2024-2025學年湖南省長沙一中芙蓉中學九年級（上）入學數學試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.下列函數中，夕是x的正比例函數的是（）

A.v-h-iB.y3.JC.a=，D.

2.如圖，四邊形/BCD中，對角線/C、3。相交于點O,下列條件不能判定這個四邊形是平行四邊形的是（）

B./><',,1/JLit,

D」r>(',,\l)lie

3.在“我的閱讀生活”校園演講比賽中，有11名學生參加比賽，他們決賽的最終成績各不相同，其中一名

學生想知道自己能否進入前6名，除了要了解自己的成績外，還要了解這11名學生成績的（）

A.眾數B.方差C.平均數D.中位數

4.對于二次函數”一，-|「-2的圖象與性質，下列說法正確的是（）

A.對稱軸是直線1，最大值是2B.對稱軸是直線jI,最小值是2

C.對稱軸是直線1-1，最大值是2D.對稱軸是直線-1,最小值是2

5.已知直線v-：3,?1不經過第一象限，則根的取值范圍是（）

A.rri>B.rn<C.<rn<3D.in<3

3333

6.如圖，在菱形/BCD中，P、0分別是/￡>、NC的中點，如果/“，那么菱形

A8CD的周長是（）

A.16B.8C.4D.2

7.將拋物線“5、1向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度，所得到的拋物線為（）

A.v=-3IZ-2產+IB.v=-3|j-2|<2

C.V=-3|z+2-+ID.y=-3|z+2廣-2

8.設方程J-」27的兩個根為八，<>那么S-Uil2i的值等于()

第1頁，共20頁

A.B.0C.4D.2

9已知二次函數j/X3：lr+m（m為常數）的圖象與X軸的一個交點為II.山，則關于X的一元二次方程

3-：仃-,，八=0的兩實數根是（）

A./1=1,/_!1B.1,,r.3

C.了|=1,.rj-2D.1,.r.=3

10.二次函數“的圖象如圖所示，對稱軸是直線,r=l，J'

下列結論：

u其中正確的是（）'\r:1/

@ab<0;?h:>lac；?a?64r<U；④+c

A.①④

B.②④

C.①②③

D.①②③④

二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。

11.已知關于x的方程/-‘卜’”的一個根是-1,則k=______.

12.已知小口秋），以也.如）在二次函數v1-631的圖象上，若，?J,則”_____也填“>”、

“=”或“<”1.

13.經過兩次連續降價，某藥品銷售單價由原來的50元降到32元,設該藥品平均每次降價的百分率為X,

根據題意可列方程是_____.

+1（Tg2）

14.若函數4<則當函數值1/、時，自變量X的值等于—.

12x（r>2）

15.如圖，直線/的解析式為4「，點4的坐標為12.111,u于％

點、B,則1"”的面積為______.

，

y°、

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16.如圖，點尸是等邊三角形A8C內一點，且3，PB_1，P（'若將一〃“繞著點8逆時針

旋轉后得到貝L1/5的度數.

三、解答題：本題共9小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.I本小題6分?

計算：（-i）R*+|、/5-2|+（e-VS）°-（3T.

18.本小題8分）

求解下列一元二次方程：

IIIr,-Xr+I0;

⑵/+工-12=0.

19.?本小題6分I

學校為了讓同學們走向操場、積極參加體育鍛煉，啟動了“學生陽光體育運動”，張明和李亮在體育運動

中報名參加了百米訓練小組.在近幾次百米訓練中，教練對他們兩人的測試成績進行了統計和分析，請根

據圖表中的信息解答以下問題：

平均數中位數方差

張明113O.<MH

李亮13J0.02

h張明第2次的成績為秒；

」張明成績的平均數為；李亮成績的中位數為；

川現在從張明和李亮中選擇一名成績優秀的去參加比賽，若你是他們的教練，應該選擇誰？請說明理由.

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時何（秒）

20.本小題7分?

如圖，直線L：w與y軸交于點.LT卜1，直線八：V.人一1分別與X軸交于點“2.山，

與y軸交于點「兩條直線相交于點。，連接.43

1?求兩直線交點D的坐標;

「'求”的面積;

人根據圖象直接寫出V，卜時自變量X的取值范圍.

21.?本小題8分I

已知關于x的一元二次方程J-Uuu+3m2=<L（fn為實數）

!求證：無論〃7取何值，該方程總有兩個實數根;

「，該方程的兩個實數根為由、h1/：；/「，若八2,求正數加的值.

22.本小題8分I

如圖，在Ri中，.」（/.，點。，E分別為48,/C邊上的中點，連接。E并延長至點R使

//1)1,連接/凡CF,CD.

U求證：四邊形/DC尸是菱形;

若〃「I，.R'」，求四邊形4DCF的周長.

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23」本小題9分?

某商店經銷一種雙肩包，已知這種雙肩包的成本價為每個30元.市場調查發現，這種雙肩包每天的銷售量

“單位：個)與銷售單價,單位：元j有如下關系：”,■；4.11設這種雙肩包每天的銷售

利潤為w元.

求校與x之間的函數解析式；

1這種雙肩包銷售單價定為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？

：如果物價部門規定這種雙肩包的銷售單價不高于48元，該商店銷售這種雙肩包每天要獲得200元的銷

售利潤，銷售單價應定為多少元？

24.本小題10分，

在平面直角坐標系xOy中，若點P的橫坐標和縱坐標相等，則稱點P為完美點.已知二次函數

y=ar2+*Lr+

Ill當“1,.時，請求出該函數的完美點；

2已知二次函數““廠?L.一一山的圖象上有且只有一個完美點//，請求出該函數；

'*VyfrQJ

.L在」的條件下，當(),」…時，函數vJ，的最小值為-J,最大值為1,求加

的取值范圍.

25.本小題10分)

如圖，拋物線“-5I"與x軸交于點/和點2點/在原點的左側，點8在原點的右側?,

與丁軸交于點C，OH0(3.

Ii求該拋物線的函數解析式.

一如圖1,連接3C,點。是直線2C上方拋物線上的點，連接OD,,交2C于點R當'….，：

，：2時，求點。的坐標.

」，如圖2,點E的坐標為'，點P是拋物線上的點，連接即，PB,PE形成的，八"/中，是否存在

9

點尸，使廠/睡或.「“等于？若存在，請直接寫出符合條件的點尸的坐標；若不存在，請說明

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理由.

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答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：A.?」，,1是一次函數，故本選項不符合題意；

2、,是二次函數，故本選項不符合題意；

C、r符合一次函數的定義，故本選項符合題意；

」I是反比例函數，故本選項不符合題意；

X

故選：C.

依據正比例函數、反比例函數、二次函數、一次函數的定義回答即可.

本題主要考查的是正比例函數的定義，掌握正比例函數的一般形式“=卜」?，卜，山是解題的關鍵.

2.【答案】B

【解析】解：便可利用兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形判定這個四邊形是

平行四邊形，故此選項不合題意；

B、I.'.DC,\1)〃「不能判定這個四邊形是平行四邊形，故此選項符合題意；

('"，打。一。?？衫脤蔷€互相平分的四邊形是平行四邊形判定這個四邊形是平行四邊形，

故此選項不合題意；

D,Ai；,l/.i可利用兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形判定這個四邊形是平行四邊形,

故此選項不合題意；

故選：〃

利用平行四邊形的判定方法：H，兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.I與兩組對邊分別相等的四邊

形是平行四邊形.13)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.”，對角線互相平分的四邊形是平行四

邊形進行分析即可.

此題主要考查了平行四邊形的判定，關鍵是掌握平行四邊形的判定定理.

3.【答案】D

【解析】解：由于總共有11個人，且他們的分數互不相同，第6的成績是中位數，要判斷是否進入前6名,

故應知道中位數的多少.

故選/).

11人成績的中位數是第6名的成績.參賽選手要想知道自己是否能進入前6名，只需要了解自己的成績以

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及全部成績的中位數，比較即可.

此題主要考查統計的有關知識，主要包括平均數、中位數、眾數、方差的意義.

4.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查二次函數的性質，解題的關鍵是正確理解拋物線的圖象與性質，本題屬于基礎題型.

根據拋物線的圖象與性質即可判斷.

【解答】

解：由拋物線的解析式：”,I,

可知：對稱軸是直線/二I,

開口方向向下，所以有最大值u?,

故選.1.

5.【答案】D

【解析】解：分三種情況：

①如果直線經過二、四象限，

那么m-30,3m+10,

解得in；

3

②如果直線經過二、三、四象限，

那么m-3?it,

解得；<m<3;

③如果直線經過三、四象限|平行于x軸的常數函數1,

那么m-30,+1?0.

解得i”J；

綜上所述，?

故選D.

直線有可能過的象限分三種情況：①二、四；②二、三、四；③三、四（平行于X軸的常數函數L

本題考查的是一次函數的圖象與系數的關系，進行分類討論是解題的關鍵.

6.【答案】A

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【解析】解：在菱形/8CO中，P、。分別是N。、/C的中點，

一/'Q是三角形NOC的中位線，

<I)1,

二菱形4BCD的周長：I?IIti,

故選：A.

根據三角形中位線定理求出CD的長即可推出結果.

本題考查了三角形中位線定理，菱形的性質，熟記三角形中位線定理，菱形的性質是解題的關鍵.

7.【答案】D

【解析】解：將拋物線v4.1向左平移2個單位長度所得直線解析式為：”—.?.21-'.1；

再向下平移3個單位為：“一3(工+2尸+”3,即凹.一3(7+2戶2.

故選：!).

根據“左加右減、上加下減”的原則進行解答即可.

此題主要考查了二次函數圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規律：左加右減，上加下減.

8.【答案】C

【解析】解：.方程2I)的兩個根為“，1,

?I?i1,U，29

/.(o—2)伊-2)=—2(o+3)+4=-2—2x(—l)+J=4.

故選：c.

根據方程的系數利用根與系數的關系找出，，-；-1、…I2,將s211I21展開后代入數據即可

得出結論.

本題考查了根與系數的關系，解題的關鍵是根據根與系數的關系找出，，?】、，，?，2

9【答案】C

【解析】【分析】

將點11.山代入”■-求出根，即可確定一元二次方程為3-3,r-2;即可求解；

本題考查二次函數圖象上點的坐標特征，一元二次方程的解；熟練掌握點與解析式的關系，正確求解一元

二次方程是解題的關鍵.

【解答】

解：將點I1.II?代入">'-3/+in>

解得"?2,

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\y-r

j-1-：5.i-2-II的兩個根為.r=1,.r=2;

故選：，.

10.【答案】C

【解析】解：拋物線開口向上，

拋物線的對稱軸為直線-0I,

2a

”，

M，II，所以①正確；

,拋物線與x軸有2個交點，

-<-5-1-41P>0,所以②正確；

.II時，，/U,

,“.L-一I),所以③正確；

拋物線的對稱軸為直線，1,

2”

而“1時，?;■H,即"6-<II,

?"，所以④錯誤.

故選：C.

由拋物線開口方向得到“0,然后利用拋物線的對稱軸得到6的符號，則可對①進行判斷；利用判別式的

意義和拋物線與X軸有2個交點可對②進行判斷；利用“：時，”“可對③進行判斷；利用拋物線的對

稱軸方程得到L」，1,加上.1時，u?n,即"6-1II,則可對④進行判斷.

本題考查了二次函數圖象與系數的關系：對于二次函數“.力-5”",二次項系數。決定拋物線

的開口方向.當““時，拋物線向上開口；當,一u時，拋物線向下開口；一次項系數6和二次項系數a

共同決定對稱軸的位置：當。與b同號時I即用，>切，對稱軸在y軸左側；當“與b異號時I即“小山，

對稱軸在y軸右側；常數項c決定拋物線與y軸交點：拋物線與y軸交于L拋物線與x軸交點個數由

決定：卜I.,「時，拋物線與x軸有2個交點；…h-，，時，拋物線與x軸有1個交點；

'J時，拋物線與x軸沒有交點.

11.【答案】八2

第10頁，共20頁

【解析】解：把.，-1代入方程r,-：1,，+1=?？傻?31；II,解得「2，

故本題答案為人--±v,,2.

一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數的值.即用這個數代替

未知數所得式子仍然成立.把1代入原方程即可得左的值.

本題考查的是一元二次方程的根即方程的解的定義.此題要注意，"2，、］，漏掉一個后的值是

易錯點.

12.【答案】>

【解析】【分析】

本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，主要利用了二次函數的性質，熟記性質并求出二次函數的對稱

軸是解題的關鍵.

先求出二次函數的對稱軸為直線」：;，再根據二次函數的性質解答.

【解答】解：二次函數的對稱軸為直線，

2x1

al>(1,

.當時，y隨x的增大而減小，

..r,<.r_.■3,

Ui>力

故答案為：,■

13.【答案】別］」32

【解析】【分析】本題考查由實際問題抽象出一元二次方程，解題的關鍵是明確題意，找出題目中的等量

關系，列出相應的方程.

根據某藥品經過連續兩次降價，銷售單價由原來50元降到32元，平均每次降價的百分率為x,可以列出相

應的方程即可.

【解答】解：由題意可得，

>?1，：；2，

故答案為：〉㈠I,32

14.【答案】4或

【解析】解：①當，?，時，〉+

解得：.r=-;

第H頁，共20頁

②當」時，、，

解得：/=I.

故答案為：4或一1

因為不知道x的取值范圍，所以需要討論，①2,②j從而在兩種情況下分別求出符合條件的x

的值.

本題考查函數值的知識，屬于基礎題，解答此類題目的關鍵是討論x的取值范圍，避免漏解.

15.【答案】1

【解析】解：；直線/的解析式為“',

Z.AOB「>’設〃”“，

⑺，于點3,

.〃是等腰直角三角形，

1/1I>1:"1，

2

一點/的坐標為I-2.01,

6H=2，

,A13-013-\2<

的面積；.、入6?1，

故答案為：I.

根據已知條件得到，是等腰直角三角形，求得I"()n'')根據三角形的面積公式即可得到

2(

結論.

本題考查了正比例函數的性質，三角形的面積的計算，正確的理解題意是解題的關鍵.

16.【答案】154)

【解析】【分析】

本題考查旋轉的性質、等邊三角形的判定和性質、勾股定理的逆定理等知識，解題的關鍵是勾股定理逆定

理的應用，屬于中考常考題型.首先證明"八，為等邊三角形，得.”，由?？傻?/p>

Q(,IA,在「中，已知三邊，用勾股定理逆定理證出得出.…，可求-"(”的度數，由

此即可解決問題.

【解答】?

解：連接尸。，由題意可知「.」/">名△「BQ,//

則Q6?P8=I,/T=Q「=3,Z.ABP=ZCBQ,//\\n

第12頁，共20頁

是等邊三角形,

Z.1W=上.1。/>+Z/W=(MJ，

*PHQ=ZC'HQ_ZPBtliti,

」.」〃>。為等邊三角形，

：PQPHHQ1,

又.PQ=4,PC=5-QC=3,

./Q-Q「」”:，

.PQ('='?),

八/Q為等邊三角形，

LBQP-WI,

ZBQC=4BQP+4Poe=154),

Z.APB=Z.BQC=150°.

故答案為IF.

17.【答案】解：原式-1+2-.1-2

【解析】先計算有理數的乘方,絕對值，零指數幕，負整數指數幕，再計算加減即可.

本題考查二次根式的混合運算,解題的關鍵是掌握二次根式相關運算的法則.

18.【答案】解：II;，I,?I11,

(-39-4x1x1=9-4=5>0.

3士,5

'x^2r'

3+^5:

『—'了？二

[2]r:十-120,

,-；-?一

x*II)或」3II，

【解析】h利用解一元二次方程.公式法進行計算，即可解答;

」利用解一元二次方程-因式分解法進行計算，即可解答.

本題考查了解一元二次方程-因式分解法，公式法，準確熟練地進行計算是解題的關鍵.

19.【答案】13I13.3#13.3秒

第13頁，共20頁

【解析】解：；1，張明第2次的成績為I；I秒;

I，張明成績的平均數為'132'111口,小秒「李亮成績的中位數為1：1小秒I；

5

故答案為1.1-；133秒，1.1,，秒；

:」，選擇張明，平均數和中位數相同，但張明成績的方差小于李亮成績的方差，所以張明成績比李亮成績穩

定，因此選擇張明.

1，利用折線統計圖確定張明第2次的成績；

會利用平均數和中位數的定義求解；

為根據方差的意義進行判斷.

本題考查了方差：方差是反映一組數據的波動大小的一個量.方差越大，穩定性也越?。环粗?，則它與其

平均值的離散程度越小，穩定性越好.也考查了算術平均數和中位數、統計圖.

20.【答案】解：111將.1".ti,代入土1一rn得，m"6;將B（—2,Q）代入出=H+1得，

組成方程組得J,,r*二解得\,

I1.（!/3

I

故。點坐標為I111;

|2i由如?1可知，。點坐標為。）.1）

故、It?r?；

（3R<4.

【解析】I將Hi代入小；，-，“，即可求出機的值，將〃2.山代入”一,1即可求出左的

值，得到兩函數的解析式，組成方程組解求出。的坐標；

2由法―1-1可知，C點坐標為Mill,分別求出I/"和的面積，相加即可.

，，由圖可知，在。點左側時，“，卜，即/?I時，，：-,■

本題考查了兩條直線相交或平行的問題，主要是理解一次函數圖象上點的坐標特征.

21.【答案】:1證明：Abn）2Ix1x3m2bn-i?,

.■.無論機取何值，該方程總有兩個實數根；

121解:」」十：，〃/=0，即III,

解得：1=m或=3m，

.rn?"，，'L，

第14頁，共20頁

J1：i".,',

?..ii-r:-2，

'3rn-rn■2;

m=1.

【解析】八根據方程的系數結合根的判別式，可得出3IJ）,進而可證出方程有兩個不相等的實數根;

解方程求出方程的兩根為3勿，m,然后利用＞.=2,即可求出機的值.

本題考查了根的判別式，解題的關鍵是表示出方程的兩個根.

22.【答案】1證明：「點E是邊NC的中點，

AE=EC.

X".-EF=DE，

四邊形ADCF是平行四邊形.

又丁點。、￡分別是邊48、/C的中點，

,一是'的中位線，

DE//BC.

又?.?NXC8-90，

Z.AED=9（r.

AC1DF.

-四邊形NDCF是菱形.

」，解：四邊形NOCF是菱形，

CDClAlAD，

2

在Rt”4BC中,4B=vUa+BC=v2*?,

.〃是的中點，

.AD==,

-四邊形/DCF的周長=H5

【解析】III先證明四邊形NOCF是平行四邊形，再證明是，.的中位線，得出/〃〃，，證出

4C1DF）即可得出結論；

由勾股定理求出/￡可得/￡＞的長，即可得出結果.

本題考查了菱形的判定與性質、勾股定理、三角形中位線定理；熟練掌握菱形的判定與性質，由三角形中

位線定理得出DI〃BC是解決111的關鍵.

第15頁，共20頁

23.【答案】解：(l)u=(上一30?=(一工+00)(j30)=-T?+30JA(Mb-1*)0=jr+SXlr_18(10,

w與x之間的函數解析式"■二,/-1-MOr-1M?O;

(2)根據題意得:w=->+901-ItMMs-(j-I5)24225,

111,

當r二I；時，w有最大值，最大值是七M

?.當銷售單價定為45元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤是225元.

|3|當W=*1□時，,--1SI.I2IHI,

解得--1H,,.>I,

.71.IX,八="I不符合題意，舍去，

答：該商店銷售這種雙肩包每天要獲得200元的銷售利潤，銷售單價應定為40元.

【解析】本題考查了二次函數的應用；得到每天的銷售利潤的關系式是解決本題的關鍵；利用配方法或公

式法求得二次函數的最值問題是常用的解題方法.

111每天的銷售利潤”?=每天的銷售量?每件產品的利潤；

」根據配方法，可得答案；

人根據自變量與函數值的對應關系，可得答案.

24.【答案】解：1?當"I,.時，;'I-',

令V—r,則/.：Lr+2_I)，

解得：/-1,..

,該函數的完美點為八1-1.1?,竹2.21;

I，令.Li「，即“」，-；L.，Q,由題意可得，圖象上有且只有個完美點,A9I1■.Q,

則I"

該二次函數的解析式為1/--.1-1-IJ-1-；

.

93,

,I」IIrtI/3Ir21*-1,

，該二次函數圖象如圖所示，頂點坐標為T.h,

第16頁，共20頁

與y軸交點為「.」「，根據對稱規律，點」，也是該二次函數圖象上的點.在J-2左側，y隨x的增大

而增大；在r?右側，y隨X的增大而減??；

一當II”…時，函數3-.的最小值為：;，最大值為1,

/.2CrnC4.

【解析】1根據完美點的概念，由“：」與拋物線解析式聯立即可求得答案；

，由題意得關于X的方程：6+C=”有兩個相等的實數根，可得9；“，“，則打，”，再

將完美點的坐標代入即可求得答案；

.」，由題意得”「.1-,?’，I,可求得此拋物線的頂點坐標以及與坐標軸的交點坐標，根

據二次函數的圖象和性質，可求得X的取值范圍.

本題考查了二次函數圖象上的點的坐標特征，二次函數的性質以及根的判別式的知識，利用數形結合和分

類討論是解題關鍵.

25.【答案】解：11)080C3,則：C(0.3),

把從C坐標代入拋物線方程，

解得拋物線方程為：””-L..1…①；

I/；「、■.、＜?I1—」：2,

設：尸點橫坐標為3K則。點橫坐標為57,

點尸在直線3c上，

而3。所在的直線表達式為：”r+3,則F(3A3-3I),

則：直線。尸所在的直線表達式為："，‘,

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則點D網,5肘)，

把。點坐標代入①，解得：f1或:,

55

則點。的坐標為Uh或=二：口;

(3)①當,2(〃"；時，

如圖2,設/〃1交y軸于點E',

:.￡P\BE=2/0BE，￡EBO>IEBO，又N￡Ob=LEBO-60>HO-HO，

I.!!(>」1、，

1()1.():,點/”.)，

/*

直線〃廠過點2、I,則其直線方程為：“一--：…②，

￡/

聯立①②并解得：，,

■

故點廣的坐標為I11;

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當8尸在