第五章B卷

選擇題(共8小題)

1.若兩曲線>=/網(wǎng)與/=。？+1存在公切線，則正實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.(0,|e-3]B.(0,2e]

1

C.[2e-3/+oo)D.[2e,+°°)

2.已知函數(shù)/(x)=ax+e^-(l+/〃a)x(a>0,aWl),對任意xi，孫曰0,1],不等式|f(xi)-f(%2)I

Wa/〃a+e-4恒成立，則a的取值范圍是()

1

A.〔2，e]B.[2,e]C.[e,+°°)D.(e,+°°)

3.設(shè)函數(shù)/(x)=(x+a)(x-1)2,則“a=-1”是“f(x)沒有極值點(diǎn)”的()

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

4.已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?-8,o),/(-1)=-1,其導(dǎo)函數(shù)/(尤)滿足;(x)-2f(x)>

0,則不等式/(x+2025)+(x+2025)2<0的解集為()

A.(-2026,0)B.(-2026,-2025)

C.(-8,-2026)D.(-8,-2025)

5.若。=竽，b=c=等，則以下不等式正確的是()

A.c>b>aB.a>b>cC.b>a>cD.b>c>a

6.若函數(shù)/(x)-x+1(”ER)在我，+8)上單調(diào)遞增，則〃的取值范圍是()

11

A.[0,+°°)B.(0,+°°)C.[g,+8)D.(g/+8)

7.若VxER滿足*1,則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是()

A.-1VQVOB.QW_2C.e<〃V-2D.a>~2

8.已知函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)/(x)的圖象如圖所示，則下列說法正確的是()

A.函數(shù)/(x)有最小值

B.函數(shù)/(x)有最大值

C.函數(shù)/(%)有且僅有三個零點(diǎn)

D.函數(shù)/(x)有且僅有兩個極值點(diǎn)

-.多選題(共4小題)

(多選)9.已知函數(shù)/(x)=x3-6x2+ax+b(a,i>GR),則下列選項(xiàng)正確的有()

A.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,f(2))中心對稱

B.若不等式/(x)<0的解集為｛x|x<4且尤W1｝,則x=3是/(x)的極小值點(diǎn)

C.若不等式/(無)<0的解集為｛木<4且xWl｝,貝。當(dāng)0<x<l時，f(x)<f(x2)

D.若不等式/(x)>0的解集為｛x|x>%且n-/77=6,則/(尤)的極大值為32

(多選)10.已知函數(shù)/(x)=x/,則下列說法正確的是()

A.f(x)的值域?yàn)閑，+oo)

B.x=-1是/(無)的極小值點(diǎn)

C.若/(XI)=X2lnX2=l>則X1X2=1

D.若過點(diǎn)尸(a,0)的曲線(尤)的切線有且僅有兩條，則。的取值范圍為(-8,-4)U(0,

+8)

(多選)11.已知函數(shù)/(x)=i%3—2ax2+3x+l(a￡R),則下列結(jié)論正確的是()

A.若/(%)在x=2處的瞬時變化率為3,則a=0

B.當(dāng)〃=1時，函數(shù)/(%)在區(qū)間［0,4］上的最小值為1

C.若八X)在R上單調(diào)遞增，則。2昱

D.若/(X)有三個零點(diǎn)XI，尤2，X3，則尤1X2X3=-3

(多選)12.已知函數(shù)/(x)(xH-3,5］)的導(dǎo)函數(shù)為/(x),若f(x)的圖象如圖所示，則下列說法正

確的是()

C./(無)在x=-2處取得極小值

D.f(x)在x=l處取得極大值

三.填空題(共5小題)

13.已知函數(shù)/(%)=—ax2—3a2xQaeR),則/(2a-l)</(-a)的解集為.

14.若函數(shù)/(%)=%+(+3)x在(a,2-3a)內(nèi)有最小值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

15.已知函數(shù)/(尤)=a/-x-1有兩個零點(diǎn)xi，小且R<尤2.設(shè)〃為常數(shù)，當(dāng)a變化時，nx\+x2+(n+1)

有最小值e,則常數(shù)n的值為.

16.法國數(shù)學(xué)家拉格朗于1778年在其著作《解析函數(shù)論》中提出一個定理：如果函數(shù)y=/(x)滿足如下

兩個條件：(1)其圖象在閉區(qū)間［a,切上是連續(xù)不斷的；

(2)在區(qū)間(a,b)上都有導(dǎo)數(shù)，則在區(qū)間y=f(x)上至少存在一個數(shù)"使得于S-/(a)=/

(VCb-a),其中己稱為拉格朗日中值.

函數(shù)g(x)=阮葉尤在區(qū)間［1,2］上的拉格朗日中值孑=.

17.已知/(x)=證12+x)-］比)2,若對于任意的x6(-8,—1)u+oo),f(x-a)<f(3x)

恒成立，則a的取值范圍是.

四.解答題(共5小題)

18.已知函數(shù)/(x)=e^-ax+1.

(1)若a=0時，求曲線/(x)在(1,/(D)處的切線方程；

⑵若l<a<e時，/(無)在區(qū)間［0,1］上的最小值為3-2/”2,求實(shí)數(shù)a的值.

19.已知曲線/(x)=/(尤+1).

(1)求/(x)在尤=1處的切線方程.

(2)若函數(shù)g(x)=f(x)-3，-機(jī)有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)相的取值范圍.

20.已知函數(shù)/(x)g(x)=lnx.

(1)若〃=0,求證：g(x)<x<f(x)；

(2)若方程/(x)=g(x)-4有2個不同的解，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

21.2知函數(shù)/(%)=*.

(I)求/(%)在區(qū)間［-2,2］上的最大值和最小值；

(II)若％=0是函數(shù)g(x)=f(a)f(x)+sinx的極值點(diǎn).

(i)證明：-2/〃2V〃V0；

(ii)討論g(x)在區(qū)間(-IT,n)上的零點(diǎn)個數(shù).

22.已知函數(shù)/(x)=得/+一5%+b在x=5處取得極小值，且極小值為-33.

(1)求〃，/?的值；

(2)求/(%)在［-2,0］上的值域.

第五章B卷

參考答案與試題解析

題號12345678

答案CCCBDADA

選擇題(共8小題)

1.若兩曲線>=/網(wǎng)與>=。？+1存在公切線，則正實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.(0,9力B.(0,2e]

1

C.[2e-3/+oo)D.[2e,+°°)

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求解曲線在某點(diǎn)上的切線方程.

【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】C

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線的點(diǎn)斜式方程，構(gòu)建函數(shù)模型，通過函數(shù)思想，即可求解.

【解答】解：設(shè)兩曲線的公切線切曲線于點(diǎn)(xi，InxO,切曲線y=a/+l于點(diǎn)(m，a好+1),

1?

又(bvc)'=一，(ax+1)'=2ax,

x

???則在(xi,InxO處的切線方程為：

71,、

y-lnxr=-(%-%!),

I—=2ax2

???根據(jù)題意可得{41,

Ia%2+1—仇%]=—(x-xi)

IX12

a1

zT+1-ITIX^=-1?

4ax1-2ax1

.11

-----7+2—lnx=-----7，

4ax^A2ax{

.1

??=2ITLX-I,

4ax^

/.—=%?(2—i),xi>0,

4a

設(shè)g(%)—x1(2-Inx),x>0,

.\g'(%)=x(3-2lnx),x>0,

3

???令/(%)=°，可得x=e2,

3

.??當(dāng)旺(0,e2)時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；

3

當(dāng)xE(e2,+8)時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

33

1?g(X)的最大值為g(e2)=y,

1e3.i

—<——，〃>0,

4a22

???正實(shí)數(shù)〃的取值范圍為[1e—Q3,+8).

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的公切線問題的求解，函數(shù)思想，屬中檔題.

2.已知函數(shù)/(%)=(/+/-(1+加4)X(〃>0,aW1),對任意XI，X2E[0,1],不等式-f(X2)|

WRmz+e-4恒成立，則〃的取值范圍是()

1

A.弓，e]B.[2,e]C.[e,+8)D.(e,+8)

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

【專題】綜合題；對應(yīng)思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解.

【答案】C

【分析】由題意，利用導(dǎo)數(shù)得到了(%)在尤[0,1]是單調(diào)遞增函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化成立/(x)…-于3

min^alna+e-4,再求出了(%)s和/G)陽加列出等式求解即可.

【解答】解：易知alna+e-420,

因?yàn)?(x)=c^lna+ex-1-lna=(/-1)lna+ex-1,

當(dāng)〃>1時，對任意的在[0,1],"-120,lna>0,

所以/(x)>0恒成立，

當(dāng)OVQVI時，

當(dāng)x￡[0,1],-1^0,lna<0,ex-1^0,

所以/G)>0恒成立，

所以/(x)在尤[0,1]是單調(diào)遞增函數(shù)，

若對任意XI，X26[0,1],不等式1/(%1)-/(X2)-4恒成立，

需)兩f(%)max~f(X)minWdlria+C4,

因?yàn)閞(x)max=f(1)=a+e-1-Ina,f(x)min=f(0)=1+1=2,

所以a+e-1-Ina-2^alna+e-4,

a-lna+\-alna^O,

整理得(1+a)(1-Ina}WO,

解得癡》1,

所以a》e,

當(dāng)a》e時，a/w+e-4》0顯然成立.

則a的取值范圍為［＜?,+8).

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了邏輯推理、分類討論、轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬

于中檔題.

3.設(shè)函數(shù)/(x)=(x+a)(x-1)2,則“a=-1”是'了(x)沒有極值點(diǎn)”的()

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

【考點(diǎn)】函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件；充分條件必要條件的判斷.

【專題】函數(shù)思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；簡易邏輯；運(yùn)算求解.

【答案】C

【分析】當(dāng)a=-1時，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)/(x)的極值點(diǎn)，判斷充分性；由/(無)沒有極值點(diǎn)求解a

的值，判斷必要性，從而可得結(jié)論.

【解答】解：當(dāng)a=-1時，f(x)=(x-1)3,f(無)=3(x-1)2^0恒成立，

所以函數(shù)/(無)單調(diào)遞增，沒有極值點(diǎn)；

若/(x)沒有極值點(diǎn)，則，(無)=(x-1)2+2(x+a)(x-1)=3(x-1)(x+得匚)20恒成立，

2a—1

由二次函數(shù)的性質(zhì)可得二一=一1,解得a=-l,

所以“a=-1”是V(x)沒有極值點(diǎn)”的充分必要條件.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，充分必要條件的定義，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔

題.

4.已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?-8,o),/(-1)=-1,其導(dǎo)函數(shù)/(x)滿足好?'(x)-2/(%)＞

0,則不等式/(x+2025)+(x+2025)2＜。的解集為()

A.(-2026,0)B.(-2026,-2025)

C.(-8,-2026)D.(-8,-2025)

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】B

【分析】構(gòu)造函數(shù)9。)=餐，判定其單調(diào)性計(jì)算即可.

【解答】解：根據(jù)題意可令gQ)=餐(尤V0)今g'(x)=""丐W<0,

所以g(x)=餐在(-8,0)上單調(diào)遞減,

/(x+2025)

則原不等式等價于<-1,

(久+2025)2

由g(x+2025)=/(x+202當(dāng)〈一1=(_1)0o>x+2O25>-1,

(x+2025)

解之得xe(-2026,-2025).

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.

5.若。=竽，b=^,c=等,則以下不等式正確的是()

A.c>b>aB.a>b>cC.b>a>cD.b>c>a

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

【專題】綜合題；函數(shù)思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】D

【分析】將6=:變形為6=粵，構(gòu)造函數(shù)/(%)=竽，xe(0,+8),利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，再結(jié)合

作差法比較即可.

【解答】解：因?yàn)閍=苧，b=；=『,c=殍,

令/'(>)=華，定義域?yàn)?0,+8),貝|J/'Q)=上爭，

當(dāng)OVxVe時，f(%)>0,當(dāng)時，f(x)<0,

所以/(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減，

又因?yàn)?VeV3,所以/(2)V/(e),/(e)>/(3),

▽_1n2仇3_3ln2—2ln3_In8—ln9

乂/⑷―/⑴=3-=6=6〈U，

所以/(2)</(3),

所以/(e)>f(3)>f(2),即6>c>a.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.

6.若函數(shù)/(x)=j1r+alnx-x+l(aeR)在成，+8)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是()

11

A.[0,+8)B.(0,+8)C.后，+oo)D.+8)

【考點(diǎn)】由函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)或參數(shù)(導(dǎo)數(shù)法).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】A

【分析】由已知結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后結(jié)合不等式恒成立與最值關(guān)系的轉(zhuǎn)化即可求解.

【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)尤)=7+”阮c-x+1在技，+8)上單調(diào)遞增，

所以/''(x)=2x+E-1NO在成，+8)上恒成立，

所以a》-2J?+X在g,+oo)上恒成立，

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)后g時，-27+xW0,

故a20.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系的應(yīng)用，還考查了不等式恒成立與最值關(guān)系的轉(zhuǎn)化，屬于中

檔題.

7.若VxCR滿足1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.-l<a<0B.aW-2C.e<a<-2D.a>-2

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

【專題】整體思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】D

【分析】令/(x)=ex+a-x+l,對其求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系可求函數(shù)最小值，然后由不等式恒成

立與最值關(guān)系的轉(zhuǎn)化即可求解.

【解答】解：令/(尤)="+a-x+l,

則/

當(dāng)龍2-a時，f(x)》0,f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x<-a時，f(x)<0,f(無)單調(diào)遞減，

故尤=-a時，函數(shù)取得最小值/(-a)=2+a,

由題意可得，2+a>0,即a>-2.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系的應(yīng)用，還考查了不等式恒成立與最值關(guān)系的轉(zhuǎn)化，屬于基

礎(chǔ)題.

8.已知函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)，(x)的圖象如圖所示，則下列說法正確的是()

A.函數(shù)/(x)有最小值

B.函數(shù)/(無)有最大值

C.函數(shù)/(無)有且僅有三個零點(diǎn)

D.函數(shù)/(x)有且僅有兩個極值點(diǎn)

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】A

【分析】根據(jù)/(x)的圖象判斷出/(x)的單調(diào)性、極值點(diǎn)、最值、零點(diǎn)，逐一分析每一選項(xiàng)即可.

【解答】解：由函數(shù)圖象可知/(x)、/(x)的變化情況如下表所示：

X(-8,-1)(-1,1)(1,3)(3,+°°)

f(X)-+-+

/(X)/\/

由上表可知/(x)在(-8,-1)和(1,3)上分別單調(diào)遞減，在(-1,1)和(3,+8)上分別單

調(diào)遞增，

函數(shù)/(x)的極小值分別為了(-1)、/(3),其極大值為/(I).

對于A選項(xiàng)：由以上分析可知|/(x)]“瀏=加〃(/(-1),/(3)},即函數(shù)/(%)有最小值，故A選項(xiàng)

正確；

對于B選項(xiàng)：由圖可知當(dāng)xf+8,有，(x)—+8,即/(x)增加得越來越快，

因此當(dāng)xf+8,有/(x)f+8,所以函數(shù)尤)沒有最大值，故3選項(xiàng)錯誤；

對于C選項(xiàng)：若有了(-I)<0,f(3)<0,則由零點(diǎn)存在定理可知函數(shù)/(x)有四個零點(diǎn)，故C選

項(xiàng)錯誤；

對于。選項(xiàng)：由上表及以上分析可知函數(shù)/(X)共有3個極值點(diǎn)，故。選項(xiàng)錯誤.

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，函數(shù)的零點(diǎn)，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

二.多選題(共4小題)

(多選)9.已知函數(shù)/(x)=x3-6x1+ax+b(a,beR),則下列選項(xiàng)正確的有()

A.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,f(2))中心對稱

B.若不等式/(無)<0的解集為｛x|x<4且xWl｝,則x=3是/(x)的極小值點(diǎn)

C.若不等式/(x)<0的解集為｛小<4且x#l｝,則當(dāng)0<x<l時，f(x)<f(x2)

D.若不等式/(無)>0的解集為且x#〃｝,n-/77=6,則/(x)的極大值為32

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】AB

【分析】直接利用導(dǎo)數(shù)，對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)再結(jié)合三次函數(shù)的性質(zhì)求解即可判斷.

【解答】解：對于A,f(x)-6x2,+ax+b=(x-2)3+(.a-12)(x-2)+6+8-2a,

所以/(x)+/<4-x)=2b+16-4a,

所以/(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(2,f(2))中心對稱，故A正確；

對于B,由題意不等式/(x)<0的解集為｛*x<4且xWl｝,

可得/(x)=x3-6x1+ax+b=(x-4)(x-1)2=x3-6x2+9x-4,

所以/(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),

所以當(dāng)xe(-8,i)u(3,+8)時，f(x)>0,當(dāng)比(1,3)時，f'(x)<0,

所以/(x)在(-8,1),(3,+co)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減，

所以x=3是/(無)的極小值點(diǎn)，故2正確；

對于C,由不等式/(x)<0的解集為｛x|x<4且尤#1｝結(jié)合8選項(xiàng)可知，/(%)在(0,1)上單調(diào)遞增，

因?yàn)?</<尤<1,所以/(/)</(%),故C錯誤；

對于。，由題意不等式/(x)>0的解集為｛x|x>機(jī)且n-m=6,可得/(無)=x3-6x1+cuc+b=

(x-m)(x-n)2=x3-(2n+m),x2+(n2+2mn)x-mn2,

所以/(無)=3J？-(4n+2m)x+n2+2m=(x-n)[3x-(n+2m)],

令f(尤)=0,解得x=〃或犬=竺件，

因?yàn)閚-m—6,

71+277172+2771

可得了（X）在（-8,n）,（---,+8）上單調(diào)遞增，在（W,---）上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)X="時，/（X）取得極大值，

所以/（〃）=0,所以/（x）的極大值為0,故。錯誤.

故選：AB.

【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，考查

數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理核心素養(yǎng)，是中檔題.

（多選）10.已知函數(shù)/（x）=%/,則下列說法正確的是（）

A./（%）的值域?yàn)間,+00）

B.x=-1是/（無）的極小值點(diǎn)

C.若/（xi）=xilnx2=l^則工1萬2=1

D.若過點(diǎn)尸（辦0）的曲線y=/（x）的切線有且僅有兩條，則。的取值范圍為（-8,-4）U（0,

+8）

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)求解曲線在某點(diǎn)上的切線方程.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】BCD

【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)/（x）的單調(diào)性和極值，判斷A,B-,由題意得引，&是函數(shù)y=，、函數(shù)y

=/質(zhì)與函數(shù)y=，的圖象的交點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)，根據(jù)函數(shù)y=，的圖象與函數(shù)＞=/質(zhì)的圖象關(guān)于直線

y=x對稱，可判定C；設(shè)出切點(diǎn)，寫出切線方程，將點(diǎn)尸代入，化簡后方程有兩根，即可得到a的取

值范圍，判斷。.

【解答】解：函數(shù)/（無）=尤/,則/（x）=（尤+1）心

則當(dāng)xe（-8,-1）時，f（%）＜o(jì),當(dāng)xe（-1,+8）時，/（%）＞0,

（X）在（-8,-1）上單調(diào)遞減，在（-1,+8）上單調(diào)遞增，

1

.?.%=-1是/0：）的極小值點(diǎn)，且/（—1）=—點(diǎn)

:.于（X）的值域?yàn)椋郇D；,+8）,故A錯誤，B正確；

11

由f（xi）=%2伉&=1，可得e%i=—,lnx=—,

xi2x2

令XI,X2是函數(shù)y=/、函數(shù)與函數(shù)y=：的圖象的交點(diǎn)A,8的橫坐標(biāo)，

:函數(shù)尸，的圖象與函數(shù)尸加的圖象關(guān)于直線尸X對稱，

A(%1/B(x2,■)兩點(diǎn)關(guān)于直線y=%對稱,

X1x2

i

.*.%!=—,即X1X2=1，故C正確；

x2

xx

設(shè)切點(diǎn)為(%o，%靖。)，，切線方程為y-xoe°=(%0+l)e°(%-%。)，

xx

?切線過點(diǎn)尸(a,0),.\—xoe°=(x0+l)e°(a—%0),

即方程就-Q%o—。=0有兩個解，則A=Q2+4Q>0,解得Q>0或〃V-4,故￡)正確.

故選：BCD.

【點(diǎn)評】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，函數(shù)值域的求法，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查運(yùn)算求

解能力，屬于中檔題.

(多選)11.已知函數(shù)/(%)=1%3-2ax2+3x+l(?eR),則下列結(jié)論正確的是()

A.若/(%)在工=2處的瞬時變化率為3,貝!］。=0

B.當(dāng)〃=1時，函數(shù)/(%)在區(qū)間［0,4］上的最小值為1

C.若/(尤)在R上單調(diào)遞增，則

D.若/(X)有三個零點(diǎn)尤1，X2,X3，則XlX2X3=-3

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值；正弦函數(shù)的圖象.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】BD

【分析】對于人求導(dǎo)得到了(無)=/-4磔+3,根據(jù)/(2)=3,求解即可；

對于8先得出函數(shù)/(無)在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞增，(1,3)單調(diào)遞減，(3,4)單調(diào)遞增，即可求解；

對于C：f(x)在R上單調(diào)遞增，則/(%)=--4辦+3N0恒成立，利用AW0,即可求解；

11

對于0：根據(jù)題意得出/(%)=可/-2a/+3%+1=w(%一%］)。-汽2)。-%3)，利用/(0)=1,即

可求解.

【解答】解：由題意/(x)=/-4QX+3,

對選項(xiàng)A：/(2)=7-8a=3,解得a=，故A錯；

J2

對選項(xiàng)B：當(dāng)a—1時，f(x)=7-4x+3=(x-1)(x-3),

則函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞增，(1,3)單調(diào)遞減，(3,4)單調(diào)遞增，

且/(0)=f(3)=1,

所以函數(shù)/(X)在區(qū)間［0,4］上最小值為/(0)=/(3)=1,故選項(xiàng)3對;

對選項(xiàng)C：f(x)在R上單調(diào)遞增，則/(x)=?-4依+3NO恒成立,

則A-16a2-12W0,

解得所以選項(xiàng)C錯誤；

11

2

對選項(xiàng)D：/(%)=—2ax+3x+1=g(x—%i)(x—x2)(x—x3),

1

則一=1，

則XlX2X3=-3,故選項(xiàng)。對.

故選：BD.

【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題.

(多選)12.已知函數(shù)/(x)(x￡[-3,5])的導(dǎo)函數(shù)為了(X),若f(x)的圖象如圖所示，則下列說法正

C.f(x)在x=-2處取得極小值

D./(%)在x=l處取得極大值

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】ACD

【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性和極值的關(guān)系求解.

【解答】解：由圖可知xe(-2,1)時，f(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，故A正確;

當(dāng)xe(-1)時，f(%)>0,f(%)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(1,當(dāng)時，f(%)<0,f(x)單調(diào)遞減，故2錯誤；

當(dāng)尤e(-3,-2)時，/(無)<0,f(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)?shù)?-2,1)時，/(X)>0,f(x)單調(diào)遞增，

所以/(x)在尤=-2處取得極小值，故C正確；

當(dāng)xe(-2,1)時，/(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)％e(i,韻時,f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

所以/(無)在X=1處取得極大值，故。正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)評】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

三.填空題(共5小題)

13.已知函數(shù)/'(%)=1%3—ax2—3a2x(aeR),則/(2a-1)</(-a)的解集為(-寺，寺)Ug,+8)

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間；由函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)或參數(shù).

【專題】整體思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運(yùn)算求解.

111

【答案】(-可,3)u(可，+8).

【分析】根據(jù)題意，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，對〃進(jìn)行分類討論，即可求解.

2

【解答】解：/(%)=一一的定義域?yàn)镽,/(X)-2ax-3a—(x-3a)(x+〃)，

①當(dāng)。=0時，f(x)=/20恒成立，故/G)單調(diào)遞增，則不等式恒成立，滿足題意；

②當(dāng)〃>0時，令/(%)>0可得尢>3〃或xV-〃，令/(x)<0,可得-a〈xV3Q,

故/(x)在(-8,-〃)，(3〃，+8)上單調(diào)遞增，在(-〃，3。)上單調(diào)遞減，

1

又2a-1-3a=-1-〃<0,則2〃-1V3〃,所以要使不等式成立，只需滿足2〃-“，且a>0,即a。熱

且a>0,

③當(dāng)〃<0時，令/(%)>0可得x>-〃或％<3〃，令/(x)V0可得3〃V%V-〃，

故f(x)在(-8,3〃)，(-a,+°°)上單調(diào)遞增，在(3a,-a)上單調(diào)遞減，

11q

因?yàn)閥7(—CL)=可(_a)3_CL?(_Q)2_3q2.(_a)=__q3_+3Q3__,

119CC

3333

又f(5a)=w(5a)3_a,(5。)2_3a2,(5。)--^-a-25a-15a=a9

1

所以要使不等式成立，需滿足再結(jié)合〃VO,解得一^VQVO.

綜上所述，不等式</(-〃)的解集為：(―/，皆。，+8).

故答案為：(一［1，1!)U(1p+8).

【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，屬于難題

14.若函數(shù)〃>)=x+g+3"x在(a,2-3a)內(nèi)有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是〔0,3.

【考點(diǎn)】由函數(shù)的最值求解函數(shù)或參數(shù)（導(dǎo)數(shù)法）.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】［0,1）.

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極小值點(diǎn)，從而得到關(guān)于a

的不等式組，解得即可.

【解答】解：由題可知函數(shù)/（無）的定義域?yàn)椋?,+8）,

令于'（無）=0,可得x=l或-4（舍去），

當(dāng)0<x<l時，（%）<0,當(dāng)x>l時，，（%）>0,

所以/（x）在（0,1）上單調(diào)遞減，在（1,+8）上單調(diào)遞增，

所以在x=l處取得極小值，即最小值，

又因?yàn)楹瘮?shù)尤）在Q,2-3a）內(nèi)有最小值，

故0Wa<l<2-3a,解得OWaV點(diǎn)即a的取值范圍是［0,

故答案為：［0>

【點(diǎn)評】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

15.已知函數(shù)/（x）=ae*-x-1有兩個零點(diǎn)xi,孫且xi<X2.設(shè)〃為常數(shù)，當(dāng)a變化時，nxi+x2+（n+1）

有最小值e,則常數(shù)n的值為e2-2e.

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】/-2e.

【分析】由已知可得aeX1=xi+l,aeX2=&+1,則a=",從而zui+尤2+（"+1）="+eX2）,

e乙—Q1e乙—e1

令￡=%271>0,則〃X1+X2+（〃+1）=*+；）*,且能取等，則心R（e十1）一且能取等,可得〃=

eL-lt

（e（e'T）―小構(gòu)造函數(shù)gG）=強(qiáng)>-利用導(dǎo)數(shù)求出g⑺的最大值，即可求解兒的值.

t，

【解答】解：由題意可得〃e"i—Xi-1=0,aeX2—X2-1=0,即aeX1=xi+l,aeX2=X2+L

可得由沿如

%2—^1

貝!J〃11+X2+(〃+l)—n(xi+1)+12+1=〃(ne%1+e%2)=CneX1+e%2),

e%2—

令f=X271>0,則因+X2+(/1)=零苧"，且能取等,

所以n>立㈡—e,且能取等，所以n=(里巴生_/)”，

設(shè)gG)=e(efl)一屋,/>0,

所以8，⑺二迪紀(jì)理上選

令〃⑺=e[el(f-1)+1]-Fei

則力'(f)=er{et-r-2t),

當(dāng)正(0,e-2)時，h'(f)>0,h(f)單調(diào)遞增，

當(dāng)/€(e-2,+°°)時，h'(r)<0,h(r)單調(diào)遞減，

而7z(1)=h(0)=0,

所以當(dāng)正(0,1)時，h⑺>0,即g'⑺>0,

當(dāng)正(1,+8)時，h(Z)<0,即g'⑺<0,

所以g(力在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

所以g(力max=g(I)=e2-2e,

所以n=e2-2e.

故答案為：e2-2e.

【點(diǎn)評】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題.

16.法國數(shù)學(xué)家拉格朗于1778年在其著作《解析函數(shù)論》中提出一個定理：如果函數(shù)y=/(無)滿足如下

兩個條件：(1)其圖象在閉區(qū)間他，切上是連續(xù)不斷的；

(2)在區(qū)間(a,b)上都有導(dǎo)數(shù)，則在區(qū)間y=f(x)上至少存在一個數(shù)巳使得/B)-/(a)=f

(V(b-a),其中己稱為拉格朗日中值.

_1

函數(shù)g(無)=/亦+尤在區(qū)間[1,2]上的拉格朗日中值E=;~.

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

【專題】方程思想；定義法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】二.

In2

【分析】先求得導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合拉格朗日中值的定義，可得g'(孑)=g(2)-g(1)=加2+1,進(jìn)而求

得孑的值.

11

【解答】解：g(x)=lnx+x,(x)=-+1,則g'(p=T+1，

由拉格朗日中值的定義可知，

函數(shù)g(無)=阮什尤在區(qū)間[1,2]上的拉格朗日中值F滿足

g(2)-g(1)=g'(p(2-1),

：.g'(Q=g(2)-g(1)=ln2+2-l=/?2+l,

1

g7(f)=三+1=ln2+l,

1,1

"2,則已瓦

故答案為：.

In2

【點(diǎn)評】本題考查拉格朗日中值的應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

17.已知f(%)=久)?5聲不^+x)—若對于任意的萬€(-8,-1)u/+oo),/(%-a)</(3x)

恒成立，則a的取值范圍是「3,2].

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間；奇偶性與單調(diào)性的綜合.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】「3,2],

【分析】先證明了(無)是偶函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得到|x-a|<|3x|,解不等式即可.

_____11%2+2+%

【解答】解：=x[ln(y/x2+2+%)—^Zn2]=xln-——后——，

/<2

訴”"、1J/+2-X屈,卜+2+x

J7T以/(—%)=—xln廣=xln「——=xln廣=j(%),

72JX2+2-X72

所以/(x)是偶函數(shù)，

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

所以<f(3x)等價于-〃|<|3x|,

即(x-a)2<(3x)之,

即(〃+2x)(〃-4x)<0,

當(dāng)xE(-8,-i)時，4x<a<-2x恒成立,

所以-4W〃W2；

Q一

當(dāng)％+8)時，-2xV〃V4x恒成立,

所以-3W〃W6,

綜上，〃的取值范圍是[-3,2].

故答案為：[-3,2].

【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.

四.解答題(共5小題)

18.已知函數(shù)/(x)-ax+\.

(1)若a=0時，求曲線/(x)在(1,/(D)處的切線方程；

(2)若l<a<e時，/⑴在區(qū)間[0,1]上的最小值為3-2/〃2,求實(shí)數(shù)a的值.

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)求解曲線在某點(diǎn)上的切線方程.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】(1)ex-y+l=0；

(2)a—2.

【分析】(1)對/(無)求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線斜率，進(jìn)而可得切線方程；

(2)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，結(jié)合已知即可求解a的值.

【解答】解：(1)。=0時，f(x)=e'+l,/(1)=e+l,且/(無)=，，

?'-k—f(1)=e,

故切線方程為y-(e+1)=e(x-1),即ex-y+l=0；

(2),:f(x)=/-a,/e[l,e],

由存在尤o6[O,1],使得了(xo)=0,BPex°=a,xo=lna,

當(dāng)x6[0,xo)時，f(xo)<0,f(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(xo，1]時，f(xo)>0,f(x)單調(diào)遞增，

x

故/(x)min=/(x0)=e°—ax0+1=a—alna+1=3—21n2,

令g(a)=a-alna+\,g'(a)=1-(\+lna)=-lna<0,

:.g(cz)在(1,e)上單調(diào)遞減，

易知g(2)=3-2ln2,所以a=2.

【點(diǎn)評】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查運(yùn)算求解

能力，屬于中檔題.

19.已知曲線/(無)=/(尤+1).

(1)求/(x)在x=l處的切線方程.

(2)若函數(shù)g(x)=f(x)-3，-m有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)求解曲線在某點(diǎn)上的切線方程.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】(1)3ex-y-e=0.

(2){m\-^<m<0}.

【分析】(1)對/(%)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線斜率，由點(diǎn)斜式即可得切線方程；

(2)將題設(shè)等價轉(zhuǎn)化為曲線〃(x)="(x-2)與直線有兩個交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極

值的關(guān)系確定函數(shù)"(x)=，(x-2)的大致圖象，從而可求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【解答】解：(1)/(工)=，(x+1),則/(%)=，(x+2),

所以/(1)=3e,又/(I)=2e,

所以/(x)在x—1處的切線方程為y-2e=3e(x-1),即3ex-y-e—0.

(2)g(%)—f(x)-3ex-m=ex(x-2)-m,

函數(shù)g(x)="(x-2)-機(jī)有兩個零點(diǎn)，

相當(dāng)于曲線"(工)="(x-2)與直線有兩個交點(diǎn)，

u'(x)=，(x-2)+/="(x-1),

當(dāng)(-8,1)時，u'(x)<0,所以〃(x)在(-8,1)上單調(diào)遞減，

當(dāng)xE(1,+°°)時，u'(九)>0,所以〃(%)在(1,+°°)上單調(diào)遞增，

所以x=1時，u(x)取得極小值u(1)=-e,

又xf+8時，u(x)f+8,x<2時，u(x)<0,

所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為{刑-e<m<0].

【點(diǎn)評】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問題，考查運(yùn)算求

解