微專題43圓的綜合題

類型一與銳角三角函數結合

1.如圖，為的直徑，△58內接于。0,連接并延長交的延長

線于點E,且NE=NA5C

(1)求證：BC=EC-,

(2)若EC=20,tanZBCD=—,求。0的半徑.

7

第1題圖

2.如圖，四邊形ABC。內接于。0,對角線5。為。。的直徑，對角線AC是

N5CD的平分線，過點A作A石〃5。，交CB的延長線于點E.

(1)求證：4E是。。的切線；

(2)若NAE5=60°,BD=242,求AC的長.

第2題圖

3.(2021廣東24題10分)如圖，在四邊形A5CZ)中，AB〃CD,ABWCZ),ZABC

=90°,點E,尸分別在線段AD±,且EF〃CD,AB=AF,CD=DF.

(1)求證：CF±FB；

(2)求證：以為直徑的圓與相切；

第1頁共21頁

(3)若EF=2,ZDFE=120°,求△ADE的面積.

第3題圖

類型二與全等三角形結合

1.如圖所示，在△斗臺。中，ZABC=90°,以直角邊A5為直徑作。0,交斜邊

4。于點。，連接5D

(1)若NC=30°,求巖的值；

(2)過點。作。。的切線，交BC于點E,求證：E是的中點.

第2頁共21頁

2.(2024梅州模擬)如圖，尸為外一點，PA,尸5為。。的切線，切點分別

為A,B,直線尸O交。O于點。，E,交A3于點C

(1)求證：ZADE=ZPAE；

(2)若NA。石=30°,連接跳),求證：四邊形AD5尸是菱形.

第2題圖

3.如圖，5。為。O的弦，點A為劣弧雄的中點，D為BC上一點,連接A。,

過點4作的切線4E,連接CE,CE〃AD,點F為AE上一點,AF=BD,連

接AB,AC,CF.

(1)求證：四邊形AOCE是平行四邊形；

(2)當5O=E尸時，求證：AC=&AD.

第3頁共21頁

4.(2023廣東22題12分)綜合探究

如圖①，在矩形A5CD中，對角線AC,相交于點O,點4關于

的對稱點為4.連接AA交于點E,連接CA：

(1)求證：AA'±CA\

(2)以點O為圓心，OE為半徑作圓.

①如圖②，與相切，求證：AA'=V3CA'；

1,求。O的面積.

A'

圖②圖③

第4題圖

第4頁共21頁

類型三與相似三角形結合

[6年2考：2020.22(2),2019.24(3)]

1.如圖，△4臺。內接于是。O的直徑，。是上一點，連接C。,

過點。作。。的切線交。5的延長線于點E,且。

(1)求證：AC=CD；

(2)若。0的半徑為5,BC=6,求的長.

第1題圖

2.如圖，在R3ABC中，ZBAC=90°,D,E分別在邊ABAC上，DE//BC,

△AOE的外接。0與交于點尸，連接ARA/平分NBAC

(1)求證：5C為的切線;

(2)若ADCE=8,求OO的半徑.

第2題圖

第5頁共21頁

3.(2024珠海一模)如圖，A5是。。的直徑，。是半圓A5的中點，點。是。O

上一點，連接8交A5于E,點尸是A3延長線上一點，且E尸=Z)E

(1)求證：。尸是。0的切線；

(2)連接5C,BD,AD,若DF=3,求。。的半徑.

第3題圖

4.如圖①，在平行四邊形A5CD中，AC為對角線，AB=AC,且△A5C內接于

OO.

(1)當5。為。O直徑時，求證：BC=V2AB；

(2)如圖②，當與。。相切時，求證：四邊形A5CD是菱形；

(3)如圖③，當8與。。相交于點E時，連接BE,交AC于點尸，若EFAB

=CE2,求N。的度數.

類型一與銳角三角函數結合

第6頁共21頁

1.(1)證明：如解圖，連接AC,

TAB是。0的直徑，AZACB=90°,BPAC±BC,

"：ZE=ZABC,：.AE=AB,：,BC=EC；

n

(2)解：,:/DAB=/BCD,

24

tanZDAB=tanZBCD=—，

7

是。。的直徑，

ZADB=90°,

...tanZDAcB=—BD=一24,

AD7

設A。=7%,則50=24%,

：.AB=JAD2+BD2=25X,

???由(1)知，AE=AB=25x,

：.DE=AE+AD=25x+lx=32x,

\"CE=20,

：.BE=2CE=A0,

在RtABDE中，

222

VJBD+DE=JBE,

(24x)2+(32x)2=402,解得％=1(負值已舍去),

：.AB=25x=25,

OO的半徑為

2.(1)證明：如解圖，連接04,

?「AC是NBCD的平分線，

第7頁共21頁

ZACB=ZACD,

：.ZAOB=ZAOD,

VZAOB+ZAOD=180°,

ZAOB=ZAOD=90°,

,JBD//AE,

：.ZOAE=ZAOD=90°,

是OO的半徑，

.二AE是。。的切線；

(2)解：如解圖，過點5作5AC于點尸，

\'AE//BD,：.ZAEB=ZCBD=60°,

?..50是00的直徑，

.?.ZBCD=90°,

：.ZBDC=30°,：.BC=-BD=42,

2

?/4。平分N5C。，

1

ZACB=-2ZBCD=45°,

△BCF是等腰直角三角形，

：.CF=BF=BCsin45°=1,

』二信

VZBAC=ZBDC=30°,在R3A5尸中，AF

：.AC=AF+CF=V3+1.

第2題解圖

3.(1)證明："：CD=DF,

:.設/DCF=NDFC=a,

第8頁共21頁

.*.ZFDC=180°~2a,

'.'CD//AB,

：.ZBAF=180°-(180°~2a)=2a,

5i'：AB=AF,

：.ZABF=ZAFB=18°°~2g=90o~a,

2

.*.ZCFB=180°-ZDFC-ZAFB=180°—a—(90°-a)=90°,

：.CF±FB；

(2)證明：如解圖①，取A。的中點O,過點。作于點M,

'：AB//CD,NA5C=90°,

：.ZDCB=90°,

XVOMXBC,

OM//AB,

J點加為的中點，

1

：.OM=^AB+CD),

XVAF=AB,DF=DC,

：.AD=AF+DF=AB+CD^2OM,

1

：.OM=-AD=OD,

2

???OM是以A。為直徑的圓的半徑，

J以AD為直徑的圓與相切；

(3)解：VZDFE=120°,ZABC=9Q°,CD//EF,AB//CD,

：.EF//AB,

：.ZCDF=60°,N5A尸=120°,ZAFE=60°,ZCEF=ZBEF=ZEBA=90°,

又，：DC=DF,

.?.△DC尸為等邊三角形，ZDFC=60°,

第9頁共21頁

.*.ZCFE=60°,

由(1)得NC尸5=90°,

ZEFB=ZCFB-ZCFE=30°,

?；EF=2,

.?.在R357芯中，BE=EFtan30°=—,

3

在R3CE/中，CE=EFtan60°=2取,

如解圖②，過點Z),A分別作E尸的垂線，交直線石尸于點H,N,

則四邊形CEHD四邊形EBAN均為矩形，:.CE=DH=2W,BE=AN=^,

??&ADE=SAEFZJ+SAEFA

11

=-EFDH~\--EFAN

22

=^EF(DH+AN)

=|X2X(2V3+^)

8A/3

第3題解圖

類型二與全等三角形結合

1.(1)解:VZABC=90°,ZC=30°,

ZA=60°,

為。0的直徑，

ZADB=90°,

：.ZABD=30°,

：.AD=^-BD,CD=WBD,

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?AD—~BD—1

??CD43BD3'

(2)證明：如解圖，連接O。，OE,

?「。石是00的切線，

：.ZODE=90°,

?」上(OD=OB,

在RtAOBE與RtAODE中，

VOE=OE,

Z.RtAOBE^RtAODE(HL),

：.DE=BE,

：.ZBDE=ZDBE,

ZDBC+ZC=ZBDE+ZCDE=90°,

：.ZCDE=ZC,

：.DE=CE,

：.BE=CE,

??.E是的中點.

RR

第1題解圖

2.證明：（1）如解圖①，連接04,

第2題解圖①

?「OE是的直徑，

：.ZDAE=9Q°,

即NZ)40+N04E=90°,

第11頁共21頁

?..巳4為。0的切線，

：.ZPAO=90°,

即NP4E+NO4E=90°,

：.ZDAO=ZPAE,

"：AO=DO,

：.ZDAO=ZADE,

：.ZADE=/PAE；

(2)如解圖②，連接。4,OB,

VZADE=30°,

：.ZAOE=60°,

〈PA為00的切線，

：.ZPAO=90°,

ZAP0=90°-ZAOE=30°,

：.AD=AP,

,：PA,尸5為。。的切線，

：.ZPA0=ZPBO=90°,

'：P0=P0,OA=OB,

.,.RtAAPO^RtAfiPO(HL),

ZAPO=ZBPO=30°,

ZADE=ZBPO,

：.AD//PB,

?：PA=PB=AD,

四邊形ADBP是平行四邊形，

XVAD=AP,

???四邊形AD5尸是菱形.

第12頁共21頁

A

第2題解圖②

3.證明：（1）如解圖，連接。4,

???點4為劣弧虎的中點，AE是。。的切線,

：.OA±BC,DALAE,

：.AE//BC,BPAE//CD,

,JCE//AD,

四邊形ADCE是平行四邊形；

AFE

第3題解圖

(2Y：BD=AF,BD=EF,

：.AF^EF,：.BD=^AE,

?.?點A為劣弧廢的中點，

：.AB^AC,ZABC=ZACB,

1

9：BD=-AB,

2

1

：.BD=-AC,C.AC^AE,

2

由⑴得AE〃CD,

ZACB=ZCAF,

：.ZABD=ZCAF,

AABD^ACAF(SAS),

：.AD=CF,

第13頁共21頁

由(1)知四邊形AOCE為平行四邊形，

：.AD=CE,：.CF=CE,

：.ZE=ZEFC,

"：AC=AE,

：.ZACE=ZE=ZEFC,

：.^EFC^AECA,

ECAE

設EF=x,貝l|AC=AE=2x,

:.CE=6,：.AD^^2x,

EC2x

.?.絲=W=VL：.AC=V2AD.

ADV2x

4.(1)證明：?.?點A關于瓦)的對稱點為4,

：.AE=A'E,AA'±BD,即

???四邊形A5CD是矩形，

：.OA=OC,

JOE是AACA的中位線，

：.OE//CA',

：.AA'±CA\(3分)

⑵①證明：如解圖①，設。。與。。相切于點尸，連接尸。并延長，交45于點G,

：.FG±CD,

?.?四邊形A5CZ)是矩形，

1

：.OB=OD=OA=-BD,AB//CD,FG±AB,

2

ZFDO=ZGBO,ZGAO=ZGBO,

,：ZDOF=ZBOG,

：.△DOFmABOG(ASA),(5分)

OG=OF=OE,

由(1)知A4LL5。，

第14頁共21頁

OG±AB,

,*.RtADE4^RtAOGA(HL),

：.ZEAO=ZGAO,

：.ZGBO=ZEAO,

'：ZEAB+ZGBO^90°,

.?.NEAO+NGAO+NG5O=90°,

.?.3Z￡AO=90°,

.*.ZEAO=30°,

由⑴知

.?.tanZ￡AO=—=—,

AA13

.'.AA'=V3CAr；(7分)

第4題解圖①

②解：如解圖②，設CA與OO相切于點”，連接OH,

?.?OC與CA相切,

：.OH±CA',

由(1)知，AA'±CA,,AA'LBD,OA=OC,

四邊形OHAE為矩形，

"：OE=OH,

J四邊形OHA'E為正方形，

：.AA'=2A'E=2OH,CA'=2A'H=2OE,

：.AA'=CA',

：.ZA'AC=ZA'CA=45°,

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ZAOE=ZACA'=45°,

：.AE=OE,0D=0A=6AE,

設AE=OE=x,則0。=04=缶，

DE=OD-0E=(V2-l)x,

在R3ADE中,^+[(V2-1)%]2=12,

：.^=—,即4呼=0/=3,

44

：.So0=71-0^(12分)

4

Ar

第4題解圖②

類型三與相似三角形結合

1.(1)證明：如解圖，連接OC,AD,

?「CE是。。的切線，

：./OCE=90°,OCLCE.

'：DE±CE,

：.OC//DE,

：.ZOCB=ZCBE.

'：OC=OB,

：.ZOCB=ZOBC,

：.ZCBE=ZOBC.

???四邊形AC5。內接于。0,

：.ZCAD=ZCBE.

,：ZADC=ZABC=ZCBE,

：.ZCAD=ZADC,

第16頁共21頁

.*.AC=CD；

第1題解圖

(2)解：的半徑為5,

：.AB=1Q,

在R3A5C中，BC=6,：.CD=AC=AB2~BC2=8.

VZBAC=ZBDC,ZACB=ZCED=9Q°,

：.AABC^ADCE,

.霽嚏喑畔福=親解得。石4CE=%

在R35CE中，BE=\BC2-CE2=^,

：.BD=DE—BE

2.(1)證明：如解圖，連接OR

,：ZBAC=90°,...DE是的直徑,

又YA尸平分N5AC,

ZBAF=ZCAF=45°,ZDOF=2ZDAF=90°,

'：DE//BC,：.ZOFB=180°~ZDOF=90°,

丁。尸為的半徑，

???5。為。。的切線；

(2)解：如解圖，連接。尸，EF,

?.?四邊形ADFE是。。的內接四邊形，

.?.NAZ)F+NA￡：F=180°,

又:/。石尸+/4石/=180°,

NADF=/CEF,

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■:DE//BC,：.ZDEF=ZEFC,

,?ZDAF=ZDEF,

：.ZDAF=ZEFC,

:.XDAFs叢EFC,EFEC

：.EFDF=DAEC=S,

VZDAF=ZCAF=45°,

：.EF=DF,:.EP=8,

：.EF=2近,

'：OE=OF,

：.0E^—2EF=2,

的半徑為2.

RF

第2題解圖

3.(1)證明：如解圖，連接0。,0C,

是半圓A5的中點，

ZAOC=ZBOC=90°,

：.ZOCE+ZOEC=90°.

,：Z0EC=ZDEF,

：.ZDEF+ZOCD=90°.

■:EF=DF,

：.ZDEF=ZEDF,

：.ZEDF+ZOCD=90°.

'：0C=0D,

：.Z0CD=Z0DC,

第18頁共21頁

ZEDF+ZODC=90°,

即NO。尸=90°,

：.OD±DF,

為OO的半徑，

尸是。0的切線；

(2)解：VZBCD=ZA,tanZBCD=^,

1

/.tanA=tan/BCD=-,

2

是。O的直徑，

ZADB=90°,

,：ZODF=ZADB=90°,

：.ZODA=ZBDF,

又?:04=00,

ZA=ZODA,

：.ZBDF=ZA,

'：ZF=ZF,

:FBDs^FDA,

.FBDFBD1

''FDAFDA2'

?：DF=3,

3

：.FB=-,AF=6,

2

3Q

：.AB=AF-BF=6--=-,

22

?0?。o的半徑為

224

第19頁共21頁