空間幾何解答題鞏固練習(xí)一1．（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，四棱錐中，，，，，與交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作平行于平面的平面.

(1)若平面分別交，于點(diǎn)，，求的周長(zhǎng)；(2)當(dāng)時(shí)，求平面與平面夾角的正弦值.【答案】(1)4；(2).【解析】（1）由題意可知，四邊形是直角梯形，∴與相似，又，∴，，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)作平行于平面的面分別交，于點(diǎn)，，即平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，由面面平行的性質(zhì)定理得，，，所以與相似，相似比為，即，因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為6，所以的周長(zhǎng)為.

（2）∵平面平面，∴平面與平面的夾角與平面與平面的夾角相等，∵，，，∴，∴，又，，平面，∴平面，平面，∴平面平面，取的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈冗吶切危啵矫嫫矫妫矫妫嗥矫妫渣c(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，過(guò)點(diǎn)與平行的直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，即，取，則，∵平面，∴是平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以，所以平面與平面夾角的正弦值為.2．（2023·江西九江·統(tǒng)考一模）如圖，直角梯形中，，，，，將沿翻折至的位置，使得，為的中點(diǎn)．

(1)求證：平面平面；(2)為線段上一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），若二面角的余弦值為，求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）易知，，，平面，平面，又平面，所以由直角梯形，，，，可得，又，得；又，平面，所以平面又平面，可得平面平面（2）取的中點(diǎn)，連接，，

，，又平面平面，平面平面，平面，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，可得，又，故以所在的直線分別為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)，則設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，所以，令，得，，即平面的一個(gè)法向量為可得，解得或(舍)即為的中點(diǎn)，易知，故線段的長(zhǎng)為.3．（2023·廣西南寧·南寧二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在多面體中，底面為直角梯形，，，側(cè)面為菱形，平面平面，M為棱的中點(diǎn)．

(1)若點(diǎn)N為的中點(diǎn)，求證：平面；(2)若，，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)．【解析】（1）證明：連接，，因?yàn)镸，N分別為，的中點(diǎn)，所以為的中位線，所以，又平面，平面，所以平面．（2）解：取的中點(diǎn)O，連接，因?yàn)閭?cè)面為菱形，且，所以在中，，解得，所以'，即，又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫矫妫云矫妫^(guò)O作的垂線，交于H并延長(zhǎng)，分別以，，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，則，故，，，，，則，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，可得，設(shè)平面的法向量為，，即，令，則，所以，則，故平面與平面夾角的余弦值為．

4．（2023·新疆·統(tǒng)考三模）如圖，在圓柱體中，，，劣弧的長(zhǎng)為，AB為圓O的直徑．

(1)在弧上是否存在點(diǎn)C（C，在平面同側(cè)），使，若存在，確定其位置，若不存在，說(shuō)明理由；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)存在，為圓柱的母線(2)【解析】（1）存在，當(dāng)為圓柱的母線時(shí)，．證明如下：連接BC，AC，，因?yàn)闉閳A柱的母線，所以平面ABC，又因?yàn)槠矫鍭BC，所以．因?yàn)锳B為圓O的直徑，所以．又，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫裕?）以為原點(diǎn)，OA，分別為y，z軸，垂直于y，z軸的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則，，，因?yàn)榱踊〉拈L(zhǎng)為，所以，，則，．設(shè)平面的法向量，則，令，解得，，所以．因?yàn)閤軸垂直平面，所以平面的一個(gè)法向量．所以，又二面角的平面角為銳角，故二面角的余弦值為．5．（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四棱錐中，底面是矩形，，，側(cè)面底面，側(cè)面底面，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)，且.

(1)證明：垂直于底面.(2)當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上移動(dòng)，使二面角為時(shí)，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）因?yàn)閭?cè)面底面，側(cè)面底面，而底面是矩形，故,底面，故平面，而平面，故;同理側(cè)面底面，側(cè)面底面，而底面是矩形，故,底面，故平面，而平面，故，又底面，故垂直于底面（2）由（1）知底面，底面，故，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，且，故，；又平面，,故平面，平面，故，而平面，故平面，故即為二面角的平面角，即；而,以A為坐標(biāo)原