以CW=—,或CA/=—.

22

法二：

設(shè)則前=(1,1,"I).

因?yàn)?=(1,—1,0),函=(0,0,2),

設(shè)平面5CG用的法向量7=(々,%/2),則

t-BC=0,\x

<____,即<2

t?BB、=0.=0.

令/=1，則%=10=0.

所以，=(1,1,0).

設(shè)直線用攸與平面BCG4所成角為〃，則

I___.I22V2

sin/?=cos￡M,，=^^=2=j

1I\EM^t\亞xjl+l+（a-1）23

13

解得Q=—,或。=—.

22

13

所以