平面與平面平行「學習目標」1.通過運用圖形語言、文字語言、符號語言準確描述平面與平面平行的判定定理和性質定理,培養數學抽象和直觀想象的核心素養.2.在發現、推導和應用平面與平面平行的判定定理和性質定理的過程中,發展數學抽象、邏輯推理和直觀想象的核心素養.知識梳理自主探究定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面內的兩條

直線與另一個平面平行,那么這兩個平面平行(線面平行?面面平行)a?β,b?β,a∩b=P,a∥α,b∥α?β∥α性質定理兩個平面平行,如果另一個平面與這兩個平面相交,那么兩條交線

α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b「知識探究」平面與平面平行的判定定理和性質定理相交平行師生互動合作探究探究點一平面與平面平行的判定定理及其應用[例1]如圖,在四棱錐P-ABCD中,E,F,G分別是PC,PD,BC的中點,DC∥AB,求證:平面PAB∥平面EFG.證明:因為E,G分別是PC,BC的中點,所以EG∥PB.又EG?平面PAB,PB?平面PAB,所以EG∥平面PAB.因為E,F分別是PC,PD的中點,所以EF∥DC.又DC∥AB,所以EF∥AB.又EF?平面PAB,AB?平面PAB,所以EF∥平面PAB.又EF∩EG=E,EF,EG?平面EFG,所以平面PAB∥平面EFG.方法總結平面與平面平行的判定方法(1)定義法:兩個平面沒有公共點.(2)判定定理法:要證明面面平行,關鍵是要在其中一個平面中找到兩條相交直線和另一個平面平行,而要證明線面平行,還要通過線線平行來證明,注意這三種平行之間的轉化.(3)利用平行平面的傳遞性:若α∥β,β∥γ,則α∥γ.[針對訓練]如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分別是AB,AC,A1C1,A1B1的中點,求證:(1)B1C1∥平面A1EF;證明:(1)因為E,F分別是AB,AC的中點,所以EF∥BC.又在三棱柱ABC-A1B1C1中,BC∥B1C1,所以B1C1∥EF.又B1C1?平面A1EF,EF?平面A1EF,所以B1C1∥平面A1EF.(2)平面A1EF∥平面BCGH.證明:(2)由(1)知EF∥BC,EF?平面BCGH,BC?平面BCGH,所以EF∥平面BCGH.又因為F,G分別為AC,A1C1的中點,又因為AC∥A1C1,AC=A1C1,所以FC∥A1G,FC=A1G.所以四邊形FCGA1為平行四邊形.所以A1F∥GC.又因為A1F?平面BCGH,GC?平面BCGH,所以A1F∥平面BCGH.又因為A1F∩EF=F,A1F,EF?平面A1EF,所以平面A1EF∥平面BCGH.探究點二平面與平面平行的性質定理及其應用[例2]如圖,已知長方體ABCD-A1B1C1D1中,E為A1D1的中點,平面CB1E交棱DD1于點F,求證:B1C∥EF.證明:由長方體的性質知,平面BCC1B1∥平面ADD1A1,又平面CB1E∩平面BCC1B1=B1C,平面CB1E∩平面ADD1A1=EF,所以B1C∥EF.方法總結(1)利用面面平行的性質定理證明線線平行的關鍵是把要證明的直線看作是平面的交線,往往需要有三個平面,即有兩平面平行,再構造第三個平面與兩平行平面都相交.(2)兩個平面平行的另一個重要性質是判斷線面平行:如果兩個平面平行,那么其中一個平面內的任意一條直線平行于另一個平面.[針對訓練]如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,過AB的截面與上底面交于PQ,且點P在棱A1C1上,點Q在棱B1C1上.證明:PQ∥A1B1.證明:因為在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC∥平面A1B1C1,平面ABC∩平面ABQP=AB,平面ABQP∩平面A1B1C1=PQ,所以AB∥PQ.又因為正三棱柱ABC-A1B1C1中,側面ABB1A1為平行四邊形,故有AB∥A1B1,所以PQ∥A1B1.探究點三平行關系的綜合應用[例3]如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,E為PB的中點.(1)證明:取PA的中點H,連接EH,DH,如圖所示,因為E為PB的中點,(1)求證:CE∥平面PAD.所以EH∥CD,EH=CD.因此四邊形DCEH是平行四邊形,所以CE∥DH.又DH?平面PAD,CE?平面PAD,因此CE∥平面PAD.(2)解:存在點F為AB的中點,使平面PAD∥平面CEF.證明如下:取AB的中點F,連接CF,EF,(2)在線段AB上是否存在一點F,使得平面PAD∥平面CEF?若存在,證明你的結論;若不存在,請說明理由.又AF∥CD,所以四邊形AFCD為平行四邊形.因此CF∥AD.又AD?平面PAD,CF?平面PAD,所以CF∥平面PAD.由(1)可知CE∥平面PAD,又CE∩CF=C,CF,CE?平面CEF,故平面CEF∥平面PAD.故存在AB的中點F滿足要求.方法總結線線平行、線面平行、面面平行是一個有機的整體,平行關系的判定定理、性質定理是轉化平行關系的關鍵,其內在聯系如圖所示.[針對訓練]如圖,三棱錐A-BCD被一平面所截,截面為平行四邊形EFGH.求證:CD∥平面EFGH.證明:由于四邊形EFGH是平行四邊形,所以EF∥GH.因為EF?平面BCD,GH?平面BCD,所以EF∥平面BCD.又因為EF?平面ACD,平面ACD∩平面BCD=CD,所以EF∥CD.又因為EF?平面EFGH,CD?平面EFGH,所以CD∥平面EFGH.「當堂檢測」1.兩個平行平面與另兩個平行平面相交所得四條直線的位置關系是(

)A.兩兩相互平行B.兩兩相交于同一點C.兩兩相交但不一定交于同一點D.兩兩相互平行或交于同一點解析:可以想象四棱柱,由面面平行的性質定理可得.故選A.√2.已知兩條不同的直線m,n,α,β,γ表示三個不同的平面,則下列說法正確的是(

)A.α∥β,m?α,n?β?m∥nB.α⊥γ,β⊥γ?α與β平行或相交C.α∥β,m∥n,m⊥α?n∥βD.α∩β=m,β∩γ=n,m∥n?α∥β√解析:對于A,若α∥β,m?α,n?β,則m∥n或m,n異面,故A錯誤;對于B,若α⊥γ,β⊥γ,則α,β平行或相交,故B正確;對于C,若α∥β,m∥n,m⊥α,則m⊥β,所以n⊥β,故C錯誤;對于D,若α∩β=m,β∩γ=n,m∥n,則α∥β或α,β相交,可參考直三棱柱的三個側面,故D錯誤.故選B.3.如圖,已知平面α∥平面β,點P為α,β外一點,直線PB,PD分別與α,β相交于A,B和C,D,則AC與BD的位置關系為(

)A.平行 B.相交C.異面 D.平行或異面√解析:由題意知P,A,B,C,D在同一平面內,且平面PBD∩平面α=AC,平面PBD∩平面β=BD,且α∥β,所以AC∥BD.故選A.4.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,寫出滿足條件的一個平面:(1)與平面ADD1A1平行的平面為

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(2)與平面ABB1A1平行的平面為

;

(3)與平面A1DC1平行的平面為

.

平面BCC1B1

平面DCC1D1平面AB1C解析:因為ABCD-A1B1C1D1為長方體,所以平面ADD1A1∥平面BCC1B1,平面ABB1A1∥平面DCC