第08講第四章數(shù)列重點題型章末總結(jié)

01知識導圖

d遞增數(shù)列|

T遞減數(shù)列|

數(shù)列」無窮數(shù)列

nfi,如果T甥叫第2項起,每一項與它的前一項的差等于同一個輟，那么這個數(shù)歹僦叫做等差數(shù)列

定義

這個領(lǐng)叫做等差數(shù)列的公差通常僻母d表示.

%=?1+(?-1)<2?

等差數(shù)列的概念

s_心+%)

x2

…計『

02題型精講

題型01等差與等比數(shù)列的基本運算

【典例1］（23-24高二下?四川樂山?期中）已知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)歹U.

（1）右=2,。2=］，求“11；

（2）若%=7,a50=101,求So.

【答案】⑴7；

（2）2700.

【知識點】等差數(shù)列通項公式的基本量計算、求等差數(shù)列前n項和、利用等差數(shù)列通項公式求數(shù)列中的項

【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出公差，再求出

（2）利用等差數(shù)列前"項和公式求解即得.

【詳解】（1）在等差數(shù)列｛%｝中，%=2,公差4=出一％=；，

所以41=a\+（11-1）4=2+5=7.

（2）在等差數(shù)列｛%｝中，％=7,?50=101,

所以/=迎『=竺笥出=27。。.

【典例2］（23-24高二下?全國?課后作業(yè)）等差數(shù)列｛%｝的公差為d,數(shù)列｛%｝的前力項和為S”.

31

⑴已知q=2，d=_于5加=—15,求加及品；

（2）已知%=1,an=-512,Sn=-1022,求d；

(3)已知S5=24,求。2+4.

【答案】（1）機=12MzM=-4

⑵d=—171

48

⑶z彳

【知識點】等差數(shù)列通項公式的基本量計算、利用等差數(shù)列的性質(zhì)計算、等差數(shù)列前n項和的基本量計算

【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列求和公式和通項公式相關(guān)概念直接計算；

（2）根據(jù)等差數(shù)列求和公式和通項公式相關(guān)概念直接計算；

（3）方法一:根據(jù)題意得到％+2d=半24，結(jié)合等差數(shù)列通項公式進行計算;方法二:結(jié)合題意得到％+%=《48,

利用等差數(shù)列的性質(zhì)直接求解即可.

【詳解】⑴因為S—呷+業(yè)Td△機-L硬斗=-15,

加12222

所以整理得加2一7加-60=0,解得加=12或加=-5（負值舍去），

所以。機=42=4+lid—-4

(2)因為$“=5(%+%)=5*(1-512)=-1022,所以〃=4,

又因為%=%=%+3d=l+3d=-512,所以d=-171

5x424

(3)方法~*：由&=5%H---d-24,即〃]+2d=-^-,

48

所以6?2+&=4+d+%+3d—2%+4d—y

方法二：由Ss="“『)=24,得%+%=/,

48

所:以a?+%=。]+%=

【典例3](23-24高二上?西藏日喀則)⑴在等比數(shù)列｛叫中，a,=2.7,?=-；,**,求S“

(2)在等差數(shù)列｛%｝中，d=\,〃=37,S“=629,求卬及巴

【答案】(1)翌;(2)?,=11,4=g+當

3633

【知識點】求等差數(shù)列前n項和、寫出等比數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列前n項和的基本量計算

【分析】(1)根據(jù)等比數(shù)列的前0項和公式，代入數(shù)據(jù)，即可求得S”；

(2)根據(jù)等差數(shù)列的前。項和公式，代入數(shù)據(jù)，可求得q=11,代入等差數(shù)列的通項公式，即可求得答案.

【詳解】(1)由等比數(shù)列前"項和公式得$“=嗎q=與空

\-q1-q

2.7--x(--)

90373

所以S,=

1一(一936

(2)因為｛%｝為等差數(shù)列,

所以s.=迎廠=叼+?(

所以$37=37%=629,解得q=11

所以=?1+(?-1)6?=ll+(?-l)x|=.1+y.

【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式基本量的求法，等差數(shù)列、等比數(shù)列前0項和公式的應用，考查學生

對基礎知識的掌握程度，屬基礎題.

【典例4](23-24高一下?貴州黔東南)等比數(shù)列｛%｝中,

(1)若〃1=一1,%=64,求夕和S4；

(2)若4=1,S3=13,求處.

【答案】(1)夕=—4,5(4=51；(2)%=256或%=81.

【知識點】等比數(shù)列通項公式的基本量計算、求等比數(shù)列前n項和、等比數(shù)列前n項和的基本量計算

【分析】(1)由等比數(shù)列的性質(zhì)4=為/可求公比《，直接代入等比數(shù)列的前”項和公式即可求邑；

(2)由等比數(shù)列的前"項和公式$3=半理=13,解出4的值即可求公.

1-g

【詳解】(1)因為/=幺=-64=(-4)3,所以q=_4,

ax

^(1-/)-(1-256)

$4,--------=------------=51

I-q5

(2)顯然由S3="q―/)=]+g+q2=]3,解得g=_4或q=3

4

當9=—4時，a5=axq=256；

當夕=3時，a5=a4=81.

【變式1】(2024高二上?江蘇?專題練習)在等差數(shù)列｛%｝中，

53_

⑴已知q=7，a=--S〃=-5,求〃和d；

6n2>

(2)已知牝+%o=58,%+%=50,求Ho；

⑶已知$=42,Sn=510,an_3=45,求〃.

【答案】(1)"=15,d=-y

6

(2)210

(3)20

【知識點】等差數(shù)列通項公式的基本量計算、求等差數(shù)列前n項和、等差數(shù)列前n項和的基本量計算

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列前"項和公式求出"，再由通項公式求出d;

(2)設等差數(shù)列｛%｝的公差為d,依題意得到關(guān)于可、d的方程組，解得卬、d,再由求和公式計算可得

(3)利用等差數(shù)列前"項和公式及下標和性質(zhì)求出的，從而得到卬=%，最后由求和公式計算可得.

【詳解】(1)由題意得。〃(%+%)”[if<,解得〃=15.

〃22

5311

3^.%5=不+(15_1)d=—_9d--—-,/.z?=15,d=—-.

(2)設等差數(shù)列｛%｝的公差為d,

a5+%。=58,%+%=50,

12%+13d=58刀/曰jq=3

"[2a1+llJ=50'解得jd=4'

10x910x9

則do=10%+^—6/=10x3+—x4=30+180=210.

(3)?；S]=7(a；%)=7%=42,

..6Z4=6,

/.%+%=%+an_3=6+45=51

vS=?+*"=也=510,

22

n=20.

【變式2】(23-24高二下?全國?課后作業(yè))在等比數(shù)列｛七｝中.

(1)若％=收，=1672,Sn=11V2,求,和4；

(2)已知84=1,§8=17,求為.

【答案】(1)幾=5,q=~2.

⑵為=(2一或&=1?(一2尸

【知識點】寫出等比數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列通項公式的基本量計算、等比數(shù)列前n項和的基本量計算

【分析】(1)(2)由等比數(shù)列通項公式和前〃項和公式列方程組求解即可.

【詳解】(1)由邑=寧￡=幺-得11后=與包包，解得4=一2,

l-q\-q\-q

又由4,=a@i得16&?(-2)"T,解得力=5.

所以〃=5,q=-2.

(2)顯然4",則邑二叫1一J)=1,5=綽二心=17,

l-ql-q

1—/

兩式相除得丁與=1+/=17,解得4=±2,

i-q

4=2時可解得為=￡,則%=\.2"T；

4=一2時可解得%=-g，則%=—―(-2嚴.

所以g=02"T或0“=一：?(一2產(chǎn)

【變式3](23-24高一下?黑龍江牡丹江)已知數(shù)列｛。,｝是等比數(shù)列，且①%=方，%+。6=11.

(1)求數(shù)列｛為｝的通項公式；

(2)若數(shù)列｛%｝的前"項和為Sn，且S.=21,求"的值.

【答案】⑴a,=：2"T；(2)n=6.

【知識點】等比數(shù)列通項公式的基本量計算、等比數(shù)列前n項和的基本量計算

【詳解】試題分析：（1）利用a2，a5=%q=3，解得％+6=11可求得生，6，再利用基本元的思想求得4

的值，由此得到數(shù)列的通項公式.（2）利用等比數(shù)列的前"項和公式列方程，可求得"的值.

試題解析：

32321.132

（1）依題意。3。4==豆'。1+。6=11，所以%=3-，。6=§或％=§,。6=§，

321541132

若為&，則4=丁=石，即4=不，故見

T3%。乙LT

%=］。6=苧，則《'="=32，即4=2,故a“=；2"T，

綜上可知%或％=?2"7.

⑵若見=；］；］，則邑=爭1一：［=21，解得〃=6；

若a"??'貝iJS"=g（2"-l）=21,解得〃=6,

綜上可知〃=6.

題型02等差、等比數(shù)列的判定

2

【典例1］（23-24高二上?海南省直轄縣級單位?階段練習）設S.為數(shù)列｛an｝的前"項和，S?=2n-30n.

⑴求％,與；

⑵證明｛時｝是等差數(shù)列.

【答案】（1）6=-28,。“=4〃-32；

⑵證明見解析.

【知識點】由遞推關(guān)系證明數(shù)列是等差數(shù)列、利用an與sn關(guān)系求通項或項、判斷等差數(shù)列

【分析】（1）根據(jù)。"和S”的關(guān)系即可解答.

（2）根據(jù)等差數(shù)列的定義即可判斷.

【詳解】⑴數(shù)列｛%｝的前"項和4=2/一30",

貝I|當〃=1時，%=S［=2xl2_30xl=_28；

當〃22時，見=S“-S“7=（2/72-30n）-［2（w-l）2-30（?-l）］=4〃-32,%=-28滿足上式，

所以q,=4力-32.

（2）由（1）知。"=4"-32,當〃22時，a?_［=4（n-1）-32,

因止匕見一。"-1=（4〃-32）—［4（"-1）-32］=4（常數(shù)），

所以數(shù)列｛七｝是等差數(shù)列.

3

【典例2］（23-24高三上?湖南長沙?階段練習）數(shù)列｛%｝滿足：%=弓，2%=%+〃+2.

（1）記"=g-，求證：數(shù)列上｝為等比數(shù)列；

（2）記￡為數(shù)列｛七｝的前〃項和，求5一

【答案】（1）證明見解析；（2）。+"+2」.

22"

【知識點】等比數(shù)列的定義、分組（并項）法求和、求等差數(shù)列前n項和、求等比數(shù)列前n項和

【分析】（1）由已知可得2［°用-+=再由等比數(shù)列的定義即可證明.

（2）由（1）可得見=［；］+n,再由等比數(shù)列以及等差數(shù)列的前”項和公式，分組求和即可求解.

【詳解】（1）?.,2%+1=%+〃+2,+=,

.??導.數(shù)列｛2｝是以4=q-i=g,公比為;的等比數(shù)列.

（2）由（1）矢口+n,

111c12v2WJ〃（〃+l）n2+n+21

Sc

n=a｛+a2+a3+--+an=-+1+—+2+--+—+n=-------------+---=-------------—?

-2

【典例3】（2024高三?全國?專題練習）設數(shù)列｛a〃｝是公比為q的等比數(shù)列，S"是它的前”項和.

（1）求證：數(shù)列｛Sn｝不是等比數(shù)列；

（2）數(shù)列｛Sn｝是等差數(shù)列嗎?為什么？

【答案】（1）證明見解析（2）當q=l時，數(shù)列｛5n｝是等差數(shù)列；當少1時，數(shù)列｛Sn｝不是等差數(shù)列，詳見

解析

【知識點】判斷等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義

【解析】（1）假設數(shù)列｛$"｝是等比數(shù)列，則扉=H$3,利用等比數(shù)列的求和公式可求q,結(jié)合等比數(shù)列的公

比性質(zhì)可判斷；

（2）分q=l,兩種情況即可證明.

【詳解】（1）證明：假設數(shù)列｛S。｝是等比數(shù)列，則S；=S§,

即a；（1+q）2=0；.（1+q+q?）,

因為。#0,所以（1+q）2=l+q+q2,

即q=0,這與公比qxO矛盾，

所以數(shù)列｛Sn｝不是等比數(shù)列.

（2）當q=l時，Sn=naI,故｛50｝是等差數(shù)列；

當盧1時，｛5n｝不是等差數(shù)列，否則2s2=$+$3,

即2%（1+q）=%+/（l+q+q2）,

得q=0,這與公比qxO矛盾.

綜上，當q=l時，數(shù)列｛S〃｝是等差數(shù)列；當q，l時，數(shù)列｛S〃｝不是等差數(shù)列.

【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的求和公式的應用，等比數(shù)列的性質(zhì)及等差數(shù)列的判斷，屬于基礎試題

【變式1】（23-24高二上?新疆阿克蘇?期末）已知數(shù)歹U｛%｝的前〃項和'="2-4",〃eN*.

⑴寫出數(shù)列｛%｝的通項公式.

（2）證明：數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列；

【答案】⑴％=2〃-5

（2）證明見解析

【知識點】由遞推關(guān)系證明數(shù)列是等差數(shù)列、利用an與sn關(guān)系求通項或項

【分析】（1）當“22時，類當〃=1時，求得可并驗證通項公式，從而確定數(shù)列｛6｝通項公

式.

（2）根據(jù)（1）求得的通項公式，利用等差數(shù)列的定義證明即可.

【詳解】（1）當“22時，。“=8一8—=〃2-4"一（"-1）2+4（"-1）=2〃-5,

當〃=1時，q=S]=-3,滿足%=2〃-5,

即數(shù)列｛gJ的通項公式%=2〃-5.

(2)van=2n-5,

丁?當幾N2時，an-an_x=2〃-5-2(〃-1)+5=2為常數(shù),

則數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列.

【變式2]（23-24高二上?江蘇?單元測試）設｛。〃｝是公比為q的等比數(shù)列.

（1）推導｛。〃｝的前〃項和公式;

（2）設爐1,證明數(shù)列｛刖+2｝不是等比數(shù)列.

nax,q=l

【答案】（1）5nh（2）證明見解析.

qw1

,i-q

【知識點】等比數(shù)列的定義、求等比數(shù)列前n項和

21

【解析】（1）分q=l時和qwl時，分別求和，當釬1時，ItnSn=a1+a1q+a1q+...+a1qn~

①，等式兩邊同時乘以q得qS〃=o簿+%q2+...+%q〃②，①一②后可求得答案.

（2）利用反證法證明，假設數(shù)列｛加+2｝是等比數(shù)列，則有（02+2）2=（6+2）（%+2）,推出矛盾，可得證.

【詳解】（1）當q=l時，an=ai，前八項和Sr?=r?s；

當q^l時，前n項的和Sr7=O[+o]q+o[q2+…+。簿〃-1①，

等式兩邊同時乘以q得qS"=o1q+o[q2+…+砧〃②，

①一②得(1—q)S=O]—。簿小所以一-

1—q

na1,q-\

綜合得S"=v%(j"),

------L,qwi

i-q

(2)假設數(shù)列｛o〃+2｝是等比數(shù)列，則有(02+2)2=(%+2)(%+2),即(sq+2)2=(s+2-sq2+2),整理得

q2—2q+l=0,求得q=l,與已知矛盾，故數(shù)列｛。"+2｝不是等比數(shù)列.

【點睛】本題考查等比數(shù)列的前〃項和公式推導和有關(guān)等比數(shù)列的證明.突出對教材重要內(nèi)容的考查，引導

回歸教材，重視教材.屬于基礎題.

題型03等差數(shù)列的性質(zhì)及應用

【典例1](23-24高二下?遼寧大連?階段練習)記S“為等差數(shù)列｛%｝的前"項和，若'=7,$=45.則

()

A.28B.26C.24D.22

【答案】D

【知識點】等差數(shù)列片段和的性質(zhì)及應用

【分析】根據(jù)題意，得到$4,/-邑，岳2-'構(gòu)成等差數(shù)列，列出方程，即可求解.

【詳解】由S“為等差數(shù)列｛七｝的前"項和，可得54,58-54，岳2-$8構(gòu)成等差數(shù)列，

即7,風-7,45-工構(gòu)成等差數(shù)列，可得2區(qū)-7)=7+45-5,解得工=22.

故選：D.

【典例2](24-25高三上?湖南長沙?開學考試)在等差數(shù)列｛%｝中，若&+。3=15,%+%=20,則

a4+a5=.

【答案】25

【知識點】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計算

【分析】應用等差數(shù)列項的性質(zhì)計算求解即可.

【詳解】因為。2+。3M3+包，%+生成等差數(shù)列，公差為20-15=5,

所以的+%=20+5=25,

故答案為：25.

【典例3](23-24高二下?北京?期中)等差數(shù)列｛對｝的前〃項和為S“，S3=3,S6=24,則Sg=.

【答案】63

【知識點】等差數(shù)列片段和的性質(zhì)及應用

【分析】根據(jù)等差數(shù)列前"項和的性質(zhì)，結(jié)合已知條件，即可求得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)等差數(shù)列前"項和的片段和性質(zhì)可知：也構(gòu)成等差數(shù)列，也即3,21,S-24構(gòu)

成等差數(shù)列，

則3+（S「24）=42,解得$9=63.

故答案為：63.

【典例4］（23-24高三上?天津?qū)幒?期末）已知等差數(shù)列｛%｝,也“｝的前"項和分別為S.，9,且

_2n+l，則^■

4〃b}+o7

【答案】苣19

【知識點】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計算、求等差數(shù)列前n項和、兩個等差數(shù)列的前n項和之比問題

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列的前〃項和公式計算可得.

S?2〃+1

【詳解】因為r=工

a_/_1%_12a5_1%+佝

所以---5------——X=—X---------=—X---------------

b3+b]2b52b522b52bx+b9

(%+%).]]U2x9+119

1

=-x

2(…)

19

故答案為：—

【變式1】（2024?山西朔州?一模）設S〃為等差數(shù)列｛%｝的前〃項和，若S9=T，則2a8-%=（）

59

A.—B.3C.—D.5

22

【答案】A

【知識點】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計算、等差數(shù)列前n項和的其他性質(zhì)及應用

【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得火，從而可求2網(wǎng)-為「

45455

【詳解】因為Sg=；■,故9%=;■即%=5，而2。8=%1+。5,

故2%一%=a5=|>

故選:A

【變式2］（23-24高二下?四川成都?階段練習）兩個等差數(shù)列｛%｝和也｝的前"項和分別為S“、Tn,且

S_5H+2

n則等于—

T?"+3人7+%

…5107

【答案】五

【知識點】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計算、求等差數(shù)列前n項和、兩個等差數(shù)列的前n項和之比問題

【分析】據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列前“項和公式結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)計算作答.

，、，、5〃+2

【詳解】根兩個等差數(shù)列｛%｝和抄“｝的前〃項和分別為s“、T”,且清=—■,

Id?

??x2]

所以%+%0_%+%_2_______§21_5x21+2_1°7

所"A+鼠一女+0―4+%石-丁21+3-M

2

二107

故答案為：——?

24

【變式3]（23-24高三?全國）已知等差數(shù)列｛。"｝的前"項和為5"，若公差"=；,5100=145;則

<7]+a3+a5H---Fa99的值為.

【答案】60

【知識點】等差數(shù)列前n項和的其他性質(zhì)及應用

【分析】設等差數(shù)列｛%｝的奇數(shù)項的和為P,偶數(shù)項之和為0,可得出。-尸=50d,再由品1f,=P+0=145

可求出P、。的值，即為所求結(jié)果.

【詳解】設尸二生+。3+。5---------。97+。99，Q=Cl2+a4+a6-----------F。98+4100，

因為數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，且公差d=g,^00=145,

\Q-\-P—S=145

所以IPM100二，解得P=6。，0=85,

[Q-P=50d=25

所以4+%+H---F。99=60.

故答案為：60.

題型04等比數(shù)列的性質(zhì)及應用

【典例1]（24-25高三上,北京,開學考試）在等比數(shù)列｛%｝中，若％=1,%=4,則出4=（）

A.2B.±2C.4D.±4

【答案】C

【知識點】等比數(shù)列下標和性質(zhì)及應用

【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)計算即可.

【詳解】由于｛4｝是等比數(shù)列，且％=1,&=4,

所以a2a3=aia4=4，

故選：C.

【典例2】（2024?四川內(nèi)江?三模）在等比數(shù)列應｝中，邑為其前〃項和，若幾=5,§2。=15,則邑。的值為

（）

A.25B.30C.35D.40

【答案】C

【知識點】等比數(shù)列片段和性質(zhì)及應用

【分析】根據(jù)題意，由等比數(shù)列前"項和的性質(zhì)，代入計算，即可得到結(jié)果.

【詳解】因為｛%｝為等比數(shù)列，所以幾，邑。-&耳。-$2。成等比數(shù)列，

即5,15-5,S30T5成等比數(shù)列,可得5（4-15）=100,所以$=35.

故選：C

【典例3］（23-24高二?江蘇?課后作業(yè)）在等比數(shù)列｛叫中，夕=；,%=150,求出+為+/+…+/oo的

值.

【答案】50

【知識點】等比數(shù)列奇、偶項和的性質(zhì)及應用

【分析】利用等比數(shù)列的奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的關(guān)系，即可求解.

【詳解】解：設4=41+%+。5+…+。99,%=。2+。4+〃6+…+%00，

所以&=電+為+6+…+十，。=1

T［%+%+45+…+”992'

所以Eoo=4+（=2%+%=3%=150,

所以4=a2+a4+a6-\---F6z100=50.

【變式1］（23-24高二下?遼寧沈陽?期中）在正項等比數(shù)列｛%｝中，S"為其前〃項和，若&=5,5。=15,

則&的值為（）

A.30B.35C.40D.75

【答案】B

【知識點】等比數(shù)列片段和性質(zhì)及應用

【分析】利用等比數(shù)列的片段和性質(zhì)列式運算即可得解.

【詳解】因為正項等比數(shù)列｛%｝中，，為其前〃項和，

則$5,Sw-S5,Sl5-Sl0也是等比數(shù)列，即（工。-§5）2=Ss（S15-S10）,

又工=5,%=15,所以（15-5）2=5（九-15）,解得幾=35.

故選：B.

【變式2］（2024?江西上饒?已知數(shù)列｛%｝、｛4｝均為正項等比數(shù)列,P"、Q分別為數(shù)列｛%｝、｛4｝的前"

InP5n—7Ina.

項積，且,則笠的值為_________.

InQn2nInb3

【答案】Io

【知識點】兩個等差數(shù)列的前n項和之比問題、正項等比數(shù)列的對數(shù)成等差數(shù)列的應用

,、，、Ina.InB

【解析】推導出數(shù)列｛In2｝、｛ln6“｝為等差數(shù)列，由此可得出昔=丁管，即可得解.

m%m￡5

【詳解】設等比數(shù)列｛6｝的公比為4（4>0）,則ln”“"-lna“=ln-=lnq（常數(shù)），

a”

所以，數(shù)歹U｛In%｝為等差數(shù)列，同理可知，數(shù)歹U｛ln“｝也為等差數(shù)歹!j,

5(In%+Intz5)

因為如g=In2a3a4。5)=In4+In&+Ina+In&+Ina==5In%

352

Ina_5In%_Ing_5x5-7_9

同理可得ln2=51n&,因此,3

Inb351nb3In22x55

o

故答案為：—.

【點睛】結(jié)論點睛：已知等差數(shù)列｛。“｝、他,｝的前〃項和分別為S"、T",則?=

【變式3］（23-24高一下?江蘇南京中）己知等差數(shù)列｛g｝的公差d不為0,且。7,%，可是等比數(shù)列也｝從

前到后的連續(xù)三項.

⑴若％=4,求等差數(shù)列｛an｝的前10項的和“；

（2）若等比數(shù)列也｝的前100項的和加=150,求打+“+仇+…+狐。的值.

【答案】⑴130;

⑵50

【知識點】求等差數(shù)列前n項和、等差數(shù)列前n項和的基本量計算、等比數(shù)列奇、偶項和的性質(zhì)及應用

【分析】（1）運用等比中項以及等差數(shù)列的通項公式建立方程組求解；

（2）根據(jù)q=2/可得等比數(shù)列的公比，進而運用等比數(shù)列的性質(zhì)，即可得奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和的關(guān)系,

即可求解：

【詳解】（1）設公差為［，則％=%+6d,%=q+24

由％■a1—a；/導a；+6a、d—a；+4q4+4d,

因為dN0,.,.q=27,故d=2

因止匕=4+（〃-1）x2=2"+2

_（q+q°）xl0_（4+22）x10

%=-—=-2—=13°

（2）由（1）知q=27,所以%=8d,a3=Ad

公比g=5

a32

北00=4+&+…+49+打+”+…+品0

又,+4+…+狐0=q伍+4+…+如）

.?也+b4T--------Fb100H—(b2+b4H--------FAo。)二150

q

b2+b4H--------FZ)100=50

題型05數(shù)列求通項、求和

【典例1](23-24高二下?陜西西安?階段練習)已知正項數(shù)列｛%｝是公比不等于1的等比數(shù)列，且

2

lga+lga=0,若/(無)=^_貝I]/(%)+/(%)+…/(。2。23)等于()

120231+X

A.2020B.4046C.2023D.4038

【答案】C

【知識點】等比數(shù)列下標和性質(zhì)及應用、倒序相加法求和

【分析】根據(jù)對數(shù)運算法則可得％9()23=1，再利用等比數(shù)列性質(zhì)和函數(shù)可得

(￡|+/(x)=2,利用倒序相加即可得/(q)+/(%)+…+/(出。23)=2023.

【詳解】由題意可知，lg%+lga2023=檐(%-。2023)=°，所以電023=1；

由等比數(shù)列性質(zhì)可得qqtm=a2'a2022=a3,a202l=','=?IO12-fl1012=1；

2/口=---=^—

2

又因為函數(shù)〃司=百，所以1+^J1+x,

即/[1]+/(X)=3+高=2,所以〃%)+〃%。23)=2；

令？=/(%)+/(&)+…+/(2023)，則？=/(&023)+…+/(出)+/(%)；

所以27=[/(q)+/(出。23)]+[/(出)+〃/。22)]--+[/3。23)+〃3]=2*2023,

即T=/(%)+/(&)+...+〃囁)=2023.

故選：c

【典例2](23-24高二下?黑龍江齊齊哈爾?期中)已知數(shù)列｛%｝是正項等比數(shù)列，其前幾項和為邑，且

a2a4=16,S5=S3+24.

⑴求｛%｝的通項公式；

(2)求｛%+log?凡｝的前"項和為北.

【答案】⑴)。“=2"7

【知識點】寫出等比數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列通項公式的基本量計算、求等比數(shù)列前n項和、分組(并

項)法求和

[%=4

【分析】(1)設｛a“｝的公比為q,由等比數(shù)列的性質(zhì)可得解方程求出4=2,即可求出｛即｝

ICl^+Clc—24

的通項公式;

(2)由(1)可知由分組求和法求解即可.

【詳解】(1)設｛an｝的公比為4,則。“=巧尸,

%=4-4

因為.“>0,所以4>0,依題意可得即

%+%=24_24'

整理得q2+q-6=0,解得q=2或q=-3(舍去)，所以見=/夕修=2小.

n1

(2)由(1)可知an+log2an=2+n—1,

故7；=(20+2i+2?+…+2〃T)+(O+1+2+…1)=—；.+_?)

【典例3](23-24高二下?廣東佛山?期中)設｛。〃｝是等差數(shù)列，也｝是公比大于0的等比數(shù)列，已知

q=4=2,b2=a2,a=%+4.

⑴求｛對｝和抄"｝的通項公式；

(2)設g=(—1)"a,+bn,求數(shù)列｛q,｝的前2"項和冬”.

【答案】⑴％=2,,6,=2"

(2)22"+1-2+2?

【知識點】等差數(shù)列通項公式的基本量計算、等比數(shù)列通項公式的基本量計算、分組(并項)法求和

【分析】(1)設等差數(shù)列｛&J的公差為d,等比數(shù)列｛&｝的公比為q,根據(jù)題意建立方程組，求解即可;

(2)由C"=(-l)"a“+2=(-l)"-2"+2”,利用分組求和法求解.

【詳解】(1)設等差數(shù)列｛%,｝的公差為d,等比數(shù)列初?｝的公比為4,且[>0.

f2q=2+d.

依題意得J於「解得%2=2”4,所以夕=-1或q=2.

[2q=6+a

缶二2

又因為4〉0,所以9=2,所以：

[a=2

n

故%=2〃，bn=2.

(2)cna?+Z??=(-1)"-2H+2",

心“=[(_爐x2+2]+[(-I)?x4+2?]+[(—1)3x6+23]+…+^(-l)2"1x(4?-2)+22"-']+[(-1)?"x4?+22K]

=[-2+4-6+8-------(4〃-2)+4〃]+(2i+22+23+...+22")

=(-2+4)+(-6+8)+---+[-(4/7-2)+4?]+2-2>^2=22n+'-2+2n.

【典例4](24-25高三上?江蘇南京,階段練習)記遞增的等差數(shù)列｛與｝的前〃項和為S,,已知S$=85,且

a6=7al.

⑴求。〃和S；

⑵設a.求數(shù)歹u｛，｝的前"項和q.

4A+i

【答案】⑴。"=6"-1；S“=3"+2〃

(2)北=二

6〃+5

【知識點】等差數(shù)列通項公式的基本量計算、求等差數(shù)列前n項和、裂項相消法求和

【分析】（1）利用等差數(shù)列性質(zhì)求出通項公式和前"項和;

（2）利用裂項相消法求和即可.

【詳解】（1）設｛%｝的公差為d,因為$5=5（%；%）=5%=85,所以生=17,

又4=7%,所以17+32=7(17—2d),解得d=6,

所以=a3+(<n-3^d=17+(〃-3)x6=6〃-l,

“(%+%)"(5+6〃-1)

d?=----------=------------L=3n2+2〃.

〃22

7555/11)

〃anan+\(6〃-1)(6〃+5)6(6〃-16〃+5)

所以T

i-^+-1--一q

--

TTTTi7…6H-76〃一16n-\6〃+5J

6(56n+5J6〃+5

【典例5］（23-24高二下?四川成都?期中）記S“為數(shù)列｛%｝的前〃項和，且2s“=3%-2",?eN,.

⑴求q及數(shù)列｛叫的通項公式;

2x3”

⑵若〃=-----，｛4｝前〃項和為小求北的取值范圍.

n

【答案】（1）2,an=3-l

「、

（2）k3d1

【知識點】寫出等比數(shù)列的通項公式、由定義判定等比數(shù)列、裂項相消法求和、利用an與sn關(guān)系求通項或

項

【分析】（1）由%,S,的關(guān)系，消去E,得到。”的遞推關(guān)系，構(gòu)造等比數(shù)列即可得解;

（2）利用裂項相消法求出和，根據(jù)單調(diào)性分析范圍即可.

【詳解】（1）由2s“=3%-2〃可得，24=3%-2,解得％=2,

當〃22時，由2S〃=3%-2〃可得2sl=3%_1,

兩式相減可得2%=3%-3al-2，即=3%+2,

可化為%+1=3（%+1）,

故數(shù)列｛%+1｝是首項為3,公比為3的等比數(shù)列，

貝lja〃+l=3〃，可得an=T-｝.

_2x3〃_2x3〃_11

⑵由"一."6+1_（3"_1）（3"_1）_3"_］_3向-］，

所以7；=1-1+1--L+…+---------5—=-——｝—,

"288263"-13"+1-123K+1-1

311

由憶,｝為遞增數(shù)列可知，Tn>T｝=-,所以《<十

oj—12

所以1的取值范圍為2,11.

_O

【典例6］（23-24高二下?福建福州?期末）已知數(shù)列抄“｝與等差數(shù)列｛%｝,若4=々=1,%=",

&i=22+L

⑴求｛叫，低｝的通項公式；

（2）求數(shù)列｛an（bn+1））的前n項和S,.

【答案】⑴—,〃=2"-1

（2）5?=（2/7-3）x2n+1+6

【知識點】等差數(shù)列通項公式的基本量計算、錯位相減法求和、利用an與sn關(guān)系求通項或項

【分析】（1）由67+1=2優(yōu)“+1）構(gòu)造等比求通項即可求｛"｝的通項，由等差數(shù)列的通項公式求解;

（2）a?（Z>?+l）=（2n-l）x2\由錯位相差法求解即可.

【詳解】（1）因為加=26“+1,所以加+1=2伍“+1）,

又4=1,得々+1=2,

所以數(shù)列他,+1｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，

所以，+1=2-2"T=2”，故"=2"-1,

則為=。3=7,

設等差數(shù)列｛冊｝的公差為"，則％-。1=3"=6,解得d=2,

所以%=1+2x（及-1）=2〃-1.

（2）由（1）知，an=2n-l,"=2〃一1,

所以田（“+1）=（2〃-1）X2",

所以S“=1x2+3x22+5x23+…+(21)x2",

2S“=lx22+3x23+---+(2H-3)x2n+(2n-l)x2B+1,

兩式相減，得

-S?=2+2X22+2X23+---+2X2"-(2H-1)X2,,+1

=2+(23+24+---+2"+1)-(2n-l)x2"+1

23(1-2"叫

=2+:2/-(2?-l)x2,,+1

--(2H-3)X2,,+1-6,

故S"=(2"-3)X2“M+6.

【變式1](2024?上海?模擬預測)已知/⑴弓爐+氐，數(shù)列｛%｝的前〃項和為%點均

在函數(shù)＞=/(x)的圖象上.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式；

⑵若g(x)=”，令2=g[募](〃eN)求數(shù)列低｝的前2024項和7^4?

|十乙\/UNJ)

【答案】⑴％="

(2)1012

【知識點】倒序相加法求和、利用an與sn關(guān)系求通項或項

1?1｛

【分析】(1)由題意得邑=彳/+再利用〃“二S1]9n=l可求出4,

(2)先求得g(x)+g(l-x)=l,然后利用倒序相加法可求得結(jié)果.

【詳解】(1)因為點(〃,S)(〃eN*)均在函數(shù)=的圖象上，

所以S.=；〃2+],

當〃=1時，iS1]=—+—=1,即％=1,

22

1,1「1,1-

當〃22時，an=Sn-Sn_x=-n~+-n--(n-iy+-(?-1)

iiCiii

=—n2+-n-\—n2-n-\----\--n——\=n,

22(2221)

因為4=1滿足上式，

所以=〃；

4x

(2)因為g(x)=不還

Ax41r4X44X2

所以g(x)+g(j)=—+E--------------1-------------------------1-----

4、+24+2x4、4、+24、+2

因為4=〃，所以“g盤卜起(〃eN*),

所以丁2024=b[+&+b3T卜%2023+^2024

/2、/3、(2023、(2024、

-812025六12025門[2025卜”+812025尸12025)

又與024=°2024+瓦023+3()22卜乙+4

(2024、(2023、(2022^/2)(1A

-gho25J+g[2025j+g[2025J+''+g[2025j+g[2025)

①+②，得2GL2。24H+[*g|黑口=2024,

所以7M24=1012.

【變式2】(23-24高三上?廣東東莞?階段練習)已知數(shù)列｛%｝中，q=2,an+l=2an.數(shù)列低｝的前〃項和

為Sn,且S“=/+