培優(yōu)專題03概率統(tǒng)計

培優(yōu)墨嚏(特鋼-幫塞提如、

題型1離散型隨機變量及其分布列

r±T±TAT±T±TXT±T±TATATATATXTATATATATATXT^TATATXTAT±TATATAT±TXTAT±T±TAT±TAT±T±TXTATAT±TXTATATXTAT±TXTATAT±TATAT±TXTATATATAT±T±T±TAT±TATATAT±T±TXTXTATATXTX

點

離散型隨機變量及其分布列問題，解題的思路是：

1、明確隨機變量X可能取到的值并求出每一種情況下的概率

2、寫出離散型隨機變量的分布列

(1)離散型隨機變量的分布列

一般地，設(shè)離散型隨機變量X的可能取值為的，尤2,…，X"，我們稱X取每一個值方的概率P(X=M)=o,

i=l,2,"為X的概率分布列，簡稱為分布列.

(2)可以用表格來表示X的分布列，如下表

XXIX2XiXn

PPiP2PiPn

還可以用圖形表示，如下圖直觀地表示了擲骰子試驗中擲出的點數(shù)X的分布列，稱為X的概率分布圖.

3、必備知識：離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)

(1)，20,，=1,2,…，幾；(2))i+p2+…+p〃=1.

i

1.(2025?貴州黔東南?模擬預(yù)測)某商場推出了購物抽獎活動，活動規(guī)則如下：如圖，在點A,B,C,D,

E處各安裝了一盞燈，每次只有一處的燈亮起.初始狀態(tài)是點A處的燈亮起，程序運行次數(shù)的上限為"

(24〃46,?eN+),然后按下開始按扭，程序開始運行，第1次是與A相鄰點處的其中一盞燈隨機亮起，

第w次是與第"-1次燈亮處相鄰點的其中一盞燈隨機亮起.若在運行過程中，點A處的燈再次亮起，則游戲

結(jié)束，否則運行幾次后游戲自動結(jié)束.在程序運行過程中，若點A處的燈再次亮起，則顧客獲獎.已知顧客小

明參與了該購物抽獎活動.

⑴求程序運行2次小明獲獎的概率；

(2)若”=4,求小明獲獎的概率；

⑶若〃=6,記游戲結(jié)束時程序運行的次數(shù)為X,求X的分布列與期望.

【答案】⑴三⑵黑⑶分布列見解析,E(X)=4

12216

【分析】(1)分析小明兩次獲獎的情況有兩種求+=］得到結(jié)果；

(2)根據(jù)題意分程序運行2次，小明獲獎，程序運行4次，小明獲獎，共有五種情況求和計算求解；

(3)根據(jù)〃=6,結(jié)合(1)(2)問分析，得到多種情況，分別求出概率得出X的分布列，再求數(shù)學(xué)期望.

【詳解】(1)程序運行2次小明獲獎的情況有A-A-E-A這兩種，

其概率或二；x；+；x；=W

乙J乙乙JL乙

(2)當(dāng)〃=4時，小明獲獎的情況如下：程序運行2次，小明獲獎；程序運行4次，小明獲獎.

程序運行4次，小明獲獎的情況有A—3-C—3—A,A-B-D-B-A,A-E-D-E-A,A-B-D-E-A,

4一七一。一3—4這五種,

其概率6」x'L'Wx'LL'LLLWxLLL包,

223232333223223322233216

121

故當(dāng)〃=4時，小明獲獎的概率尸=6+5=^

216

(3)當(dāng)〃=6時，X的所有可能取值為2,4,5,6.

531

由(1)可知尸(X=2)=F，由(2)可知P(X=4)=丁,

12216

當(dāng)X=5時，A-B-C-D-E-A,A-E-D-C-B-A,A-B-C-D-B-A,A-B-D-C-B-A

這四種情況，

廿百/n/v6c111110111115

其^f既;T'-P(X=5)=2x—x—x—x—x—F2x—x—x—x—x—=-----,

2323223233108

531585

P(X=6)=1-P(X=2)-P(X=4)—P(X=5)=1---------------------=——

12216108216

故X的分布列為

X2456

531585

P

12216108216

S3]525

^E(X)=2x—+4x—+5x—+6x—=4

12216108216

2.（2025?廣東?一模）甲參加圍棋比賽，采用三局兩勝制，若每局比賽甲獲勝的概率為P（O<0<1）,輸?shù)?/p>

概率為1-0，每局比賽的結(jié)果是獨立的.

2

⑴當(dāng)p=§時，求甲最終獲勝的概率；

⑵為了增加比賽的趣味性，設(shè)置兩種積分獎勵方案.方案一：最終獲勝者得3分，失敗者得—2分；方案二：

最終獲勝者得1分，失敗者得0分，請討論選擇哪種方案，使得甲獲得積分的數(shù)學(xué)期望更大.

【答案】⑴2"0（2）答案見解析

【分析】（1）甲最終獲勝有兩種情況：前2局贏、三場輸一場贏兩場，據(jù)此求解概率；

（2）由（1）可得甲最終獲勝的概率，分別計算兩種方案下甲獲得積分的數(shù)學(xué)期望，通過作差比較其大小

即可.

【詳解】（1）記"甲最終以2:1獲勝"為事件A,記"甲最終以2:0獲勝"為事件B,"甲最終獲勝"為事件C,

于是C=AB,A與8為互斥事件，

Q4

由于尸（A）=C；?p-p.（l-p）=力,P⑻=/=§,

則P（C）=P（A）+P（B）=3p2_203=1^,

即甲最終獲勝的概率為二20.

（2）由（1）可知，P（C）=P（A）+P（B）=3p2-2p3,

若選用方案一，記甲最終獲得積分為X分，則X可取3,-2,

p（X=3）=P（C）=3p2-2/,P（X=_2）=l_3/+2p3,

則X的分布列為:

X3-2

P3P2-2/l-3p?+2p3

貝"E（x）=9p2_6p3_2+6p2-4/=—iOp3+I5p2_2,

若選用方案二，記甲最終獲得積分為y分，則y可取1,o,

尸0=1）=尸（c）=3p2-2p3P（Y=0）=1-3P2+2/,

則y的分布列為：

Y10

P3”-2爐l-3p-+2p}

則E（y）=3p2-2/,

所以￡兇/丫）=一8/+12/-2=-4,一￡|（2八20-1）,

由于0<〃<1,則2P2—2p—l=2p（p—1）—1<0,

于是時，兩種方案都可以選，

當(dāng)0<p<g時，E（X）<E（Y）,應(yīng)該選第二種方案，

當(dāng)3Vp<1時，E（X）>E（Y）,應(yīng)該選第一種方案.

3.（2025?山東?模擬預(yù)測）已知某種業(yè)公司培育了新品種的軟籽石榴，從收獲的果實中隨機抽取了50個軟

籽石榴，按質(zhì)量（單位：g）將它們分成5組：[360,380）,[380,400）,[400,420）,[420,440）,[440,460],得

到如下頻率分布直方圖.

⑴用樣本估計總體，估計該品種石榴質(zhì)量的平均數(shù)；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）

(2)在樣本中從質(zhì)量在區(qū)間[380,400),[400,420),[420,440)上的石榴中按分層隨機抽樣抽取7個石榴進行檢測,

再從中抽取3個石榴作進一步檢測.

(0)已知抽取的3個石榴不完全來自同一區(qū)間，求這3個石榴恰好來自不同區(qū)間的概率；

(回)記這3個石榴中質(zhì)量在區(qū)間[420,440)上的個數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

69

【答案】⑴416g.(2)(0)—：(0)分布列見解析，-

【分析】(1)由平均數(shù)的計算公式求解即可；

(2)(回)先確定日80,400),[400,420),[420,440)上的石榴個數(shù)分別為2,2,3.再結(jié)合古典概型及條件概

率計算公式求解即可；(回)確定X的所有可能取值，再求得對應(yīng)概率即可求解；

【詳解】([)由題意知這50個軟籽石榴質(zhì)量的平均數(shù)為

20x[370x0.005+(390+410+450)x0.010+430x0.015]=416(g),

所以估計該品種石榴質(zhì)量的平均數(shù)為416g.

(2)由題意知這7個石榴中，質(zhì)量在區(qū)間[380,400),[400,420),[420,440)上的頻率之比為

0.010:0.010:0.015=2:2:3,

所以抽取的質(zhì)量在區(qū)間[380,400),[400,420),[420,440)上的石榴個數(shù)分別為2,2,3.

(0)記事件A="抽取的3個石榴不完全來自同一區(qū)間"，事件3="這3個石榴恰好來自不同區(qū)間”,

Xg，小小C；C；C；12

則尸(A)=

35

12

所以「(冽&)=?翟35_6

34-17）

35

即所求概率為

「3418

(0)由題意知X的所有可能取值為0,L2,3,貝l]P（X=0）=^=?，P（X=1）=-^

35

c\c（21

文=2)=中

C廠35'

所以X的分布列為

X0123

418121

P

35353535

所以E（X）=Ox巴+1XG+2XU+3X-!-=2

''353535357

題型二：二項分布

TJiT±TXTXTXr±TATXTXT±TATATXTATATXTXTJiTATJiTXT±TJiTXTATATXT4iT±Trr4iTATXT±TATXT±TATXTXTXTXTATATXTXTJiTATXTdiTJiTJiTXTJiTJiTXTJiTXTATJiTJiTXTXTAT±TJiTXTAT±TXTXTATATJiTXTATA

點

二項分布問題，解題的思路是：

1、識題.

“重伯努利試驗具有如下共同特征

(1)同一個伯努利試驗重復(fù)做n次；(2)各次試驗的結(jié)果相互獨立.

2、研究方向

一般地，在“重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(O<p<l),用X表示事件A發(fā)生的次數(shù),

則X的分布列為：P(X=k)=C：pkQ_p)"T,k=0,1,2,…,"記作X?8(%p).

3、必備知識：一般地，可以證明：如果X?2(”，p),那么E(X)=〃p,O(X)=〃p(l-p).

1.(2024?貴州六盤水?模擬預(yù)測)深圳是一個沿海城市，擁有大梅沙等多樣的海濱景點，每年夏天都有大

量游客來游玩.為了合理配置旅游資源，文旅部門對來大梅沙游玩的游客進行了問卷調(diào)查，據(jù)統(tǒng)計，其中|■的

人選擇只游覽海濱棧道，另外］的人選擇既游覽海濱棧道又到海濱公園游玩.每位游客若選擇只游覽海濱棧

道，則記1分；若選擇既游覽海濱棧道又到海濱公園游玩，則記2分.假設(shè)游客之間的旅游選擇意愿相互獨

立，視頻率為概率.

⑴從游客中隨機抽取2人，記這2人的合計得分為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

⑵從游客中隨機抽取〃個人(awN*),記這〃個人的合計得分恰為〃+1分的概率為P“，求￡B；

1=1

⑶從游客中隨機抽取若干人,記這些人的合計得分恰為鼠分(〃eN*)的概率為?！?，隨著抽取人數(shù)的無限增加,

?！笆欠褛吔谀硞€常數(shù)？若是，求出這個常數(shù)；若不是，請說明理由.

【答案】⑴分布列見解析，g(2)；一曾仁%是，!

【分析】(1)根據(jù)題意得到變量X的可能取值為2,3,4,結(jié)合獨立事件的概率乘法公式，求得相應(yīng)的概率，

列出分布列，利用期望的公式，求得期望.

(2)由這〃人的合計得分為“+1分，得到《=|.小弓)"，結(jié)合乘公比錯位相減法求和，即可求解.

(3)記"合計得〃分"為事件A,"合計得〃+1分"為事件B,得到%+1*=1(心2),結(jié)合數(shù)列的遞推關(guān)系

式，進而求得數(shù)列的通項公式，得到答案.

【詳解】(1)依題意，隨機變量X的可能取值為2,3,4,

74731?3。

貝ljP(X=2)=(—)2=—,p(x=3)=C；x—x—=—,P(X=4)=(-)2=—

525'725525525

所以X的分布列如下表所示：

X234

4129

P

252525

412916

數(shù)學(xué)期望為石(X)=2x齊+3x齊+4x^=彳.

(2)由這〃人的合計得分為〃+1分，得其中只有1人既游覽海濱棧道又到海濱公園游玩，

于是月=C|?(I)-1=即:=|.?-(|)"，令數(shù)列｛n-(|)"｝的前”項和為S”,

貝llS“=lx—+2x(—)2+3x(―)3++nx(—)",

23

于是|S,=lx(|)+2x(|)++(n-l)x(|r+wx(|嚴,

2口(2力

兩式相減得|S,=|+(|)2+(|)3++(I)"X(|)"+1=—f—一?x(|)"+1

1--

5

210+6〃21010+6九2

法-，m因此uS“二了-.”)，

llti3_55+3〃/2、〃

所以=Pl+P2+，3++Pn=^Sn---T-'(T).

j=l/J5D

(3)在隨機抽取的若干人的合計得分為〃-1分的基礎(chǔ)上再抽取1人,則這些人的合計得分可能為〃分或〃+l

分,

記"合計得?分”為事件A，"合計得〃+1分"為事件B,A與B是對立事件,

P(B)=W*,4+，%=1(〃幻2),即=4(%-，)(〃22),

則P(A)=a,

33odo

由4=(2,得卬_；5=_舒9則數(shù)列他“一|5｝是首項為一9方公比為-泊3等比數(shù)歹”,

見一'1=一方一/"汕，因止匕可［一》一,產(chǎn)伽油，

無限趨近于0,。”無限趨近于，,

隨著〃的無限增大,

O

所以隨著抽取人數(shù)的無限增加，%趨近于常數(shù)1

O

2.（2025,四川?模擬預(yù)測）某學(xué)校有2000人，為加強學(xué)生安全教育，某校開展了安全知識講座，講座結(jié)束

后，學(xué)校組織了一場安全知識測試，將測試成績劃分為"不夠良好"或"良好"，并得到如下列聯(lián)表：

安全知識測試成績

性別合計

不夠良好良好

男8003001100

女700200900

合/p>

⑴根據(jù)小概率。=0.01的/獨立性檢驗，能否認為本次安全知識測試成績與性別有關(guān)聯(lián)？

⑵設(shè)事件4="選到的學(xué)生是男生"，事件3="選到的學(xué)生的測試成績?yōu)椤己?"，用頻率估計概率，通過計算

P（B\A）P（B\A\

比較扁F與4的大小?

P[B\A）?（劇

其中，尸（X）表示事件X發(fā)生的概率.

n^ad-bc^

參考公式：*=其中〃=〃+Z?+c+d.

(a+b)(c+d)(Q+c)(/?+d)

參考數(shù)據(jù):

a0.150.100.050.010

Xa2.0722.7063.8416.635

【答案】⑴認為了解安全知識測試成績與性別有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率小于0.01

P（冽A）/（雨）

（＞（B|A）P（B|A）

【分析】（1）利用獨立性檢驗的方法求解判斷即可;

P（B\A）P（B團

（2）利用條件概率公式求得與+4,可得結(jié)論.

.D（wB|A”jP（8|A）

【詳解】（1）零假設(shè)為"。：該校學(xué)生了解安全知識測試成績與性別沒有關(guān)聯(lián).

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到/=2000（800x200-700x300）2p6.734>6.635,

1500x500x900x1100

根據(jù)小概率值a=0.01的獨立性檢驗，可以推斷/成立，

即認為了解安全知識測試成績與性別有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率小于0.01.

P（HA）_3J1_3

800Q

（2）因為P（例A）=同吟,所以ppA）~nx7=8

noo

因為尸（明=器7007292

所以=——x——=——

900-9977

尸（而A）尸（B困

因為2:<、3，所以

P（B\A）P（B|A）

3.（2025?山東?模擬預(yù)測）已知48兩個不透明的袋子中均裝有若干個大小，質(zhì)地完全相同的紅球和白球，

從A袋中摸出一個紅球的概率是:，從8袋中摸出一個紅球的概率是P.在每輪中，甲同學(xué)先選擇一個袋子

摸一次球并放回，乙再選擇一個袋子摸一次球并放回，則該輪結(jié)束.已知在每輪中甲選A,3兩袋的概率均

為!.如果甲選A袋，則乙選B袋的概率為二；如果甲選8袋，則乙選8的概率為

~55

2

⑴若P=§，求在一輪中乙從8袋中摸出紅球的概率；

⑵求在一輪中乙摸出紅球的概率；

⑶若甲，乙兩位同學(xué)進行了3輪摸球.乙同學(xué)認為，P越大，3輪摸球后他摸出2個紅球的概率越大，你同

意他的觀點嗎？請說明理由.

71

【答案】⑴微（2）而（7。+1）⑶不同意乙的觀點，理由見解析

【分析】（1）先利用全概率公式求出乙從8袋中摸球的概率，再利用乘法概率公式求解即可；

（2）利用全概率公式求解即可；

（3）由題意知3輪摸球后摸出紅球的個數(shù)服從二項分布B（3,：（7p+l）j,利用二項分布的概率公式可得3

輪摸球后乙摸出2個紅球的概率為盛（7。+1產(chǎn)（9-7p）,令/（0=（Jp+1）2（*79-7小，利用導(dǎo)數(shù)求最

大時，P的值即可.

【詳解】（1）設(shè)。="甲從A袋中摸球"，E=”乙從B袋中摸球〃，C="乙摸出的是紅球",

由全概率公式知，乙從2袋中摸球的概率P（E）=P（。）?（Ep）+P（5）P（E⑼=gxg+gx|=A，

777

所以在一輪中，乙從8袋中摸出紅球的概率為尸（EC）=P（E）P（C|E）=^x§=^.

（2）在一輪中，乙摸出紅球的概率P（C）=P（E）P（C|E）+尸閭P（C間=''0+A、（=七（70+1）.

（3）由題意知3輪摸球后摸出紅球的個數(shù)服從二項分布g13,2（7p+l）］,

則3輪摸球后乙摸出2個紅球的概率為

P=C［1（7P+1）［［l-:（7P+l）］=l^（7P+l）2（9-7p）（0＜p＜l），

設(shè)/（。）=（JP+1）2（9-7#，則/（0）=7（7。+1）.（17-21p）,

17

令尸（p）=o,解得。=苛，

1717

則當(dāng)。＜〃＜五時，r（p）＞o,〃p）單調(diào)遞增，當(dāng)五＜p＜i時，/,s）＜o,〃p）單調(diào)遞減，

所以當(dāng)p=M17時，3輪摸球后乙摸出2個紅球的概率最大，所以不同意乙的觀點.

題型三：超幾何分布

點

超幾何分布問題，解題的思路是:

1、識題：超幾何分布模型是一種不放回抽樣

2、研究方向：一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有〃件次品，從N件產(chǎn)品中隨機抽取〃件（不放回）,

用X表示抽取的w件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P（X=Q=竺%,k=m,m+1,機+2,…，工

CN

其中“，N,MEN*,M<N,n<N,m=max{0,n-N+M],r=mm[n,M].如果隨機變量X的分布列具有

上式的形式，那么稱隨機變量X服從超幾何分布.

3、必備知識：超幾何分布的期望￡（出=臂=叩仍為N件產(chǎn)品的次品率）.

1.（2024?云南?一模）為節(jié)約水資源，某市對居民用水實行"階梯水價"制度，其標準如下:

基礎(chǔ)水價污水處理到戶綜合水價

項目月用水量

（元/m3）價（元/m3）

(元/m3)

第一階梯不超過15m3的部分3.31.14.4

超過15m3但不超過27m3

第二階梯4.91.16.0

的部分

第三階梯超過27m3的部分6.41.17.5

例如：該市某戶居民家庭某月用水量為18m3,則其該月應(yīng)繳納的綜合水費（包括基礎(chǔ)水費、污水處理費）

合計為4.4x15+6.0x（18-15）=84（元）.

⑴若該市某戶居民某月用水30m3,則該月應(yīng)繳納的綜合水費為多少元？

（2）為了解該市居民月用水量的分布情況，通過抽樣獲得了該市100戶居民某月的用水量數(shù)據(jù)（單位：m3）,

整理得到如下頻數(shù)分布表：

月用水

(3,7]（7，川(11,15](15,19](19,23](23,27](27,31]

量

頻數(shù)141828181255

（0）若該市相關(guān)部門采取分層抽樣的方法，在這100戶居民中，從月用水量在（15,19］和（19,23］兩組內(nèi)選

10戶居民參與節(jié)水宣傳活動，并決定在這10戶居民中按抽簽方式選出5戶進行深度調(diào)研，設(shè)X,V分別為

月用水量在（15,19］和（19,23］中被選中進行深度調(diào)研的居民戶數(shù)，記隨機變量Z=|X-"，求Z的分布列和

數(shù)學(xué)期望.

（國）以上表中的100戶居民月用水量作為樣本估計該市居民月用水量.現(xiàn)從該市隨機抽取20戶，記取到第

一階梯水量的戶數(shù)為4,當(dāng)4=左時對應(yīng)的概率為居，求號取得最大值時％的值.

一34

【答案】（1）160.5元⑵（國）分布列見解析，—；（回）12

【分析】（1）根據(jù)階梯收費的制度即可求解，

（2）根據(jù)超幾何分布的概率公式求解概率，即可求解分布列和期望，

（3）利用二項分布的概率公式，利用不等式求解最值.

【詳解】（1）由題意可得，該戶居民該月用水30立方米分三個階梯收費，

4.4x15+6.0x（27-15）+7.5x（30-27）=160.5（元）

故該戶居民該月應(yīng)繳納的綜合水費為160.5元.

（2）（0）由表可知:月用水量為（15,19]和（19,23]的用戶分別為18戶和12戶,

根據(jù)分層抽樣，參與節(jié)水宣傳活動的居民總共抽10戶，

1Q1O

所以用水量在（15,19]的應(yīng)抽取10x5=6戶，用水量在（19,23]的應(yīng)抽取10x3=4戶

根據(jù)題意選出5戶進行深度調(diào)研，可知隨機變量Z的可能取值為1,3,5.

P(Z=l)=P(X=2,y=3)+尸(X=3,Y=2)=生詈」=罷］

p(z=3)=尸-4)+尸(X=4,y=i)=c"?:?=聯(lián)=￡

p(Z=5)=P(X=5,y=0)=M=5^=5

V_X|Q乙。乙什乙

故Z的分布列為

Z135

5_111

P

74242

￡(Z)=1X|+3X11+5X±=^

則尺=尸仔=左）=4[|]]|「:（左=0,123,20）,

（國）根據(jù)題意，

20-左

"3

<5J

kfinr5L5863

令4解得《

2.0—kz2、左+1

y55

處從<2。

ME15

又上eN*,故當(dāng)左=12時，A取得最大值.

2.（2024?上海長寧?一模）2024年第七屆中國國際進口博覽會（簡稱進博會）于11月5日至10日在上海

國家會展中心舉行.為了解進博會參會者的年齡結(jié)構(gòu)，某機構(gòu)隨機抽取了年齡在15-75歲之間的200名參會

者進行調(diào)查，并按年齡繪制了頻率分布直方圖，分組區(qū)間為[15,25）,[25,35）,[35,45）,[45,55）,[55,65）,[65,75].

把年齡落在區(qū)間[15,35）內(nèi)的人稱為“青年人〃，把年齡落在區(qū)間[35,65）內(nèi)的人稱為“中年人"，把年齡落在

[65,75]內(nèi)的人稱為“老年人”.

4頻率

200名參會者的頻率分布直方圖

⑴求所抽取的"青年人"的人數(shù)；

（2）以分層抽樣的方式從"青年人""中年人""老年人"中抽取10名參會者做進一步訪談,發(fā)現(xiàn)其中女性共4人，

這4人中有3人是“中年人”.再用抽簽法從所抽取的10名參會者中任選2人.

①簡述如何采用抽簽法任選2人；

②設(shè)事件42人均為“中年人”，事件32人中至少有1人為男性，判斷事件A與事件2是否獨立，并說

明理由.

【答案】（1）80（2）①答案見解析；②事件A與事件B不獨立，理由見解析

【分析】（］）根據(jù)頻率分布直方圖求得。的值，然后求得“青年人"人數(shù)占比，從而可得"青年人"人數(shù)；

（2）①利用簡單隨機抽樣設(shè)計抽簽法任選2人即可；②根據(jù)獨立事件判斷公式，結(jié)合超幾何分布概率問

題求解尸（A）,尸（8）,尸（AB）,從而可得結(jié)論.

【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得（24+0.01x2+0.015x2）x10=1,解得：a=0.025,

又"青年人”占比為（0.015+0.025）xl0=0.4,

所以所抽取的“青年人"人數(shù)為200x0.4=80人；

（2）①先將10名參會者進行編號：1、2、L、10,并將10個號碼寫在完全相同的紙片上，

放入某容器中充分混合均勻，再取出2張，2張紙片上所對應(yīng)的參會者就是要選取的人，

②"青年人""中年人""老年人"的人數(shù)之比為0.04:0.05:0.01=4:5:1,

所以10人中“中年人"共有5人，

2人均為“中年人"的概率P（A）=景=|,

Jo,

C213

2人中至少有1人為男性的概率P（B）=1-寸=百，

2人均為"中年人"且至少有1人為男性的概率尸=三,

因為尸（AB）^P（A）.P（B）,所以事件A與事件B不獨立.

3.（2024?重慶?模擬預(yù)測）某中學(xué)為提升學(xué)生們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，舉辦了一場"數(shù)學(xué)

文化素養(yǎng)知識大賽”，分為初賽和復(fù)賽兩個環(huán)節(jié)，初賽成績排名前兩百名的學(xué)生參加復(fù)賽.已知共有8000

名學(xué)生參加了初賽，現(xiàn)從參加初賽的全體學(xué)生中隨機地抽取100人的初賽成績作為樣本，得到如下頻率分

布直方圖：

］頻率/組距

0.030--------------1—I

。405060708090100學(xué)生初賽成績

（百分制）

⑴規(guī)定初賽成績中不低于90分為優(yōu)秀，8090分為良好，7080分為一般，6070分為合格，60分以下

為不合格，若從上述樣本中初賽成績不低于80分的學(xué)生中隨機抽取2人，求至少有1人初賽成績優(yōu)秀的概

率，并求初賽成績優(yōu)秀的人數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

⑵由頻率分布直方圖可認為該校全體參加初賽學(xué)生的初賽成績Z服從正態(tài)分布其中〃可近似為

樣本中的100名學(xué)生初賽成績的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替），且02=65.已知小華的

初賽成績?yōu)?5分，利用該正態(tài)分布，估計小華是否有資格參加復(fù)賽？

（參考數(shù)據(jù)：A/65^8；若貝。尸（，一CT<Z<，+CF）Q0.6827,尸（〃一2cr<Z<4+2cr）k0.9545,

P（〃-3b<Z<4+3b卜0.9973.

171

【答案】⑴至少有1人初賽成績優(yōu)秀的概率為二，分布列見詳解，￡（X）=-.

（2）估計小華有資格參加復(fù)賽.

【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求得初賽成績不低于80分的學(xué)生人數(shù)，再根據(jù)超幾何分布寫出隨機變

量X的分布列，進而求得概率和數(shù)學(xué)期望；

（2）根據(jù)頻率分布直方圖估計正態(tài)分布的均值，進而利用3。原則估計全校參加初賽的學(xué)生中成績不低于

85分的人數(shù)，即可估計小華是否有資格參加復(fù)賽.

【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，

樣本中位于區(qū)間［80,90)內(nèi)的人數(shù)：0.015x10x100=15,

樣本中位于區(qū)間［90,100］內(nèi)的人數(shù)：0.005x10x100=5,

抽取的2人中成績優(yōu)秀的人數(shù)X可能的取值有0,1,2

尸斜=。）=￡=11，P"=l）=智，P（X=2）=m=:

^20L20JOVz20AV

所以X的分布列為

X012

21151

P

383819

因此，至少有I人初賽成績優(yōu)秀的概率P(X21)=《+［=1,

381938

數(shù)學(xué)期望雙X)=lx1|+2><，；.

JoLyZ

(2)由頻率分布直方圖可知:

〃二45x0.05+55x0.2+65x0.3+75x0.25+85x0.15+95x0.05=69,

由〃=65,得orp8,又ZN(69,65),

所以尸(ZZ85)=尸(ZNM+2b)=；［l-P(〃-2bWZ4〃+2b)］Q0.02275,

所以全校參加初賽學(xué)生中，不低于85分的約有8000x0.02275=182人，

因為182<200,所以估計小華有資格參加復(fù)賽.

題型四：成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性

■TATATATATXTATATXTXTATATXTXTATXTXTXTXTATXTXT±TXTXTATATATATXT^AT^AT±^TAT±TXTXTATXTATATXTXTXTXTXTXTATXTATXTATATATXTATATATAT±TATATATXTXT±TXTXTXTXT^ATXTXTX,.i

點

成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性問題，解題的思路是：

1、識題：兩個變量間的關(guān)系有函數(shù)關(guān)系，相關(guān)關(guān)系和不相關(guān)關(guān)系

兩個變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系

2、研究方向：相關(guān)系數(shù)廠的計算

注意：相關(guān)系數(shù)是研究變量之間線性相關(guān)程度的量

假設(shè)兩個隨機變量的數(shù)據(jù)分別為(無1，%),(X2,>2)，…，(X.,切)，對數(shù)據(jù)作進一步的“標準化處理”處理，用

(x,—x)2,(y「y)2分別除和(z=1,2,...,w,x和y分別為x”&，

招和力，如…，%的均值)，得衛(wèi)二以二2,擔(dān)二，絲二2,…，土二，,為簡單起見，把上

IS*SyJ\SxSyJ\SxSyJ

r

述“標準化”處理后的成對數(shù)據(jù)分別記為(xj,yi'),(尤2'，田)，…，(Xj,y?),則變量x和變量y的樣本相關(guān)系

數(shù)廠的計算公式如下：

Z(%,—%)(為一y)

3、必備工具：相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì)

(1)當(dāng)r>0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當(dāng)r<0時，成對樣本數(shù)據(jù)負相關(guān)；當(dāng)r=0時，成對樣本數(shù)據(jù)間沒

有線性相關(guān)關(guān)系.

(2)樣本相關(guān)系數(shù)廠的取值范圍為[—1,1].

當(dāng)|〃|越接近1時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強；

當(dāng)川越接近0時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱.

(3)樣本相關(guān)系數(shù)與標準化數(shù)據(jù)向量夾角的關(guān)系

廠=)夕=%x[Wcos，=cos供其中W=(xJ,x2',x?'),V=(yi',yi,y?'),|x'|=W=,,。為向量x'

和向量V的夾角).

1.(2025?山東日照?一模)近期根據(jù)中國消費者信息研究報告顯示，超過40%的消費者更加頻繁地使用網(wǎng)

上購物，某網(wǎng)購專營店統(tǒng)計了2025年1月5日到9日這5天到該專營店購物的人數(shù)》和時間第x天間的數(shù)

據(jù)，列表如下:

X12345

y75849398100

⑴由表中給出的數(shù)據(jù)判斷是否可以用線性回歸模型擬合人數(shù)，和時間第x天之間的關(guān)系？若可用，估計1

月10日到該專營店購物的人數(shù)；若不可用，請說明理由(人數(shù)用四舍五入法取整數(shù)，若相關(guān)系數(shù)H>。-75,

則線性相關(guān)程度很高，可以用線性回歸模型擬合，r精確到0Q1);

(2)該專營店為了吸引顧客，推出兩種促銷方案.方案一：購物金額每滿100元可減5元；方案二：一次性

購物金額超過8。。元可抽獎三次,每次中獎的概率均為:,且每次抽獎互不影響,中獎一次打9折,中獎

兩次打8折，中獎三次打6折.某顧客計劃在此專營店購買1000元的商品，請從實際付款金額的數(shù)學(xué)期望

的角度分析選哪種方案更優(yōu)惠.

參考數(shù)據(jù)：J4340x65.88.

￡（乙-可（％-9）_

附：相關(guān)系數(shù)廠=I------------，&=取.

也（乙-?。┌菜?才ZU一寸

Vi=ii=i1=1

【答案】⑴可用，109（2）選擇方案二更劃算

之a(chǎn)—元）（--?。?4

【分析】（1）先計算相關(guān)系數(shù),=|廣,=而京仁勿裝人,再結(jié)合線性回歸方程的

也（…）》（一『"340

VZ=1Z=1

知識求解即可；

（2）首先根據(jù)二項分布的概率公式求出X為600,800,900,1000的概率值，則方案二的期望可求，與方案一

的950進行比較即可判斷.

【詳解】（1）由表中數(shù)據(jù)可得元=3,歹=90,

555

￡(%-可2=102(%-歹)2=4342&-元)(％-9)=64,

i=l;=11=1

ta-元）（％-歹）

i=l64

所以，=X0.97>0.75

忙（%一可欠（%一寸74340

Vz=i/■=1

所以可用線性回歸模型擬合人數(shù)y與天數(shù)x之間的關(guān)系.

￡(乙-丁)(％-9)

而2=J-----------------絲6.4

f(%-可210

Z=1

則&=歹—放=90-6.4x3=70.8所以5=6.4尤+70.8,

令x=6,可得9=109.2,所以1月10日到該專營店購物的人數(shù)約為109.

（2）若選方案一、需付款1000-50=95。元.

若選方案二、設(shè)需付款X元，則X的取值可能為600,800,900,1000,

)；￡

則尸(X=600)=C；x|="(X=800=Cx|\3_9

4I464

產(chǎn))；；2727

(X=900=Cxx—,P(X=1000)=C?x

64

19272759100

所以石（X）=600x—+800x—+900x—+1000x—<950,

6464646464

因此選擇方案二更劃算.

2.（2025?上海?模擬預(yù)測）為了檢查一批零件的質(zhì)量是否合格，檢查員計劃從中依次隨機抽取零件檢查:

第，次檢查抽取，號零件，測量其尺寸加單位：厘米）.檢查員共進行了100次檢查，整理并計算得到如下數(shù)

100100100

據(jù)：X%=52,X以=2428,2城=3。18.

Z=1i=li=l

⑴這批零件共有1000個.若在抽查過程中，質(zhì)量合格的零件共有60個，估計這批零件中質(zhì)量合格的零件數(shù)

量；

（2）若變量％與i存在線性關(guān)系，記為=加+區(qū)，求回歸系數(shù)a的值；

⑶在抽出的100個零件中，檢查員計劃從中隨機抽出20個零件進行進一步檢查，記抽出的20個零件中有X

對相鄰序號的零件，求X的數(shù)學(xué)期望.

示例零件序號為"1、2、4、5"與"1、2、3、5”時均恰有2對相鄰序號的零件.

-5）

參考公式：（1）線性回歸方程：y=ax+b,其中&=----------,b=y-ax.

f（吞-無）2