新高考情景下的結構不良問題

e-----------題型歸納?定方向-----------*>

目錄

題型01解三角形結構不良.......................................................................1

題型02數列結構不良...........................................................................3

題型03立體幾何結構不良.......................................................................5

題型04圓錐曲線結構不良.......................................................................8

?>-----------題型探析?明規律----------*>

題型01解三角形結構不良

【解題規律?提分快招】

工廠;，結柝示直間版函廨藤鏈昭--—————

（1）題目所給的三個可選擇的條件是平行的，無論選擇哪個條件，都可解答題目；

（2）在選擇的三個條件中，并沒有哪個條件讓解答過程比較繁雜，只要推理嚴謹、過程規范，都會得滿分,

但計算要細心、準確，避免出現低級錯誤導致失分.

二、“正弦定理”與“余弦定理”的選用策略

在解有關三角形的題目時，要有意識地考慮用哪個定理更合適，或是兩個定理都要用，要抓住能夠利用某

個定理的信息.

（1）如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時，要考慮用余弦定理；

（2）如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；

（3）以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到.

三、“邊化角”或“角化邊”的變換策略

（1）若式子中含有正弦的齊次式，優先考慮正弦定理“角化邊”；

（2）若式子中含有a、b、c的齊次式，優先考慮正弦定理“邊化角”；

（3）若式子中含有余弦的齊次式，優先考慮余弦定理“角化邊”；

（4）代數式變形或者三角恒等變換前置；

（5）含有面積公式的問題，要考慮結合余弦定理求解；

（6）同時出現兩個自由角（或三個自由角）時，要用到三角形的內角和定理.

1

【典例訓練】

一、解答題

1.(2024?北京?三模)在VN8C中，J叵,cosA=—.

a510

(1)求證：V/3C為等腰三角形；

(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使V/3C存在且唯一，求6的值.

JT15

條件①：NB=g條件②：V/5C的面積為:；條件③：邊上的高為3.

2.(2024?四川宜賓?二模)在VABC中，角4'C所對的邊分別是a,6,c,在下面三個條件中任選一個作為

條件，解答下列問題，三個條件為：

①26cos/=ccos/+acosC；②asiiifi=;③cosC+(cosB-cos/1=0.

(1)求角A的大小；

⑵若。=V7,6+C=4,求6c的值.

3.(2024?全國?模擬預測)在①(2-sin/)cos_8-l=cos/sin8-2cos_8sinC；②(2a-c)cos8=6cosC兩個

條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答該問題.在V/8C中，角/,B,C所對的邊分別是a,b,

(1)求角B的大小：

(2)若點。在3c的延長線上，且BD=2BC,AD=3,求V4BC面積的最大值.

4.(2024?四川南充?三模)已知函數/'(x)=4cos[x-t)sinx-2sin]-；+2xJ-l.

(1)求函數〃無)的單調遞增區間；

(2)在VN8C中，a,b,c分別是角/、B、C所對的邊，記V4BC的面積為S,從下面①②③中選取兩個作

為條件，證明另外一個成立.

①/(N)=l；②S=—ab；③°2=b2+bc.

2

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

5.(2024?全國?模擬預測)已知V4BC中，內角4民。的對邊分別為。，瓦c,且

2

75acosC-43bcos2A=也asinZsinB-csin4?

(1)求角/；

(2)若a=V7,角/的平分線交邊3C于T,在下列三個條件中選擇一個作為已知，求N7.

①就.瓦5=-3;②點/在以民C為焦點的橢圓更+.=1上；③V/3C的面積為逆.

2592

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

題型02數列結構不良

【解題規律?提分快招】

二丁藪制而的結構不直向函一「

1.“結構不良問題”：題目所給的三個可選擇的條件是平行的，即無論選擇哪個條件，都可解答題目，而且,

在選擇的三個條件中，并沒有哪個條件讓解答過程比較繁雜，只要推理嚴謹、過程規范，都會得滿分.

2.數列求和的常用方法：

(1)對于等差等比數列，利用公式法直接求和；

(2)對于｛%"｝型數列，其中｛%｝是等差數列，｛4｝是等比數列，利用錯位相減法求和；

(3)對于｛%+，｝型數列，利用分組求和法；

(4)對于型數列，其中｛4｝是公差為d(dwO)的等差數列，利用裂項相消法求和.

^anan+l_

3.常見的裂項公式：

1_1M__

")"(〃+后)k\nn+k)'

1一1______

⑵(2〃—1)(2〃+1)一式2〃—1—2〃+1「

111

(3)---------------=----------------------；

〃(〃+1乂〃+2)2++

(4)------------—F=-1/--------=!(-，?+?〃+：)；

7n+'n+kkv7

2n11

(s)----------------------

(2"-1)(2H+1-1)T-12,,+1-l'

3

【典例訓練】

一、解答題

S73

1.（2024?廣西賀州一模）在①星-3%=0,②&=14,③”二石這三個條件中任選一個，補充在下面的

問題中，并解答.

設｛4｝是遞增的等比數列，其前〃項和為S“，且電=4,.

⑴求｛4｝的通項公式；

⑵若數列低｝滿足“a偶數,求數列低｝的前2〃項和凡.

（注：若選擇多個解答，按第一個解答計分）

2.（2024?全國?模擬預測）已知正項數列｛%｝滿足q=L

（1）從下面兩個條件中任選一個作為已知條件，求數列｛%｝的通項公式;

條件①：當〃N2時，an-an_x=2M-1；

條件②：數列｛?｝與，均為等差數列；

⑵在（1）的基礎上，設S.為數列的前〃項和，證明：S?<^.

注：若選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.

3.（2024?青海西寧?二模）已知數列｛%｝,.請從下列兩個條件中任選一個，補充在上面的

問題中并解答.（注:如果選擇多個條件,按照第一個解答給分.）①數列｛%｝的前〃項和為E,=2%-2（〃6N*）;

②數列｛0“｝的前〃項之積為/=2的羅（?eN,）.

（1）求數列｛%｝的通項公式；

（2）令4=%+log2an,求數列也｝的前"項和北.

3

4.（2024?陜西西安?模擬預測）在①％=1,4%，為成等比數列，②出+。4=6,③2%=6,

i=l

這三個條件中任選一個，補充到下面的問題中并作答.

Z=1

問題：已知數列｛4｝是公差為正數的等差數列，.

（1）求數列｛%｝的通項公式；

4

⑵數列的前〃項和為s“，對任意的〃wN+有加-3<S,〈加恒成立，求機的取值范圍.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

5.(2024?四川德陽?三模)已知｛%｝是等差數列，也｝是等比數列，且也｝的前〃項和為

S“2—(%-%)，在①4=4電-4)，②%=5“+2這兩個條件中任選其中一個，完成下面問

題的解答.

⑴求數列｛%｝和也｝的通項公式；

⑵設數列［去］的前〃項和為Tn,是否存在機,〃eN*,

使得北=品若存在，求出所有滿足題意的也"；若不

存在，請說明理由.

6.(2024?廣東廣州?三模)已知數列｛%｝的各項均為正數，的>%，記E為｛%｝的前〃項和.

(1)從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.

①數列｛2｝是等差數列；②數列是等差數列；③。2=2%.

⑵若q=1,在(1)的條件下，將在數列｛的,｝中，但不在數列｛2%｝中的項從小到大依次排列構成數列他,｝,

求數列也｝的前20項和.

題型03立體幾何結構不良

【解題規律?提分快招】

二廠空商向毫寫王徐冗標的泰廨蟲式

(1)異面直線成角：設0,6分別是兩異面直線3/2的方向向量，則/1與72所成的角6滿足：cos。=照;

同向

(2)線面成角：設直線/的方向向量為°,平面a的法向量為〃，。與〃的夾角為￡,

則直線I與平面a所成的角為。滿足：sin0=|cos川="川.

\a\\n\

(3)二面角：設“1，〃2分別是二面角a—/一￡的兩個半平面a,￡的法向量，

則兩面的成角。滿足：COS8=COS〈”1,“2〉="1"2；

|m|MI

注意：二面角的平面角大小是向量如與物的夾角或是向量m與改的夾角的補角，具體情況要判斷確定.

(4)點到平面的距離：

5

如圖所示，已知為平面a的一條斜線段，〃為平面a的法向量,

則點8到平面a的距離為：|防尸擘川，即向量前在法向量〃的方向上的投影長.

二、幾種常見角的取值范圍

①異面直線成角G(0,手；②二面角口0,兀]；③線面角G[0,1]；④向量夾角d[0,K]

三、平行構造的常用方法

①三角形中位線法；②平行四邊形線法；③比例線段法.

四、垂直構造的常用方法

①等腰三角形三線合一法；②勾股定理法；③投影法.

五、用向量證明空間中的平行關系

(1)線線平行：設直線/1和，2的方向向量分別為VI和V2,則/1〃僅或/1與/2重合)OV1〃V2.

(2)線面平行：設直線/的方向向量為v,平面a的法向量為小貝心〃a或/Ua=vJ_M.

(3)面面平行：設平面a和.的法向量分別為由,"2,貝Ua〃夕〃“2.

六、用向量證明空間中的垂直關系

(1)線線垂直:設直線和/2的方向向量分別為VI和V2,則20Vl_LV2=V「V2=O.

(2)線面垂直：設直線/的方向向量為v,平面a的法向量為w,則/_La="〃w.

(3)面面垂直：設平面a和￡的法向量分別為in和02,則a，pO"i_L"2Q〃[a2=0.

七、點面距常用方法

①作點到面的垂線，點到垂足的距離即為點到平面的距離；②等體積法；③向量法

一項麗菊

一、解答題

1.(2024?北京西城?二模)如圖，正方體的棱長為2,￡為8c的中點，點M在8口上.再

從下列三個條件中選擇一個作為已知，使點M唯一確定，并解答問題.條件①：MA=MC；條件②：EM1AD；

條件③：￡必//平面CD2G.

aG

(1)求證：M為8。的中點;

6

⑵求直線EM與平面MCD所成角的大小；

（3）求點E到平面MCD的距離.

注：如果選擇的條件不符合要求，第（1）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解

答計分.

2.（2024?北京東城?一模）如圖，在五面體48CDE/中，底面N8CD為正方形，AB=4,EF=\.

EF

⑴求證：AB//EF；

⑵若7/為。的中點，W為■的中點，EM1BH,EM=273，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一

個作為已知，求直線C尸與平面NDE所成角的正弦值.

條件①：ED=EA；

條件②：AE=5.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分

7T

3.（2024?江蘇鎮江?三模）如圖，三棱錐尸-中，NABC=—,AB=BC=2,PA=PB,。是棱N8

2

（1）下面有①②③三個命題，能否從中選取兩個命題作為條件，證明另外一個命題成立？如果能，請你選取

并證明（只要選取一組并證明，選取多組的，按第一組記分）；

①平面PAB_L平面ABC；

②DEJ.AC；

③尸E_L/C.

2

（2）若三棱錐尸-/8C的體積為:，以你在（1）所選的兩個條件作為條件，求平面尸DE與平面P8C所成二

面角的大小.

4.（2024?河南開封?三模）已知四棱錐尸-48C。的底面N8CD是正方形，給出下列三個論斷：①PC=PD；

7

@AC1PD；③HD/平面P/C.

(1)以其中的兩個論斷作為條件，另一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題，并證明;

⑵在(1)的條件下，若尸/=1,求四棱錐P-48cZ)體積的最大值.

5.(2024?北京?三模)如圖，在四棱錐尸-N8CD中，底面N3CD是邊長為2的菱形，ZABC=60°,PA=PC,

M為尸/中點，PC=3NC.

(1)設平面尸48c平面尸CD=/,求證：ABHI；

(2)從條件①，條件②，條件③中選擇兩個作為已知，使四棱錐尸-/3C。存在且唯一確定.

(i)求平面AGVD與平面N8CD所成角的余弦值；

(ii)平面跖憶＞交直線尸8于點。，求線段尸。的長度.

條件①：平面PNC,平面48CD；

條件②：PB=PD；

條件③：四棱錐的體積為速.

題型04圓錐曲線結構不良

【典例訓練】

一、解答題

1.(2024?遼寧?模擬預測)已知定點廠(1,0),動點N在直線/:x=-l上，過點N作/的垂線，該垂線與M的

垂直平分線交于點7,記點T的軌跡為曲線E.

⑴求E的方程；

⑵已知點動點45在￡上，滿足且與x軸不垂直.請從①尸在￡1上；②4民0

8

三點共線；③5-7=4/+〃=0中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.

注：如果選擇不同的組合分別解答，按第一個解答計分.

2.（2024?全國?模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，已知圓N：（x-2『+/=4,點8（—2,0）,點尸為圓

/上任意一點，線段的垂直平分線和半徑NP所在直線相交于點。，當點P在圓上運動時，點。的軌跡

為C

⑴求C的方程.

（2）斜率存在且不為0的直線/與C交于N兩點，點。在。上.從下面①②③中任選兩個作為已知條件，

證明另外一個成立.

①DMLx軸；②直線/經過點；③D,B,N三點共線.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

22

3.（2024?全國?模擬預測）已知雙曲線C:0-5=1（。>0/>0）的左、右焦點分別為昂巴，從下面3個條

ab

件中選出2個作為已知條件，并回答下面的問題：

①點P卜3a1）在雙曲線C上；②點。在雙曲線C上，/。片乙=90。，且|M=；；③雙曲線C的一條漸近

線與直線V=3x-3垂直.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）設48分別為雙曲線C的左、右頂點，過點（0,-1）的直線/與雙曲線C交于兩點，若?=-。，求

直線/的斜率.

4.（2024?福建漳州?一模）已知過點耳（TO）的直線/與圓巴：（xT，y2=16相交于G,〃兩點，G8的

中點為E,過（汨的中點下且平行于即的直線交〃于點P,記點P的軌跡為C.

（1）求軌跡。的方程.

⑵若43為軌跡。上的兩個動點且均不在V軸上，點可滿足的=4刀+〃礪（2,〃eR）,其中。為坐

標原點，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.

3

①點M在軌跡C上；②直線CU與OB的斜率之積為-^；③萬+/?=i.

注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

5.（2024?福建泉州?二模）已知拋物線C:/=2抄5>0）的焦點為尸，。為坐標原點，拋物線C上不同兩點

9

A,8同時滿足下列三個條件中的兩個：①|￡4|+|￡8上|/8|；②|ONH目/0=8』；③直線N3的方程

為y=6p.

(1)請分析說明a3滿足的是哪兩個條件？并求拋物線。的標準方程；

⑵若直線經過點"(0,⑼(加>0),且與(1)的拋物線C交于4,8兩點，N(0,〃)，若ZMNA=NMNB,

求氣的值；

n

(3)點4B,E為(1)中拋物線C上的不同三點，分別過點4B,￡作拋物線C的三條切線，且三條切線

兩兩相交于"，N,P,求證：△M7VP的外接圓過焦點?

艙-----------題型通關?沖高考-----------*>

一、解答題

1.(2024?北京?高考真題)在VA8C中，內角4瓦。的對邊分別為見瓦。，/Z為鈍角，a=7,

?。D石>D

sin2B=——bcosB?

7

⑴求//；

(2)從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得V45。存在，求V/5C的面積.

條件①：6=7；條件②：COS8=￥；條件③：csin^=1V3.

142

注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解

答計分.

2.(2024?江西宜春?三模)在VA8C中，設角/,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知C=120。，V4BC的

周長為15,面積為”生.

4

(1)求V/8C的外接圓面積；

(2)設。是邊45上一點，在①CD是邊48上的中線；②CD是NNC5的角平分線這兩個條件中任選一個，

求線段CD的長.

3.(2024?北京?三模)已知函數f(x)=2A/3sincoxcoscox+2cos2cox,{co>0)的最小正周期為兀.

(1)求刃的值；

(2)在銳角VZBC中，角4B,。所對的邊分別為訪b,cc為/(x)在0卷上的最大值，再從條件①、條

件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，求的取值范圍.條件①：QCOSB+6COS/=2ccosC；條

件②：2asin4cosB+bsin2Z=VJa;條件③：V45。的面積為S,且S=+’——0..注：如果選擇多

4

10

個條件分別解答，按第一個條件計分.

4.(2024高三下?全國?專題練習)在①b(sin4+sinB)=(c+a)(sinC—sin/),@tanB+tanC=—，

CCQSB

(3)V3Z?sin+B

=csinB

這三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并解答.

在V4BC中，內角A,B,。的對邊分別為“，b,c,且

(1)求角。的大小；

⑵已知c=7,。是邊4g的中點，且CDLC5,求CD的長.

5.(23-24高三上?浙江紹興?開學考試)從①外,七成等差數列；②可，%+1，%成等比數列；③5=|

這三個條件中任選一個補充在下面的問題中，并解答下列問題.

已知5“為數列｛%｝的前〃項和，3S“=a“+2%(〃eN*),qwO,且.

(1)求數列｛。“｝的通項公式；

'〃為偶數

⑵記》4aV求數列｛%｝的前2〃+1項和&+i.

為1奇數

注：若選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.

6.(2024?云南昆明?模擬預測)已知各項均為正數的數列｛%｝的首項4=1,其前〃項和為5"，從①耳=2庖-1；

②S“+I+SI=2(S“+1)(〃22),且星=4；③2=￡+反(〃22)中任選一個條件作為已知，并解答下列

問題.

(1)求數列｛。“｝的通項公式；

17

⑵設“=不，設數列低｝的前〃項和7；,證明：7；,<4，

(如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.)

7.(2024?全國?模擬預測)記7；為數列應｝的前〃項的積，%>0,g=32,千4眄)".

(1)求q,并證明anan+2=a*.

(2)從下面兩個條件中選一個，求數列仍“｝的前”項和S,.

3〃+4^73〃一1

①￡=;②bn=----

n(n+I)an+iQ〃+i

11

8.(24-25高三上?北京海淀?期末)如圖，在四棱錐尸-/BC。中，底面/2CO為矩形，PALAB，PA=AB=\,

AD=2,尸是尸4的中點，E在棱8c上，且斯〃平面尸CD.

(1)求證：￡是3c的中點；

⑵再從條件①，條件②中選擇一個作為已知，求平面跖D與平面夾角的余弦值.

條件①：平面平面48C。；

條件②：PC=?

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

9.(23-24高三?山西?階段練習)A在三棱錐中，△BCD是等邊三角形，AADB=AADC,M是BC

邊的中點.

(1)求證:3C_L4D；

(2)兒勿=3,5C=2A/3，從以下兩個條件中任選一個，求直線與平面/CD所成角的余弦值.①平面/3C

Ojr

與平面8C。所成二面角為牛；②三棱錐4-BCD的體積為3省.

10.(23-24高三上?山東荷澤?階段練習)在如圖所示的五面體48CDEF中，43EF共面，△/￡＞尸是正三角

2兀,

形，四邊形為菱形，/ABC=w，EF〃平面ABCD,AB=2EF=2,點、M為BC中點.

12

(1)在直線C。上是否存在一點G,使得平面EMG〃平面2DF,請說明理由;

(2)請在下列條件中任選一個，求平面與平面BEC所成二面角的正弦值?

①cosNBDF=—；②EM=2.

11.(23-24高三上?湖南張家界?階段練習)如圖①，在梯形中，ABHDC,AD=BC=CD=2,AB=4,

E為48的中點，A