專題8-3立體幾何中垂直的證明與探究

模塊-'熱點題型解讀（目錄）

【題型1】垂直性質的判定

【題型2】線面垂直證明

【題型3】證明面面垂直

【題型4】已知面面垂直證其他垂直

【題型5】證明異面直線垂直

【題型6】線面垂直的存在性問題探究

【題型7】面面垂直的存在性問題探究

【題型8】異面直線垂直的存在性問題探究

【題型9】存在性問題中確定動點的軌跡與最值

模塊二核心題型?舉一反三

【題型1】垂直性質的判定

基礎知識

部分問題可以轉化為一個正方體的棱、面等，進而進行排除

【例1】（2024?四川成都?三模）已知直線/、加、〃與平面a、B,下列命題正確的是（）

A.若/_L〃，mVn,則/〃冽

B.若l〃B，則

C.若/_La,Um,則？w//a

D.若a{\p=m,/_!_〃？，則/_L。

【答案】B

【分析】對于A,由只需之間的位置關系即可判斷；對于B,由面面垂直的判定即可判斷；對于C,

由線面位置關系即可判斷；對于D,由面面垂直的性質即可判斷.

【詳解】對于A,若/_1_〃，mLn,則/，加平行、相交或異面；

對于B,若/〃則存在使得//〃|,又因為/_La,,而《up,所以a_LQ,故B

正確；

對于C,若/_La,Z±m,則加//a或〃zua,故C錯誤；

對于D,若C",a^/3=m,I,且如果/不在a內，則不會有/，夕，故D錯誤.

【例2】（多選題）（2021年全國新高考II卷數學試題）如圖，在正方體中，。為底面的中心，尸為

所在棱的中點，M,N為正方體的頂點.則滿足MNLOP的是（）

【答案】BC

【解析】設正方體的棱長為2,

對于A,如圖（1）所示，連接ZC,則施V//4C,

故ZPOC（或其補角）為異面直線。尸，兒w所成的角，

1/?

在直角三角形。尸C,oc=V2,CP=\,故tan/POC=T=",

故MNJLOP不散立,故A錯誤.

對于B,如圖（2）所示，取NT的中點為。，連接尸。，OQ,則OQ_LNT,PQ1MN,

由正方體S3CM-N4Z）T可得5N_L平面④VDT,而OQu平面力VDT,

故SN1OQ,品SNCMN=N,故。。工平面MV7M,

叉MNu平曲SNTM,OQLMN,而00nPQ=。，

所以肱V_L平面OP0,而POu平面。P0,故MN人OP,故B正確.

對于C,如圖（3）,連接即，則BD//MN,由B的判斷可得。尸，80,

故0PLMN,故C正確.

對于D,如圖（4）,取4）的中點。，的中點K,連接/<?,尸。,。。,「陌。犬，

則ACHMN,

因為DP=PC,故PQHAC,故PQ//MN,

所以ZQPO或其補角為異面直線P0MN所成的角，

圖(4)

因為正方體的棱長為2,故PQ=；AC=也,OQ=yjAO2+AQ2=V1+2=73,

PO==QO-<PQ2+OP2,故N0P0不是直角，

故尸O,AW不垂直，故D錯誤.

【例3】（2024?廣東佛山?一模）（多選）已知直線。，6與平面a,B,Y,能使的充分條件

是（）

A.?1/,01yB.ally,01y

C.aC/3=b,聯j_t，auaD.allb,b1,aua

【答案】BD

【分析】根據題意，由空間中直線與平面的位置關系，逐一判斷，即可得到結果.

【詳解】對于A:al/,/3Ly,a,6也可能平行，故錯誤；

對于B：若a///,/?!/,則正確；

對于C：aC/3=b,alb,?<=?,由線面垂直的判定定理可知。不一定垂直于￡,故也不一

定垂直，故錯誤；

對于D:由a//6,bS./3,可得：aL/3,再由aua,可證c_L",故正確.

【例4】設機、”是兩條不同的直線，a、尸是兩個不同的平面，給出下列命題：

①若加_La,nila,貝！）加_L〃.②若加，nlla,貝

③若加_La,alip,則④若加_La,mL（3,則a〃/7.

其中正確命題的序號是（）

A.①③④B.②③④C.①②④D.①②③

【答案】A

【分析】

利用線面平行、線面垂直的性質可判斷①；根據已知條件判斷線面位置關系，可判斷②；利用線面

垂直和面面平行的性質可判斷③④.

【詳解】對于①，若M/a,過”作平面使得ac0=a,

因為“〃a,nu/3,ac(3=a,則"〃a,因為加_La,aua,則機_La,故①對;

對于②，若nlla,則“//a或機ua或加、a相交（不一定垂直），②錯;

對于③，若加_La,OLII/3,則zn_L/7,③對；

對于④，若加_La,mV/3,則a〃/?,④對.

【例5】設加、〃是兩條不相同的直線，a、月是兩個不重合的平面，則下列命題錯誤的是（）

A.若nll/3,all/3,則

B.若nlla,,則aJ■尸

C.若掰、〃是異面直線，mua,mlIB,nu。,nila,則a〃￡.

D.若見_L〃，機_L〃，則〃〃夕

【答案】D

【分析】利用線面平行和線面垂直的性質可判斷A選項；利用線面平行的性質和面面垂直的判定定

理可判斷B選項；利用線面平行和面面平行的判定定理可判斷C選項；根據已知條件直接判斷線面

位置關系，可判斷D選項.

【詳解】對于A選項，因為加，a,alip,則能，夕，

因為過直線”作平面7,使得6n7=。，則出/〃，如下圖所示：

因為冽_L6，auB,則〃?_La,故機J_〃，A對；

對于B選項，因為〃〃a,過直線“作平面/,使得ec/=。，則a〃“，如下圖所示:

因為〃_1_0，則。_1_夕，因為aua,則a_L￡,B對；

對于C選項，因為M/a,過直線“作平面/,使得acy=a,則〃＞，如下圖所示:

因為alln,"u/?,a<x/，則a//￡,

又因為加、"是異面直線，alIn,且auc,mc?,

假設a〃加，則,與已知條件矛盾，假設不成立，故加、。相交,

又因為小///?,因此，alip,C對；

對于D選項，若用_L〃，m±/3,則"〃月或"u〃，D錯.

【例6】（2024?貴州遵義?二模）已知平面a,⑸？滿足a,⑸速，4a,乙下列結論正確的是（）

A.若直線/La,貝肝〃6或"http://

B.若直線///a,則/與￡和/相交

C.若lua,貝I"，?，且

D.若直線/過空間某個定點，則與46,7成等角的直線/有且僅有4條

【答案】D

【分析】根據給定條件，作出正方體，舉例說明判斷ABC;利用正方體的體對角線推理判斷D.

【詳解】在正方體ABCD-//iGA中，平面ABCD,平面ADD{AX,平面CDDg兩兩垂直，

令平面48a）為平面a,平面為平面￡,平面CDAG為平面/,

對于A,直線DD]_La,DD、u仇DD、uy,當/為直線時，lu/3,luy,A錯誤；

對于B,同耳〃a,當/為直線44時，////,B錯誤；

對于C,ABua,當/為直線48時，lUy,C錯誤；

對于D,在正方體/8CD-48]GA中，直線/C]，4G8A，8Q相交于點。，

它們與平面ABCD,平面ADDXA,,平面CDD6所成的角都相等，

而正方體過其中心的直線有且只有4條直線與該正方體各個面所成的角相等，

過空間給定點作直線平行于直線4G及九為0之一，所得直線與與區尸,7所成角相等，

因此直線/過空間某個定點，與劣尸成等角的直線/有且僅有4條，D正確.

故選：D

【鞏固練習1】（2024?廣東惠州?一模）己知/、〃是兩條不同的直線，a、￡是不重合的兩個平面,

則下列命題中正確的是（）

A.若a〃夕，Iua,nu0,貝（J/〃“B.若a_L夕，/ua,貝!J/J■"

C.若/〃a,al/3,貝D.若/La,1\\J3,則C?

【答案】D

【分析】在A中，/與〃平行或異面；在B中，/與尸相交、平行或/u〃；在C中，/與尸相交、平

行或/u￡；在D中，由面面垂直的判定理得a，？。

【詳解】由/、〃是兩條不同的直線，a、尸是不重合的兩個平面，知：

在A中，若a〃6，/ua,nu°,貝卜與〃平行或異面，故A錯誤；

在B中，若/ua,貝I/與月相交、平行或/up,故B錯誤；

在C中，若/〃a,al/3,貝I]/與￡相交、平行或/u〃，故C錯誤；

在D中，若翻尸，則由面面垂直的判定理得a，尸，故D正確.

【鞏固練習2】（2024?黑龍江?模擬預測）（多選）設a,6表示兩條互不重合的直線，?,。表示兩

個互不重合的平面，則下列命題正確的是（）.

A.aV0,b//a,all。,貝！la_L6B.aVa,allb,a_L尸，則b//月

C.aLa,bX.（3,alI[3,則a//6D.alia,allb,a10,貝（]6_L?

【答案】AC

【分析】利用線面垂直的性質，結合面面平行的性質逐項分析判斷即可得結果.

【詳解】對于A,aV/3,al/p,則a_La,又b//a,則a內有直線與6平行，因此:_L、，A正

確；

對于B,ala,allb,則6_La,又知a_L￡,則6//月或bu￡,B錯誤；

對于C,aYa,al1/3,則a_L〃，又知b_L￡,則a//6,C正確；

對于D,由cz_L￡,知a,￡相交，當△為交線時，若a（Ztz,allb,得a//（z,此時bu",D錯誤.

故選：AC

【鞏固練習3】設加,〃是兩條不同的直線，4月是兩個不同的平面.則下列說法錯誤的是（）

A.若〃7_L_La,〃,貝!Ja_L

B.若根〃”,加_La,〃〃夕，則aJ_￡

C.若mLn,m〃a,n〃/3,則a〃,

D.若機〃〃，加_La,〃J■尸，則a〃/?

【答案】C

【分析】

根據空間平面間的位置關系，面面垂直、平行的判定定理判斷.

【詳解】對于A,由加_La,且W7_L”,得〃〃a或〃ua,又〃_1_戶，則a尸，正確;

對于B,若“〃/“，mLa,nUP,過"作平面/交平面戶于點直線a,如圖：

由nilP得nlla,又mlln,所以mlla,又zw_La,所以”_La,

又au/?,所以a_L尸，正確；

對于C,若加_L",m//a,nlip,則a,/?可能平行也可能相交,

如圖：

在長方體48CD-中，取平面4BCQ為平面戊，直線4片為直線加，

平面4M）14為平面，，直線81G為直線〃，滿足加_L〃，m//a,nll/3,

而ac。=AD,錯誤；

對于D,若加〃加，mLa,則〃_La,又〃_L，，則a〃,，正確

【鞏固練習4】（2024?湖南?三模）已知冽，〃是兩條不重合的直線，/，是兩個不重合的平面，下

列命題正確的是（）

A.若mlla,nll/3,allB,則加〃〃

B.若mua,nua,mllB,nll。,則a〃在

C.若加_La,加〃%a_L￡,則〃_L，

D.若加，則0_1,

【答案】D

【分析】利用空間線線的關系、面面平行、面面垂直的判定定理和性質逐一判定各選項，即可得出

結論.

【詳解】對于A,若〃//，all。,則〃//a或〃ua,則用，〃相交、平行、異面都有可能，A錯

、口

沃；

對于B,若加燙％〃a,mlIp.nlI/3,則。與，相交或平行，B錯誤；

對于C,若加_La,加〃〃，則〃_La,又a_L,,則〃//，或〃u￡,C錯誤；

對于D,由加_La,加_L〃，得〃//a或〃u〃，若〃//cr,則存在過〃的平面與a相交，

令交線為/,則〃/〃，而〃_L〃，于是/_L〃，若〃ua,而〃_L。，則。_1,，

因此a_L,,D正確.

【鞏固練習5】設加，〃是空間兩條不同的直線，a,，是空間兩個不同的平面?給出下列四個命題：

①若加//a,nlI/3,a//p,則冽〃幾；

②若a_L/7,ml/?,maa,則加//a；

③若加_L〃，m-La,a〃夕，則〃〃/；

④若a_L/?,aV\P=l,mlla,mH,則加_L〃.

其中正確命題的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系逐一分析即可得答案.

【詳解】①若加//。，〃//，，a///?,則加與〃平行、相交或異面，故錯誤；

②若a_L〃，則加ua或加//a,又加ua,則加//a,故正確；

③若加_La,CL"0,則加_L￡,又加_L〃，則或〃//，，故錯誤；

④假設”是加在面a上的投影，mlla,mLI,即加maa,

若。_1,，a^\/3=l,m'ua,得m'工0nm10,故正確.

【題型2】線面垂直證明

基礎知識

解決思路：通過線面垂直的判定定理證明直線/與平面&垂直時，關鍵是在平面a內找到兩條與直

線/垂直的相交直線，并證明.

步歌

第一步：證明直線/與平面a內兩條相交直線都垂直.

第二步：通過線面垂直的判定定理證明直線/與平面a垂直.

第三步：通過線面垂直的性質證明直線/與平面a內的直線m垂直.

【例1】如圖，在四棱錐P-48co中，平面48CD,底部48CD為菱形，E為CD的中點.

(I)求證：8￡>_L平面為C；

【分析】⑴由題意利用線面垂直的判定定理即可證得題中的結論:

【詳解】(I)證明：因為尸/_L平面4BCD,所以；

因為底面4BCD是菱形，所以AC上BD;

因為P/n/C=Z,尸44Cu平面力。，

所以8D/平面P4c.

【例2】如圖，43是圓的直徑，平面為C_L面NC3,1.AP1AC.

求證：3C_L平面PNC；

【解析】因為平面以€?_1面4（75,JLAP1AC.,平面E4CC面NC5=AC,/Pu平面&C,

所以刃_L面NC8,又因為3Cu平面P8C,

所以E4_L3C,又因為是圓的直徑，所以NC_L8C,

因為/Cn尸/=4/C,尸/u平面尸/C,

所以5C_L平面P/C；

【例3】（2024?四川樂山?三模）如圖，平行六面體/BCD-481GA中，底面/BCD是邊長為2的菱

形，且/54D=60。，必=?,/^5=/4必,小與平面，3少所成的角為45。,/。與即交于0.

證明：4。，平面48cD；

連結,

?.?底面/BCD是邊長為2的菱形，AB=AD.

■：ZA{AB=ZA{AD,倒=倒，

:.'.BAi=D\.

?.,點O為線段BD中點，:.Api.BD.

?.?Z8CD為菱形，.,./C_LBD,/Cc4O=O,/C，4Ou平面A4]C,.18。_L平面yl4c

義BDu平面ABCD,，平面4/CJ■平面N3C。，

二441在平面上的射影為NC,

ZAtAO為直線44］與平面ABCD所成的角，即AAXAO=45°.

在AZ/O中，AAl=y[6,AO=^AC=yl3,ZAlAO=A5°,

AA2+OA2-AO2

cos/4/0―――t{A。=y/3.

1

22xAXAxOA

則4/=Q/

又。4nAD=O,O/u平面48cO,BDu平面48CD,

，4。_1平面48。。.

【鞏固練習1】（2023?北京?高考真題）如圖，在三棱錐尸-N3C中，尸/,平面/BC,

PA=AB=BC=1,PC=6

（1）求證：平面以2；

⑵求二面角/-尸C-5的大小.

【答案】（1）證明見解析

【分析】（1）先由線面垂直的性質證得P4L5C,再利用勾股定理證得尸3,從而利用線面垂

直的判定定理即可得證；

【詳解】（1）因為尸/_!.平面4BC,3Cu平面48C,

所以R4_L3C,同理P/_L48,

所以&PAB為直角三角形，

又因為尸5=癡心匚源=J5,BC=\,PC=^,

所以PB'+BC?=PC'則APBC為直角三角形，故BCLPB,

又因為BC上PA,PAC\PB=P,

所以3cl平面尸48.

【鞏固練習2】（2024?高三?湖北武漢?開學考試）如圖，在三棱錐P-48c中,

PA=BC=2百,PC=AB=6,PB=回,ZABC=90°,D^JAC上的動點.

若40=退，求證：平面/3C；

在RtZ\/3C中，AB=6,BC=14^>,則NC=4JL

又PA=2區PC=6,所以4c2=PC、P42

由勾股定理可得△/PC為直角三角形，ZAPC=90°,

pcr-

所以tan/PAC—.....=<3,所以Z.PAC-60°

PA

在△P4￡?中，因為AD=C,由余弦定理可得：

PD2=AP2+AD2-2AP-AD-cosZPAD=(2廊+(而一2X2蘇Jxcos60=9

則尸￡>2+402=242,所以PD，/。，

又CD=35N4CB=60°,在△DC8中由余弦定理可得：

BD2=BC2+CD2-2BC-CDcosZACB=(2廚+(3廚-2xx3gxcos60。=21,

則PD?+BD2=PB?,所以

大ADcBD=D,40u平面48C,8Du平面48C,

所以PD_L平面48c

【鞏固練習3]

【題型3】證明面面垂直

基礎知識

面面垂直的主要證明方法是利用線面垂直同面面垂直.

證明時，先從現有的直線中尋找其中一個平面的垂線，若圖中不存在這樣的直線，則可通過作輔助

線來解決.

文字語言圖形語言符號語言

面面垂直判定一個平面過另一6_La]

y=aJ_/

bu/3、

個平面的垂線，則b

這兩個平面垂直

【例1】（2020?全國?高考真題）如圖，。為圓錐的頂點，。是圓錐底面的圓心，是底面的內

接正三角形，P為。。上一點，N/PC=90。.

（1）證明：平面為8_L平面為C；

【分析】（1）根據已知可得P/=P8=PC,進而有△尸/CGAPBC,可得

ZAPC=NBPC=90°,即P3_LPC,從而證得尸C_L平面P48,即可證得結論；

【詳解】（1）連接。4。尻。。，?.?。為圓錐頂點，。為底面圓心，平面4BC,

?.?P在。。上，OA=OB=OC,:.PA=PB=PC,

?.?△48C是圓內接正三角形，：.AC=BC,A^C^APBC,

NAPC=ZBPC=90°,即P8_LPC,PAVPC,

尸/n尸8=尸，，尸C，平面尸N2,PCu平面上4C,二平面尸平面R4C；

【例2】（2023?全國甲卷?高考真題）如圖，在三棱柱A8C-4耳。中，4C，平面4BC,44cB=90。.

（I）證明：平面NCG4,平面84GC

【分析】（1）由4cd.平面得4CLBC,又因為ZC，8C,可證3C/平面/CQ4,從而證得

平面NCG4，平面BCC向；

【詳解】（1）證明：因為4C,平面/3C,5Cu平面4BC,

所以4c_LBC,

又因為//C5=90°,即/C/3C,

4CNCu平面/CG4,AiCoAC=C,

所以3cl平面/CC/1,

又因為3Cu平面8CC圈，

所以平面NCC14_L平面BCC[B].

【例3】如圖，在四棱錐P/2CD中，底面/2C。為正方形，P/工底面/BCD,PA=AB=2,E為

線段網的中點，尸為線段5c上的動點，證明：平面/￡下，平面P8C

【詳解】（1）方法一：

因為P4_L底面ABCD,3Cu平面ABCD,

所以R4_L3C.

因為ABCD為正方形，所以AB上BC,

又因為24口48=/,P/u平面PAB,4Bu平面PAB,

所以8C，平面PAB.

因為/Eu平面PAB,所以/E_LBC.

因為尸/=AB,E為線段PB的中點，

所以,

義因為PBcBC=B,PBu平面PBC,5Cu平面PBC,

所以/E_L平面PBC.

又因為/Eu平面AEF,

所以平面4EF_L平面PBC.

方法二：

因為P4J_底面ABCD,尸Nu平面PAB,

p

E

AB

所以平面尸48_L底面ABCD

又平面P4Bc底面4BCD=AB,BCLAB,BCu平面ABCD,

所以平面PAB.

因為/Eu平面PAB,所以3c.

因為尸/=E為線段PB的中點，所以

因為PBcBC=B,PBu平面PBC,3Cu平面PBC,

所以NE_L平面PBC,

又因為/Eu平面AEF,

所以平面4EF_L平面PBC

解法三：建系(費時間，但是可以為第二問鋪路)

因為PN_L底面ABCD,ABLAD,

以A為坐標原點，以刀,25,Q的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向,

建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz,

則4(0,0,0),0(2,0,0),C(2,2,0),￡)(0,2,0),尸(0,0,2),E。,0,1),

設時=?e[0,2]),則尸(2/0),

所以次=(1,0,1),萬=(2,/,0),麗=(2,0,-2),元=(0,2,0),

設元=(X]，M，ZJ為平面AEF的法向量，

n-AE=0,fX+z,=0,

則｛一.所以"八n取"=2,則石=f,4=/,

n-AF=0,[2再+供=0,

則元=(T,2,f),

設而=(工2，%/2)為平面PBC的法向量，

m?PB=0,f—2z=0,

則｛一所以~:?取超=1,貝|%=0,Z2=l,

m-BC=0,12%=0,

則玩=(1,0,1)

因為五?而=V+0+t=0,所以力_L成,

所以平面4EF_L平面PBC

【例4】（24-25高三上?廣東肇慶?階段練習）如圖，在四棱錐尸-N2CD中，底面48。為菱形,

ZDAB=60°,是邊長為2的等邊三角形，PB=瓜.

證明：平面平面/BCD.

【分析】（1）取的中點。，連接80,PO.易證。8_L4D、OPLAD,由勾股定理易證OP_L08,

根據線面垂直的判定定理可得08_L平面PAD,根據面面垂直的判定定理可證平面PAD_L平面

ABCD.

【詳解】（1）取4D的中點O,連接50,PO.

所以AaoB為等邊三角形.

因為。為/。的中點，所以。B_L40,B0=V22-l2=A/3.

因為是邊長為2的等邊三角形，所以P0=拒，

則尸笈=尸02+0§2,所以O8_LOP.

火ADcOP=O,所以。8_L平面尸40,

因為03u平面48a）,所以平面尸/D_L平面48a）.

【鞏固練習1]（2022?全國乙卷?高考真題）如圖，四面體4BCD中,

AD±CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E為/C的中點.

（1）證明：平面BED_L平面/CD；

【分析】根據已知關系證明得到=結合等腰三角形三線合一得到垂直關

系，結合面面垂直的判定定理即可證明：

【詳解】因為/D=CD,E為/C的中點，所以/CJ_DE；

在Z\ABD和ACBD中，因為=CD,ZADB=ZCDB,DB=DB,

所以ZXABD空ACBD,所以AB=CB,又因為E為/C的中點，所以/C_LB￡;

又因為DE,BEu平面BED,DEcBE=E,所以/C_L平面BE。，

因為/Cu平面/CD,所以平面8ED_L平面/CD.

【鞏固練習2】（2021?全國新H卷?高考真題）在四棱錐。-中，底面/3C。是正方形，若

AD=2,0。=QA=45,QC=3.

Cl）證明：平面。40_L平面4BCD；

【答案】（1）證明見解析；

【分析】（1）取4D的中點為。，連接。。,。。，可證。平面4BCD,從而得到面。40,面Z3CD.

【詳解】

Q

（1）取的中點為O,連接0O,CO.

因為Q/=QZ）,OA=OD,則

而/。=20=0，ikQ0==2.

在正方形45CD中，因為40=2,故￡>0=1,故CO=后,

因為。C=3,故0c2=。。2+。。2,故AQOC為直角三角形且0OLOC,

因為。Cn/O=O,故。。，平面/3C。，

因為。Ou平面。故平面040,平面4BCD.

【鞏固練習3】（2024?廣東廣州?模擬預測）如圖，四棱錐P-/BCD中，底面A8CD是平行四邊形,

△P4D是正三角形，NBAD=6Q°,PB=AB=2AD=4.

（1）證明：平面尸4D_L平面/BCD;

【分析】（1）取40中點0,連接。尸,。8,根據等比三角形可得尸0,40,由余弦定理求。2長,

再由勾股定理得03，OP,結合面面垂直判定定理證得結論；

【詳解】（1）取/。中點O,連接。尸,。8,

因為△"￡>是正三角形，。為4D中點，

所以尸O_L4D,且尸。=火40=6，

2

又ZBAD=60°,AB=2AD=4,由余弦定理得

222

OB=OJ4+AB-2OA-AB-cos600=l+16-2xlx4x-=l3,

2

則+=網2,故0B工0P,

因為03c40=0,08,40u平面ABCD,

所以PO_L平面48CD,又尸Ou平面P4D,

所以平面尸40_1_平面48CD

【題型4】已知面面垂直證其他垂直

基礎知識

文字語言圖形語言符號語言

面面垂直性質兩個平面垂直，則一a-LJ3

acB=Q

個平面內垂直于交b>nb-L。

bu自

線的直線與另一個

bLa

平面垂直

【例1】（2021?全國新I卷?高考真題）如圖，在三棱錐/-5CD中，平面48。_L平面3cD,AB=AD,

。為AD的中點.（1）證明：OALCD；

【分析】（1）由題意首先證得線面垂直，然后利用線面垂直的定義證明線線垂直即可;

【詳解】（1）因為=。是AD中點，所以O/_L8。，

因為OAu平面ABD,平面ABD平面BCD,

且平面4BDc平面5cz）=3D,所以。4_L平面BCD.

因為CDu平面BCD,所以。4_LCD.

【例2】（2024?廣東佛山?一模）如圖，在四棱錐尸-4BCZ）中，平面尸48_L平面/BCD,AB//CD,

AADC=90°，PA_LPB,PA=PB.

（1）求證：平面尸/￡>_L平面PBC；

【分析】（1）利用面面垂直性質定理以及線面垂直判定定理證明即可得出結論；

【詳解】（1）在底面/BCD中，因為ABUCD,ZADC=90°,所以148.

因為平面尸48_1_平面48CD,平面尸48c平面48CD=48,401^平面48。。,

所以4D_L平面P48.

又因為PBu平面尸48,所以4D_LP5.

又因為尸5_L4P,ADC\AP=A,AD,4Pu平面40尸，

所以尸5_1_平面40尸

又因為PBu平面PBC,所以平面尸4D_L平面P8C

【例3】如圖，在三棱臺MC—45cl.中，ABLBC,BB,1AC,平面48月4，平面/臺。.

求證：平面/3C；

【解析】證明：因為平面48月4,平面48C,且平面/8與4n平面45C=/2,

又因為/B_L8C,且BCu平面43C,所以3C_L平面,

因為u平面,所以BCLBB],

又因為NC_LAB],且BCc/C=C,BC,/Cu平面，所以_L平面4BC.

【鞏固練習1】（2024?廣東?二模）如圖，三棱柱48C-48￡的底面是等腰直角三角形，ZACB=90°,

側面/CCT是菱形，///。=60。,/。=2,平面4BCL平面/CG4.

【分析】（1）利用線面垂直的判定可得4。，平面/4G,然后利用線面垂直性質定理結合平行即可

得證.

【詳解】（1）連接"G,由四邊形4/CC]為菱形，得/C|_L4C,由N/C8=90。，得3CJ./C,

又平面48C_L平面4CG4,平面48CPI平面NCCM=/C,BCu面4BC,

則8C_L平面/CG4,又4。（=平面/CG4,于是3c，4C,和BCHBG,則片G_L/C,

又NC]C3|G=C1,/C|再Gu平面4BC1,因此4CJ■平面14G,又/耳u平面NB?,

【鞏固練習2】（2024?陜西西安?三模）在四棱錐尸-48CD中，平面上切，平面/BCD,AB//CD,

ABIBC,DC=BC=2,AB=4.

p

AB

證明：BD1AP.

ARjr

【解析】因為DC=BC=—^2,所以BD=2亞,^DBA=-,

7116+8-2x4x2。亨=2百，所以

由余弦定理可得AD=\AB^+\BD^-2\AB\\BD\cos—二

4

AD2+BD2=AB2,則4D_L8O-

因為平面R4￡>_L平面48CD,且平面P/lDc平面48cz)=4D,40u平面RID,

所以8。1平面PAD.

因為4Pu平面RD,所以8D_L4P.

【鞏固練習3】（2024?高三?河南?開學考試）如圖，在三棱錐尸中，。為/C的中點，平面尸

平面/3C,Zk4BC是等腰直角三角形，AB±BC,AC=PA=V2,PB=V5.

證明：PA=PC；

【解析】證明：因為V48c是等腰直角三角形，/3,8。,。為/。的中點,

所以/C_L05,/Cu平面/8C,

又因為平面尸03_L平面48C,平面尸08n平面4BC=O8,

所以“C_L平面尸08.

因為POu平面尸。5,所以/C_LPO,又。為NC的中點，

所以AP/C是等腰三角形，故PA=PC.

【題型5】證明異面直線垂直

基礎知識

【方法技巧】異面直線的垂直證明如果能建系就優先考慮建系，建系法思路簡單且計算量小，而幾

何法如果不熟練就容易卡殼

三線合一（有等腰三角形就必用）

共面=>勾股定理（題目中線段數據多）

證明先看兩直線位置關系

其他（初中平面幾何學習的其他垂直證明方法）

異面n考慮用線面垂直推導異面垂直n找重垂線n在重垂線對應平面內找垂直

【例1】（2023?全國新H卷?高考真題）如圖，三棱錐/-BCD中，DA=DB=DC,BDLCD,

AADB=AADC=60°,E為2C的中點.（1）證明：BCLDA-,

【分析】根據題意易證工平面從而證得3CJ_Q4；

【詳解】連接/E,DE,因為￡為8c中點，DB=DC,所以DEL5c①,

因為'=C8=OC,ZADB=ZADC=60°.所以CO與△48。均為等邊三角形,

AC^AB,從而4E_L3C②，由①②，AECDE=E,平面/DE,

所以，3cl平面/DE,而4Du平面所以BdU.

【例2】（杭州二模）在三棱錐S-ABC中，底面△ABC為等腰直角三角

形,/S4B=/SCB=/4BC=90。.求證：ACVSB

【詳解】

s

證明：取/C的中點為E,連結SE,BE,

;AB=BC,：.BELAC,

在ASCB和ASAB中，NSAB=ASCB=90°,AB=BC,SB=SB

：.ASCB*SAB,：.SA=SC,

的中點為E,：.SE±AC,

,:SECBE=E,/C_L面SBE,

■:SBu面SBE,AACLSB

法二：構造等腰直角三角形，取SB中點M,易知AM=CM,故EM_LAC

【例3】（2021?全國甲卷?高考真題汨知直三棱柱ABC-44。中，側面44圈8為正方形，=8C=2,

E,尸分別為/C和CG的中點，。為棱4片上的點.BFL4國

（1）證明：BFLDE-,

【詳解】（1）［方法一］:幾何法

因為即_1_44,44〃45,所以

又因為BFcBB、=B,所以48工平面8CC4.又因為4B=5C=2,構造正方體

ABCG-4坊。。］,如圖所示，

G

過E作NB的平行線分別與/G,5c交于其中點M,N,連接4M4”

因為E,尸分別為/C和的中點，所以N是2c的中點，

易證RUBCF三Rt△BXBN,則ZCBF=ZBB1N.

又因為NB&N+NB\NB=究，所以ZCBF+ZB\NB=9QP,BFL&N.

又因為即，44,4人小44=4,所以BF工平面AMNB、.

又因為EDu平面4MVB］,所以BF工DE.

［方法二］【最優解】：向量法

因為三棱柱/8C-481G是直三棱柱，底面4BC,.?.西_1_加

???A.BJ/AB,BFLA}BX,：,BFLAB,大BB^cBF=B,ABJ,平面BCC^B一所以BA,BC,BB［兩

兩垂直.

以B為坐標原點，分別以胡,3。,84所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系，如圖.

5（0,0,0）,^（2,0,0）,C（0,2,0）,:（0,0,2）,4（2,0,2）,C"0,2,2）

E（l,l,0）,F（0,2,l）.

由題設。（a,0,2）（0<a<2）.

因為麗=（0,2,1）,瓦=（l-a,l,-2）,

所以BFDE=0x（l-a）+2xl+lx（-2）=0,所以BF_LDE.

［方法三］:因為A.BJIAB,所以8萬_148,故而-4X=0,而.萬=0,

所以麗?麗=麗?（麗+西+麗）?麗+麗?（屬+畫）=BF-EB+BF-BBt

=BF\一一BA一一BC\+BF-BB.=--BF-BA-—BFBC+BFBB,=-—BFBC+BF-BB,

I22J122121

=一；|旃,反卜osZFBC+|而［J函kos/FSq=-；x6x2x京+6x2x卷=0,所以BFLED.

【鞏固練習l】（2024?全國新n卷?高考真題）如圖，平面四邊形48。中，AB=8,CD=3,AD=5。,

—2——-1—.

44DC=90°,ABAD=30）,點、E,尸滿足4E=不，。，AF=-AB,將△/￡尸沿M翻折至！PEP,

使得PC=4g.⑴證明：EF±PD；

p

【分析】（1）由題意，根據余弦定理求得跖=2,利用勾股定理的逆定理可證得EF上4D,則

EFLPE,EELDE,結合線面垂直的判定定理與性質即可證明；

____1______________________________

【詳解】由/3=8,/。=58,萬=,力,方=5萬，

得4E=2?4F=4,又4840=30°,在△/￡/中，

16+12-2-4-2V3-y^=2,

由余弦定理得EF=-JAE2+AF2-2AE-AFcosZBAD=

所以/￡?+￡■/2=//2,則NEJ_EF,即EF，4D,

所以EFLPE,EFLDE,叉PECDE=E,PE、DEu平面PDE,

所以斯上平面PDE,又PDu平面PDE,

故EF_LPD

【鞏固練習2]（2022?全國甲卷?高考真題）在四棱錐尸-48CD中，底面

ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP?3.

（1）證明：BD1PA；

【答案】（1）證明見解析；

【分析】（1）作DE」48于￡,CF上AB于F,利用勾股定理證明ND」50,根據線面垂直的性質

可得PDLBD,從而可得平面，再根據線面垂直的性質即可得證；

【詳解】（1）證明：在四邊形月3co中，作DEJ.AB于E,CFJ.AB于F,

因為CD//AB,AD=CD=CB=1,4B=2,

所以四邊形ABCD為等腰梯形，

所以4E=BF=g,

故DE=%,BD=ylDE2+BE2=y/3,

所以AD2+B》=AB"

所以4D1BD,

因為PD_L平面48CD,BDu平面ABCD,

所以PDLBD,

又PDcAD=D,

所以8。1平面尸40,

又因為尸/u平面尸40,

所以:

【鞏固練習3】（2022?浙江?高考真題）如圖，已知4BCD和CDE1廠都是直角梯形，AB//DC,DCHEF,

AB=5,DC=3,EF=1,ZBAD=ZCDE=60°,二面角尸-OC-B的平面角為60。.設M,N分

別為的中點.

（1）證明：FNLAD■,

【分析】（1）過點E、。分別做直線。C、A8的垂線EG、并分別交于點G、H,由平面知識

易得FC=BC,再根據二面角的定義可知，ZBCF=6