第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年陜西省西安市灞橋區宇航中學高一（下）第一次月考數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.AB=DC是四邊形ABCDA.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.下面給出的關系式中正確的個數是(

)

①0?a=0

②a?b=b?aA.0 B.1 C.2 D.33.對于非零向量a，b，下列命題中正確的是(

)A.a?b=0?a//b

B.a//b?a在b上的投影向量為?|4.已知a=(5,?2)，b=(?4,?3)，c=(x,y)，若a?2bA.(1,83) B.(133,5.若△ABC的角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，B=60°，b2=ac，則△ABC一定是(

)A.底邊和腰不相等的等腰三角形 B.鈍角三角形

C.直角三角形 D.等邊三角形6.已知向量a，b不共線，且向量λa+b與a+(2λ?1)b的方向相反，則實數A.1 B.?12 C.1或?12 7.在△ABC中，D是BC的中點，E是AD的中點，若BE=λAB+μAC，則A.1 B.34 C.?348.若△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a=80，b=100，A=30°，則B的解的個數是(

)A.0 B.1 C.2 D.不確定二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知向量a=(1,3),b=(?2,1),cA.(a+2b)/?/c B.(a10.在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為32，且b=2，c=3，則角A的值可能是A.30 B.60° C.150° D.120°11.數學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理則被稱為歐拉線定理.設點O、G、H分別是△ABC的外心、重心、垂心，且M為BC的中點，則(

)A.GA+GB+2GC=0 B.AB三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若向量a=(6,?8)，則與a平行的單位向量是______．13.已知向量|a|=3，b=(1,2)，且a⊥b14.△ABC是鈍角三角形，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a=1，b=2，則最大邊c的取值范圍是______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知向量a=e1?2e2，b=e1+e2，其中e1=(1,0)，e2=(0,1)

求：16.(本小題15分)

如圖，已知O為平面直角坐標系的原點，∠OAB=∠ABC=120°，|OA|=|BC|=2|AB|=2a．

(1)求點B與點C的坐標；

(2)求向量17.(本小題15分)

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量m=(a,3b)，n=(cosA,sinB)，且m//n．

(1)求角A；

(2)若18.(本小題17分)

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a=7，c=8．

(1)若sinC=47，求角A的大小；

(2)若b=5，求AC19.(本小題17分)

已知村莊B在村莊A的東偏北45°方向，且村莊A，B之間的距離是4(3?1)千米，村莊C在村莊A的北偏西75°方向，且村莊C在村莊B的正西方向，現要在村莊B的北偏東30°方向建立一個農貿市場D，使得農貿市場D到村莊C的距離是到村莊B的距離的3倍.

(1)求村莊B、C之間的距離；

(2)求農貿市場D到村莊B，

參考答案1.B

2.C

3.C

4.D

5.D

6.B

7.D

8.C

9.AD

10.BD

11.BCD

12.(35,?13.(?6514.(15.解：(Ⅰ)∵向量a=e1?2e2，b=e1+e2，其中e1=(1,0)，e2=(0,1)，

∴a=(1,?2)，b=(1,1)，∴a?b16.解：(1)過B作BD⊥x軸，垂足為D，過B作BE⊥y軸，垂足為E，過C作CF⊥BE，垂足為F，

如圖所示，由題可得∠BAD=∠ABF=∠CBF=60°，

|AD|=12a，|BD|=32a，|BF|=a，|CF|=3a，

|BE|=2a+12a=52a，|EF|=52a?a=32a，

則B(5a2,3a2)，C(3a2,33a2)．

(2)由(1)知BC=(?a,3a)．

設向量BC和OA的夾角為α，e是與OA方向相同的單位向量，

則BCcosαe=BCBC?OA18.解：(1)由正弦定理，asinA=csinC，即sinA=asinCc=7×478=12，

因a<c，故A<C，即A是銳角，故A=π6；

(2)

如圖，由余弦定理，cosC=a2+b2?c22ab19.解：(1)由已知可得AB=43?4，∠BAC=120°，∠CBA=45°，∠BCA=15°，

在△ABC中，由正弦定理得BCsin∠BAC=ABsin∠ACB，

∴B