2024-2025學年浙江省寧波市慈溪市高三(上)期末數學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知集合.1-{JIMU,..12?-1?,li'j[2,I*-，且.1/>j.12-|,則-()

A.6B.3C.3D.6

2.已知?一；；，則：.()

A.'fB.1C.v12D.2

3.已知，「，廠是兩個不共線的向量，若向量2不十："；，一共線，貝I()

A.6B.4C.-1D.

4.我國19歲射擊運動員盛李豪在2024年巴黎奧運會上奪得了男子10米氣步槍金牌，他在決賽的最后10

槍成績為1。,9，】0.7，KM，W.Q，】0.5，98，10.7,9.9，10.5，106,則這10槍成績的第40百分位

數是()

A.Hlr,B.1(1J5C.10.1D.HI25

5.在WC中,內角/,B,C所對的邊分別是a,b,c,若止+而C，b1，則△ABC的面

積是()

A.1B.C.1D.1

sI2

6,已知函數/(t+I)1是奇函數，則/(0)+/(2)()

A.2B.1C.1D.2

7.已知正四面體48CD的棱長為2,點E是的中點，點尸在正四面體表面上運動，并且總保持/>/、〃「，

則動點尸的軌跡周長為()

A.4B.3V/3C.|+v3D.2+2v3

8.已知’"I,則()

疝II。CO6O

A."訂—1B.aui(a+切=一；C.>ui(<k-3)■0D.，>|=—

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分,

部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.已知直線/：，-Iu和圓C：貝!]()

A.當/與圓C相切時，一、,1

B.當/為圓C的一條對稱軸時，“1

第1頁，共16頁

C.當“二1時，/與圓。沒有公共點

D.當“」時，/被圓C截得的弦長為卜一'

5

10.已知函數，，（/1,則（）

A.當ofcI時，f（af{b

B.當0voVb<1時，/（。）>/（b）

C.當1??i（1且「?3?，,?時，!??.'?-f\C-i

o

D.當人|且1"時，!\-115

b

11.膽式瓶創于南宋龍泉窯，康熙時期以郎紅釉膽式瓶為貴.如圖是18世紀的窯變紅釉膽瓶，其優美的造型

可看作圖中曲線。的一部分.已知曲線。上的點到1什11的距離與到〉軸的距離之積為6,若曲線。上的點

小"在第一象限，則（）

A.'、的最大值為、3

B.?I*

牙?

C,曲線C的內接矩形的面積最大值為24

D.一個膽式瓶的剖面圖可近似看作曲線CHu121,若一正四面體可在膽式瓶內任意轉動I忽略膽式瓶

的厚度），則該正四面體棱長的最大值為4

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.函數v??HI:（J」的最小正周期是.

13.已知11—『+M）（1+=*+?！?■">則"」.1用數字作答1

14.已知/,匚是雙曲線C：二丁1“.u/,川的左、右焦點，過作斜率為1的直線交C于點/,

a26*2

且/在第一象限，若"1"/"為坐標原點I,則。的離心率為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

第2頁，共16頁

15.?本小題13分）

?>I

甲、乙兩選手進行乒乓球比賽，采用5局3勝制，假設每局比賽甲獲勝的概率為一，乙獲勝的概率為，且

33

每局比賽結果相互獨立.

I求賽完4局且乙獲勝的概率；

2若規定每局獲勝者得2分，負者得1分，記比賽結束時甲最終得分為X,求X的分布列和數學期望.

16.?本小題15分J

如圖，在四棱錐四ABCD中，ABjlCD,ADCD2ABZ.BAD?Wf>側面尸/。是正三角

形，側面廣1。底面/BCD,M是尸。的中點.

（1）求證:4.”〃平面P8C；

求平面PBC與平面MBC的夾角的余弦值.

17.I本小題15分）

已知函數JMr-1：1，山.

III當“I時，求曲線”「一在點壯—處的切線方程；

I，若Jr?，I',求a的取值范圍.

18.本小題17分）

已知點1\是橢圓￡：「,小「”，上一點，￡的焦距為？

I2/<1*Cr

I求E的方程；

⑵過E的右焦點作斜率不為。的直線/，交E于尸，。兩點，“，1是￡的左、右頂點，記直線.1P,

的斜率分別為i,

「求:的值；

，”設G為直線A/與直線AQ的交點，記，〃Q的面積為S,的面積為求占的最小值.

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19.?本小題17分，

設a,J，定義：g.M為a,6的最大公約數，卜為a,6的最小公倍數，且具有以下性質：

①小“"—,I',；②當小，，時，,''''

IE知數列卜,卜,卜」的通項公式分別為“3一2”，兒、3-1,其中“，、【令g=”,」「，求數

列｛「｝的通項公式；

」已知有限數列)滿足“，V?，且1,臼,....”一川為給定常數.若對一、，且

I':"-1」、「時，都有H.,1,'I.

⑺當時，證明：，-；

'.'illEHj：''11''

1。1,同[02,0]](Oa-nOwl2

第4頁，共16頁

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：因為集合」'：..HL..!1；'I,''1'

若.1/11-12?-3|-則.1，即”-6

故選：.1.

由已知結合集合的交集運算即可求解.

本題主要考查了集合交集運算，屬于基礎題.

2.【答案】C

2-t(2-?)(1-2i)-5i

【解析】解:

14-21-(1+2i)(l-2i)-1-4P

t-l|=|-?-l|=(-1尸=>/2.

故選：「.

利用復數代數形式的乘除運算化簡，再由復數模的計算公式求解.

本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數模的求法，是基礎題.

3.【答案】D

【解析】解：，「，八,是兩個不共線的向量，若向量21+："；，1左9T共線，

則,,解得,?

故選：〃

根據已知條件，結合平面向量共線的性質，即可求解.

本題主要考查平面向量共線的性質，屬于基礎題.

4.【答案】B

【解析】解：將數據從小到大排序為文、，）9,100,1HI,105,Hr.,loti,10

nUI,yI=,則?,3?1.10■li>?I,

因為，I是整數，所以第40百分位數是第4項與第5項數據的平均值，

：?r

nnHlHi.2X1*1101,

即2

故選：B

根據百分位數的性質即可求解.

本題考查了百分位數，屬于基礎題.

第5頁，共16頁

5.【答案】B

【解析】解:由八1及-'-，/―1可得-1laHinC,

又余弦定理可得：/，/-卜2abci?C>

則i(a3+1-2aa?C)+1=lasinC>

整理可得：l'.'jblI-111<-2II,

所以、=163|“：「>H。，即-九”"1/一,

可得、in「+；>v''二或、<：，

即、i川「?.，I或)<-I,COB,二晶，

在△4BC中,C€(0,ir),.一(O.1),

可得「'」-：，所以，:「，

所以sinC=COB/M審，

此時A0,此時i，i“、，5=0,

解得“「'，

2

又因為3I,所以、^rbmiC01xX1X■

故選：/;

由題意及余弦定理得IrJl'i-ui1'?7'-i11,由判別式大于等于0,可得、in/\-?11的關系,

再由角C的范圍，可得、山「的值，丙求出。的值，代入三角形的面積公式，可得該三角形的面積.

本題考查三角形的面積公式，考查正弦定理的應用，考查轉化思想，屬于中檔題.

6.【答案】A

【解析】解：根據題意，函數/>,T：-1是奇函數，則/ir?11-I?。，I「1?1,

令j1W：/(2)+/(0)=2

故選：

根據題意，由奇函數的定義可得/1>-?I-I?/?,.b-10,令,r=】，計算可得答案.

本題考查函數奇偶性的性質和應用，涉及函數的對稱性，屬于基礎題.

7.【答案】D

【解析】解：根據題意可得.UBC,DE上BC，又AErDEE，

!i(,平面4DE,

第6頁，共16頁

,〃的軌跡為.的邊上的點，

二可得動點尸的軌跡周長為-v3.22?2\3

故選：/),

根據題意易得P的軌跡為/U)/的邊上的點，從而可求解.

本題考查動點軌跡問題的求解，屬基礎題.

8.【答案】C

【解析】解：已知'2a，

tunacosa

則"|上，?1'I?Ir-?I*>2??t?I九rill"?''"I…r，

31asinacueia

BP'"IIIl'?1K-fI-Ur,

即、ill”->?*.

故選：廠.

結合兩角和與差的三角函數求解.

本題考查了兩角和與差的三角函數，屬中檔題.

9.【答案】BCD

【解析】解：根據題意，圓C：」「1,其圓心為,半徑為1,

依次分析選項：

對于/,當/與圓C相切時，有”L1,解可得〃1：/錯誤；

v1+I

對于3,當/為圓C的一條對稱軸時，圓心《，”在直線/上，

則有“」。，解可得“1,8正確；

對于C,當〃「時，圓C的圓心為12.山，半徑為1，

圓心到直線/的距離d=',?'[71,直線/與圓相離，沒有公共點，C正確；

v1+45

對于。，當“？時，圓。的圓心為；上I”，半徑為1,

圓心到直線/的距離，/',1「'，

6+43

故/被圓C截得的弦長/2.1?屋、，。正確.

V55

故選：BCD.

根據題意，由直線與圓的位置關系分析/、C、D,由圓的對稱性分析8,綜合可得答案.

本題考查直線與圓的位置關系，涉及圓的標準方程，屬于基礎題.

第7頁，共16頁

10.【答案】AC

【解析】解：因為，'一「，，，-

尸+I

1

對于A,因為h!)=1—=f(x),

X*,,b+1

w+1

所以當I時，/(?)f(b),故4正確;

對于5,當」】時，

1

/(")=.2上]=1

I，

1+—

X

因為U」」在I。1I上單調遞減，

X

所以21在山11上單調增，

工+一

X

所以當1)?〃LI時，/(〃)</(b),故5錯誤;

對于C,由B可知函數“fr在I?！鄙蠁握{增,

又因為〃?丁)■?T-八"，

H十一

X

所以，；「,I是R上的奇函數，

所以函數在1-1.山上單調遞增，

當/-I時，”r-1在11.-X?上單調遞增，

X

]

所以21在11.-J上單調減，

工+一

X

由《可知，:11,

a

所以1、11且-L時，

a

作出函數的圖象，如圖所示：

第8頁，共16頁

所以「「小。小，故C正確；

對于。，當b>1且I?“八時,

b

因為八八-八L,如圖所示：

0

所以/⑷>/(b),故。錯誤.

故選：4C

由題意可得卜」，從而判斷4

X

結合對勾函數的性質，判斷出函數在I上單調增，從而判斷8；

判斷出函數為R上奇函數，再判斷出函數的單調性，作出圖象，從而判斷C,/)

本題考查了函數的奇偶性、單調性，考查了數形結合思想，屬于中檔題.

11.【答案】ABD

【解析】解：設為曲線上任意一點，則、一一“”,6，

對/：當“-I時，J所以、(，是x的最大值，故N正確；

_?,,,,：?>36

對5：由IJ-?I.7ll,Jh-1/-I'--J',,

▼wa

第9頁，共16頁

又點.“「，一“,在第一象限，所以殖1?加〈4+,故8成立;

才0TQ

對c：將曲線向下平移4個單位，所得曲線方程為JN，『，n,與原曲線形狀一致.

設I為新曲線上位于第一象限的一點，則曲線C內接矩形的面積為4xy,

因為小，1",\in「，因為.，」，所以…<1,

VX1

即曲線C內接矩形的面積小于24,故C錯誤；

對。：設正四面體的棱長為a,則其外接球的半徑為

4

若要正四面體在膽式瓶內任意轉動，需要圓/.『與曲線"相切，

當I時，兩曲線在y軸右側切于點|.山，故。的最大值為L故。正確.

故選：asn

列出曲線的方程，根據定義，可判斷的真假；將曲線向下平移4個單位，化簡曲線方程，表示曲線內接

矩形的面積，根據X的取值范圍判斷C的真假；把問題轉化成正四面體的外接球與曲線C相切，可求。的

最大值.

本題主要考查曲線與方程，考查運算求解能力，屬于中檔題.

12.【答案】2

【解析】【分析】

由已知中函數的解析為，/「':，我們可以求出對應-值，代入/一，即可得到函數

233

u-JI的最小正周期.

本題考查的知識點是正切函數的周期性，其中根據函數的解析式求出-值，是解答本題的關鍵，在解答過

程中易將正切型函數的周期公式誤記為凹而產生錯解.

【解答】

解：,函數V?.1111,

故答案為：？

13.【答案】85

第10頁，共16頁

【解析】解：根據11?J」的展開式九._(；「.，，，—k12Ki,

當與1配對時，,二，故/的系數為「1.'i?,

當與，配對時，，2,故，的系數為-("：15,

當與「配對時，，I,故，’的系數為「一1”,

故%120?1()15=卜；.

故答案為：、1

直接利用二項式的展開式以及組合數的應用求出結果.

本題考查的知識點：二項式的展開式，組合數，主要考查學生的運算能力，屬于基礎題.

14.【答案】<5

【解析】解：設過/作斜率為:的直線的傾斜角為,，，則\'/

；貝叱公盍.

cior(>i，://，可得」「“一.一加，F,Id\、》工

由雙曲線的定義可得"i-=2o,=Uu?@=g,/\

則|.1/［入，\Al\I”，

所以iI.\1\-U.，即1，”.【,「，

可得，-"-v''5.

a

故答案為：、/;

由題意可得可得.I\1”，，再由直線」/的斜率和雙曲線的定義可得，1/.,\1的值，由勾股定

理可得a,c的關系，可得雙曲線的離心率的大小.

本題考查雙曲線的性質的應用，屬于中檔題.

15.【答案】解：；1，設“賽完4局且乙獲勝”為事件/,則事件/發生就是乙前3局中獲勝2局輸1局，且

第4局獲勝，

1219

/(l.ll-(--II--llI-';

333327

2\的可能取值為J,-1,1,4,5,6,

則P(X-3：J|'

J

21?12

/,IA--ii-firn,

,,133327

第11頁，共16頁

P(XS1)=“3,、3,，3,

P(X=6)=±

'327

X的分布列如表所示：

X:;-11456

?>、、X

PH.

27277812727

【解析】I由相互獨立事件的概率乘法公式求解即可；

的可能取值為-3,1,1,4,5,6,求出對應的概率，即可得X的分布列和數學期望.

本題主要考查離散型隨機變量分布列及數學期望，考查運算求解能力，屬于中檔題.

16.【答案】解：1，證明：取尸C中點N,連接MV,NB,

因為M為尸。中點，所以「門，且一"\'<!>,

又因為.1〃('〃，.1〃所以，.IB—"V，

即四邊形ABNM為平行四邊形，

所以」““、，

因為」1/'/平面PBC,BNc平面PBC,

所以1"平面

2)因為平面/MD_L平面48cD,\BKD，

平面48CD,平面平面

所以平面尸4D，

第12頁，共16頁

建立以N為原點，AB,AD所在直線為x軸、y軸的空間直角坐標系,

則〃，山，＜'IIOt,廣山.上八八，ill',\h2..I..IsJi,

所以2.Uh-BP2.2.2\3nH.\/i2.3.\3|.

設平面P3C的一個法向量再=i.r:,

則|小弊=。，即廣'一，

I疥訴（）-2/+2y+2v：S:。

取ffi-\2,I.\3?,

設平面地。的一個法向量為M,

則（IT7M7--2u+:協-V工，）

I7FB?=2a+46=0

取“-2.1.1,

、3

ntIf4+1+7

所以＜5-—而”.-Gi-、，X

即平面P3C與平面〃3c的夾角的余弦值為"

8

【解析】llj先證四邊形NEW為平行四邊形，得到I"HX,即可得證；

，建立以N為原點，AB,所在直線為x軸、y軸的空間直角坐標系，分別求出平面尸8C和平面M5C

的一個法向量，利用向量法求解即可.

本題考查線面平行的判定，以及向量法的應用，屬于中檔題.

17.【答案】解：11當“1時，/，」-.rInj1,II,

X

所以:又/2―1In2,

4

第13頁，共16頁

所以In2)?、，即」2'72hi2-1?,

所以曲線“，一在點I士/I處的切線方程為，2',iJin211

；L令，.1-1(11.-'；*r.1-?，I,則1J1，

XX

I"當〃“時，“，」H,所以“I/I在III.?XI上單調遞增，

但當」.?I時，f?,，\,所以此時不滿足題意；

|“|當〃I)時，⑺一在”L"i上單調遞減，在1".4XI上單調遞增，

所以"I廠"川"I"-nhi”-7),

若H?.、I’則，，，H顯然成立；

若〃,I,令力M--HhiI*,則力疊11h.1；I),所以，””I在[1.~?上單調遞減，

又力I，;H,所以1u-f；

綜上所述，“?〃?一即Q的取值范圍是小，

【解析】11對/一求導，利用導數的幾何意義可得切線斜率，由點斜式可得切線方程；

L令W,?,)11.---/?rrI”，對"「「I求導，分n”和“」兩種情況討論，即可求解滿足條件

的。的取值范圍.

本題主要考查利用導數研究曲線上某點的切線方程，利用導數研究函數的最值，考查運算求解能力，屬于

中檔題.

18.【答案】解：⑴因為點、片，\是橢圓￡上一點，且焦距為2,

''2'

(33

所以《?iJI，/',

[<?-V=1

解得][.

則橢圓E的方程為1;

43

(2)(“設直線/的方程為.r小”I1‘尸協)，Q"」.如)，

X■9HU+1

聯立《.，消去X并整理得|3〃廣-I"廣+-

3廣41/二12

k

由韋達定理得.%~t/j-_；，!八也-一r~j，

?>

所以功.辦也，

第14頁，共16頁

因為&_11a---幼如一gj2(?i+版)-Vi協+3g_\

A，V'*1-?'|?21?31?3Q3,9yl+岫3

z(lh+W)+3供

1小設直線,I〃的直線方程為u

所以直線.13的方程為“—M