第25課時矩形、菱形、正方形

基礎夯實

1.（2024?成都）如圖,在矩形48CD中,對角線NC與AD相交于點。，則下列結論一定正確的是（）

A.AB=ADB.AC1BD

C.AC=BDD.ZACB=ZACD

2.（2024?邢臺一模）如圖,有甲、乙兩個四邊形，分別標出了部分數據,則下列判斷正確的是（）

DCDC

甲乙

A.甲是矩形

B.乙是矩形

C.甲、乙均是矩形

D.甲、乙都不是矩形

3.（2024?濟寧）如圖，菱形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,E是AB的中點，連接OE.若。￡=3,則

菱形的邊長為（）

D

B

A.6B.8

C.10D.12

4.（2024?遷安二模）已知下列選項中圖形均為菱形，所標數據有誤的是（）

ABCD

5.（2024?唐山路南區二模）如圖1是由一根細鐵絲圍成的正方形，其邊長為1.現將該細鐵絲圍成一

個三角形（如圖2所示），則Z8的長可能為（）

A.1.5B,2.0C.2.5D,3.0

6.（2024?滄州南皮縣三模）已知四邊形是平行四邊形，若要使得四邊形是正

方形，則需要添加條件（）

A.AB=BCB.ZABC=90°

C.ZADB=30°D.AC=AB

7.（2023?大慶）將兩個完全相同的菱形按如圖方式放置，若NA4Q=a,NC5￡=A則￡=（）

A.45°+4tB.45°+-aC.90°」aD.90°-^a

2222

8.(2024?甘肅)如圖,在矩形48CD中,對角線ZC乃。相交于點。,/48。=60。,48=2,則AC的長為

()

9.（2024?邯鄲二模）已知:在四邊形A5CQ中H5=5C=CD=D4如圖，求證，四邊形48CD是菱形.

證明:?.?48=。＞乃。=。4,四邊形48CQ是平行四邊形,

???四邊形Z5CD是菱形.

在以上證明過程中,“”可以表示的是（）

A.NZ=NCB.AD//BCC.AB=BCDAB//DC

10.（2024?石家莊長安區模擬）如圖,在正方形紙片NBC。上進行如下操作：

第一步:剪去矩形紙條AEFD-

第二步:從矩形紙片BCFE上剪去矩形紙條CFGH.

若矩形紙條ZEFO和CNG〃的面積相等，則48的長度為（）

A.30cmB.15cmC.16cmD.90cm

11.（2024?邯鄲峰峰礦區三模）如圖，菱形4BC。中交5。于點于點瓦連接。瓦若/

N5C=80。,貝IAOEC的度數為°

12.（2023?臺州）如圖，矩形45CD中,46=4么。=6.在邊2。上取一點瓦使8E=5C,過點C作CFLBE,

垂足為點E則BF的長為

13.傳統文化“福”字象征著中華民族的歷史文化與精神.如圖1是小紅家大門上的“福”字，如圖2是

抽離出來的菱形48co，對角線AC,BD相交于點O,ZABC=^°,E是線段AO上一點，且BC=CE,

則N05E的度數是

圖1圖2

14.(2024?揚州)如圖1,將兩個寬度相等的矩形紙條疊放在一起，得到四邊形Z8CD

圖1圖2

⑴試判斷四邊形Z5CD的形狀，并說明理由.

⑵已知矩形紙條寬度為2cm,將矩形紙條旋轉至如圖2位置時，四邊形Z8CD的面積為8cm1求此

時直線4D,C￡＞所夾銳角N1的度數.

能力提升

1.(2024?通遼)如圖尸48CD的對角線AC,BD交于點。，以下條件不能證明048co是菱形的是

)

A.ZBAC=ZBCAB.ZABD=ZCBD

C.OA2+OB2=AD2D.AD2+OA2=OD2

2.(2024?邯鄲峰峰礦區三模)演示課上,王林用四根長度都為4cm的木條制作了圖1所示正方形,

而后將正方形的5c邊固定，平推成圖2的圖形，并測得N8=60。,則在此變化過程中結論錯誤的是

()

A.AB長度不變，為4cmB.AC長度變小，減少4(V2-l)cm

C.BD長度變大，增大4(V3-V2)cmD.四邊形45CO面積變小，減少8(V3-l)cm2

3.（2024?邯鄲峰峰礦區二模）如圖1,在菱形48co中,對角線ZC,AD相交于點。，要在對角線5。上

找兩點MN,使得四邊形NMCN是菱形，現有圖2中的甲、乙兩種方案，則正確的方案是（）

受噪審「取嬴；△A。。的角平分線AMAN\

'________________________''________________________________）

圖2

A.只有甲B.只有乙

C.甲和乙D.甲乙都不是

4.（2024?邯鄲大名縣三模）在口4BCD中,對角線ZC網）相交于點。,￡是邊43上的一個動點（不與

A,B重合），連接￡。并延長，交CD于點f連接4F,CE,下列四個結論中：

甲:對于動點瓦四邊形ZEU始終是平行四邊形；

乙:若N48c<90。,則至少存在一個點瓦使得四邊形AECF是矩形；

丙:若則至少存在一個點瓦使得四邊形AECF是菱形；

丁:若4c=45。,則至少存在一個點瓦使得四邊形ZECE是正方形.

以上所有正確說法的序號是（）

A.甲、丙、丁正確，乙錯誤

B.甲、乙、丙、丁都正確

C.甲、乙、丙正確，丁錯誤

D.甲、乙、丙錯誤，丁正確

5.（2023?荷澤）（1）如圖1,在矩形45CD中，點E尸分別在邊DC,8c上,2￡，。尸,垂足為G求證:

s4DCF.

【問題解決】

（2）如圖2,在正方形ABCD中，點E,F分別在邊DC,BC上延長BC到點H,使CH=DE遙接

。“求證

【類比遷移】

(3)如圖3,在菱形ABCD中，點E,F分別在邊DC,BC±.AE=DF=n,DE=^,ZAED=60°,^CF的長.

【詳解答案】

基礎夯實

1.C解析:：四邊形/BCD是矩形，

：.AC=BD,ZADC=90°^4D=BCAD//BC,OA=^1AC,

：.AC±BD,ZACB=ZACD不一定成立以。=瓦）,一定成立閆8=/。不一定成立.故選C.

2.A解析:由題意知，甲中對角線相等且互相平分，

???甲中的四邊形是矩形，

如圖，記的交點為O,

由圖可知,CM=O￡>,O5=OC,CU,O8的數量關系未知，

乙中的四邊形不一定是矩形.故選A.

3.A解析:?.?四邊形是菱形，

J.ACLBD,

是直角三角形，

YE是4B的中點，

???OE』1AB,

2，

9：OE=3,：.AB=6,

即菱形的邊長為6.故選A.

4.D解析:由菱形的性質得,菱形的四條邊都相等，對角線互相垂直，對角線平分每一對對角得到選項A,B,C不

符合題意，選項D符合題意.故選D.

5.A解析:由正方形的性質知，鐵絲的總長度為1+1+1+1=4,

根據三角形的三邊關系知，兩邊之和大于第三邊，

邊的長小于2.故選A.

6.B解析:需要添加條件//2C=90。，

四邊形/BCD是平行四邊形

.??四邊形48CD是菱形，

,?ZABC=90°,

：.四邊形48CD是正方形.故選B.

7.D解析:???四邊形ABCD和四邊形BGHF是完全相同的菱形，

ZDBE=ZBAD=a^B=AD,ZABD=ZCBD=ZCBE+ZDBE=/3+a,

：./ADB=/ABD=/3+a,

*：ZBAD+ZADB+ZABD=1SO°,

夕+a=l80°,

.“=90。字.故選D.

8.C解析:：四邊形/BCD為矩形，對角線/C,AD相交于點。盤B=2,

：.OA=OB=OC=OD,

,/ZABD=6Q°,

MOAB為等邊三角形，

OA=OB=AB=1,

：.OC=OA=2,

，/C=O/+OC=4.故選C.

9.C解析:根據“有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形”，可得“”可以表示的是N3=3C故選C.

10.A解析:設正方形ABCD的邊長為acm,

由題意，得5a=6(0-5),解得a=30.故選A.

11.40解析:：四邊形4BCD是菱形,/48。=80。48=2。，

1

.,.ZG45=Z^C5=ix(180o-80°)=50°4O=CO,

9：CE±AB,

：.OE=OA=OC,ZAEC=90°,

：.ZOEA=ZOAE=50°,

：.ZO￡,C=90°-50°=40°

12.2遙解析:,??四邊形45C。是矩形，

：.AD//BC,ZA=90°,

：./AEB=/FBC,

CFLBE,

：.NCq=90。，

：.ZCFB=ZA,

(/.A=乙CFB

在△ZBE和△尸。5中,N4EB=乙FBC,

VBE=CB

???△45E0△尸C5(AAS),

:?FC=AB=4,

??,四邊形45CZ)是矩形，

BC=AD=6,

在RtAFCS中,由勾股定理得BF=>JBC2-FC2=V62-42=2V5.

13.25°解析：：四邊形/BCD是菱形,N/5C=80。，

ZABO=ZCBO=40°AC±BD,

：.ZBAC=90°-40°=50°=ZACB,

"：BC=CE,

：.ZCBE=ZC￡5=1x(l80°-50°)=65°,

ZOBE=65°-40°=25°.

14.解:⑴四邊形A8CD是菱形，理由如下:如圖1,過點C作垂足為H,CG_L/￡),垂足為G,

?.?兩個紙條均為矩形，

：.AB//CD^4D//BC,

：.四邊形488是平行四邊形，

:S^ABCD=AB.,CG,且CH=CG,：,AB=Ai

.??四邊形48CD是菱形.

鵬

圖1圖2

(2)如圖2,過點A作垂足為M,

*.*S差彩=CDAM=Scm?,且cm,

A/ABCD

CD=4cm,

：.AD=CD=4cm,

在RtAADM中,sin/1嘿=

AZ1=30°.

能力提升

l.DWtFr：A.VZBAC=ZBCA,：.AB=BC,

aABCD是菱形，故選項A不符合題意；

B.V四邊形ABCD是平行四邊形，

AD//BC,：.ZADB=ZCBD,

NABD=/CBD,：.ZABD=ZADB,：.AB=AD,

:戶ABCD是菱形，故選項B不符合題意；

C.V四邊形ABCD是平行四邊形，

OB=OD,

OA2+OB2=AD2,：.OA2+OD2=AD2,：.ZAOD=90°,

：.AC±BD,：.^ABCD是菱形，故選項C不符合題意，

AD2+OA2=OD2,：.ZOAD=90°,：.OA±AD,

不能證得％3co是菱形，故選項D符合題意.故選D.

2.D解析:如圖1,連接

:四邊形A8CD是正方形，

ZABC=90°^B=BC=4cm^+B^AC2,

...NC^SZ,正方形ABCD面積=42=16(cm2),

:.AC=BD=4mcm,

如圖2,在菱形ABCD中，連接AC,BD,過A作AHLBC于點H)B=BC=4cm,BO=DO,AO=CO,

"：ZABC=60°,

*'?/\ABC是等邊三角形，

；.AC=AB=BC=4cm,A0=2cm,BH=CH=2cm,

BD=2BO=2y/AB2-A02=4y/3(cm),

AH=y/AB2-BH2=243(cm),

菱形ABCD面積=4*2舊=8b(cm?),

故選項A不符合題意；

*/4V2-4=4(V2-l)(cm),

故選項B不符合題意；

,.,4V3-4V2=4(V3-V2)(cm),

故選項C不符合題意；

V16-8V3=8(2-V3)(cm2),

故選項D符合題意.故選D.

3.C解析:：四邊形/BCD是菱形，

OB=OD,OA=OC^4C±BD,

"：BM=DN,

：.OM=ON,

"：OA=OC,MN±AC,

...四邊形NMCN是菱形，

故方案甲正確；

?.?四邊形N5CD是菱形，

OB=OD,OA=OC^iC±BD,ZBAC=ZDAC,

:/必4N分別是/5NC和/D/C的平分線,

ZMAC=ZNAC,

'：ZAOM=ZAON=90°,

AMAC=乙NAC,

在”和△NON中=力。，

、乙40M=4AON,

：.AAOM^△/ON(ASA),

OM=ON,

；OA=OC,

...四邊形NMCN是平行四邊形，

'JACLMN,

四邊形NMCN是菱形，

故方案乙正確.故選C.

4.A解析:如圖1,

圖1

,/四邊形ABCD為平行四邊形，對角線NC與BD交于點O,

：.AB//DCAB=DC,OA=OC,OB=OD,

ZOAE=ZOCF,

/AOE=/COF,

：.△/△CO尸(ASA),

：.AE=CF,

又,：AEHCF,

四邊形AECF為平行四邊形，

即E在42上任意位置(不與A,B重合)時,四邊形/EC/恒為平行四邊形，故結論甲正確;

如圖2,