金科大聯(lián)考·屆高三3月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)全卷滿分分，考試時(shí)間分鐘．注意事項(xiàng)：．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．．請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫(xiě)在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效．．選擇題用鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚．．考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z的模為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由復(fù)數(shù)除法結(jié)合復(fù)數(shù)模計(jì)算公式可得答案.【詳解】由，有．故選：B2.已知集合，，若“”是“”成立的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A.B.C.D.第1頁(yè)/共18頁(yè)【答案】A【解析】【分析】先求解不等式，得到集合，再由“”是“”成立的充分不必要條件，分析得到，再列出不等式組，求解即可.【詳解】由解得，故，因?yàn)椤啊笔恰啊背闪⒌某浞植槐匾獥l件，所以，所以有，解得，故選：A.3.小張從超市買(mǎi)了4袋食鹽，每袋食鹽的標(biāo)準(zhǔn)重量是500克，為了了解這些食鹽的重量的情況，稱出各袋的重量分別為501克，499克，498克，502克，則這4袋食鹽重量的方差為（）A.4B.3.5C.3D.2.5【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差的計(jì)算方法計(jì)算出正確答案.【詳解】這4袋食鹽的重量的平均數(shù)為，方差為．故選：D4.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則數(shù)列的公差為（）A.B.C.1D.2【答案】B【解析】【分析】利用等差數(shù)列的定義計(jì)算基本量即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，由，，有，可得第2頁(yè)/共18頁(yè)．故選：B．5.已知向量，，其中，，則的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示及向量模的坐標(biāo)表示列式，再利用基本不等式求出范圍.【詳解】由向量，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，而，所以的取值范圍為.故選：C6.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，，都有，且，則（）A.3B.4C.5D.6【答案】A【解析】【分析】賦值法得到，，，，從而【詳解】因?yàn)?，，所以，?頁(yè)/共18頁(yè)又，有，又由，有，故，．故選：A．7.已知橢圓C：與直線相切，則橢圓C的離心率為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用判別式等于0來(lái)判斷直線與橢圓相切，從而可得到齊次等式來(lái)求離心率.【詳解】聯(lián)立方程消去y后整理為，有，整理可得，由，有，可得．故選:B．8.已知存在實(shí)數(shù)a，b，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域與函數(shù)在區(qū)間上的值域相同，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根問(wèn)題，然后分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得到其值域，即可得到結(jié)果.第4頁(yè)/共18頁(yè)【詳解】由，可得函數(shù)單調(diào)遞增，又由函數(shù)單調(diào)遞增，有，即關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，可化為．令，有，可得函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為．又由，，當(dāng)時(shí)，，故若函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為．故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列各式中，值是的是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】ABC函數(shù)的和差角公式即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由，故A正確；第5頁(yè)/共18頁(yè)對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤；故選：AC．10.下列選項(xiàng)中，正確的是（）A.80%率為90%．加工出來(lái)的零件混放在一起，已知甲，乙加工的零件數(shù)分別占40%，60%，從所有零件中任取一個(gè)零件，則這個(gè)零件是合格品的概率為0.88B已知事件A，B滿足，，，則C.若事件滿足，且，則A與B相互獨(dú)立D.若隨機(jī)變量，且，，則的最小值為16【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，根據(jù)全概率公式計(jì)算即可判斷；對(duì)于B選項(xiàng)，根據(jù)公式，求出的值即可判斷；對(duì)于C選項(xiàng)，只須判斷A與BD，再利用基本不等式，求出的最小值即可判斷.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由全概率公式，這個(gè)零件是合格品的概率為，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，由，有，可得，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由，有，第6頁(yè)/共18頁(yè)可得A與B相互獨(dú)立，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，由正態(tài)分布可知，，所以，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故D選項(xiàng)正確．故選：BCD．已知拋物線的準(zhǔn)線方程為P為拋物線O為坐的焦點(diǎn)F作直線OP的平行線與拋物線交于ABAOP和AB分別與拋物線的準(zhǔn)線相交于M，N兩點(diǎn)，則（）A.B.若拋物線的準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)T，則M是線段TN的中點(diǎn)C.D.若直線PF與拋物線交于另一點(diǎn)Q，則直線軸【答案】ABD【解析】【分析】由準(zhǔn)線方程求出，即可判斷A；設(shè)直線的方程為，則直線的方程為得到、BC；求出的坐標(biāo)，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由拋物線C的準(zhǔn)線為，有，可得，故A正確；對(duì)于B，設(shè)直線的方程為，由，可得直線的方程為，令可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，又，所以是線段的中點(diǎn)，故B正確；第7頁(yè)/共18頁(yè)對(duì)于C，聯(lián)立方程，可解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，有．聯(lián)立方程，消去y后整理為，有，有，可得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，可得，，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，又由點(diǎn)M的坐標(biāo)為，可得直線軸，故D正確．故選：ABD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分．12.已知圓：和圓：相切，則______．【答案】－1或1或－3或3【解析】【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程確定兩圓圓心與坐標(biāo)，結(jié)合兩圓相切的條件及圓心距與半徑關(guān)系計(jì)算即可.【詳解】由題意可知：，，，，有，又兩圓相切，則有或，可得或－1或1或3．故答案為：－1或1或－3或313.若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則正數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．第8頁(yè)/共18頁(yè)【答案】【解析】【分析】利用單調(diào)性研究函數(shù)的零點(diǎn)，再用正弦函數(shù)研究區(qū)間內(nèi)唯一零點(diǎn)，從而可得參數(shù)范圍.【詳解】當(dāng)，由函數(shù)單調(diào)遞增，且，，可得函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；又由函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，又由，則有，解得．故答案為：.14.如圖，在四棱臺(tái)中，上、下底面都是正方形，平面ABCD，E是F是BEF分別為，（其中______．【答案】【解析】【分析】利用臺(tái)體的體積公式求四棱臺(tái)的體積，作輔助線，找到平面BEF截該四棱臺(tái)所得截面，計(jì)算有關(guān)線段的長(zhǎng)度，利用割補(bǔ)法求解.【詳解】連接AC，BD相交于點(diǎn)O，連接，相交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)M，連接BM與交于點(diǎn)T，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)N，由平面平面，可知M為和的交點(diǎn)，又由，可知，第9頁(yè)/共18頁(yè)又由，可得，又由，有，可得，不妨設(shè)，，，可得梯形的面積為，又由，，又由，可得，可得四邊形的面積為，可得，又由，可得，又由，可得，可得，又由幾何圖形的對(duì)稱性可知．四、解答題：本題共5小題，共分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟．15.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且．（1）若，求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）2或第10頁(yè)/共18頁(yè)（2）【解析】1）結(jié)合正弦定理及余弦定理求解即可；（2）由正弦定理可得，由，可得，由兩角和的余弦公式可求得，再由兩角差的余弦公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】由正弦定理及，有，又由余弦定理，有，代入，有，整理為，因式分解為，可得或，可得的值為2或；【小問(wèn)2詳解】由正弦定理及，有，又由，有，又由，有，即，代入，有，有.16.如圖，在四棱錐中，四邊形為矩形，平面平面，，M是第11頁(yè)/共18頁(yè)P(yáng)B的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若，，，求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】1）通過(guò)證明可完成證明；（21平面與平面的法向量，最后由空間向量知識(shí)可得答案.【小問(wèn)1詳解】如圖，連接BD，與AC相交于點(diǎn)N，因四邊形為矩形，對(duì)角線BD，AC相交于點(diǎn)N，則，又因M是PB的中點(diǎn)，則，因，，則，因，平面AMC，平面AMC，所以平面AMC；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，，平面平面，平面ABCD，所以平面，則以所在的直線分別為y軸，z軸，過(guò)點(diǎn)A，在平面內(nèi)作AB的垂線為x軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系由，，，可得，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，第12頁(yè)/共18頁(yè)各點(diǎn)坐標(biāo)如下：，，，，，設(shè)平面PCD的法向量為，由，，有，取，，，可得平面PCD的一個(gè)法向量為，設(shè)平面AMC的法向量為，由，，有，取，，，可得平面AMC的一個(gè)法向量為，又由，，，有，故平面PCD與平面AMC的夾角的余弦值為．17.大年初二起“靈蛇獻(xiàn)瑞”，以一系列京昆佳作為戲迷觀眾奉上文化大餐．年初二率先登場(chǎng)的《新春京劇演唱會(huì)》匯集上海京劇院老中青三代演員；大年初六，上海昆劇團(tuán)接棒“京昆群英會(huì)”，上海昆劇團(tuán)優(yōu)秀青余下員卡積12分．假設(shè)每位票友觀看計(jì)第13頁(yè)/共18頁(yè)劃相互獨(dú)立，視頻率為概率，所有票友會(huì)員卡之前積分均為0．（1）觀看結(jié)束后，從票友中隨機(jī)抽取3人，記3人會(huì)員卡的合計(jì)得分為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）觀看結(jié)束后，從票友中隨機(jī)抽取n個(gè)人（nn個(gè)人會(huì)員卡的合計(jì)積分是分的概率為，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）分布列見(jiàn)解析，期望為4；（2）.【解析】1）由題可得3人得分的情況為3，4，5，6，然后由題意可得分布列及數(shù)學(xué)期望；（2，然后由錯(cuò)位相減法可得答案.【小問(wèn)1詳解】由題可得X的值可得為3，4，5，6，則，，，.則分布列如下：3456則；【小問(wèn)2詳解】由題可得合計(jì)積分是分時(shí)，有可得，，，第14頁(yè)/共18頁(yè)則.則，兩式相減可得：.則.18.已知點(diǎn)，，直線MA和MB的斜率的乘積為1，點(diǎn)M的軌跡為C．（1）求軌跡C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與軌跡C相交于P，Q兩點(diǎn)，記直線BP，BQ的斜率分別為，，求的值；（3）在（2）的條件下，證明：直線AP與BQ的交點(diǎn)T在定直線上．【答案】（1）（2）－3（3）證明見(jiàn)解析【解析】1）利用兩點(diǎn)斜率公式計(jì)算即可；（2）設(shè)直線PQ的方程為，及點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立直線與雙曲線方程利用韋達(dá)定理及兩點(diǎn)斜率公式化簡(jiǎn)計(jì)算即可；（3）利用第二問(wèn)的結(jié)論及條件表達(dá)兩條直線，聯(lián)立直線方程計(jì)算交點(diǎn)即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，由直線MA和MB斜率的乘積為1，有，可得．又由，可得軌跡C的方程為；【小問(wèn)2詳解】第15頁(yè)/共18頁(yè)由（1）知，∴直線PQ的斜率不為0，故設(shè)直線PQ的方程為，點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為，聯(lián)立方程，消去x后整理為，有，，又由，故；【小問(wèn)3詳解】由直線PA和PB的斜率的乘積為1，可得直線PA的斜率為，可得直線PA的方程為，又由，有，可得直線BQ的方程為，將直線PA和BQ的方程聯(lián)立消去y，有，解得，可得點(diǎn)T的坐標(biāo)為，所以直線AP與BQ的交點(diǎn)T在定直線上．第16頁(yè)/共18頁(yè)【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：第二問(wèn)求斜率之積，通法為聯(lián)立直線與圓錐曲線，利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)求值；第三問(wèn)，直線過(guò)定點(diǎn)，一個(gè)直接的思路是由第二問(wèn)結(jié)論中的斜率關(guān)系，利用點(diǎn)斜式表示直線，聯(lián)立求交點(diǎn)，根據(jù)某一坐標(biāo)為定值確定定直線.19.已知函數(shù)．（1）若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若是函數(shù)兩個(gè)零點(diǎn)，證明：；（3）當(dāng)且時(shí)，證明：．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）證明見(jiàn)解析【解析】1）分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)性及最值即可；（2）利用比值換元設(shè)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)判定函數(shù)的單調(diào)性即可證明；（3用累加法計(jì)算即可證明.【小問(wèn)1詳解】由恒成立，有恒成立，令，有，解不等式可得，可得函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，可得的最大