專題18.4矩形的性質(zhì)與判定【九大題型】

【人教版】

。妙aI對(duì)無加

【題型1由矩形的性質(zhì)求線段的長度】...........................................................1

【題型2由矩形的性質(zhì)求角的度數(shù)1............................................................................................5

【題型3由矩形的性質(zhì)求面積】.................................................................7

【題型4矩形的性質(zhì)與坐標(biāo)軸的綜合運(yùn)用】.....................................................10

型

[題

5矩形判定的條件】....................................................................15

型

[題

6證明四邊形是矩形】..................................................................18

型

[題

型矩形中多結(jié)論問題】..................................................................

[題723

8矩形的判定與性質(zhì)綜合】..............................................................28

【題型9直角三角形斜邊的中線】...............................................................33

1g

。。片聲，工二

【知識(shí)點(diǎn)1矩形的定義】

有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.

【知識(shí)點(diǎn)2矩形的性質(zhì)】

①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個(gè)角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對(duì)

角線：矩形的對(duì)角線相等；⑤矩形是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形.它有2條對(duì)稱軸，

分別是每組對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的直線；對(duì)稱中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn).

【題型1由矩形的性質(zhì)求線段的長度】

【例1】（2022春?新泰市期末）如圖，在矩形4BC。中，AD=4V2,對(duì)角線AC與8。相

CE=OE,則。E的長為（

C.2V2D.2

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出NAZ）C=90°,AC=BD,OA=OC,OB=OD,求出OD

=OC,求出OO=CO=O。，根據(jù)等邊三角形的判定得出△DOC是等邊三角形，根據(jù)等

邊三角形的性質(zhì)得出/。。4=60°,求出/D4c=90°-ZDCA=30°,再根據(jù)含30度

角的直角三角形的性質(zhì)得出DE=豹。即可.

【解答】解：：四邊形ABC。是矩形，

ZADC=90°,AC=BD,OA=OCfOB=OD,

：.OD=OC,

VDEXAC,CE=OE,

：.OD=CD,

即OD=OC=CD,

???△QOC是等邊三角形，

：.ZDCA=60°,

ZDAC=90°-NOGA=30°,

VZ）E±AC,

：.ZDEA=90°,

i

：.DE=-AD,

2

VAZ）=4V2,

.".DE—2s/2,

故選：C

【變式1-1］（2022春?開州區(qū)期末）如圖，在矩形A2CZ）中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,

。尸垂直平分。C,交AC于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)R連接AR若BD=2值,DF=2,則AF

的長為（）

A.V6B.2V2C.V7D.3

【分析】根據(jù)矩形對(duì)角線相等且互相平分，OD=IBD=W,再根據(jù)D尸垂直平分OC,

得DC=OD=?分別在RtZXOCF,RtZYDCB中，利用勾股定理求出CR8c的長,

從而求出BF,在RtAABF中利用勾股定理求出AF的長.

【解答】解：：四邊形ABCD是矩形.

C.AB^CD,0D=-BD=V3.

2

：￡）下垂直平分OC.

：.CD=OD=^/3.

：.AB^CD=V3.

在RtABCD中，

BC=>/BD2-CD2=J(2V3)2-(V3)2=3.

在RtADCF中，

CF=y/DF2-DC2=J22-(如>=i.

：.BF=BC-CF=3-1=2.

在RtAABF中,

AF=y/AB2+BF2=J(V3)2+22=V7.

故選：C.

【變式1-2](2022?碑林區(qū)校級(jí)模擬)如圖，在矩形ABC。中，。是BD的中點(diǎn)，E為AD

邊上一點(diǎn)，且有AE=OB=2.連接OE,若/AEO=75°,則。E的長為()

A.|B.V3C.2D.2V3-2

【分析】連接AC,OE,根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AC=4,由NAEO=75°,可得/E4O=

30°,進(jìn)而利用含30度角的直角三角形即可解決問題.

在矩形4BCD中，

是8。的中點(diǎn),

.\OA=OB,

'：AE=OB=2.

.\AE—OA=2.

AAC=4,

VZAEO=75°,

：.ZEAO=30°,

：.CD=Uc=2,

2

：.AD=V3CD=2V3,

：.DE=AD-AE=2^3-2.

故選：D.

【變式1-3］（2022?南崗區(qū)期末）如圖，矩形ABC。中，點(diǎn)E,尸分別在A。，CD±,且

CF=2DF=2,連接BE,EF,BF,且平分NEBC,/EFB=45°,連接CE交BF于

【分析】在BC上截取BN,使BN=BE,過點(diǎn)G作GHVEF于點(diǎn)H,證明△可■?0△/即

(A4S),推出￡?=尸C=2,CN=DF=1,設(shè)BN=BE=x,作GQ_LBE于。，GPLBC

于P.利用勾股定理構(gòu)建方程求出x,再證明署=饕=］即可解決問題.

GCoC6

【解答】解：在BC上截取BN,使BN=BE,過點(diǎn)G作尸于點(diǎn)〃，

:BF平分/EBC,

：.ZEBF=ZCBF,

又,；BE=BN,BF=BF,

：./\BEF^/\BNF(SAS),

:.EF=NF,/EFB=/NFB=45°,

：.ZEFN=9Q°,

:.NEFD+/NFC=9Q°,

又,：NEFD+NFED=90°,

ZNFC=ZFED,

又,：/D=/NCF=90°,

:ANFC<AFED(A4S),

:.ED=FC=2,

在RtZXFED中，。尸=1,

：.EF=y/ED2+DF2=Vl2+22=V5,

在RtA￡￡?C中，EC=>JDE2+DC2=V22+32=V13,

設(shè)BN=BE=x,作GQ_LBE于。，GPLBC于P.

在RtAABE中，'：AB-+AE1=BE2,

32+(尤-1)2=/,

解得x=5,

:BG平分/EBC,GQLBE,GPLBC,

C.GQ^GP,

?SABEG_1'BEGQ_EG

?.—1—,

S^BGC-BCGPGC

.EG_BE_5

?.GC-BC-6’

：.EG=-EC=—,

1111

故答案為空^

11

【題型2由矩形的性質(zhì)求角的度數(shù)】

【例2】（2022春?漂水區(qū)期中）如圖，在矩形ABC。中，AC.BD交于點(diǎn)O,DE±ACT

點(diǎn)E,ZAOD^110°,則NCOE大小是（）

【分析】由矩形的性質(zhì)得出。C=OO,得出NOOC=NOCO=55°,由直角三角形的性

質(zhì)求出/。。5=20°,即可得出答案.

【解答】解：；四邊形ABC。是矩形，

AZADC=90°,AC=BD,OA=OC,OB=OD,

：.OC^OD,

：.ZODC=ZOCD,

VZA（?D=110°,

AZDOE=10°,ZODC=ZOCD^~（180°-70°）=55°,

2

VDEXAC,

：.ZODE=90°-ZDOE=20°,

：.ZCDE=ZODC-ZODE=55°-20°=35°；

故選：C.

【變式2-1]（2022?武昌區(qū)期末）如圖，把一張矩形紙片沿對(duì)角線折疊，如果量得NEDF

=22°,則NfDB的大小是（）

A.22°B.34°C.24°D.68°

【分析】由/FDB=90°-ZBDC.根據(jù)已知條件易求的度數(shù).

【解答】解：?:NEDF=22°,ZADC=90°,

：.ZEDC=U2a.

:.NBDC=56°.

：.ZFDB=900-ZBDC=34°.

故選：B.

【變式2-2］（2022春?江夏區(qū)期中）如圖，矩形ABC。中，AB=2,AO=1,點(diǎn)M在邊。C

上，若AM平分則/AMD的大小是（）

A.45°B.60°C.75°D.30°

【分析】由矩形的性質(zhì)和角平分線定義證出得出BM=AB=2,因此

BC=：BM,由直角三角形的性質(zhì)得出NBMC=30°,即可得出答案.

【解答】解：???四邊形ABCD是矩形

.,.ZD=ZC=90°,AD=BC=1,AB//CD,

：.ZBAM=ZAMD,

平分NDWB,

ZAMD=ZAMB,

J.ZBAM^ZAMB,

：.BM=AB=2,

：.BC=

：.ZBMC=3>0°,

1

：.ZAMD=ZAMB^-（180°-30°）=75°；

2

故選：C.

【變式2-3］（2022春?莫旗期末）如圖，若將四根木條釘成的矩形木框變形為平行四邊形

ABC。的形狀，并使其面積為矩形面積的一半，則平行四邊形ABC。的最大內(nèi)角的大小

【分析】過。作于點(diǎn)￡,根據(jù)面積的關(guān)系可以得到A￡>=2DE,則/ZME=30°,

再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：如圖，過D作于點(diǎn)E,

:矩形的面積平行四邊形ABC?=2A8?DE,

:.BF=2DE,

?/四邊形ABCD是平行四邊形，

C.AB//CD,AD=BC,

：.ZDAE+ZABC=ISO°,

;BF=BC,

：.AD=BF=2DE,

：.ZDAE=30°,

AZABC=180°-ZZ)AE=150°,

即平行四邊形4BCD的最大內(nèi)角的大小是150°,

故答案為：150°.

【題型3由矩形的性質(zhì)求面積】

【例3】(2022春?浦東新區(qū)期末)我們把兩條對(duì)角線所成兩個(gè)角的大小之比是1：2的矩形

叫做“和諧矩形”，如果一個(gè)“和諧矩形”的對(duì)角線長為10cm,則矩形的面積為25百

【分析】根據(jù)“和諧矩形”的性質(zhì)求出/4。8=30°,由含30。角的直角三角形的性質(zhì)

求出AB、AD的長，即可得出答案.

【解答】解:???四邊形ABC。是“和諧矩形”,

C.OA^OC,OB=OD,AC=2￡)=10,ZBA￡>=90°,ZCAD：ZBAC=1：2,

：.OA=OD,ZCAD=30°,ZBAC=60°,

AZADB^ZCAD^30°,

：.AB^^BD=5,AD=V3AB=5V3,

矩形ABC。的面積=43XAO=5X5g=258（cm2）；

故答案為：25V3.

【變式3-1］（2022?成都）如圖，過矩形ABC。的對(duì)角線8。上一點(diǎn)K分別作矩形兩邊的

平行線MN與PQ,那么圖中矩形AMKP的面積Si與矩形QCNK的面積S2的大小關(guān)系是

S1=S2；（填或或“=”）

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，可知△A3。的面積等于△C￡>8的面積，AMBK的面積等于

△QKB的面積，△PK￡）的面積等于△NDK的面積，再根據(jù)等量關(guān)系即可求解.

【解答】解：.??四邊形ABCO是矩形，四邊形是矩形，四邊形PKN。是矩形，

的面積=Z\C￡）B的面積，的面積=4QKB的面積，△PK_D的面積=△

NOK的面積，

:.LABD的面積-4MBK的面積-APKD的面積=2\。。2的面積-△QKB的面積=△

NDK的面積，

：.Si=S2.

故答案為S1=S2.

【變式3-2］（2022春?成都期末）如圖，點(diǎn)E是矩形ABC。邊AD上一動(dòng)點(diǎn)，連接BE,以

BE邊作矩形BEFG,使得FG始終經(jīng)過點(diǎn)C.若矩形ABCD的面積為si,矩形BEFG的

面積為S2，則S1與S2的大小關(guān)系是（

C.51>52D.不確定

【分析】連接CE,根據(jù)矩形A8CO和矩形8EFG都與三角形CBE同底等高，進(jìn)而可以

解決問題.

【解答】解：如圖，連接CE,

D

G

AB

???矩形ABC。的面積為si，矩形的面積為必

?'-SI=2SACBEJS2=2S&CBE，

則S\—S2.

故選：B.

【變式3-3](2022春?九龍坡區(qū)校級(jí)期中)已知：矩形ABC。中，延長BC至E,使BE=

BD,尸為OE的中點(diǎn)，連接AACF.

(1)求證：CF±AF；

(2)若A8=10aw,BC=\6cm,求△AQF的面積.

【分析】(1)連接8尸，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得A￡)=2C,NAOC=NBCr)=90°,根據(jù)

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得C/=DR根據(jù)等邊對(duì)等角可得

ZDCF,然后求出利用“邊角邊”證明△?!￡)/和△BCP全等，根據(jù)全

等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得尸C,再根據(jù)等腰三角形三線合一可得然

后求出/AbC=90°,即可得證；

(2)根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等可得點(diǎn)尸到A。、8C的距離相等，都是AB的一

半，然后利用三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解.

【解答】(1)證明：如圖，連接在矩形ABCD中，AO=BC,NADC=NBCD=90°,

?.?尸為QE的中點(diǎn),

；.CF=DF,

：.ZCDF=ZDCF,

：.ZADC+ZCDF^ZBCD+ZDCF,

即ZADF=ZBCF,

在△ADf'和△BCF中，

AD=BC

^ADF=乙BCF,

CF=DF

:.4ADF咨4BCF(SAS),

???ZAFD=ZBFC,

?：BE=BD,尸為。石的中點(diǎn)，

：.BF±DEf

：.ZAFC=ZAFB+ZBFC=ZAFB+ZAFD=90°,

：.CF±AF；

(2)解：,:△ADF"4BCF,

???點(diǎn)尸到A。、3c的距離相等，

VAB=10cm,

1

???點(diǎn)F到AD的距禺為5xl0=5cm,

【題型4矩形的性質(zhì)與坐標(biāo)軸的綜合運(yùn)用】

【例4】（2022春?潮南區(qū)期中）如圖，在矩形COE。中，點(diǎn)。的坐標(biāo)是（1,3）,貝UCE

【分析】連接O。，過。作x軸于R由矩形的性質(zhì)得CE=OO,再由點(diǎn)。的坐標(biāo)

得。尸=1,DF=3,然后由勾股定理求出0。的長，即可解決問題.

【解答】解：如圖，連接。￡）,過。作軸于E

,/四邊形COED是矩形，

：.CE=OD,

:點(diǎn)。的坐標(biāo)是（1,3）,

AOF=1,DF=3,

：.OD=<OF2+DF2=Vl2+32=V10,

CE=VTo,

故選：D.

【變式4-1］（2022春?任城區(qū)期末）定義：如果一個(gè)三角形有一邊上的中線等于這條邊的

一半，那么稱三角形為“智慧三角形”.如圖，在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，矩形0A2C

的邊04=3,0C=4,點(diǎn)M（2,0）,在邊AB存在點(diǎn)P,使得△CMP為“智慧三角形”，

則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（）

A.(3,1)或(3,3)B.(3,|)或(3,3)

C.(3,|)或(3,1)D.(3,|)或(3,1)或(3,3)

【分析】由題意可知，“智慧三角形”是直角三角形，NCPM=90°或NO糜=90°,

設(shè)尸（3,a）,則AP=a,BP=4-a；分兩種情況：①若NCPM=90°,②若NCMP=

90°,根據(jù)勾股定理分別求出“2、MP\CM2,并根據(jù)圖形列出關(guān)于。的方程，解得。

的值，則可得答案.

【解答】解：由題意可知，“智慧三角形”是直角三角形，ZCPM=90°或NCMP=90°,

①若/CPM=90°,在RtZXBCP中，由勾股定理得:

CP2=BP?+BC=(4-a)2+9,

在RtAMB4中，由勾股定理得：

MP2=A/A2+AP2=1+4,

在RtAJWPC中，由勾股定理得：

CM2=MP2+CP2=l+fl2+(4-a)2+9=2層-8a+26,

又,?CM1=OM'+OC?=4+16=20,

.*.2a2-8a+26=20,

解得：a=3或a=l,

：.P(3,3)或(3,1)；

②若/CMP=90°,在RtZXBCP中，由勾股定理得：

CP1=BP1+BC1=(4-a)2+9,

在RtZ\MB4中，由勾股定理得：

MP2=MA1+AP2=l+a2,

VCM2=OM2+OC2=20,

在RtZ\MCP中，由勾股定理得：

CM2+MP2=CP2,

A20+l+a2=(4-a)2+9,

解得:a=

：.P(3,i).

2

綜上，P(3,|)或(3,1)或(3,3).

故選：D.

【變式4-2](2022?西平縣模擬)已知在矩形A8CO中，AB=4,BC=y,。為BC上一點(diǎn),

BO=\,如圖所示，以8c所在直線為無軸，。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，M為線

段0c上的一點(diǎn).

(1)若點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,0),如圖1,以為一邊作等腰△OMP,使點(diǎn)尸在矩形

ABCD的一邊上，則符合條件的等腰三角形有幾個(gè)？請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的

坐標(biāo)；

(2)若將(1)中的點(diǎn)M的坐標(biāo)改為(4,0),其他條件不變，如圖2,那么符合條件

的等腰三角形有幾個(gè)？求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

圖1圖2

【分析】(1)0M的長是1,小于矩形的寬，也小于的長，所以點(diǎn)尸只能是0W的

垂直平分線與AD的交點(diǎn);

(2)OM的長是4,等于矩形的寬，所以點(diǎn)P可以是過。、M的垂線與A。的交點(diǎn)，也

可以是OM的垂直平分線與的交點(diǎn)，又的長大于。B的長，所以點(diǎn)P也可以在

上;

【解答】解：(1)符合條件的等腰△OMP只有1個(gè);

點(diǎn)P的坐標(biāo)為($4)；

(2)符合條件的等腰△(?〃尸有4個(gè).

如圖②，在△0P1M中，0P=0M=4,

在RtZ^OBPi中，BO=g

BPl=J(0P])2—。5=/2一(今2V15

2

.,.Pi(-(孚)；

在Rt^OMPz中，OP2=OM=4,

；.P2(0,4)；

在△OMP3中，MP3=OP3,

點(diǎn)尸3在OM的垂直平分線上,

；OM=4,

.”3(2,4)；

在RtZ\OMP4中，OM=MP4=4,

：.P4(4,4)；

PmP&

A__iD

小七、-

B

77O9x

2

圖②

【變式4-3］（2022春?浦江縣期中）如圖，長方形0nBe中，。為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),

A點(diǎn)的坐標(biāo)為（4,0）,C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,6）,點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，點(diǎn)尸從原點(diǎn)出發(fā),

以每秒2個(gè)單位長度的速度沿著。一C-B-A-O的路線移動(dòng)（移動(dòng)一周）.

（1）寫出點(diǎn)8的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)了4秒時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在移動(dòng)過程中，當(dāng)△OBP的面積是10時(shí)，直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

A

y

c----------B

0Ax

【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)以及點(diǎn)的坐標(biāo)的定義寫出即可；

（2）先求得點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的距離，從而可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）分點(diǎn)尸在OC上，在8c上，在上，在A。上四種情況討論，由三角形的面積

公式可求點(diǎn)尸坐標(biāo).

【解答】解：（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為（4,0）,C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,6）,

04=4,OC—6,

:.點(diǎn)B（4,6）；

（2）?.?點(diǎn)P移動(dòng)了4秒時(shí)的距離是2X4=8,

.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,6）；

（3）如圖，

①當(dāng)點(diǎn)尸在OC上時(shí)，SAOBP=jx6>PiX4=10,

：.OPi=5,

...點(diǎn)P(0,5)；

②當(dāng)點(diǎn)尸在上，SAOBP-|XBP2X6=10,

；.BP2=y,

ACP2=4-y=|,

點(diǎn)尸（j,6）；

③當(dāng)點(diǎn)P在AB上，5AOBP=|XBP3X4=10,

：.BP^5,

.\APs=6-5=1,

???點(diǎn)尸（4,1）；

④當(dāng)點(diǎn)P在A。上，SAOBP-jxOP4X6=10,

，OP4=3

；.點(diǎn)P（--0）.

3

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0,5）或0，6）或（4,1）或號(hào)，0）.

【知識(shí)點(diǎn)3矩形的判定方法】

①矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；②有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；

③對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形（或“對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形"）.

【題型5矩形判定的條件】

【例5】（2022春?夏邑縣期中）如圖，四邊形A8C。為平行四邊形，延長4。到E,使。E

=AD,連接仍，EC,DB,添加一個(gè)條件，不能使四邊形DBCE成為矩形的是（）

【分析】先證四邊形。BCE為平行四邊形，再由矩形的判定和菱形的判定進(jìn)行解答即可.

【解答】解：?..四邊形A2CD為平行四邊形，

：.AD//BC,AD=BC,

y.'：AD=DE,

：.DE//BC,S.DE=BC,

四邊形DBCE為平行四邊形，

A、；AB=BE,DE=AD,

C.BDLAE,

：.ZBDE=90°,

.?.aDBCE為矩形，故本選項(xiàng)不符合題意；

8、：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形為菱形，不一定為矩形，故本選項(xiàng)符合題意；

C、VZAZ）B=90°,

ZEDB=90°,

:?口O3CE為矩形，故本選項(xiàng)不符合題意；

D、?:CELDE,

：.ZCED=90°,

???口。5。￡為矩形，故本選項(xiàng)不符合題意；

故選:B.

【變式5-1］（2022春?江油市期末）在四邊形ABCD中，AC,5。交于點(diǎn)。，在下列條件

中，不能判定四邊形A3CD為矩形的是（）

A.AO=CO,BO=DO,ZBAD=90°

B.AB=CD,AD=BC,AC=BD

C./BAD=NBCD,ZABC+ZBCD=1SO°,AC±BD

D.ZBAD=ZABC=90°,AC=BD

【分析】由平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定以及菱形的判定分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行

判斷即可.

【解答】解：A、U：AO=CO,BO=DO,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

又???NB4D=90°,

???平行四邊形A5CD是矩形，故選項(xiàng)A不符合題意；

B、'：AB=CD,AD=BC,

???四邊形ABC。是平行四邊形，

又,：AC=BD,

???平行四邊形A3c。是矩形，故選項(xiàng)3不符合題意；

C、VZABC+ZBC￡）=180°,

：.AB//CD,

?；NBAD=/BCD,

：.ZABC+ZBAD=1SO°,

：.AD//BC,

???四邊形ABC。是平行四邊形，

XVAC1BZ）,

???平行四邊形ABC。是菱形，故選項(xiàng)。符合題意；

D、'：ZBAD=ZABC=90°,

：.AD//BC,

在RtAABD和RtABAC中，

（AB=BA

UD=AC"

ARtAABD^RtABAC(H￡),

J.AD^BC,

/.四邊形ABCD是平行四邊形，

又；AC=BD,

.??平行四邊形A8CO是矩形，故選項(xiàng)O不符合題意;

故選：C.

【變式5-2]（2022春?仙居縣期末）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到E,

使。連接班,EC,DB,添加一個(gè)條件，不能使四邊形。3CE成為矩形的是（

A.AB=BEB.CELDEC.ZADB=9Q°D.BELDC

【分析】先證明四邊形Bcr史為平行四邊形，再根據(jù)矩形的判定進(jìn)行解答.

【解答】解：?.?四邊形ABCL?為平行四邊形，

：.AD//BC,AD=BC,

又,：AD=DE,

：.DE//BC,且DE=BC,

四邊形BCED為平行四邊形，

A、,:AB=BE,DE=AD,

；.BD_LAE,

.?.□DBCE為矩形，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、，；CE_LDE,

：.ZC￡D=90°,

DBCE為矩形，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、VZADB=90°,

：.ZEDB=90°,

...□OBCE為矩形，故本選項(xiàng)不符合題意；

?對(duì)角線互相垂直的平行四邊形為菱形，不一定為矩形，故本選項(xiàng)符合題意;

故選：D.

【變式5-3］（2022?西城區(qū)一模）如圖，在△ABC中，D,E分別是AB,AC的中點(diǎn)，點(diǎn)R

G在邊8c上，且DG=EF.只需添加一個(gè)條件即可證明四邊形。FGE是矩形，這個(gè)條

件可以是DE=FG（答案不唯一）.（寫出一個(gè)即可）

【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到OE〃BC,推出四邊形。尸GE是平行四邊形，根據(jù)

矩形的判定定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：DE=FG,

理由：：。，E分別是AB,AC的中點(diǎn)，

C.DE//BC,

J.DE//FG,

,:DE=FG,

四邊形DFGE是平行四邊形，

,:DG=EF,

四邊形。尸GE是矩形，

故答案為：DE=FG（答案不唯一）.

【題型6證明四邊形是矩形】

【例6】（2022春?南譙區(qū)期末）如圖，在平行四邊形ABC。中，對(duì)角線AC,2。相交于點(diǎn)

O,若E,尸是線段AC上兩動(dòng)點(diǎn)，同時(shí)分別從A,C兩點(diǎn)出發(fā)以Icm/s的速度向點(diǎn)C,A

運(yùn)動(dòng).

（1）求證：AADE絲ACBF；

（2）若BD=8cm,AC=14cm,當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間f為多少秒時(shí)，四邊形。防尸是矩形？

【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得AO=BC,AD//BC,則易證AE

=CF,由SAS即可得出結(jié)論；

（2）先證四邊形。E8F為平行四邊形，當(dāng)時(shí)，四邊形。尸為矩形，得出。E

=0口=加,即jAC-/=打。或即可得出結(jié)果.

【解答】（1）證明：???四邊形ABCO是平行四邊形，

：.AD=BC,AD//BC,

：.NDAE=ZBCF

■:E,/是線段AC上兩動(dòng)點(diǎn)，同時(shí)分別從A,。兩點(diǎn)出發(fā)以lcm/s的速度向點(diǎn)C,A運(yùn)動(dòng)，

：.AE=CF,

在△AOE和4圓月中，

AE=CF

乙DAE=乙BCF,

AD=BC

：./\ADE^/\CBF（SAS）；

（2）解：,?,四邊形A3CZ）是平行四邊形，

：.OD=OB,OA=OC,

VAE=CF,

：.OE=OF

???四邊形DEBF為平行四邊形，

?,?當(dāng)時(shí)，四邊形。￡3月為矩形，

???0E=0D=即/C-t=泗或t-|AC=即,

X14-/=工x8或t--xl4=-x8,

2222

解得：t=3（S）或f=ll（S）,

當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間f為3秒或11秒時(shí)，四邊形。歷尸是矩形.

【變式6-1]（2022春?海陵區(qū)期末）如圖，在△ABC中，。是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)

。作直線MN,交NAC2的平分線于點(diǎn)E,交△ABC的外角NAC。的平分線于點(diǎn)E給

出下歹!j信息：?MN//BC；②OE=OC；③OF=OC.

（1）請(qǐng)?jiān)谏鲜?條信息中選擇其中一條作為條件，證明：OE=OF；

（2）在（1）的條件下，連接AE、AF,當(dāng)點(diǎn)。在邊AC上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形

【分析】（1）由平行線的性質(zhì)和角平分線定義得/OEC=NACE,ZOFC=ZACF,則

OE=OC,OF=OC,即可得出結(jié)論；

（2）先證四邊形AECF是平行四邊形，再證NECF=90°,即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）選擇MN〃BC,理由如下：

,:MN〃BC,

：.ZOEC=ZBCE,ZOFC=ZDCF,

：CE平分/ACB,C尸平分NACD,

ZBCE=ZACE,NDCF=ZACF,

：.ZOEC=ZACE,ZOFC=ZACF,

：.OE=OC,OF=OC,

：.OE=OF；

（2）當(dāng)點(diǎn)。在邊AC上運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形，理由如下：

當(dāng)。為AC的中點(diǎn)時(shí)，AO=C。，

由（1）可知，OE=OF,

四邊形AECF是平行四邊形，

平分/ACB,C/平分NACD,

:./ACE=/BCE,NACF=/DCF,

1

：.ZACE+ZACF--X18O°=90°,

2

即N￡CP=90°,

.??平行四邊形AECF是矩形.

【變式6-2］（2022春?津南區(qū)期末）已知口ABC。，對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)O（AC>8。）,

點(diǎn)、E,F分別是。4,OC上的動(dòng)點(diǎn).

（I）如圖①，若AE=CR求證：四邊形即打）是平行四邊形；

（II）如圖②，若OE=OB,OF=OD,求證：四邊形EBFD是矩形.

圖①圖②

【分析】（I）由平行四邊形的性質(zhì)得OB=O。，OA=OC,再證OE=OF,即可得出結(jié)

論；

（II）由平行四邊形的性質(zhì)得。3=。。，MiiEOE=OF=OB=OD,進(jìn)而得出結(jié)論.

【解答】證明：（I）???四邊形A2CO是平行四邊形，

：.OB=OD,OA=OC,

VA￡=CF.

：.OA-AE=OC-CF,

即OE=OF,

?：OB=OD,

...四邊形EBFD是平行四邊形；

（II）四邊形ABCD是平行四邊形，

；.OB=OD,

'：OE=OB,OF=OD,

：.OE=OF=OB=OD,

...四邊形項(xiàng)FD是平行四邊形，BD=EF,

平行四邊形EBED是矩形.

【變式6-3］（2022春?洪澤區(qū)期末）在矩形A8CD中，AB=6,BC=8,E、尸是對(duì)角線AC

上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別從A、C同時(shí)出發(fā)相向而行，速度均為每秒1個(gè)單位長度，運(yùn)動(dòng)時(shí)

間為f秒，其中OWKIO.

（1）若G、X分別是A。、BC的中點(diǎn)，則下列關(guān)于四邊形EGEF/（E、尸相遇時(shí)除外）

的判斷：①一定是平行四邊形；②一定是矩形；③一定是菱形，正確的是①；（直

接填序號(hào)，不用說理）

（2）在（1）的條件下，若四邊形EGF8為矩形，求f的值.

【分析】（1）利用三角形全等可得EG=PH,NAEG=NCFH,則EG〃網(wǎng)，即可證明;

（2）分為兩種情況，一種是四邊形EGM為矩形，另一種是PGE8為矩形，利用斯=

GH即可求解；

連接HG交AC于點(diǎn)O,

在矩形ABCO中，AD//CD,AD=CD,

：.ZDAC=ZACB,ZAGH=ZCHG,

：G、X分別是A。、BC的中點(diǎn)，

：.AG=-AD,CH=-BC,

22

：.AG=CH,

：.AAOG^/\COH(ASA),

AOG=OH,OA=OC,

由題意得：AE=CF,

：.OE=OF,

，四邊形EGFH是平行四邊形，

故①是正確得；

隨著f的增加，NEG尸由大變小，不一定是直角,

故②不一定正確；

：6平分4￡）,。平分AC,

OG//CD,

0G不是AC的垂直平分線，

；.EG與GF不一定相等，

故③不一定正確；

故答案為：①.

圖1

由（1）得AG5H,AG//BH,NB=90°,

四邊形是矩形，

：.GH=AB=6,

①如圖1,當(dāng)四邊形EG尸H是矩形時(shí)，

：.EF=GH=6,

,:AE=CF=t,

：.EF=10-2t=6,

.?/=2；

②如圖2,當(dāng)四邊形EGFH是矩形時(shí)，

GD

圖2

?：EF=GH=6,AE=CF=t,

.\EF=t+t-10=2t-10=6,

，f=8；

綜上，四邊形EGF”為矩形時(shí)f=2或f=8；

【題型7矩形中多結(jié)論問題】

【例7】（2022?綏化一模）如圖，在一張矩形紙片A8CD中48=4,BC=8,點(diǎn)、E,尸分別

在A。，8c上，將紙片ABC。沿直線EE折疊，點(diǎn)C落在上的點(diǎn)H處，點(diǎn)。落在點(diǎn)

G處，連接CE,CH.有以下四個(gè)結(jié)論：①四邊形CfWE是菱形；②CE平分/DCH；③

線段BF的取值范圍為3WB尸W4；④當(dāng)點(diǎn)X與點(diǎn)A重合時(shí)，EF=5.以上結(jié)論中，其中

正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）

【分析】①先判斷出四邊形CFHE是平行四邊形，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得然

后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明，判斷出①正確；

②根據(jù)菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角線可得NBCH=ZECH,然后求出只有ZDCE=30°

時(shí)EC平分判斷出②錯(cuò)誤；

③點(diǎn)H與點(diǎn)A重合時(shí)，設(shè)時(shí)=x,表示出AF=bC=8-x,利用勾股定理列出方程求解

得到8尸的最小值，點(diǎn)G與點(diǎn)。重合時(shí)，CF=CD,求出8F=4,然后寫出8F的取值范

圍，判斷出③正確；

④過點(diǎn)/作FMLAD于M,求出ME,再利用勾股定理列式求解得到EF,判斷出④錯(cuò)誤.

【解答】解：①〈FH馬EG,EH與b都是原來矩形ABCD的對(duì)邊A。、3C的一部分,

J.FH//CG,EH//CF,

四邊形CFHE是平行四邊形，

由翻折的性質(zhì)得，CF=FH,

四邊形CfWE是菱形，故①正確；

②：四邊形CF/花是菱形，

ZBCH=ZECH,

，只有NDCE=30°時(shí)EC平分NOC”,故②錯(cuò)誤；

③點(diǎn)”與點(diǎn)A重合時(shí)，設(shè)貝IAF=PC=8-x,

在RtZXABB中，AB2+BF2=AF2,

即42+/=（8-x）2,

解得尤=3,

點(diǎn)G與點(diǎn)。重合時(shí)，CF=CD=4,

：.BF^4,

線段BF的取值范圍為3W2FW4,故③正確;

④如圖，過點(diǎn)F作楨_LA￡>于M,

EF=y/MF2+ME2=V42+22=2而，故④錯(cuò)誤.

綜上所述，結(jié)論正確的有①③，共2個(gè).

故選：B.

【變式7-1］（2022春?南充期末）如圖，矩形A8CZ）中，M,N分別是邊AB,CD的中點(diǎn),

8P_LAN于P,CP的延長線交于Q.下列結(jié)論：①PM=CN；②PM_LCQ；③PQ=

A。；@DQ<2PN.其中結(jié)論正確的有（）

【分析】①根據(jù)直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半直接判斷即可；

②連接MC,可以判斷MC〃AN,根據(jù)已知進(jìn)一步判斷△PA/CgZXBMC,即可得出結(jié)論;

③連接M。，證得/MPQ=90°,進(jìn)一步證明RtZXMPQgRtZ^AM。，得出尸Q=A尸即可

判斷；

④取C。的中點(diǎn)E,連接EN,貝|EN〃r>Q,根據(jù)大角對(duì)大邊判斷即可.

【解答】解：如圖，

'：BP±AN^P,M是A8的中點(diǎn)，

：.PM=-AB,

2

?.?四邊形ABC。是矩形，

：.AB=CD,

：.PM=CN.

...①正確.

連接MC,則AMCN是平行四邊形，

C.MC//AN,

\'BP±AN,

C.BPLMC,

■;PM=BM,

；./1=/2,

APMC出ABMC,

：.ZMPC=ZMBC^9Q°.

...②正確.

連接M。，由(2)得NMPQ=90°,

同理RtZXPMQZRtZVUW。(HL).

：.PQ=AQ.

.?.③正確.

取C。中點(diǎn)E,連接EN,

則EN〃/)Q,ZPEN>90°>ZEPN,

：.PN>EN.

：.DQ=2EN<2PN.

...④正確.

故選：D

【變式7-2］（2022春?泉州期末）如圖，點(diǎn)尸是矩形A8CD內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)B4、PB、PC、

PD,設(shè)△P4B、APBC、APCD、△PDA的面積分別為Si、S2、S3、S4,以下四個(gè)判斷:

①當(dāng)時(shí)，B、P、D三點(diǎn)共線

②存在唯---點(diǎn)P,使B4=PB=PC=P￡>

③不存在到矩形A8CD四條邊距離都相等的點(diǎn)P

④若S1=S2,則S3=$4

其中正確的是②④.(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和三角形的面積公式進(jìn)行逐一判斷即可得出結(jié)論.

【解答】解：①當(dāng)時(shí)，根據(jù)矩形四個(gè)角都是直角，

則有NB4B+NB4r>=90°,

即NB4O+/P￡)A=90°,

根據(jù)直三角形兩個(gè)銳角互余可知：/APD為90°,

即為直角三角形，

則只有正方形ABCD且尸為中心時(shí)，

才可能8、P、。三點(diǎn)共線，故①錯(cuò)誤；

②根據(jù)矩形對(duì)角線相等且互相平分的性質(zhì)可知:存在唯一一點(diǎn)尸滿足PA=PB=PC=PD,

此時(shí)P為對(duì)角線的交點(diǎn)，故②正確；

③除非矩形ABCD是正方形，則在其內(nèi)部才存在到矩形ABCD四條邊距離都相等的點(diǎn)

P.故③錯(cuò)誤；

?/\PAB和△PCD可看作以AB和CD為底的三角形，

如圖，過P分別作PE_LAB于E,尸尸_LCD于R

則顯然有PE,尸尸在一條有線上，且滿足PE+PF=A。，

則Si+S3=|xAB'PE+^\CD'PF=^AB(PE+PF)=1AB-AD,

同理可知：s2+s4=|ADMB,

即S1+S3=S2+S4，

故若S1=S2，則S3=S4，故④正確，

綜上所述：②④正確.

故答案為：②④.

【變式7-3](2022春?興文縣期中)如圖，矩形ABC。中，AC,8。相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)B

作交C。于點(diǎn)R交AC于點(diǎn)過點(diǎn)。作。交AB于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)

N,連接FN,EM.則下列結(jié)論：①DN=BM；②EM〃FN；③DF=NF；④當(dāng)AO=AD

時(shí)，四邊形。即E是菱形.其中正確的結(jié)論是①②④.

E

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到4B=CD,AB//CD,NDAE=/BCF=9Q°,OD=OB=

OA^OC,AD=BC,AD//BC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到￡W=2M,NADE=NCBF,

故①正確；DE=BF；根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到EM〃五N,故②正確；根據(jù)平行線的性

質(zhì)得到推出而AN不一定等于MN,得到。故③錯(cuò)

誤；根據(jù)平行四邊形的判定定理得到四邊形￡(即尸是平行四邊形，根據(jù)等邊三角形的性

質(zhì)得到/A￡>O=/ZMN=60°,推出四邊形。班尸是菱形；故④正確.

【解答】解：：四邊形ABCQ是矩形，

：.AB=CD,AB//CD,ZDAE=ZBCF=90°,OD=OB=OA=OC,AD=BC,AD//BC,

：.NDAN=ZBCM,

\'BF±AC,DE//BF,

：.DE±AC,

:./DNA=NBMC=90°,

在ADNA和△BMC中，

NDAN=乙BCM

乙DNA=乙BMC,

.AD=BC

:.ADNA冬4BMC(A4S),

：.DN=BM,ZADE=ZCBF,故①正確；

在△?1￡)￡和△CBF中，

^ADE=Z.CBF

,AD=BC,

.^.DAE=/.BCF

.'.△ADE%ACBF(ASA),

:.DE=BF；

：.DE-DN=BF-BM,即NE=MF,

,SDE//BF,

四邊形NEA"'是平行四邊形，

C.EM//FN,故②正確；

???ZDNF=/DEM,

'：DC//AB,

：./FDN=/AED,

9

\AM±DEf