專題02整式與因式分解

考情聚焦

課標要求考點考向

考向一單項式與多項式

1.會把具體數代人代數式進行計算。

2了解整數指數嘉的意義和基本性質。考向二同類項

整式

3,理解整式的概念，掌握合并同類項和去括號的法則。

考向三整式的加減

4,能進行簡單的整式加減運算，能進行簡單的整式乘法運

算。考向四整式的乘除

222

5.理解乘法公式(a+b)(a-b尸a?-b2,(a±b)=a±2ab+b,了解公考向五整式的混合運算

式的幾何背景，能利用公式進行簡單的計算和推理。

因式

考向一提公因式法因式分解

6.能用提公因式法、公式法進行因式分解。

分解

考向二公式法因式分解

真題透視/

考點一整式

A考向一單項式與多項式

1.(2024?吉林長春?中考真題)單項式的次數是_____.

【答案】3

【分析】此題考查單項式有關概念，根據單項式次數的定義來求解，解題的關鍵是需靈活掌握單項式的系

數和次數的定義，單項式中數字因數叫做單項式的系數，所有字母的指數和叫做這個單項式的次數.

【詳解】單項式的次數是：2+1=3,

故答案為：3.

2.(2024?江西?中考真題)觀察。，/，下,“4,,根據這些式子的變化規律，可得第100個式子為

【答案】a100

【分析】此題考查了單項式規律探究.分別找出系數和次數的規律，據此判斷出第〃個式子是多少即可.

【詳解】解：，力,/,/,.「

.?.第〃個單項式的系數是1;

?.?第1個、第2個、第3個、第4個單項式的次數分別是1、2、3、4,,

二第"個式子是.

第100個式子是/°.

故答案為：儲.

3.（2024?重慶?中考真題）已知整式“：%/+1H+ClyX+旬，其中%氏T，…，/為自然數，%為正整

數，且〃++4-1+,??+%+%=5.下列說法：

①滿足條件的整式/中有5個單項式；

②不存在任何一個〃，使得滿足條件的整式M有且只有3個；

③滿足條件的整式M共有16個.

其中正確的個數是（）

A.0B.1C.2D,3

【答案】D

【分析】本題考查的是整式的規律探究，分類討論思想的應用，由條件可得,再分類討論得到答案

即可.

【詳解】解：：…,小為自然數，。”為正整數，且"+%+3+--+4+偉=5,

0<n<4,

當〃=4時,貝[]4+%+%+%+%+=5,

??=1I=a?=q=6ZQ—0,

滿足條件的整式有一,

當〃=3時z則3+/+%+"1+%=5,

.?.（%,2，%，/）=（2,0。0）,（1,1,0,0）,（1,0,1,0）,（1,0,0,1）,

滿足條件的整式有：2x3,/+/,/+X，/+i,

當〃=2時，貝[]2+2+%+為=5,

（8,%,旬）=（3,0,0）,（2,1,0）,（2,0,1）,（1,2,0）,（1,0,2）,（1,1,1）,

滿足條件的整式有：3x2,2x2+x,2X2+1,x2+2x,x2+2,x2+x+l；

當〃=1時，貝[]1+q+%=5,

.?.?,%）=（4,0）,（3,1）,（1,3）,（2,2）,

滿足條件的整式有:4x,3x+l,x+3,2x+2;

當〃=0時，0+旬=5,

滿足條件的整式有：5;

???滿足條件的單項式有：/,2d,3/,4x,5,故①符合題意；

不存在任何一個〃,使得滿足條件的整式“有且只有3個；故②符合題意；

滿足條件的整式M共有1+4+6+4+1=16個.故③符合題意；

故選D

A考向二同類項

i.判斷同類項

標準：所含字母相同，且相同字母的指數也分別相等。

注意事項：同類項與系數的大小無關，與它們所含的字母順序無關，所有常數項都是同類項。

2.合并同類項

要點：字母和字母的指數不變，只把系數相加減。

著查面度丁一同親項南京叉

4.（2024?河南?中考真題）請寫出2機的一個同類項：.

【答案】加（答案不唯一）

【分析】本題考查的是同類項的含義，根據同類項的定義直接可得答案.

【詳解】解：2加的一個同類項為加,

故答案為：小

考查角度2合并同類項

5.（2024?西藏?中考真題）下列運算正確的是（）

A.x-2x=xB.x（x+3）=f+3

236

C.(-2x)=-8xD.3x2-4x2=12x2

【答案】C

【分析】根據合并同類項、單項式乘以多項式、幕的乘方與積的乘方、單項式乘以單項式的運算法則逐項

判斷即可得出答案.

【詳解】解:A、x-2x=-x,故原選項計算錯誤，不符合題意；

B、X(X+3)=X2+3X,故原選項計算錯誤，不符合題意；

236故原選項計算正確，符合題意；

Cs(-2x)=-8x,

D、3x2-4x2=12x1故原選項計算錯誤，不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題考查了合并同類項、單項式乘以多項式、幕的乘方與積的乘方、單項式乘以單項式，熟練掌

握運算法則是解此題的關鍵.

A考向三整式的加減

6.(2024?四川德陽?中考真題)若一個多項式加上必+3中-4,結果是3孫+2/-5，則這個多項式為.

【答案】/-I

【分析】本題考查整式的加減運算，根據題意"一個多項式加上V+3盯-4,結果是3孫+2丁-5〃，進行列

出式子：(3xy+2y2-5)-(y2+3xy-4),再去括號合并同類項即可.

【詳解】解：依題意這個多項式為

(3xy+2儼-5)一(/+3xy-4)

—3xy+2y2—5—y2—3xy+4

=y2-i.

故答案為：/-1

7.(2024?重慶?中考真題)一個各數位均不為0的四位自然數M=時,若滿足a+d=b+c=9，則稱這

個四位數為〃友誼數〃.例如：四位數1278,???1+8=2+7=9,二1278是〃友誼數〃.若麗是一個友誼數〃，

且6"=c_6=l,則這個數為_________;若河=麗是一個“友誼數"，設爪￥,且尸(")+=+一

913

是整數，則滿足條件的M的最大值是_________.

【答案】34566273

【分析】本題主要考查了新定義，根據新定義得到a+d=b+c=9，再由6-a=c-6=l可求出a、b、c、d

的值,進而可得答案；先求出"=999，+壩+99,進而得到半尸=9,+8+誓殳,根據

止”是整數,得到研8+如并是整數,即如常是整數’則%+…是13的倍數,求

出。《8,再按照。從大到小的范圍討論求解即可.

【詳解】解：???麗是一個''友誼數〃，

036

圖1圖2

b-a=c-b=l,

「?Z?=4,c=5,

??ci—3,d=61

，這個數為3456;

M=而是一個"友誼數"，

M=1000。+100b+10c+d

二1000Q+1006+10（9-b）+9-a

=999〃+90b+99,

F（M）=^=llla+10b+ll,

.F（M）+ab+cd

13

llla+10b+ll+10a+b+10c+d

一13

_111。+106+11+10。+6+10R-b升9-a

―13

_120〃+b+110

13

117。+3a+b+104+6

13

八c3〃+6+6

=9Q+8+--------------

13

...F（M）+ab+cd是整數

13

，9a+8+即+6是整數，即為；；+6是整數,

?*-3a+b+6是13的倍數,

Va.b、c、d都是不為。的正整數，且a+d=b+c=9,

a<S,

...當。=8時，31<3a+/>+6<38，此時不滿足3a+6+6是13的倍數，不符合題意；

當。=7時，2843a+6+6V35，此時不滿足3a+6+6是13的倍數，不符合題意;

當。=6時，2543a+6+6W32，此時可以滿足3a+6+6是13的倍數，即此時6=2，則此時d=3,c=7,

要使M最大,則一定要滿足a最大，

???滿足題意的M的最大值即為6273;

故答案為:3456;6273.

A考向四整式的乘除

藕技可易鐳易港

1.單項式與單項式相乘法則：將系數相乘作為積的系數，相同字母的嘉相乘，單獨在一個單項式里的字母

連同它的指數作為積的一個因式。

2.單項式與多項式相乘法則：用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。

3.多項式與多項式相乘法則：先用一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。

4.單項式除以單項式法則：把系數、同底數算分別相除后，作為商的因式；對于只在被除式里含有的字母,

則連同它的指數一起作為商的一個因式。

5.多項式除以單項式法則：用多項式的每一項分別除以單項式，再把所得的商相加。

考查角度1塞的運算

8.（2024?廣東?中考真題）下列計算正確的是（）

A.a1-a5=awB.a84-a2=a4C,—2a+54=7aD.（a?）—a10

【答案】D

【分析】本題主要考查了同底數幕乘除法計算，幕的乘方計算，合并同類項，熟知相關計算法則是解題的

關鍵.

【詳解】解：A、/./=/,原式計算錯誤，不符合題意；

B、a^a2=a6,原式計算錯誤,不符合題意；

C、-2a+5a^3a,原式計算錯誤，不符合題意；

D、（4=/,原式計算正確，符合題意；

故選：D.

9.（2024?河北?中考真題）若a,6是正整數，且滿足七…，則。與6的關系正

8個2a相加撲2“相乘

確的是（）

A.a+3=8bB.3a=8bC,a+3=b8D.3a=8+6

【答案】A

【分析】本題考查了同底數幕的乘法，幕的乘方的運算的應用，熟練掌握知識點是解題的關鍵.

由題意得：8x20=（24）8,利用同底數幕的乘法，幕的乘方化簡即可.

【詳解】解：由題意得：8x2"=,y,

23x2a=284,

3+a=8b,

故選：A.

10.（2024?天津?中考真題）計算/的結果為.

【答案】X2

【分析】本題考查同底數幕的除法，掌握同底數幕的除法，底數不變，指數相減是解題的關鍵.

【詳解】解：,

故答案為：%2.

考查角度2單項式乘單項式

11.（2024湖北?中考真題）2『3x?的值是（）

A.5x2B.5x3C.6x2D.6x3

【答案】D

【分析】本題主要考查單項式與單項式的乘法.運用單項式乘單項式運算法則求出結果即可判斷.

【詳解】解：2x-3x2=6x3,

故選：D.

考查角度3單項式乘多項式

12.(2024?甘肅蘭州?中考真題)計算：2。(。一1)一2。2=()

A.aB.-aC.laD.-2a

【答案】D

【分析】本題主要考查了整式的混合運算，先計算單項式乘以多項式，再合并同類項即可.

【詳解】解：2a(a-1)-2/

=-2a-2a2

=—2a

故選：D.

考查角度4多項式乘多項式

13.(2024?山東威海?中考真題)因式分解：(x+2)(x+4)+l=.

【答案】(x+3)2

【分析】本題主要考查了用完全平方公式分解因式，先按照多項式乘以多項式展開，然后利用完全平方公

式分解因式即可.

【詳解】解：卜+2)(尤+4)+1

=+4x+2x+8+1

=x2+6x+9

=(x+3)z

故答案為：(x+3)2.

考查角度5平方差公式

14.(2024?上海?中考真題)計算(a+b)S-a)=.

【答案】及-￡

【分析】根據平方差公式進行計算即可.

【詳解】解：［a+b)(b-a)

=(b+a)(b-a)

=b2—a2,

故答案為：

【點睛】本題考查平方差公式，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握.

考查角度5完全平方公式

15.(2024?黑龍江大慶?中考真題)已知a+工=而，則/+上的值是___________

aa

【答案】3

【分析】根據a+工=6,通過平方變形可以求得所求式子的值.

a

【詳解】解：a+工="，

a

...-I----=3,

a~

故答案為：3.

【點睛】本題考查分式的化簡求值，解答本題的關鍵是熟練掌握完全平方公式.

A考向五整式的混合運算

16.(2024湖南長沙?中考真題)先化簡，再求值：2"-〃也"-2)+(加+3)(〃-3),其中加=g.

【答案】4m-9;1

【分析】本題考查整式的混合運算及其求值，先根據整式的混合運算法則化簡原式，再代值求解即可.

［詳解］解：2m-m(m-2)+(m+3)(m-3)

=2m一加2+2m+m2-9

=4m-9.

當加=g時，原式=4xg-9=10-9=l.

考點二因式分解

A考向一提公因式法因式分解

17.（2024浙江?中考真題）因式分解：/-7。=

【答案】a（"7）

【分析】本題考查了提公因式法因式分解，先提公因式。是解題的關鍵.

【詳解】解：/-74=4（〃-7）.

故答案為：-7）.

18.（2024?江蘇徐州?中考真題）若加〃=2，"-〃=1,貝M弋數式一機/的值是________.

【答案】2

【分析】本題考查代數式求值.先將代數式進行因式分解，然后將條件代入即可求值.

【詳解】解：..?機〃=2,m-n=],

m2n—mn2—w）=2xl=2,

故答案為：2.

A考向二公式法因式分解

19.（2024?西藏?中考真題）分解因式：尤2_4尤+4=.

【答案】（x-2）2/（2r）2

【分析】本題考查了分解因式，利用完全平方公式分解即可，熟練掌握完全平方公式是解此題的關鍵.

【詳解】解：X2-4X+4=（X-2）2,

故答案為：（x-2）2.

20.（2024?四川涼山?中考真題）已知=12，且a-6=-2，則〃+6=.

【答案】-6

【分析】本題考查了因式分解的應用，先把片-〃=12的左邊分解因式，再把。-6=-2代入即可求出。+6的

值.

【詳解】解:“3=12,

(a+b)(a-b)=12,

a—b=—2,

??a+b=-6.

故答案為：-6.

21.(2024?陜西?中考真題)先化簡，再求值：(x+4+x(x-2y),其中x=l,片-2.

【答案】2/+/,6

【分析】本題考查了整式的混合運算以及求值.根據完全平方公式和單項式乘以多項式法則進行運算，再

合并同類項，最后代入即可求解.

【詳解】解：(x+y)，x(x-2y)

=x2+2xy+>2+f_2xy

=2x2+y2；

當x=l,歹=-2時，

原式=2x『+(_2『=2+4=6.

_.bc

22.(2024福建?中考真題)已知實數。,6,c,加,〃滿足3m+〃=-,mn=-.

aa

⑴求證：。一⑵C為非負數;

(2)若。也c均為奇數，機，〃是否可以都為整數？說明你的理由.

【答案】⑴證明見解析；

(2)私〃不可能都為整數，理由見解析.

【分析】本小題考查整式的運算、因式分解、等式的性質等基礎知識：考查運算能力、推理能力、創新意

識等，以及綜合應用所學知識分析、解決問題的能力.

(1)根據題意得出6=a(3"+〃),c=mw,進而計算，根據非負數的性質，即可求解；

(2)分情況討論，①私〃都為奇數；②機，"為整數,且其中至少有一個為偶數，根據奇偶數的性質結合

已知條件分析即可.

bc

【詳解】(1)解：因為3%+〃=—"〃=一,

aa

所以。=a(3m+n^,c=amn.

貝［Jb2-\2ac-［a（3m+w）］2-12a2mn

=a1(9m2+6mn+?21-12a~mn

=a2（9m2-6mn+w2）

=?2（3m-M）2.

因為。，私〃是實數，所以/（3機-”）2NO,

所以12農為非負數.

（2）加，〃不可能都為整數.

理由如下：若加，〃都為整數，其可能情況有：①機，〃都為奇數；②肛〃為整數，且其中至少有一個為偶數.

①當見〃都為奇數時，則3加+〃必為偶數.

又3機+〃=。，所以b=a（3機+”）.

a

因為。為奇數，所以。（3機+〃）必為偶數,這與b為奇數矛盾.

②當加，〃為整數，且其中至少有一個為偶數時,則加〃必為偶數.

c

又因為加〃=一,所以c=0加”.

a

因為。為奇數，所以。加〃必為偶數，這與。為奇數矛盾.

綜上所述，私〃不可能都為整數.

23.（2024?安徽?中考真題）數學興趣小組開展探究活動，研究了"正整數N能否表示為/-/（x,y均為

自然數）”的問題.

⑴指導教師將學生的發現進行整理，部分信息如下（〃為正整數）：

N奇數4的倍數

1=12-024=22-02

3=22-128=32-12

表小結果

5=32-2212=42-22

7=42-3216=52-32

9=52-4220=62-42

LL

一般結論2/7-1=w2-(?-1)24n=______

按上表規律，完成下列問題：

(i)24=()2_()2；

(ii)4〃=;

(2)興趣小組還猜測：像2,6,10,14,…這些形如4〃-2(〃為正整數)的正整數N不能表示為-(為了均

為自然數).師生一起研討，分析過程如下：

假設4"-2=--J?,其中x,了均為自然數.

分下列三種情形分析：

①若X，y均為偶數，設X=2左，y=2機，其中總加均為自然數，

則/_/=但左『_(2M2=4e一加2)為4的倍數.

而4〃-2不是4的倍數，矛盾.故X，V不可能均為偶數.

②若X，，均為奇數，設x=2左+1,y=2m+l,其中怎加均為自然數,

則X?-/=Q左+-(2m+=為4的倍數.

而4〃-2不是4的倍數，矛盾.故X，V不可能均為奇數.

③若x,了一個是奇數一個是偶數，貝心2一式為奇數.

而4〃-2是偶數，矛盾.故方＞不可能一個是奇數一個是偶數.

由①②③可知，猜測正確.

閱讀以上內容，請在情形②的橫線上填寫所缺內容.

【答案】(1)(i)7,5;(ii)(n+l)2-(?-l)2;

(2)4(42-m2+k-m^

【分析】(1)(i)根據規律即可求解；(五)根據規律即可求解；

(2)利用完全平方公式展開，再合并同類項，最后提取公因式即可；

本題考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的運算是解題的關鍵.

【詳解】（1）（i）由規律可得，24=72-52,

故答案為：7,5;

（ii）由規律可得，4〃=（“+1）2-（〃-，

故答案為:5+1）2-（-1）2；

（2）解：假設4"-2=#-/，其中X，「均為自然數.

分下列三種情形分析：

①若X，V均為偶數，設x=2左，k2加，其中總加均為自然數，

則一一r=Q月2一（2班=4仔一蘇）為4的倍數

而樂-2不是4的倍數，矛盾.故X，了不可能均為偶數.

②若X，＞均為奇數，設x=2左+1,y=2加+1,其中左，機均為自然數，

貝[]x2_y2=（2左+1）2—（25+1）2=4（嚴一〃,+后一〃2）為4的倍數.

而4〃-2不是4的倍數，矛盾.故X，V不可能均為奇數.

③若X，了一個是奇數一個是偶數，則為奇數.

而4〃-2是偶數，矛盾.故X，V不可能一個是奇數一個是偶數.

由①②③可知，猜測正確.

故答案為：^{k2-m2+k-m）.

新題例I

一、選擇題

1.（2024?廣西?模擬預測）若"6-c="（）,則括號中應填入（）

A.b-cB.—b+cC.bcD.—b—c

【答案】C

【分析】本題主要考查了添括號，添括號時，若括號前是,添括號后，括號里的各項都不改變符號；若

括號前是,添括號后，括號里的各項都改變符號，據此求解即可.

【詳解】解：a-b-c=a-(b+c),

故選：C.

2.（2024?河南鄭州?模擬預測）給出下列判斷：①在數軸上，原點兩旁的兩個點所表示的數都互為相反數；

X2x

②多項式3xy2-4x3y+12是三次三項式；③任何正數都大于它的倒數；④石=布+1變為30x=100x+15利

用了等式的基本性質.其中正確的說法有（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】B

【分析】本題主要考查相反數的概念、數軸的基本概念、等式的基本性質、單項式與多項式的基本概念以

及倒數的概念。

根據相反數，可判斷①，根據多項式的項、次數，可判斷②，根據有理數的大小比較，可判斷③，根據

等式的性質,可判斷④,

【詳解】解；①只有符號不同的兩個數互為相反數，故①錯誤；

②多項式3孫2-4x3y+12是四次三項式，故②錯誤；

③小于1的正數小于它的倒數，故③錯誤；

④布=布+1變為30x=100x+15利用了等式的基本性質，故④正確；

故選：B.

3.（2024河南一模）在學習數與代數領域知識時，小明對代數式做如圖所示的分類，下列選項符合▲的

是（）

廠「單項式——例如：2。

一整式T

有理式4L多項式——例如：▲

(無理式一例如:而F

3a+bI----八,

A.B.---C.y/a+bD.lab

a+b3

【答案】B

【分析】本題考查代數式的分類，根據多項式的定義求解即可.

3

【詳解】A.一是分式，故A選項不符合題意；

a+b

B.一是多項式，故B選項符合題意；

C.5法是無理式，故C選項不符合題意；

D2ab是單項式，故D選項不符合題意；

故選：B.

4.（2024云南?模擬預測）觀察下列按一定規律排列的〃個數：x,3x2,5尤3,7x4,……，按照上述規律，

第9個單項式是（）

A.9x9B.17x9C.17x10D.19x9

【答案】B

【分析】本題考查單項式中的規律問題，觀察已有單項式，得到第"個單項式為：（2"-1）式，進而求出第9

個單項式即可.

【詳解】解：觀察已有單項式可知：第“個單項式為：,

.?.第9個單項式是：17/；

故選B.

5.（2024?云南?模擬預測）下列命題正確的是（）

A.對角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形

B.“水漲船高”是隨機事件

C.單項式2x/的次數是2

D,一元二次方程X2+X+3=0有兩個不相等的實數根

【答案】A

【分析】本題考查了正方形的判斷定理，隨機事件與必然事件，單項式的次數，根的判別式，運用相關知

識定理一一判斷即可.

【詳解】解：A、對角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形，正確，符合題意；

B、“水漲船高”是隨機事件，錯誤，"水漲船高"是必然事件，選項不符合題意；

C、單項式2孫2的次數是2,錯誤,單項式2x「的次數是3,選項不符合題意；

D、一元二次方程V+x+3=0有兩個不相等的實數根，A=12-4X3<0，錯誤，選項不符合題意；

故選：A.

6.（2024河北唐山?三模）與3952+2x395x5+52相等的是（）

A.（395-5『B,（395+5）（395-5）

C.（395+5）2D.（395+10）2

【答案】C

【分析】此題考查完全平方公式進行因式分解，根據完全平方公式因式分解即可得答案.

【詳解】解：3952+2x395x5+5。=（395+5『，

故選：C.

7.（2024?河北?模擬預測）下列運算中,與2/6.（一運算結果相同的是（）

A.2b-（2ab『B.-Sa2+b3C.（-2a）2-ft3D.-（2“為?

【答案】A

【分析】本題考查了同底數幕相乘、幕的乘方、合并同類項、積的乘方，根據同底數幕相乘、幕的乘方、

合并同類項、積的乘方的運算法則逐項判斷即可得出答案，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關

鍵.

【詳解】解：2a2b-（-2b）2=2a2b-4b2=Sa2b3,

A、2b\2ab）2=2b-4a2b2=8a2b3，故A符合題意；

B、-8/和3不是同類項，故不能直接相加，故B不符合題意；

2

C、（-2a）方=4/./=得/,故c不符合題意；

D、_（2/6丫=，故D不符合題意；

故選：A.

8.（2024?浙江?模擬預測）小江去超市購物，打算購買一件商品，在結賬時遇到了問題（如圖），你選擇

的辦法是（）

小江：這件商品正住、

0舉行促銅活動,可以

打八折,我F里還行

1.張2。元的優里分.

你M過計算.告訴

、我最苦我的辦法叫？)

A.先打折，再用券B.先用券，再打折

C.都一樣D.無法確定，取決于商品價格高低

【答案】A

【分析】本題考查了列代數式，整式加減的應用.設商品標價為X元，分別得到先打折，再用券以及先用券,

再打折需要支付的費用，再比較即可求解.

【詳解】解：設商品標價為尤元，

先打折，再用券需要支付0.8尤-20元，

先用券，再打折需要支付0?8(x-20)元，

0.8x-20-0.8(x-20)=-4<0,

即先打折，再用券比先用券，再打折更省錢，

故選：A.

9.(2024?黑龍江哈爾濱?模擬預測)現定義一種新運算"派”，對任意有理數〃?、〃都有加※〃=機〃(機-”)，

貝[](0+6必(°-6)=()

A.lab1-lb1B.2a2b-2b3C.2ab2+2b2D.lab-lab2

【答案】B

【分析】該題主要考查了整式的混合運算，解題的關鍵是根據新定義列出等式.

原式利用題中的新定義計算即可得到結果.

【詳解】解:根據題中的新定義得:(。+9※("3

=(Q+6)(Q-6)[(Q+6(a-b^

=2b(a+b)(a-b)

=2a2b-2b3,

故選：B.

10.（2024?重慶模擬預測）有?個依次排列的算式：第1項是小，第2項是/+2。+1,用第2項減去第

1項，所得之差記為4,將仇加2記為“，將第2項與與相加作為第3項，將4加2記為4,將第3項與4

相加作為第4項，......，以此類推.某數學興趣小組對此展開研究，得到3個結論①&=2。+9;②若第6

項與第5項之差為4057,貝U。=2024;③當〃=左時，偽+仇+4+"+…+4=2成+淤；其中正確的個數是

（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】本題主要考查了完全平方公式，數字類的規律探索，整式的加減計算，根據所給計算方式，依次

求出第1項，第2項，第3項，…，及仇，仇，仇，…，發現規律即可解決問題.

【詳解】解：由題知，第1項為：/,

第2項為：a2+24+1=（4+1丫，

.?.仇=（a+l）2-/=2a+l,

二.仇=4+2=2a+3]

二第3項為:/+2。+1+2“+3=（。+2『，Z>3^b2+2=2a+5,

第4項為：/+4a+4+2a+5=（a+3,

,,,，

以此類推，

第〃項為：（a+〃T）2,"=2。+2"-1（〃為正整數）.

當〃=5時，&=2。+9.故①正確.

第6項與第5項之差可表示為：（a+5）2-（a+盯，

（a+5）2-（a+4『=4057,

解得。=2024.故②正確.

當力=左時，

瓦+Z）2+4+??,+4

—2。+1+2。+3+2a+5+,,,+2。+2k—1

=2成+M-2I）

2

=2ak+k1.故③正確.

故選：D.

11.（2024?湖南?模擬預測）下列運算正確的是（）

A.a6=a3B.（a-2）=/—4

c.（-2m2）3=-8m6D.2ab+3a2b=5ab2

【答案】c

【分析】本題考查整式的運算，根據同底數幕的除法，完全平方公式，積的乘方，幕的乘方，合并同類項

的法則，逐一進行判斷即可.

【詳解】解：A、原選項計算錯誤，不符合題意；

B、（a-2『=/-4a+4,原選項計算錯誤，不符合題意；

C、（-2/丫=-8/，原選項計算正確，符合題意；

D、2a6,3/6不能合并，原選項計算錯誤，不符合題意；

故選C.

12.（2024?重慶?一模）在多項式F-3+C）-"（其中。>6>c>d）中，對每個字母及其左邊的符號（不包

括括號外的符號）稱為一個數，即：-。為"數1",b為"數2：+C為“數3","為"數4”,若將任意兩個數

交換位置，后得到一個新多項式，再寫出新多項式的絕對值，這樣的操作稱為對多項式+c）-"的"絕

對換位變換”，例如：對上述多項式的“數3"和"數4"進行"絕對換位變換”，得到卜。-@-"）+。］,將其化簡后

結果為a+6-c-"，….下列說法：

①對多項式的"數1"和"數2"進行"絕對換位變換”后的運算結果一定等于對“數3"和"數4"進行"絕對換位變

換”后的運算結果；

②不存在"絕對換位變換”，使其運算結果與原多項式相等；

③所有的“絕對換位變換"共有5種不同運算結果.

其中正確的個數是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】本題考查了整式的加減運算，對于新定義的理解及絕對值的性質的應用是解題關鍵.按照所提供

的運算，將所有存在的結果計算，即可解題.

【詳解】解：對多項式的"數1"和"數2"進行"絕對換位變換”后的運算，也一(-a+c)-1/|—6Z+Z7-c-df

正確；

對多項式的"數1"和"數3"進行"絕對換位變換”后的運算，|c-(b-a)-d|="b+c-d,

對多項式的“數1"和"數4〃進行“絕對換位變換”后的運算，卜d_(b+c)_“|=a+b+c+6^_a_6_c_d

對多項式的“數2"和"數3"進行"絕對換位變換”后的運算，卜”(c+b)-4=a+5+c+d或Fi—V對多

項式的“數2"和"數4"進行"絕對換位變換”后的運算,\-a-[-d+c)+b\=a-b+c-d,

綜上共4種結果，故③錯誤；

其中存在“絕對換位變換"，使其運算結果與原多項式相等，故②錯誤.

故選：B.

二、填空題

13.(2024甘肅?三模)如果-4J了1與3凸，是同類項，那么"=.

【答案】2

【分析】本題主要考查了同類項的定義，所含字母相同，相同字母的指數也相同的單項式叫做同類項，據

此解答即可.

【詳解】解：根據題意得：?-1=1,

:.n=2,

故答案為：2.

14.(2024福建廈門?二模)已知,則(2x+l『-3x(x+l)的值為.

【答案】2

【分析】本題考查整式的混合運算、代數式求值，熟練掌握運算法則，利用整體代入思想求解是解答的關

鍵.先根據x-4=T得出V+x=l,然后利用完全平方公式、單項式乘多項式化簡原式，再整體代值求解

X

即可.

【詳解】解：,

X

?,X2+X—1/

(2x+l『-3x(x+l)

=4x~+4x+1—3廠—3x

=x~+x+1

=1+1

=2.

15.(2024?湖北?一模)我國南宋時期數學家楊輝于1261年寫下的《詳解九章算法》，書中記載的圖表給

出了伍+6)"展開式的系數規律.

1.......(。+6)。=1

11.......(a+bV=a+b

121.......(。+6)2=〃+2/+62

1331.......(a+b')3=a3+3a2b+3ab2+b3

當代數式X3-9x2+27X-27的值為8時，貝葉的值為.

【答案】5

【分析】此題考查了多項式中乘法規律問題.觀察題中的圖表，表示出(“+6)3,根據已知代數式的值為8,

確定出x的值即可.

【詳解】解：根據題意得：(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,

x3—9%2+27x—27

=x3+3x2-(-3)+3x-(-3)2+(-3)3

=(x-3)3,

二.(X-3)3=8,

開立方得：x-3=2,

解得：x=5.

故答案為：5.

16.(2024?湖南?模擬預測)某班開展圖書交換閱讀活動.甲、乙、丙三名同學有相同數量的圖書、甲同學

借給乙同學4本，丙同學借給乙同學2本，一段時間后，他們約定：乙同學須將手中甲、丙兩名同學現有

圖書數量總和的一半，借給甲同學，而后乙同學手上剩余圖書的數量為本.

【答案】9

【分析】本題主要考查了整式加減的意義，設一開始三名同學各有x本圖書，則甲、丙借完圖書給乙后乙

有圖書(x+4+2)本，而甲、丙剩余圖書之和為(x-4+x-2),再根據題意列式求解即可.

【詳解】解：設一開始三名同學各有x本圖書，

Y_A.Y—D

由題意得，乙同學手上剩余圖書的數量為X+4+2-----------------=x+6-(x-3)=9本，

故答案為：9.

三、解答題

17.(2024河北?模擬預測)如圖1是一個長為m,寬為n的矩形(加>〃).用7張圖1中的小矩形紙片,

按圖2的方式無空隙不重疊地放在大矩形內，未被覆蓋的部分用陰影表示.若大矩形的長是寬的弓.

m

圖1圖2

⑴求m與H的關系；

(2)若圖2中，大矩形的面積為18,求陰影部分的面積.

【答案】⑴加=4〃

,26

(2)T

【分析】本題考查列代數式、整式的加減、多項式乘多項式、代數式求值，看懂圖形，正確列出代數式是

解答的關鍵.

(1)先根據圖形，用叭〃表示出矩形的長、寬，再根據長和寬的關系可得結論；

(2)根據圖形，用叭〃表示出大矩形的面積，進而求得1,進而可得陰影面積的值.

【詳解】(1)解:由題意，大矩形的長為機+5〃,寬為摩+2〃,

3

;大矩形的長是寬的5，

m+5n=—(m+2z?)t

化簡，得"2=4";

(2)解：：大矩形的面積為(加+2〃乂"7+5〃