明水縣2024—2025學年度第一學期期末考試九年級數學試題考生注意：1．考試時間為90分鐘。2．全卷分選擇題、填空題和解答題三道大題，總分為120分。一．選擇題（共10小題，每題3分，本題共計30分）1．下列圖案中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．不透明袋子中有2個紅球和4個藍球，這些球除顏色外無其他差別，從袋子中隨機取出1個球是紅球的概率是（）A． B． C． D．3．一元二次方程配方后可化為（）A． B． C． D．4．關于二次函數，下列說法正確的是（）A．圖象與軸的交點坐標為（0，1） B．圖象的對稱軸在軸的右側C．當時，的值隨值的增大而減小 D．的最小值為5．在平面直角坐標系中，將二次函數的圖象向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，所得拋物線對應的函數表達式為（）A． B．C． D．6．某中學有一塊長30m，寬20m的矩形空地，該中學計劃在這塊空地上劃出三分之二的區域種花，設計方案如圖所示，求花帶的寬度．設花帶的寬度為xm，則可列方程為（）A． B．C． D．7．如圖，切于點，連結交于點，交于點，連結，若，則的度數為（）A． B． C． D．8．函數和（是常數，且）在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（）A． B． C． D．9．如圖，是等邊的外接圓，點是弧上一動點（不與重合），下列結論：①；②；③當最長時，；④，其中一定正確的結論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個10．如圖，矩形的頂點為坐標原點，，對角線在第一象限的角平分線上．若矩形從圖示位置開始，繞點以每秒的速度按順時針方向旋轉，則當第2025秒時，矩形對角線的交點的坐標為（）A． B． C．（2，0） D．（0，2）二．填空題（共10小題，每題3分，本題共計30分）11．若關于的方程是一元二次方程，則_____．12．若點與點關于原點對稱，則_____．13．以原點為中心，把點逆時針旋轉，得到點，則點的坐標為_____．14．如圖，為一個正多邊形的頂點，為正多邊形的中心，若，則這個正多邊形的邊數為_____．15．已知拋物線的部分圖象如圖所示，若，則的取值范圍為_____．16．如圖，用一個圓心角為，半徑為6的扇形作一個圓錐的側面，這個圓錐的底面圓的半徑為_____．17．要建一個圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，在水管的頂端安一個噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為處達到最高，高度為3米，水柱落地處離池中心3米，水管長應為_____米．18．如圖，點是外接圓的圓心，點是的內心，連接．若，則的度數為_____．19．如圖，在中，，，．點在上且．連接，線段繞點順時針旋轉得到線段，連接，．則的面積是_____．20．如圖，是正方形內一點，滿足，連接．若，則長的最小值為_____．三．解答題（本題共8小題，共計60分）21．（6分）已知，如圖所示．（1）用無刻度直尺和圓規作出內切圓的圓心．（保留作圖痕跡，不寫作法和證明）（2）如果的周長為，內切圓的半徑為，求的面積．22．（6分）關于的一元二次方程．（1）如果方程有兩個不相等的實數根，求的范圍；（2）如果方程的一個根是2，求的值和方程的另一個根；（3）如果是這個方程的兩個根，且，求的值．23．（6分）如圖，在平面直角坐標系中，的三個頂點的坐標分別為．（每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形）（1）將先向上平移2個單位長度，再向右平移4個單位長度得到（點、、的對應點分別為點），畫出平移后的；（2）將繞著坐標原點順時針旋轉得到（點、、的對應點分別為點），畫出旋轉后的；（3）求在旋轉過程中，點旋轉到點所經過的路徑的長．（結果用含的式子表示）24．（8分）如圖，在等腰中，，點是上一點，以為直徑的過點，連接．（1）求證：是的切線；（2）若，求的半徑．25．（8分）公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴格遵守“一盔一帶”的規定．某頭盔經銷商統計了某品牌頭盔4月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售150個，6月份銷售216個，且從4月份到6月份銷售量的月增長率相同．（1）求該品牌頭盔銷售量的月增長率；（2）若此種頭盔的進價為30元/個，測算在市場中，當售價為40元/個時，月銷售量為600個，若在此基礎上售價每上漲1元/個，則月銷售量將減少10個，為使用銷售利潤達到10000元，而且盡可能讓顧客得到實惠，則該品牌頭盔的實際售價應定為多少元/個？_____26．（8分）如圖，在等邊中，，點為邊上一點，點為邊上一點，連接．（1）如圖1，過點作交于點，延長交延長線于點，若，求的長；（2）如圖2，將繞點逆時針旋轉得到，連接，請猜想、、的數量關系并證明．圖1圖227．（8分）已知四邊形內接于，對角線是的直徑．（1）如圖1，連接，若，求證：平分；（2）如圖2，為內一點，滿足，．若，，求弦的長．圖1圖228．（10分）如圖，已知拋物線與軸交于點和點（點在點的左側），與軸交于點．（1）求三點的坐標；（2）如圖1，若點是線段上的一個動點（不與點重合），過點作軸的平行線交拋物線于點，連接，當線段長度最大時，判斷四邊形的形狀，并說明理由；（3）如圖2，在（2）的條件下，是的中點，過點的直線與拋物線交于點，且．在軸上是否存在點，使得為等腰三角形？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由．圖1圖2九年數學期末試題參考答案一、選擇題題號12345678910答案CADDBBCCCC二．填空題11．0．12．5．13．．14．10．15．．16．2.5．17．．18．．19．．20．．三．解答題21．解：（1）如圖，即為所求；（2）設三角形三邊長分別為、、，內切圓半徑為，則三角形的面積為．22．解：（1）根據題意得，解得，即的取值范圍為；（2）設方程的另一個根為，根據根與系數的關系得，解得，即的值為8，方程的另一個根為4；（3）根據根與系數的關系得，，，，解得，即的值為．23．解：（1）根據題意得：，連接如圖：（2）利用網格和旋轉的性質畫出如圖所示，（3），，點旋轉到點所經過的路徑的長為：．24．（1）證明：如圖：連接，，，，，，，，是直徑，，，是的切線；（2）解：由（1）可知是的切線，，，，，，在Rt中，，，的半徑為．25．解：（1）設該品牌頭盔銷售量的月增長率為，依題意，得：，解得：（不合題意，舍去）．答：該品牌頭盔銷售量的月增長率為20%．（2）設該品牌頭盔的實際售價為元，依題意，得：，整理，得：，解得：（不合題意，舍去），，答：該品牌頭盔的實際售價應定為50元．26．解：是等邊三角形，，，，是等邊三角形，，，，又，，，，，；（2），證明如下：過點作，交于點，由（1）可知是等邊三角形，，由旋轉可知，，，是等邊三角形，，，，，，，，，．27．（1）證明：，，，即平分；（2）延長交于，延長交于，圖2，，是的直徑，，，，四邊形是平行四邊形，，．28．解：（1）對于，令，則，，點，點，令，則，點；（2）四邊形為平行四邊形，理由如下：點的坐標為（4，0），點，設直線的表達式為，則，解得，故直線的表達式為，設點的坐標為，則點的坐標為，則，，故有最大值，當時，的最大值為，，四邊形為平行四邊形；是的中點，點，點，由（2）知：當時，的最大值為4，當時，