二次函數知識歸納與題型突破（十六類題型）

一、二次函數的定義

一般地，如果歹=a?+是常數，a’0）,那么尸叫做x的二次函數.

要點:

如果y=ax2+bx+c（a,b,c是常數，a#0）,那么y叫做x的二次函數.這里，當a=0時就不是二次函數了,

但b、c可分別為零，也可以同時都為零.a的絕對值越大，拋物線的開口越小.

二、二次函數的圖象與性質

1.二次函數由特殊到一般，可分為以下幾種形式：

①尸二a—；②a=ax'+上；③1y=a（x-力尸；@y=A）2+上,

其中方=一±.,k=――——；@y=ax3（以上式子#0）

2a4a

幾種特殊的二次函數的圖象特征如下：

函數解析式開口方向對稱軸頂點坐標

y=/x=0（尸軸）（0,0）

y=axax=0（>軸）（0,乃

+k當a>0時

y=a（x-A）2開口向上x=h（兒0）

當a<0時

x=h（卜,k）

開口向下

bbAac-b2

1y=ax'+bx+cX=——

2a（2a4a）

2.拋物線的三要素：

開口方向、對稱軸、頂點.

（i）a的符號決定拋物線的開口方向：當°>0時，開口向上；當。<0時，開口向下；同相等，拋物

線的開口大小、形狀相同.

（2）平行于尸軸（或重合）的直線記作x=A.特別地，y軸記作直線x=0.

3.拋物線y=ox?++<?（■（））中，a,A,c的作用：

（l）a決定開口方向及開口大小，這與尸二中的。完全一樣.

（2）6和a共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線），=口”十K十二的對稱軸是直線刀=—,

2a

故：①8=0時，對稱軸為V軸；②勺>0（即a、力同號）時，對稱軸在，?'軸左側；③士<0（即a、

aa

b異號）時，對稱軸在y軸右側.

（3”的大小決定拋物線），=ax'十方不+c與尸軸交點的位置.

當X=0時，>:C',拋物線y=口/+5x+「:與軸有且只有一個交點（0,C）：

①c=o,拋物線經過原點；②c>o,與）?’軸交于正半軸；③c<o,與y軸交于負半軸.

以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在了軸右側，則-<0.

4.用待定系數法求二次函數的解析式：

（1）一般式：y=dJ++c（a^O）.已知圖象上三點或三對X、了的值，通常選擇一般式.

(2)頂點式：y=a(x-A)a+Ar(a/)).已知圖象的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式.

(可以看成y=a?的圖象平移后所對應的函數.)

(3)“交點式”：已知圖象與I軸的交點坐標xr通常選用交點式：

be

y=，Xj)(K-xj(a/)).(由此得根與系數的關系：xt+.xtx2=-).

aa

要點：

求拋物線＞="2+區+。(a￥0)的對稱軸和頂點坐標通常用三種方法：配方法、公式法、代入法，這

三種方法都有各自的優缺點，應根據實際靈活選擇和運用.

三、二次函數與一元二次方程的關系

函數尸=ax'+bx+c(aw0),當尸=0時，得到一元二次方程ax"+bx+c=0(aw0),那么一元二

次方程的解就是二次函數的圖象與x軸交點的橫坐標，因此二次函數圖象與X軸的交點情況決定一元二次

方程根的情況.

(1)當二次函數的圖象與x軸有兩個交點，這時&=*一4卬＞o,則方程有兩個不相等實根；

(2)當二次函數的圖象與x軸有且只有一個交點，這時&=/-4此=0,則方程有兩個相等實根；

(3)當二次函數的圖象與x軸沒有交點，這時&=6)-4叱＜0,則方程沒有實根.

通過下面表格可以直觀地觀察到二次函數圖象和一元二次方程的關系：

要點:

二次函數圖象與x軸的交點的個數由的值來確定.

(1)當二次函數的圖象與X軸有兩個交點，這時△=/-4">0,則方程有兩個不相等實根；

(2)當二次函數的圖象與X軸有且只有一個交點，這時△=2'-4"=0,則方程有兩個相等實根；

(3)當二次函數的圖象與X軸沒有交點，這時紀<0,則方程沒有實根.

四、利用二次函數解決實際問題

利用二次函數解決實際問題，要建立數學模型，即把實際問題轉化為二次函數問題，利用題中存在的

公式、內含的規律等相等關系，建立函數關系式，再利用函數的圖象及性質去研究問題.在研究實際問題時

要注意自變量的取值范圍應具有實際意義.

利用二次函數解決實際問題的一般步驟是：

(1)建立適當的平面直角坐標系；

(2)把實際問題中的一些數據與點的坐標聯系起來；

(3)用待定系數法求出拋物線的關系式；

(4)利用二次函數的圖象及其性質去分析問題、解決問題.

要點：

常見的問題：求最大(小)值(如求最大利潤、最大面積、最小周長等)、涵洞、橋梁、拋物體、拋物線的

模型問題等.解決這些實際問題關鍵是找等量關系，把實際問題轉化為函數問題，列出相關的函數關系式.

03題型歸納

題型一二次函數的有關概念及應用

例題

2

1.在函數y=-3x2+2x+l,y=—x+5,y=——3,y=x2+x+l,y=(x-59)—x?中，以x為自變量的二次函

x

數有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】根據二次函數的定義進行選擇即可.

2

【解析】解：y=-3x2+2x+l是二次函數：y=-x+5是一次函數；y=--3是反比例函數；y=x2+x+l

x

是二次函數；y=(x-5)2-X?一次函數.故有兩個是二次函數.

故選B.

【點睛】本題考查了二次函數的定義，解題關鍵是掌握一次函數與二次函數的定義條件：

(1)一次函數丫=1?+1)的定義條件是：k、b為常數，*0,自變量次數為1；

（2）二次函數丫=a*2+5*+（:的定義條件是：a、b、c為常數，a#）,自變量最高次數為2.

鞏固訓練

2.在二次函數y=2x2-3x+l中，二次項系數與一次項系數的和是.

【答案】-1

【分析】本題主要考查了二次函數的定義，根據二次函數的定義：一般地，形如）=。/+云+。（a、b、c

是常數，。中0）的函數，叫作二次函數.其中x、y是變量，a、b、c是常量，。是二次項系數，方是一次

項系數，c是常數項；

由題意可得二次項系數是2,常數項是-3,再求和即可.

【解析】解：在二次函數y=2x?-3x+l中，

二次項系數為2,一次項次數為-3,

二二次項系數與一次項系數的和是：2+（-3）=-1,

故答案為：-1.

3.若函數y=（m-3）/H+5是關于x的二次函數，則加=（）

A.-3B.3C.3或-3D.2

【答案】A

【分析】根據二次函數的定義進行求解即可.

【解析】解：\?函數y=（加-3）”1+5是關于x的二次函數，

［加一3w0'

m=—3,

故選A.

【點睛】本題主要考查了二次函數的定義，熟知形如了="2+版+。（。*0）的函數是二次函數是解題的關鍵.

4.如果二次函數了=（。+2）/+%+/-4的圖像經過原點，那么。=.

【答案】2

【分析】直接把原點坐標代入二次函數解析式中進行求解即可.

【解析】解：???二次函數尸（。+2*+》+02-4的圖像經過原點，

J。+2w0

2，

*'[6Z-4=0

:?Q=2,

故答案為：2.

【點睛】本題主要考查了二次函數的定義，待定系數法求二次函數解析式，熟知二次函數圖象上的點一定

滿足二次函數解析式是解題的關鍵.

題型二求二次函數的解析式

例題

5.已知二次函數圖象經過點(-1,0),(1,-8)和(3,0),則它的解析式為.

【答案】y=2x2-4x-6

【分析】設交點式解析式y=a(x+l)(x-3),然后把點(1,-8)代入求出a的值即可.

【解析】解：設拋物線解析式尸a(x+l)(x-3),

點(1,-8)代入得，a(l+l)(l-3)=-8,

解得a=2,

所以，y=2(x+l)(x-3)=2x2-4x-6,

故答案為y=2x2-4x-6,

【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數解析式，二次函數的性質，設交點式解析式求解更簡便.

鞏固訓練

6.頂點是(2,0),且與拋物線了=-3/的形狀、開口方向都相同的拋物線的解析式為.

【答案】尸一3(》-2)2/〉=一3/+12》-12

【分析】由于已知頂點坐標，則可設頂點式y=a(x-2)2,然后根據二次項系數的意義得到a=-3,從而

確定所求拋物線的解析式.

【解析】解：?.?拋物線的頂點是(2,0),

設所求的拋物線解析式為y=a(x-2)2,

?.?拋物線y=a(x-2)2與拋物線y=-3/的形狀相同，開口方向相同，

.\a=-3,

該拋物線的解析式為y=-3(x-2)2.

故答案為：y=-3(x-2)2.

【點睛】此題考查二次函數的性質，待定系數法求函數解析式，掌握二次函數的頂點式是解決問題的關鍵.

7.請你寫出一個二次函數，其圖象滿足條件：①開口向下；②與y軸的交點坐標為（0,3）.此二次函數的解

析式可以是.

【答案】y=-x2+3（答案不唯一）

【分析】根據二次函數的性質可得出a<0,利用二次函數圖象上點的坐標特征可得出c=3,取。=-1,b=0

即可得出結論.

【解析】解：設二次函數的解析式為了="2+加+5

???拋物線開口向下，

6Z<0.

V拋物線與y軸的交點坐標為（0,3）,

c=3.取a=-l,6=0時，二次函數的解析式為>=一》2+3.

故答案為：）=-/+3（答案不唯一）.

【點睛】本題考查了二次函數的性質以及二次函數圖象上點的坐標特征，利用二次函數的性質及二次函數

圖象上點的坐標特征，找出。<0,c=3是解題的關鍵.

題型三二次函數圖像的平移

例題

8.將拋物線了=彳/向左平移3個單位，再向上平移1個單位后，所得拋物線解析式為（）

1111

A.y=-（x+3）2+lB,y=-（x-3）2+lC.y=-（x-3）2+lD,y=-（x-3）2-l

【答案】A

【分析】根據向左平移橫坐標減，向上平移縱坐標加求出平移后的拋物線的頂點坐標，然后利用頂點式解

析式寫出即可.

【解析】解：：拋物線，向左平移3單位，再向上平移1個單位，

二所得的拋物線的頂點坐標為（一3,1）,

二所得的拋物線解析式為G+3）2+1.

故選：A.

【點睛】本題考查了二次函數圖象與幾何變換，平移的規律：左加右減，上加下減，此類題目，利用頂點

的變化求解更簡便.

鞏固訓練

9.把拋物線y=6(x+1)2平移后得到拋物線y=6x2,平移的方法可以是()

A.沿y軸向上平移1個單位B.沿y軸向下平移1個單位

C.沿x軸向左平移1個單位D.沿x軸向右平移1個單位

【答案】D

【分析】根據二次函數圖象的平移規律進行解答.

【解析】解：,.'y=6x2=6(x+1-1)2,

二拋物線y=6x2可由y=6(x+1)2沿x軸向右平移1個單位得出；

故選D.

【點睛】主要考查了函數圖象的平移，要求熟練掌握平移的規律：左加右減，上加下減.

10.將拋物線y=(x+l『+l平移，使平移后得到拋物線y=/+6x+6.則需將原拋物線()

A.先向右平移1個單位長度，再向上平移5個單位長度

B.先向右平移2個單位長度，再向上平移4個單位長度

C.先向左平移1個單位長度，再向上平移5個單位長度

D.先向左平移2個單位長度，再向下平移4個單位長度

【答案】D

【分析】本題考查了二次函數圖象與幾何變換.求得兩個拋物線的頂點坐標，根據頂點坐標的平移規律得

到拋物線的平移規律.

【解析】解：拋物線y=(x+l『+l的頂點坐標是(-1,1),

拋物線y=/+6x+6=(x+3)2-3的頂點坐標是(一3,-3),

所以將點(T，l)向左平移2個單位長度，再向下平移4個單位長度，得到點(-3,-3).

所以需要將原拋物線先向左平移2個單位長度，再向下平移4個單位長度得到拋物線丁=/+6X+6.

故選：D.

題型四填二次函數的頂點、對稱軸等

例題

11.拋物線尸-(X+if的開口,對稱軸是,頂點坐標是.

【答案】向下直線x=-l(-1,0)

【分析】本題考查了二次函數圖象的性質，掌握了=OX?的圖象的性質是解題的關鍵.根據二次函數解析式

j=-(x+l)2,根據a=T<0可知開口朝下，對稱軸為直線X=-1,頂點坐標為(-1,0)

【解析】解：,??二次函數解析式y=-(x+l)2,

a=—\<0

開口朝下，對稱軸為直線x=T,頂點坐標為(-1,0).

故答案為：向下；直線x=T；(-1,0).

鞏固訓練

12.拋物線歹=2/+區+。經過/(0,2)和8(-3,2)兩點，則該拋物線的對稱軸為直線.

【答案】x=-1

【分析】本題主要考查了二次函數的對稱性，根據48兩點的縱坐標相同可知48兩點關于對稱軸對稱,

據此即可求出答案，熟練掌握利用二次函數的對稱性求解函數的對稱軸是解題的關鍵.

【解析】解：：拋物線尸2-+及+°經過/(0,2)和3(-3,2)兩點,

43兩點的縱坐標相同，

,該拋物線的對稱軸為直線x=力㈢=

22

3

故答案為：x=--.

13.拋物線^=-(》-1『+3的頂點坐標是；與y軸的交點坐標是.

【答案】(1,3)(0,2)

【分析】本題考查了二次函數頂點式>=。(》-〃)2+左的頂點坐標為他,左)，和與y軸的交點坐標.根據頂點

式求出頂點坐標，令x=0求出y的值，即可求出拋物線與y軸的交點坐標.

【解析】解：拋物線y=-(x-iy+3頂點坐標是。,3)；

令x=0,J；=-(O-1)2+3=-1+3=2

...與了軸的交點坐標是(0,2).

故答案為：(1,3),(0,2).

題型五特殊二次函數的圖像和性質

例題

14.拋物線JV=2x\y=-2/,了=萬工2共有的性質是（）

A.開口向下B.對稱軸是了軸C.都有最高點D.>隨x的增大而增大

【答案】B

【分析】此題考查了二次函數的圖像與性質，根據選項可對每條拋物線從開口方向、對稱軸、最值、增減

性幾個方面進行分析確定共同的特點即可.

【解析】解：拋物線丁=2一開口向上，對稱軸為了軸，有最低點，頂點為原點；

拋物線y=-2/開口向下，對稱軸為了軸，有最高點，頂點為原點；

拋物線y=3,開口向上，對稱軸為y軸，有最低點，頂點為原點；

所以拋物線了=2x2,7=-2X2,>=；/共有的性質為對稱軸是y軸，而所有拋物線在沒有限定自變量的取

值范圍時，增減性都不一致，故D不正確.

故選：B.

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15.關于二次函數j=3x?+6的圖象，下列結論不正確的是（）

A.開口向上B.當x<0時，了隨x的增大而減小

C.對稱軸是直線--1D.拋物線頂點（0,6）

【答案】C

【分析】本題考查二次函數的圖象與性質，根據二次函數的性質可進行求解，熟練掌握二次函數的圖象與

性質是解題的關鍵.

【解析】解：A、因為。=3>0,所以拋物線開口向上，故A正確，不符合題意；

B、因為拋物線的對稱軸為直線x=0,拋物線開口向上，所以，故B正確，不符合題意；

C、拋物線的對稱軸為直線x=O,故C錯誤，符合題意；

D、因為拋物線的對稱軸為直線x=0,當x=O時，>=6,所以，故D正確，不符合題意；

故選：C.

16.由二次函數j=2（x-l/+3可知（）

A.函數圖象的開口向下B.函數圖象的對稱軸為直線x=3

C.函數最小值為3D.y隨X的增大而減小

【答案】c

【分析】

根據二次函數頂點式可以得到。=2>0,判斷A錯誤;對稱軸是直線x=1,判斷B錯誤;頂點坐標為(1,3),

其最小值為3,判斷C正確；且知道當x<l時，了隨x的增大而減小，判斷D錯誤.

【解析】

解：A、,?,二次函數y=2(x-iy+3中，。=2>0,

,其圖象的開口向上，故本選項錯誤；

B、???二次函數的解析式是丫=2g-加+3,

??.其圖象的對稱軸是直線x=l,故本選項錯誤；

C、???由函數解析式可知其頂點坐標為(1,3),

其最小值為3,故本選項正確；

D、???二次函數的圖象開口向上，對稱軸是直線x=l,

???當x<l時，'隨x的增大而減小，故本選項錯誤；

故選：C.

【點睛】

本題考查的是二次函數頂點式的性質，熟知二次函數的頂點式是解答此題的關鍵.

17.二次函數丁="x+2)2+c(a<0)圖象上有兩點/(T,加)與，，則加n.(選填〉、〈或

=)

【答案】>

【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質.熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題的關鍵.

由題意知，函數圖象開口向下，對稱軸為直線x=-2,當x>-2時，了隨x的增大而減小，然后判斷作答即

可.

【解析】解：*.,y=a(x+2y+c(a<0),

.?.圖象開口向下，對稱軸為直線尤=-2,當x>-2時，y隨x的增大而減小，

V-2<-1<-,

2

：.m>n,

故答案為：>.

18.已知二次函數)=-(》-1)2+2,當x>；加時，y隨著X的增大而減小，則7〃的取值范圍為.

【答案】機N2

【分析】本題考查二次函數的性質，解答本題的關鍵是根據二次函數y=-（x-l>+2,當時，了隨

著x的增大而減小，可以得到然后求解即可.

【解析】解：???二次函數昨-（x-iy+2,

...開口向下，對稱軸為直線龍=1,

.,.當X>1時，了隨X的增大而減小，

?.?當加時，了隨著x的增大而減小，

/.—m>1,

2

解得加22,

故答案為：加22.

題型六二次函數歹二辦之的圖像和性質

例題

19.二次函數y=3x2+2x的圖象的對稱軸為（）

11

A.x=-2B.x=-3C.x=—D.x=—

23

【答案】D

【分析】利用對稱軸公式求解即可

【解析】Vy=3x2+2x

..x=--b=--2-=—1

2a2x33

故選D

鞏固訓練

19.對二次函數y=；/+4x+3的性質描述正確的是（）

A.函數圖象開口朝下

B.當x<0時，了隨x的增大而減小

c.該函數圖象與了軸的交點位于了軸負半軸

D.該函數圖象的對稱軸在V軸左側

【答案】D

【分析】本題考查了二次函數圖象的性質，熟悉二次函數對稱軸、頂點、與X軸（y軸）交點是解決此類題

的關鍵.

y=1x2+4x+3=1（x+4）2-5,可判斷其開口方向向上，對稱軸為直線x=-4,x<-4時了隨x的增大而減

小，令x=0,得y=3,拋物線與了軸交于點（0,3）,分別判斷即可.

【解析】解：A.開口向上，故不符合題意；

B.因y=；x2+4x+3=g（x+4）2-5開口向上，對稱軸為直線x=-4,x<-4時了隨x的增大而減小，故不

符合題意；

C.當x=0時，y=3,即與，軸交點為（0,3）在了軸正半軸，故不符合題意；

D.^=；/+以+3對稱軸為直線工=-4,在了軸左側，故符合題意；

故選：D.

20.已知二次函數了=辦2-2依-3（°<0）均過點（-1,%）、（2,%）、（4%）,則%，％,為三者之間的大小

關系是（）

A.%<%<%B.%<%<%C.%<%<%D.y2<y,<y3

【答案】c

【分析】本題主要考查對二次函數圖象上點的坐標特征，求出拋物線的開口方向和對稱軸，求出點（-1,%）

關于對稱軸的對稱點的坐標，根據拋物線的增減性，即可求出答案.

【解析】解：,；了="2-2辦-3（。<0）,

拋物線開口向下，對稱軸是直線

二對稱軸的右側y隨x的增大而減小，

?.?二次函數了=辦2-2如一3（。<0）均過點（一1,%）、（2,%）、（4,%）,

.??點（T/J關于直線x=l的對稱點是（3,必）在函數的圖象上，

1<2<3<4,

；?%>%>%，即%<%<%，

故選：C.

21.如圖，二次函數〉=如2+》-12的圖象與x軸交于/（-4,0）,8兩點，下列說法正確的是（）

A.拋物線的對稱軸為直線x=lB.拋物線的頂點坐標為，g,-12]

C.A,8兩點之間的距離為7D.當x<-l時，了的值隨x值的增大而增大

【答案】c

【分析】待定系數法求得二次函數解析式，進而逐項分析判斷即可求解.

【解析】解：：二次函數）="2+》-12的圖象與X軸交于/（-4,0）,8兩點，

Z.0=16a-4-12,

??6Z—1,

???二次函數解析式為y=X2+X—12=1X+〈）一個，

1（149、

???對稱軸為直線頂點坐標為-不-不，故A,B選項不正確，不符合題意；

2I24J

?.?。=1>0,拋物線開口向上，當工〉-；時，V的值隨工值的增大而增大，故D選項不正確，不符合題意;

當丁二°時，x2+x-12=0,

解得再=-4,x2-3,

.?.3（3,0）,

/.AB=7,故C選項正確，符合題意；

故選：C.

【點睛】本題考查了二次函數的性質，待定系數法求二次函數解析式，拋物線與坐標軸的交點，熟練掌握

二次函數的性質是解題的關鍵.

題型七根據二次函數的圖像判斷參數的符號

例題

23.二次函數了=如2+為+<?（。#0）的圖像如圖所示，下列結論中正確的是（）.

X

A.ci>0,b>0,c<0B.a>0,b<0,c<0C.ci>0,b>0,c>0

D.a<0,b>0,c<0

【答案】A

【分析】首先根據二次函數圖象的開口方向確定”0,再根據對稱軸在y軸右，可確定。與6異號，然后再

根據二次函數與y軸的交點可以確定c>o.

【解析】解：.??拋物線開口向上，

二.Q〉0,

???對稱軸在歹軸左側，

二?。與6同號，

b>0,

拋物線與V軸交于負半軸，

c<0,

故選：A.

【點睛】此題主要考查了二次函數圖象與系數的關系，關鍵是掌握二次函數歹="2+區+°（〃工0）,①二次

項系數。決定拋物線的開口方向和大小.當Q>o時，拋物線向上開口；當即0時，拋物線向下開口.②一

次項系數b和二次項系數。共同決定對稱軸的位置.當a與b同號時（即成>0）,對稱軸在V軸左；當。與

b異號時（即而<0）,對稱軸在了軸右.（簡稱：左同右異）③.常數項。決定拋物線與了軸交點.拋物線

與y軸交于（o，c）.

鞏固訓練

24.已知拋物線〉="2+加+*加）的圖象如圖所示，則下列結論①a6c<0,②a+6+c=2,③④0<

6<1中正確的有（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

【答案】B

【分析】根據拋物線的開口方向可以判斷a與0的關系，由拋物線與y軸交點判斷c與0的關系，然后根據

對稱軸以及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而得到結論.

【解析】解：：拋物線的開口向上，...a〉。

當x=0時，可得c<0,

:對稱軸x=--<0,

2a

.,.a>b同號，即6>0,

.".abc<0,故①正確；

當x=l時，即a+b+c=2

故②正確；

當x=-l時，a-6+cvO,

又a+b+c=2,

a+c=2-b,

將上式代入a-/?+c<0,

BP2-2b<0,

b>l.

故④錯誤；

*.*對稱軸x—-->—1,

2a

解得|<a,

因為b>l,

.a>l

2

故③正確.

故選B.

【點睛】本題是二次函數圖像的綜合題型，掌握二次函數的定義，對稱軸等相關知識是解題的關鍵，是中

考的必考點.

25.已知二次函數歹="2+云+4。*0）的圖象如圖所示，則下列結論

@abc<0；@b2-4ac>0;?a-b+c<0；④當-l<x<3時，y>0；⑤2a+6>0中正確的是（

A.①②③B.①②④⑤C.①③④D.①②④

【答案】D

【分析】本題考查二次函數的圖象和性質,需要具備一定的數形結合分析能力，理解拋物線的解析式中參

數a,b,c對圖象的影響，綜合拋物線的開口方向，對稱軸的位置，函數圖象與y軸的交點位置，與x軸的

交點個數，以及函數圖象中一些特殊的值，即可判斷各個選項.解題的關鍵是觀察拋物線與兩條坐標軸的

交點位置、交點個數以及對稱軸的位置.

【解析】解：因為拋物線開口向下，

所以。<0;

因為對稱軸在y軸右側，

所以6>0；

因為拋物線與y軸交于正半軸，

所以c>0,

故abc<0,故①正確；

因為拋物線與x軸有兩個交點，

所以/一4℃>0,故②正確；

因為當x=-l時，y=a-b+c=0,故③錯誤；

因為在-l<x<3這個范圍內，拋物線在x軸上方，故>>0,故④正確;

因為對稱軸為x=l,即;^=1,

解得2。+6=0,故⑤錯誤.

故選：D.

題型八二次函數的對稱性及應用

例題

26.若拋物線〉=/+云+,經過/（-2,6）,以8,6）兩點，則拋物線的對稱軸經過的點的坐標是（）

A.（7,0）B.（3,0）C.（1,0）D.（-1,0）

【答案】B

【分析】本題考查了二次函數的性質；根據縱坐標相等的兩個點關于對稱軸對稱軸，即可求得對稱軸為直

線無=3,進而即可求解.

【解析】解：???拋物線了=經過/（-2,6）,虱8,6）兩點，

對稱軸為直線》=三亞=3,

故選：B.

鞏固訓練

27.已知二次函數y=a/+bx+c（。<0）的圖象與x軸的一個交點坐標為（-1,0）,對稱軸為直線x=l,

方程辦2+6x+c+l=0的兩實數根為占，x2,若占<%2，則（）

A.-1<為<2<3B.1<X）<x2<3

C.Xj<-3,X2>1D.<-l,x2>3

【答案】D

【分析】本題主要考查二次函數的圖象與性質，熟練掌握二次函數的圖象與性質是解題的關鍵；根據題意

可簡略畫出二次函數的圖象，然后根據二次函數的圖象可進行求解.

【解析】解：：二次函數y=a/+6x+c（?<0）的圖象與x軸的一個交點坐標為（-1,。），對稱軸為直線

X=],

...該圖象與X軸的一個交點坐標為（2x1+1,0）,即（3,0）,

由方程辦2+/+0+1=0（即辦2+云+°=-1）的兩個根占，/可把它看作直線>=T與二次函數

y=af+6x+c的交點的橫坐標，大致圖象如圖所示:

.,.由圖象可知：%!<-1,X2>3;

故選D.

28.已知拋物線>=。/+奴+加是由拋物線、=一/+2x+2先關于了軸作軸對稱圖形，再將所得的圖象向下平移

3個單位長度得到的，點。［(-2.5,%)、2(10)都在拋物線？=爾+陵+加上，則%,%的大小關系是()

A.B./=%C.%<%D.不能確定

【答案】A

【分析】本題主要考查了二次函數與幾何變換，根據關于了軸對稱的拋物線形狀相同、頂點橫坐標互為相

反數、縱坐標相同得出軸對稱的拋物線，再得出平移后的拋物線的解析式，分別求出小、%的值，即可得

出答案.解題的關鍵是根據軸對稱的性質和平移的規律得出新拋物線的解析式.

【解析1'-4y——x2+2x+2=-(x-1)2+3,

；?拋物線>=*+2x+2的頂點為(1,3),

???拋物線>=+2x+2先作關于J軸的軸對稱拋物線的頂點為(-L3),再向下平移3個單位長度頂點為

(-1,0),

拋物線尸?2+bx+m的解析式為y=-(X+1)2,

點。1(-2.5必)、。式1必)都在物線V=儂2+樂+，”上,

,o,

-

Qi=-(2.5+1)-=--,q2=-(1+1)=-4,

外>的，

故選：A.

題型九二次函數的最值

例題

29.已知二次函數的圖象（-3Vx（0）如圖.關于該函數在所給自變量的取值范圍內，下列說法正確的是

A.有最大值1,有最小值-2B.無最大值，有最小值—2

C.無最大值，有最小值-3D.有最大值1,有最小值-3

【答案】D

【分析】直接根據函數圖象即可得出結論.

【解析】解：由函數圖象可知，當x=T時，y最小=-3；當》=-3時，％大=1.

故選：D.

【點睛】本題考查的是二次函數的圖像和最值，能根據x的取值范圍利用數形結合求解是解答此題的關鍵.

鞏固訓練

30.在平面直角坐標系中，二次函數了=/+機x+/+機（加為常數）的圖象經過點（0,6）,其對稱軸在V

軸的右側，該二次函數有（）

A.最小值與B.最小值5C.最大值：D.最大值5

44

【答案】A

【分析】本題考查了二次函數的圖象與性質，掌握根據“二次函數了="2+區+°（。*0）的最值：若自變量x

的取值范圍是全體實數，則當。＞0時，拋物線開口向上，有最低點，當x=時，函數取得最小值

2a

絲盤”求解是解題的關鍵.

4a

【解析】解：二?二次函數＞=/+妙+加2+加（冽為常數）的圖象經過點（0,6）,

.?.m7+m=oz-9

解得：加=一3或機=2,

?對稱軸在y軸的右側，

m八

---->0,

2

解得：m<0,

m=—3,

...二次函數了=『-3x+6,

該二次函數圖象開口向上，有最小值二4*:6—9二:1,5

44

故選：A.

31.已知拋物線吊=x2-2F（-lVmV2）經過點N（pj）和點5（p+2,f）,則」的最小值是（）

A.-3B.-1C.0D.1

【答案】A

【分析】本題考查了二次函數的對稱性和增減性，根據拋物線的對稱軸以及對稱軸公式確定。+1=%,即可

得到P="L1,由拋物線<二』-27nx（-14=42）經過點4（./）和點8（0+2#得到

t=p2-Imp=（w-iy-2m（m-l）=-m2+1,結合-1<m<2即可確定/的最小值.

【解析】解：：拋物線>=x2-2加x,

拋物線的對稱軸為直線x=-3=加，

?.?拋物線夕=/-2用（-14〃叱2）經過點/（0,。和點3（0+2,。，

.,.點2（0,，）和點3（。+2,。關于對稱軸對稱，/=02一2如，

.p+p+2口口1

..-----------=m,即2+1=冽,

/.p=m-\,

t=——2m（加一l）=-m2+1,

V-1<m<2,

???加=2時,，有最小值為：-4+l=-3.

故選：A.

題型十二次函數與一次函數、反比例函數

例題

32.在同一平面直角坐標系中，二次函數歹=Q/—2%+〃2和一次函數>。的圖象大致是（）

【答案】B

【分析】利用拋物線的開口方向與對稱軸的位置、一次函數的增減性判斷系數a是否存在矛盾即可.

【解析】A、從圖示來看了="2-2力+02的圖象開口向上，貝。。＞0,但止匕時一次函數了=姓-。因y隨x的

增大而減小，則。＜0,兩者相矛盾，故A不符合題意；

B、從圖示來看了="2-2工+/的圖象開口向上，則。＞0,此時一次函數V=辦-。因了隨x的增大而增大,

則a＞0,兩者相吻合，故B符合題意；

C、從圖示來看了=辦2-2》+/的圖象開口向下，則。＜0,但此時一次函數＞=辦-。因了隨x的增大而增

大，則a＞0,兩者相矛盾，故C不符合題意；

D、從圖示來看，拋物線＞=G2-2X+/的對稱軸在y軸的右側，則-=＞°，得出這與拋物線的開

口向下（。＜0）自相矛盾，故D不符合題意；

故選：B.

【點睛】本題考查了二次函數與一次函數的圖象及性質，解題的關鍵是分析函數圖像與函數解析式系數之

間的關系.

鞏固訓練

33.拋物線y=x?+l與雙曲線y=*的交點A的橫坐標為1,則不等式的解集為.

XX

【答案】0<x<l

【分析】根據函數圖象直接可得結論.

【解析】解：???拋物線了=x?+l與雙曲線>="的交點A的橫坐標為1,

X

k

：.->x2+l的解集為0cx<1,

X

即不等式?-/一1>0的解集為0<x<i,

X

故答案為：0<x<l.

【點睛】本題考查了根據函數圖象交點求不等式的解集，數形結合是解題的關鍵.

題型十一二次函數與一元二次方程

例題

34.若關于x的一元二次方程N+bx+c=0的兩個根分別為x/=-1,與=2,那么拋物線y=N+bx+c的對稱軸為

直線()

A.x=一1B.x=2

11

C.x=-D.x=—

22

【答案】C

【分析】根據方程的兩根即可得出拋物線與X軸的兩個交點坐標，再利用拋物線的對稱性即可得出拋物線

的對稱軸.

【解析】解：方程N+fcv+c=0的兩個根分別為x/=-1,X2=2,

...拋物線12+小。與*軸的交點坐標為(J,0)、(2,0),

拋物線y=x2+bx+c的對稱軸為直線x=子-1+2=51，

故選:C

【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點以及二次函數的性質，根據拋物線與x軸的交點橫坐標找出拋物

線的對稱軸是解題的關鍵.

鞏固訓練

35.已知函數了=(%-2)/一3無+；的圖像與x軸只有一個交點，則加的值為.

【答案】2或11

【分析】本題考查二次函數與x軸的交點問題，熟記二次函數與無軸的交點個數與判別式A的關系，由題中

交點個數為1得到A=0,列方程求解即可得到答案，數形結合，靈活運用二次函數圖像與性質是解決問題

的關鍵，注意系數的討論.

【解析】解：①當冽-2=0,即旭=2時，函數為了=-3芯+]是一條直線，與x軸只有一個交點，

②當％-220,即〃z*2時，令歹=0,貝!]0=(加一2)/-3x+；,

,/函數圖像與x軸只有一個交點，

,1

AA=(-3)--4x-(m-2)=0,解得爪=11,

綜上所述，加的值為2或11,

故答案為：2或11.

36.拋物線＞=/+4》-5與x軸相交于A、8兩點，其頂點為M,將此拋物線在x軸下方的部分沿x軸翻

折，其余部分保持不變，如圖得到一個新的圖象.現有直線了=》+加與該新圖象有四個交點，則〃7的取值

4444

【答案】B

【分析】首先根據解析式求與x軸交點A、5的坐標，確定翻折后二次函數的解析式，求直線y=x+加過邊

界點時對應的加的值，并求直線與新拋物線相切時的加值，繼而得出加的取值范圍.

【解析】解：當＞=0時，y=x2+4x-5=0,

(x+5)(x-l)=0,

x=-5或x=1,

.?.4-5,0),5(1,0),

"：y=x2+4x-5=(x+2)2-9,

???沿x軸翻折后所得拋物線的解析式為了=一(》+2『+9,

如圖，作直線了=工，分別過A作直線^=》的平行線40交了軸于點。，作直線E尸平行于^=》，且與拋物

線了=-(x+2y+9有唯一的公共點尸，設直線AD：y=x+b,直線￡■尸：y^x+n,

*.*歹=%+b過A(—5,0),

A-5+6=0,

:?b=5,

J直線40：y=x+5,

y=x+"與拋物線y=-(x+2『+9有唯一的公共點廠，

x+7?=-(x+2)+9即x?+5x+〃-5=0,

A=52-4(?-5)-0,

解得”=”45，

4

45

二直線E尸:y=x+—,

4

45

結合圖形可得直線y=x+a與該新圖象有四個交點，則加的取值范圍為5〈加〈二，

4

故選：B

【點睛】本題考查了一元二次方程與拋物線的關系，待定系數法求一次函數的解析式，拋物線與x軸的交

點和幾何變換問題以及直線的平移，熟練掌握待定系數法求一次函數的解析式以及二次函數的性質是解題

的關鍵.

題型十二圖表數據題

例題

37.已知二次函數y=a/+bx+c中，V與x的部分對應值如下表，則下列結論正確的是()

X-10234

50-4-30

A.圖象開口向下B.拋物線對稱軸是直線x=2

C.當0〈尤<4時，y>0D.當x>2時，V隨x的增大而減小

【答案】B

【分析】本題考查了二次函數的性質，根據二次函數的對稱性求出對稱軸是解題的關鍵，利用表中的對應

值和拋物線的對稱性得到拋物線的對稱軸為直線x=號=2,根據表中數據進而判斷開口方向以及增減性

即可.

【解析】由圖可知，x=0和x=4對應的函數值相等，

拋物線對稱軸是直線工=歹=2,此時拋物線有最小值，故B正確，

拋物線開口向上，故A錯誤，

由圖可知，當0〈尤<4時，y<0,故C錯誤，

當x>2時，了隨x的增大而增大，故D錯誤，

故選：B.

鞏固訓練

38.已知二次函數了=辦2+加+<?的y與x的部分對應值如表:

X-i024

y-i22-6

下列結論錯誤的是（）

A.該函數有最大值B.該函數圖象的對稱軸為直線x=l

C.當x>2時，函數值>隨x增大而減小D.方程辦2+6x+c=0有一個根大于3

【答案】D

【分析】本題考查二次函數的性質、二次函數圖象上坐標點的特征，解答本題的關鍵是明確題意，利用二

次函數的性質解答；根據表格中的數據和二次函數的性質，可以判斷各個選項中的說法是否正確，本題得

以解決.

【解析】解：A、由表格中的數據可得，該函數有最大值，故選項正確，不符合題意；

B、該函數圖象的對稱軸為直線》=等=