2024-2025學年深圳市實驗學校九年級下學期開學考試數學試卷

考試時間：90分鐘試卷滿分：100分

一.選擇題（每題3分，共計24分）

1.博物館是展示歷史、文化和藝術的重要場所，其標志設計往往蘊含著豐富的文化內涵和美學價值.下列

博物館標志中，是中心對稱圖形的是（）

A.唧周

2.若關于X一元二次方程3光+m=0有兩個相等的實數根，則實數機的值為（）

c9

A.-9B.一一D.9

4

3.下列計算正確的是()

63

A.(a?)=aB.o'^-cT=aLc.a3-a4=a12D.a1—a=a

4.行道樹是指種在道路兩旁及分車帶，給車輛和行人遮蔭并構成街景的樹種.國槐是我市常見的行道樹品

種.下圖是一批國槐樹苗移植成活頻率的統計圖，由此可估計這種樹苗移植成活的概率約為（）

C.0.85D.0.80

5.小穎同學是校園藝術節的主持人，學完黃金分割后她想，主持節目時如果站在舞臺長的黃金分割點的位

置，會讓臺下的同學們看起來效果更好，于是她將舞臺的長看作線段A3,量得AB=8米，若點C是線

段A3的黃金分割點（AC>3。），則線段AC的長為（）

A.4A/5-1B.1)C.12-475D.8-4A/5

6.如圖，在口ABC。中，點E,E分別在5C,AD±..下列條件中，不熊得出四邊形AEb一定為平行

四邊形的是（）

AFD

C.AE//CFD.ZBAE=ZDCF

7.2024年山西省新的中考政策，初中二年級生物學科也成為中考的必考科目之一，其中包含生物實驗操

作.為了加強生物實驗教學，提高學生動手操作能力，培養學生的學科素養，新學期開始，某學校購進了

單目顯微鏡和雙目顯微鏡共30臺，己知購買單目顯微鏡用了7560元，購買雙目顯微鏡用了4860元，且這

批雙目顯微鏡的單價是單目顯微鏡單價的1.5倍，求這批單目、雙目顯微鏡各購進多少臺？若設購進單目

顯微鏡y臺，則下列選項中所列方程正確的是（

75604860,「7560,仁4860

A.=---------xl.5B.xl.5=--------

y30-yy30—y

7560,「486075604860,「

C.xl.5=-------D.--------=-------xl.5

30-yy30—yy

8.《幾何原本》卷2的幾何代數法（以幾何方法研究代數問題）成了后世西方數學家處理問題的重要依據，

通過這一原理，很多的代數的公理或定理都能夠通過圖形實現證明，也稱之為無字證明.現有如圖所示圖

形，點E有半圓。上，點C在直徑A3上，且BLAB,設=BC=b,則該圖形可以完成的無

字證明為（）

B,a2+b2>2ab(<a>0,Z?>0)

。1__

（）

C.—^—^<y/ab^a>09b>0D.〈咨|Z(a>o,/,>o)

二、填空題（每題3分，共計15分）

9.因式分解：a3-a=.

x-3<0,

10.不等式組<x解集為

—>1

12

11.如圖，在AABC中，D,E分別是AB,AC的中點.若BC=12,則OE的長為

12.如圖是某款“不倒翁”的示意圖，PA,分別與A嬴所在圓相切于點45若該圓半徑是4cm,

ZP=60°,^AMB的長是cm.

M

13.已知拋物線丁=必+2%-〃與x軸交于A,B兩點,拋物線丁=必一21一〃與無軸交于C,。兩點，其

中w>0,若AO=28C,則"的值為.

三.解答題(7+7+8+12+8+9+10=61分)

14.在數學活動課上，老師出了一道一元二次方程的試題：“x(x+l)=-3x—3”讓同學們解答，甲、乙

兩位同學的做法如圖所示.

乙同學

甲同學解：原方程可化為必+4工=3，

解：原方程可化為x(x+l)=—3(x+l)

尤2+4%+4=3+4，

即(x+l)(x+3)=0,

(%+2)2=7,

當x+l=0時，解得

x+2=土出,

當％+3=0時，解得％=—3,

:.%=幣—2,

玉二-],%2=-3.

X,=-A/7-2.

(1)小組在交流過程中發現有一位同學做錯了，則做錯的是同學(填“甲”或"乙”);根據該

同學使用的方法寫出正確的解答過程；

(2)利用公式法解此方程.

15.某地政府為了旅游宣傳，決定從甲、乙兩家民宿中推選一家為“最美民宿”進行線上推廣.現從兩家

的顧客中各隨機抽取20名，進行滿意度調查打分(滿分10分，只打整數分)，并對分數整理、描述和分

析，下面給出了部分信息.

(i)甲民宿20名顧客的滿意度分數為：10,5,8,7,10,8,9,8,10,7,9,7,9,7,6,8,9,

6,5,9

(ii)甲、乙兩家民宿的滿意度分數的平均數、眾數、中位數、9分及9分以上人數所占百分比如下表所

小：

民平均眾中位9分及9分以上

宿分數數人數

甲7.85a840%

乙7.758bC

(iii)乙民宿20名顧客的滿意度分數條形統計圖如圖:

乙民宿抽取的顧客滿意度分數條形統計圖

(1)直接寫出上述表中的a,b,c的值；

(2)五一假期期間，共有100人入住甲民宿，80人入住乙民宿，估計入住兩家民宿的顧客能打9分及9

分以上的人數共有多少人？

(3)根據以上信息，你會選擇哪一家為“最美民宿”？請說明理由.(寫出兩條理由即可)

16.小明對筆記本電腦使用角度與高度的舒適性進行了思考與研究.

已知筆記本電腦屏幕寬/R=5C=23cm.筆記本電腦厚度忽略不計.(參考數據：sin70。=0.9,

cos700~0.3)

（1）如圖1,小明將筆記本電腦放在水平桌面上，將電腦屏幕打開使NA3C=110。，求此時電腦屏幕上

點A與桌面距離.

圖1

（2）為改善坐姿守護健康，小明購買了如圖2所示的電腦支架，該支架可通過調節支撐桿位置來調整高

度.若小明在使用電腦支架時，電腦屏幕始終垂直于桌面，求電腦屏幕打開使/A3C分別為H0°與120。

時，點A距離桌面的高度差.

圖2

17.5月中旬，櫻桃相繼成熟，果農們迎來了繁忙的采摘銷售季.為了解櫻桃的收益情況，從第1天銷售開

始，小明對自己家的兩處櫻桃園連續15天的銷售情況進行了統計與分析：

A櫻桃園:

第x天的單價、銷售量與％的關系如表:

單價（元/銷售量

盒）（盒）

第1

5020

天

第2

4830

天

第3

4640

天

第44450

天

第％

—10%+10

天

第X天的單價與X近似地滿足一次函數關系，已知每天的固定成本為745元.

8櫻桃園：

第％天的利潤為（元）與龍的關系可以近似地用二次函數為=。/+法+25刻畫，其圖象如圖:

儼

/\

/、

905\

495/

???

01215x

（1）A櫻桃園第x天的單價是元/盒（用含尤的代數式表示）；

（2）求A櫻桃園第尤天的利潤％（元）與x的函數關系式；（利潤=單價x銷售量-固定成本）

（3）①為與x的函數關系式是;

②求第幾天兩櫻桃園的利潤之和為4000元；

③求第幾天兩處櫻桃園的利潤之和（即%+%）最大，最大是多少元？

18.如圖，BC是。。的直徑，A為。。上一點，連接48、AC,于點。，E是直徑CB延長線上

一點，且A8平分NEAD.

（1）求證：AE是。0切線；

（2）若￡C=4,AD=2BD,求助.

19.閱讀與思考

下面是博學小組研究性學習報告的部分內容，請認真閱讀，并完成相應任務.

關于“等邊半正多邊形”的研究報告

博學小組

研究對象：等邊半正多邊形

研究思路：類比三角形、四邊形，按“概念-性質-判定”的路徑，由一般到特殊進行研

究.

研究方法：觀察（測量、實驗）-猜想-推理證明

研究內容：

【一般概念】對于一個凸多邊形（邊數為偶數），若其各邊都相等，且相間的角相等、相

鄰的角不相等，我們稱這個凸多邊形為等邊半正多邊形.如圖1,我們學習過的菱形（正

方形除外）就是等邊半正四邊形，類似地，還有等邊半正六邊形、等邊半正八邊形…

【特例研究】根據等邊半正多邊形的定義，對等邊半正六邊形研究如下：

概念理解：如圖2,如果六邊形ABCDEF是等邊半正六邊形，那么

AB=BC=CD=DE=EF=FA，ZA=NC-NE,/B—/D=/F，且/A豐/R.

性質探索：根據定義，探索等邊半正六邊形的性質，得到如下結論：

內角：等邊半正六邊形相鄰兩個內角的和為上。.

對角線：…

任務：

（1）直接寫出研究報告中處空缺的內容：.

（2）如圖3,六邊形A5CDEE是等邊半正六邊形.連接對角線AD，猜想154。與NE4D的數量關

系，并說明理由；

（3）如圖4,已知人4。￡是正三角形，。。是它的外接圓.請在圖4中作一個等邊半正六邊形

ABCDEF（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）.

20.綜合與實踐

綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形的折疊”為主題開展數學活動.

（1）操作判斷

操作一：對折矩形紙片A8CZ）,使A。與8c重合，得到折痕EF,把紙片展平;

操作二：在上選一點P,沿8尸折疊，使點A落在矩形內部點M處，把紙片展平，連接PM,BM.

根據以上操作，當點M在EF上時，寫出圖1中一個30。的角：.

（2）遷移探究

小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續探究，過程如下：

將正方形紙片ABCD按照（1）中的方式操作，并延長交8于點。，連接B。.

①如圖2,當點M在上時，ZMBQ=°,ZCBQ=°；

②改變點尸在上的位置（點P不與點A,D重合），如圖3,判斷與NC8Q的數量關系，并說

明理由.

（3）拓展應用

在（2）的探究中，已知正方形紙片ABC。的邊長為8cm,當/。=1cm時，直接寫出AP的長.

2024-2025學年深圳市實驗學校九年級下學期開學考試數學試卷

考試時間：90分鐘試卷滿分：100分

一.選擇題（每題3分，共計24分）

1.博物館是展示歷史、文化和藝術的重要場所，其標志設計往往蘊含著豐富的文化內涵和美學價值.下列

博物館標志中，是中心對稱圖形的是（）

唧周

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了中心對稱圖形的概念，一個圖形繞某一點旋轉180。，如果旋轉后的圖形能夠與原來的

圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形.根據中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解.

【詳解】解：選項A、B、C不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉180。后與原圖重合，所以不是中

心對稱圖形；

選項D能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉180。后與原圖重合，所以是中心對稱圖形；

故選：D.

2.若關于x的一元二次方程3光+加=0有兩個相等的實數根，則實數機的值為()

c99

A.-9B.——C.-D.9

44

【答案】C

【解析】

【分析】根據一元二次方程有兩個相等實數根，可得△=(),進而即可求解.

【詳解】解：???關于X的一元二次方程二—3%+7力=0有兩個相等的實數根，

A=/J?-4-ac=9—4m=0-

9

解得：m=-.

4

故選：C.

【點睛】本題考查了一元二次方程改2+公+。=0(a/。，a,b,c為常數)的根的判別式

A=〃-4ac，理解根的判別式對應的根的三種情況是解題的關鍵.當A>0時，方程有兩個不相等的實

數根；當八=0時，方程有兩個相等的實數根；當A<0時，方程沒有實數根.

3.下列計算正確的是()

A.(a?)=a6B.a=aC.a-a=a2D.a2-a=a

【答案】A

【解析】

【分析】根據幕的乘方法、同底數幕的除法法則、同底數幕的乘法以及合并同類項逐項判斷即可.

【詳解】解：A.(/)3=/*3=46,故A選項計算正確，符合題意；

62624

B.a^a=a-=a,故B選項計算錯誤，不合題意；

C.。3.。4=。3+4=。7,故c選項計算錯誤，不合題意；

D.1與一。不是同類項，所以不能合并，故D選項計算錯誤，不合題意.

故選：A.

【點睛】本題主要考查同底數累的乘除運算、累的乘方運算以及整式的加減運算等知識點，同底數塞相乘,

底數不變，指數相加；同底數基相除，底數不變，指數相減；幕的乘方，底數不變，指數相乘.

4.行道樹是指種在道路兩旁及分車帶，給車輛和行人遮蔭并構成街景的樹種.國槐是我市常見的行道樹品

種.下圖是一批國槐樹苗移植成活頻率的統計圖，由此可估計這種樹苗移植成活的概率約為（）

C.0.85D.0.80

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了利用頻率估計概率，由于樹苗數量巨大，故其成活的概率與頻率可認為近似相等，用到

的知識點為：總體數目=部分數目+相應頻率，部分的具體數目=總體數目x相應頻率；

由圖可知，成活概率在0.9上下波動，故可估計這種樹苗成活的頻率穩定在0.9,成活的概率估計值為0.9；

【詳解】這種樹苗成活的頻率穩定在0.9,成活的概率估計值約是0.90.

故選：B.

5.小穎同學是校園藝術節的主持人，學完黃金分割后她想，主持節目時如果站在舞臺長的黃金分割點的位

置，會讓臺下的同學們看起來效果更好，于是她將舞臺的長看作線段43,量得48=8米，若點C是線

段A3的黃金分割點（AC>3。），則線段AC的長為（）

A475-1B.4（75-1）C.12-475D.8-46

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查黃金分割定理，解題關鍵是理解黃金分割的概念，熟悉黃金比的值.把一條線段分成兩

部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項，這樣的線段分割叫做黃金分割，它們的比值

（避二！）叫做黃金比，由此進行求解即可.

2

【詳解】解：.?.線段48=8,點C是A3黃金分割點，AOBC,

AC=8x^^-=4（-x/5-l）.

故選8.

6.如圖，在口ABCD中，點E,E分別在5C,AD±..下列條件中，不能得出四邊形AECF一定為平行

四邊形的是（）

A.AF=CEB.AE=CFC.AE//CFD./BAE=NDCF

【答案】B

【解析】

【分析】根據平行四邊形的判定方法逐項判斷即可.

【詳解】A、?.?四邊形A3CD為平行四邊形，

J.AD//BC,即

又AF=CE,

...四邊形AECF為平行四邊形.（一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形）

該選項不符合題意.

B、無法證明四邊形AECF平行四邊形，該選項符合題意.

C、?.?四邊形A3CD為平行四邊形，

J.AD//BC,即

又AE〃CE,

四邊形AECF為平行四邊形.（兩組對邊分別平行的四邊形為平行四邊形）

該選項不符合題意.

D、：四邊形A3CD為平行四邊形，

:.NBAD=/BCD,ZB=AD.

又NBAE=NDCF,ZEAF=ZBAD-ZBAE,ZFCE=ZBCD-ZDCF,

:EAF1FCE.

ZAEC=ZB+ZBAE,ZAFC=ZD+ZDCF,

：.ZAEC=ZAFC.

四邊形AECF為平行四邊形.（兩組對角分別相等的四邊形為平行四邊形）

該選項不符合題意.

故選：B.

【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質和判定，牢記平行四邊形的判定方法是解題的關鍵.

7.2024年山西省新的中考政策，初中二年級生物學科也成為中考的必考科目之一，其中包含生物實驗操

作.為了加強生物實驗教學，提高學生動手操作能力，培養學生的學科素養，新學期開始，某學校購進了

單目顯微鏡和雙目顯微鏡共30臺，已知購買單目顯微鏡用了7560元，購買雙目顯微鏡用了4860元，且這

批雙目顯微鏡的單價是單目顯微鏡單價的1.5倍，求這批單目、雙目顯微鏡各購進多少臺？若設購進單目

顯微鏡y臺，則下列選項中所列方程正確的是（)

B.當2上=遜

y30—y

75604860

C.迫XL53D.

30—yy30-yy

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查分式方程的實際應用，根據學校購進了單目顯微鏡和雙目顯微鏡共30臺，以及雙目顯微

鏡的單價是單目顯微鏡單價的1.5倍，列出方程即可.

【詳解】解：設購進單目顯微鏡y臺，則購進雙目顯微鏡（30-y）臺，由題意，得：

智=坐°、1.5；

30-yy

故選B.

8.《幾何原本》卷2的幾何代數法（以幾何方法研究代數問題）成了后世西方數學家處理問題的重要依據,

通過這一原理，很多的代數的公理或定理都能夠通過圖形實現證明，也稱之為無字證明.現有如圖所示圖

形，點尸有半圓。上，點C在直徑上，且CRLAB,設AC=a,則該圖形可以完成的無

字證明為（）

B,a1+b2>2ab(<a>Q,Z?>0)

01__

C.—^—^<4ab^a>Q,Z?>0)D.等〈汽J(a>0,b>0)

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了圓的基本性質以及勾股定理，熟練掌握基本性質是解題關鍵.

先求出半徑，再利用勾股定理求出FC的長度，再根據EOWEC,代入式子即可得到答案.

【詳解】解：設AC=a,BC=b,可得圓的半徑廠="2,

2

.：OC=r-BC=9-b=U,

22

在直角三角形R9c中，FC2=0C2+OF2==W，

：FO<FC,

??.*尸……)，

故選：D.

二、填空題(每題3分，共計15分)

9.因式分解：t^—a-.

【答案】a(fl-1)(a+l)

【解析】

【分析】先提取公因式。，再對余下的多項式利用平方差公式繼續分解.

【詳解】解:cfi-a

=a(a2-l)

=a(a+1)(a-1)

故答案為：a(a-1)(a+1).

【點睛】本題考查了提公因式法和公式法，熟練掌握公式是解題的關鍵.

x-3<0,

10.不等式組1x的解集為.

—>1

12

【答案】2<xW3

【解析】

【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找

不到確定不等式組的解集.

x-3<0@

【詳解】解：〈

解不等式①得：x<3

解不等式②得：x>2

，不等式組的解集為：2<xW3

故答案為：2<xW3

【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，正確掌握一元一次不等式解集確定方法是解題的關鍵.

11.如圖，在AABC中，D,E分別是AB,AC的中點.若BC=12,則。E的長為.

【答案】6

【解析】

【分析】利用中位線的性質計算即可.

【詳解】VD,E分別是AB,AC的中點，

是AABC的中位線，

又BC=12,

DE=-BC=6,

2

故答案為：6.

【點睛】本題考查了三角形中位線的性質，中位線平行且等于第三邊的一半，熟記中位線的性質是解題的

關鍵.

12.如圖是某款“不倒翁”的示意圖，PA,分別與&嬴所在圓相切于點A,B.若該圓半徑是4cm,

ZP=60°,^AMB的長是cm.

M

【答案】—n

3

【解析】

【分析】本題考查了切線的性質，求弧長，牢記弧長公式是解題的關鍵.

根據題意，先找到圓心0,然后根據Q4,P6分別與AM3所在圓相切于點A，B.NP=60°可以得到

/AO3的度數，然后即可得到優弧對應的圓心角，再根據弧長公式計算即可.

【詳解】解：設圓心為0,連接AO,B0,如圖，

■-PA,PB分別與AMB所在圓相切于點A，B.

NOAP=NOBP=90°,

???NP=60°,

???ZA(9B=120o,

???優弧對應的圓心角為360。—120。=240。，

二優弧AA/B的長是：--------=一"(cm),

1803'/

故答案為：—n.

3

13.已知拋物線丁=必+2%-〃與x軸交于A,8兩點，拋物線丁=必一21一〃與4'軸交于(7,。兩點，其

中〃>0,若AO=2BC,則”的值為.

【答案】8

【解析】

【分析】先求出拋物線y=/+2x-〃與x軸的交點，拋物線丁=好一2x-”與x軸的交點，然后根據

AD=2BC,得出4。2=48。2,列出關于〃的方程，解方程即可。

【詳解】解：把y=0代入y=爐+2x-〃得：x2+2x-n=0,

解得：I?-7^=一1—行,-2+V^ig.

22

把y=0代入y=爐-2%-“得：%2-2x-n=0,

2+

解得：￡=2-=i-的,%4=^+^=1+^,

■:AD=2BC,

??-4￡>2=48。2,

2

，(玉一七丫=4(X2-X3),

即(-1-,1+1-1-J1+〃)=4(-1+J1+〃-1+J1+〃),

=4(-1+71+^)\

令J1+”=m，貝！J(一1—機)~=4(1—mJ,

解得：色=；,租2=3,

1/---1?

當/=一時，\1+n=—,解得：n=――,

339

:〃>0,

Q

???〃=-］不符合題意舍去；

當m2=3時，+〃=3，解得：〃=8,

：8X),

71=8符合題意；

綜上分析可知，W的值為8.

【點睛】本題主要考查了拋物線與x軸的交點問題，根據題意用"表示出入。2=48。2,列出關于”的方

程是解題的關鍵.

三.解答題(7+7+8+12+8+9+10=61分)

14.在數學活動課上，老師出了一道一元二次方程的試題：“x(x+l)=-3x—3”讓同學們解答，甲、乙

兩位同學的做法如圖所示.

甲同學乙同學

解：原方程可化為次(%+1)=-3(%+1)解：原方程可化為V+4x=3，

即(％+1)(%+3)=0,x2+4x+4=3+4，

當％+1=0時，解得x=—1,(%+2)2=7,

當x+3=0時,解得x=-3,

***x+2=±A/7，

AxY=-l,x2二-3.

:.%=S—2,

x2=-V7-2.

(1)小組在交流過程中發現有一位同學做錯了，則做錯的是同學(填“甲”或“乙”)；根據該

同學使用的方法寫出正確的解答過程；

(2)利用公式法解此方程.

【答案】(1)乙，過程見解析

(2)見解析

【解析】

【分析】(1)根據因式分解法對甲同學的解法進行判斷；根據配方法對乙同學的解法進行判斷.

(2)利用公式法的步驟求解即可.

【小問1詳解】

解：乙同學的做法錯誤.

正確的過程為：

解：原方程可化為9+4%=—3，

x2+4x+4=-3+4，

(X+2)2=1,

x+2=±l,

——],X]——3.

【小問2詳解】

x(x+1)——3x~3,

整理得：尤2+4尤+3=0，

則a=l,b=4,c=3,

則A=42-4xlx3=4,

則T

解得：再二-1,x2=-3.

【點睛】本題考查了解一元二次方程，解題的關鍵是熟練掌握因式分解法，配方法和公式法.

15.某地政府為了旅游宣傳，決定從甲、乙兩家民宿中推選一家為“最美民宿”進行線上推廣.現從兩家

的顧客中各隨機抽取20名，進行滿意度調查打分（滿分10分，只打整數分），并對分數整理、描述和分

析，下面給出了部分信息.

（i）甲民宿20名顧客的滿意度分數為：10,5,8,7,10,8,9,8,10,7,9,7,9,7,6,8,9,

6,5,9

（ii）甲、乙兩家民宿的滿意度分數的平均數、眾數、中位數、9分及9分以上人數所占百分比如下表所

不：

民平均眾中位9分及9分以上

宿分數數人數

甲7.85a840%

乙7.758bC

（iii）乙民宿20名顧客的滿意度分數條形統計圖如圖:

乙民宿抽取的顧客滿意度分數條形統計圖

（1）直接寫出上述表中的a,b,c的值；

（2）五一假期期間，共有100人入住甲民宿，80人入住乙民宿，估計入住兩家民宿的顧客能打9分及9

分以上的人數共有多少人？

（3）根據以上信息，你會選擇哪一家為“最美民宿”？請說明理由.（寫出兩條理由即可）

【答案】（1）a=9,b=8,c=30%

（2）64人（3）甲民宿，理由：甲民宿顧客滿意度分數的平均數、中位數都比乙民宿顧客滿意度分數

的平均數、中位數要大，因此選擇甲民宿

【解析】

【分析】本題考查條形統計圖，平均數、中位數、眾數以及樣本估計總體，理解平均數、中位數、眾數的定

義，掌握平均數、中位數、眾數的計算方法是解決問題的關鍵.

（1）根據中位數、眾數的定義進行計算即可；

（2）分別求出樣本中，入住甲民宿、乙民宿的顧客打9分及9分以上的人數所占的百分比，估計總體中入

頻數

住甲民宿、乙民宿的顧客打9分及9分以上的人數所占的百分比，由頻率=專嚷，進行計算即可；

息數

（3）根據平均數、中位數的大小比較得出答案.

【小問1詳解】

解：將樣本中，甲民宿顧客滿意度分數出現次數最多的是9分，共出現5次，因此甲民宿顧客滿意度分數的

眾數是9分，即。=9,

010

將樣本中20名顧客對乙民宿滿意度分數從小到大排列后，處在中間位置的兩個數的平均數為詈=8,因此

中位數是8分，即〃=8,

乙民宿顧客滿意度分數在9分及9分以上人數所占百分比為（2+4）+20x100%=30%,即c=30,

答：a=9,b=8,c=30%；

【小問2詳解】

Q24

100x一+80x------=40+24=64（人），

2020

答：入住兩家民宿的顧客能打9分及9分以上的人數大約有64人；

【小問3詳解】

甲民宿，理由：甲民宿顧客滿意度分數的平均數、中位數都比乙民宿顧客滿意度分數的平均數、中位數要

大，因此選擇甲民宿.

16.小明對筆記本電腦使用角度與高度的舒適性進行了思考與研究.

已知筆記本電腦屏幕寬AB=5C=23an.筆記本電腦厚度忽略不計.（參考數據：sin70。=0.9,

cos700~0.3）

（1）如圖1,小明將筆記本電腦放在水平桌面上，將電腦屏幕打開使NA5C=110°,求此時電腦屏幕上

點A與桌面的距離.

A

圖1

(2)為改善坐姿守護健康，小明購買了如圖2所示的電腦支架，該支架可通過調節支撐桿位置來調整高

度.若小明在使用電腦支架時，電腦屏幕始終垂直于桌面，求電腦屏幕打開使NA3C分別為no。與120。

時，點A距離桌面的高度差.

圖2

【答案】(1)此時電腦屏幕上點A與桌面的距離約為20.7。加

(2)點A距離桌面的高度差約為4.6cro

【解析】

【分析】本題考查了解直角三角形的應用，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關

鍵.

(1)過點A作垂足為。，先利用平角定義可得NASD=70°,然后在血中，利用銳

角三角函數的定義進行計算，即可解答；

(2)延長A3交CE于點尸，根據題意可得：BFLCE,從而可得4FC=90°,然后分別求出當

NA5C=120。時，當NA5C=nO°時，防的長，從而進行計算即可解答.

【小問1詳解】

解：過點A作A。13C,垂足為

圖1

-,-ZABC=110°.

ZABD=1800-ZABC=70°,

在Rt^ABD中，AB=23cm,

:.AD^ABsinZABD=23xsin70°a23x0.9=20.7(cm),

,此時電腦屏幕上點A與桌面距離約為20.7cm；

【小問2詳解】

延長AB交CE于點E,

由題意得：BFLCE,

:.ZBFC=90°,

當NABC=120°時，

ZCBF=1800-ZABC=60°,

在Rt^BCF中，BC=23cm,

BF^BC-cos60°=23x1=11.5(cm),

當/4BC=n0。時，

ZCBF=1800-ZABC=70°,

在Rt^BCF中，BC=23cm,

/.BF-BC-cos70°?23x0.3=6.9(cm),

，點A距離桌面的高度差=11.5-6.9=4.6(cm),

..?點A距離桌面的高度差約為4.6m.

17.5月中旬，櫻桃相繼成熟，果農們迎來了繁忙的采摘銷售季.為了解櫻桃的收益情況，從第1天銷售開

始，小明對自己家的兩處櫻桃園連續15天的銷售情況進行了統計與分析：

A櫻桃園：

第x天的單價、銷售量與x的關系如表：

單價(元/銷售量

盒)(盒)

第1

5020

天

第2

4830

天

第3

4640

天

第4

4450

天

第尤

—10%+10

天

第X天的單價與X近似地滿足一次函數關系，己知每天的固定成本為745元.

8櫻桃園：

第％天的利潤為（元）與龍的關系可以近似地用二次函數為=。/+法+25刻畫，其圖象如圖:

儼

廠\

，/\、

905-/\

495/

???

CM215x

（1）A櫻桃園第x天的單價是元/盒（用含x的代數式表示）；

（2）求A櫻桃園第尤天的利潤以（元）與尤的函數關系式；（利潤=單價x銷售量-固定成本）

（3）①%與天的函數關系式是；

②求第幾天兩櫻桃園的利潤之和為4000元；

③求第幾天兩處櫻桃園的利潤之和（即％+%）最大，最大是多少元？

【答案】⑴-2x+52

（2））1=—20%*12+500%—225

⑶①%=-30/+500%+25②第6天或第10天兩櫻桃園的利潤之和為4000元③第10天兩處的櫻桃園

的利潤之和最大，最大是4800兀

【解析】

【分析】本題綜合考查了一次函數的應用、二次函數的應用、不等式等相關的知識點，實際問題中運用函

數關系正確表示利潤是解答的關鍵.

(1)設第尤天的單價加元與無滿足的一次函數關系式為：n^kx+b,由題中表格可知：當x=l時，

777=50；當x=2時，機=48；解方程組即可得到結論；

(2)根據題意得到％=(—2x+52)(10x+10)—745,于是得到A櫻桃園第x天的利潤%(元)與x的

函數關系式為%=-20x2+500%-225；

(3)①由圖象可知：二次函數的圖象經過點(1,495)、(2,905),解方程組得到％=-30必+500x+25；

②根據題意方程，列方程即可得到結論；

③根據題意得到%+%=—50/+1000%-200=-50(%-10)2+4800,根據二次函數的性質即可得到

結論.

【小問1詳解】

設第X天的單價機元與X滿足的一次函數關系式為：rr^kx+b,

由題中表格可知：當

無=1時，m=50：當x=2時，%=48；

.k+b=50

2k+b=48J

m=—2x+52,

故答案為：—2x+52；

【小問2詳解】

根據題意可得：^=(-2%+52)(10%+10)-745,

化簡整理得：％=—20x~+500x—225,

櫻桃園第x天的利潤?(元)與x的函數關系式為%=-20爐+500%一225；

【小問3詳解】

①由圖象可知：二次函數的圖象經過點(1,495)、(2,905),

J〃+b+25=495

?<4a+2b+25=905'

a——30

解得《

b=500

?，?%=—30%2+500x+25,

2

故答案為：y2=-30x+500x+25；

②根據題意得%+為=(―2°尤2+500%—225)+(―30V+500尤+25)=4000,

解得再=6,%=10,

答：第6天或第10天兩櫻桃園的利潤之和為4000元；

222

③%+%=(-20/+500%-225)+(-30%+500%+25)=-50^+1000x-200=-50(x-10)+4800,

50<0,

...當尤=10時，乂+%有最大值4800,

.,.第10天兩處的櫻桃園的利潤之和最大，最大是4800兀；

18.如圖，BC是。。的直徑，A為。。上一點，連接AB、AC,4。13。于點。，E是直徑CB延長線上

一點，且4B平分NE4D.

(1)求證：AE是。。的切線；

(2)若￡C=4,AD=2BD,求EA.

【答案】(1)見解析；(2)2

【解析】

【分析】(1)連接根據角平分線定義和直角三角形兩個銳角互余即可證明/。4石=90°,從而可得

結論；

(2)根據直徑所對圓周角是直角可以證明/C=NBA。，所以32/0=3/54。，再證明

ApAU1

可得一=—=一，進而可得結果.

CEAC2

【詳解】證明：（1）連接OA

'：AD.LBCf

：.ZADB=90°,

：.ZABD+ZBAD=90°,

?.?A5平分NE4O,

???ZBAD=ZBAE,

：.ZABD+ZBAE=90°,

U：OA=OB,

：.ZABD=ZOAB,

：.ZOAB+ZBAE=90°,

：.ZOAE=90°,

：.OA.LAE,而04是半徑,

???AE是。。的切線；

(2)解：:Be是。。的直徑，

???ZBAC=90°,

：.ZC+ZABC=90°9

ZABC+ZBAD=90°,

：.ZC=ZBAD,

tanZC=tanZBAD,

?：AD=2BD,

?_BD_1

**AC-AD-2?

?.?AE為O。的切線，3C為。。的直徑,

ZEAB+ZBAO=90°=ZBAO+ZOAC,而。4=OC,

:.ZOAC=ZC,

ZEAB=ZC,

ZE=ZE,

：.AABE^/XCAE,

?AB_1

"CE-AC-2，

VEC=4,

：.AE=2.

【點睛】本題考查的是切線的判定定理，相似三角形的判定和性質，銳角三角函數的應用等知識，掌握切

線的判定定理、相似三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵.

19.閱讀與思考

下面是博學小組研究性學習報告的部分內容，請認真閱讀，并完成相應任務.

關于“等邊半正多邊形”的研究報告

博學小組

研究對象：等邊半正多邊形

研究思路：類比三角形、四邊形，按“概念-性質-判定”的路徑，由一般到特殊進行研

究.

研究方法：觀察（測量、實驗）-猜想-推理證明

研究內容：

【一般概念】對于一個凸多邊形（邊數為偶數），若其各邊都相等，且相間的角相等、相

鄰的角不相等，我們稱這個凸多邊形為等邊半正多邊形.如圖1,我們學習過的菱形（正

方形除外）就是等邊半正四邊形，類似地，還有等邊半正六邊形、等邊半正八邊形…

【特例研究】根據等邊半正多邊形的定義，對等邊半正六邊形研究如下：

概念理解：如圖2,如果六邊形ABCDEF是等邊半正六邊形，那么

AB=BC=CD=DE=EF=FA,NA=NC=/F,,/B=/D=/A,且XAw/R.

性質探索：根據定義，探索等邊半正六邊形的性質，得到如下結論：

內角：等邊半正六邊形相鄰兩個內角的和為

對角線：…

(1)直接寫出研究報告中處空缺的內容：.

(2)如圖3,六邊形A5CDEE是等邊半正六邊形.連接對角線AD，猜想154。與NE4D的數量關

系，并說明理由；

(3)如圖4,已知人4。￡是正三角形，。。是它的外接圓.請在圖4中作一個等邊半正六邊形

ABCDEF(要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法).

【答案】(1)240(2)ZBAD=ZFAD,理由見解析

(3)見解析

【解析】

【分析】本題主要考查圓綜合題，以等邊半正六邊形為背景，理解題意以及掌握圓和多邊形的相關性質是解

題關鍵.

(1)六邊形內角和為720。，由等邊半正六邊形的定義即可得出相鄰兩內角和為240。；

(2)連接3。，FD,通過已知條件可證得到BD