PAGE衢州、麗水、湖州2025年4月三地市高三教學質量檢測試卷數學試題卷本試題卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘.考生答題前，務必將自己的姓名、準考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫在答題紙上.選擇題的答案須用2B鉛筆將答題紙上對應題目的答案標號涂黑，如要改動，須將原填涂處用橡皮擦凈.非選擇題的答案須用黑色字跡的簽字筆或鋼筆寫在答題紙上相應區域內，作圖時可先使用2B鉛筆，確定后須用黑色字跡的簽字筆或鋼筆描黑，答案寫在本試題卷上無效.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，則A．B．C．D．2．已知為虛數單位，復數（）是純虛數，則A．或 B． C． D．3．已知向量，，則向量在向量上的投影向量為A．B．C．D．4．若，則A．B．C．D．5．“”是“”的A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要6．正方體中，點分別為正方形及的中心，則異面直線與所成角的余弦值為A．B．C．D．7．在中，角所對的邊分別為.已知成等差數列，成等比數列，則A．B．C．D．8．過拋物線焦點的直線與拋物線交于兩點，過點作的切線，交軸于點，過點作直線的平行線交軸于點，則的最小值是A．B．C．D．二、有多項9．已知函數，則A．的最大值是B．在上單調遞增C．D．在上有兩個零點10．若函數與函數的圖象關于直線對稱，則函數的解析式可能是A． B．C． D．第11題圖11．如圖，多面體由正四面體和正四面體拼接而成，一只螞蟻從頂點出發，沿著多面體的各條棱爬行，每次等概率地爬行到相鄰頂點中的一個，記次爬行后，該螞蟻落在點的概率為，落在點的概率為，則第11題圖A．B．C．D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知等差數列的前項和為，，，則▲．13．已知斜率大于零的直線交橢圓于兩點，交軸分別于兩點，且是線段的三等分點，則直線的斜率為▲．14．若定義在上的函數滿足，則的最大值是▲．四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟．15．（本題滿分13分）如圖，在直角梯形中，，，．將沿折起，使，連接，得到三棱錐．（1）求證：平面；（2）點是的中點,連接、，若，（i）求二面角的正切值；（ii）求三棱錐的外接球體積．第15題圖第15題圖16．（本題滿分15分）某校舉辦定點投籃挑戰賽，規則如下：每位參賽同學可在兩點進行投籃，共投兩次.第一次投籃點可在兩點處隨機選擇一處，若投中，則第二次投籃點不變；若未投中，則第二次切換投籃點.在點投中得分，在點投中得分，未投中均得分，各次投中與否相互獨立.（1）在參賽的同學中，隨機調查50名的得分情況，得到如下列聯表：得分分得分分合計先在點投籃20525先在點投籃101525合計302050是否有的把握認為投籃得分與第一次投籃點的選擇有關？（2）小明在點投中的概率為，在點投中的概率為.（i）求小明第一次投中的概率；（ii）記小明投籃總得分為，求的分布列及數學期望.參考公式：0.10.050.010.0012.7063.8416.63510.82817．（本題滿分15分）已知雙曲線（）的左，右焦點分別為，且，圓與的漸近線相切.（1）求雙曲線的標準方程；（2）若上兩點滿足（），且四邊形的面積為，求的值.18．（本題滿分17分）已知函數（），為坐標原點.（1）當時，（i）求曲線在點處的切線方程；（ii）若點是函數圖象上一點，求的最小值；（2）若函數圖象上存在不同兩點滿足，求的取值范圍.19．（本題滿分17分）對于給定的項整數數列：（），定義變換：①若，則加，均加，其余項不變；②若，則加，均加，其余項不變；③若，則加，均加，其余項不變.例如，對數列：做變換得到，即；而對數列：先后做變換，可得到，即.（1）找出一系列變換，使得數列：經過這系列變換后成為常數列；（2）是否能找出一系列變換，使得數列：經過這系列變換后成為常數列，若存在，請給出具體的變換；若不存在，請說明理由；并請判斷當為奇數時，對于任意數列，是否總存在一系列變換能使該數列成為常數列（無須證明）.（3）當為偶數且數列是遞增數列時，是否存在一系列變換，使得該數列成為常數列，若存在，請給出具體的變換；若不存在，請說明理由.衢州、麗水、湖州2025年4月三地市高三教學質量檢測試卷數學參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.題號12345678答案ADBCBCDC二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.題號91011答案ACABDACD11.解析：設記次爬行后，該螞蟻落在點的概率為，則，其中，計算易得，故A、C正確，B錯誤.由原方程組可得，則，所以為常數列，且①.同理，且，所以②，由①②可知，=，所以，故D正確，綜上所述，選ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.11013.14.14解析：由已知可得，，則，所以，即，故2為函數的一個周期，因此.考慮到，設，，則，故最大值為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（1）因為，，，所以平面又平面，所以………………3分又因為，，所以平面.………5分解法一：以為坐標原點，以所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，所以，，設平面的一個法向量為，則，取，則.………7分由（1）可知，平面的一個法向量為，所以.由圖可知二面角平面角是銳角，記為，則，所以，故二面角的正切值為………10分解法二：如圖，取AD中點H，BD中點I，連接IE，IH，則.由（i）易得，則，又，所以平面，所以.由二面角定義可知即二面角的平面角………………7分在直角三角形中，,所以，所以二面角的正切值為…………10分（ii）因為，所以為三棱錐的外接球的球心，且球半徑為，故三棱錐的外接球體積為……13分16.（1）零假設為：得分與第一投籃點選擇獨立，即得分無差異…………4分根據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，因此認為得分與第一投籃點選擇有關聯，此推斷犯錯誤的概率不超過0.01……………5分（2）設第次選擇在點A投籃記為事件，在點B投籃記為事件，投中記為事件，則，,,.（i）P(E)=所以小明第一次投籃命中的概率為0.5.…………………9分小明投籃總得分可取0，2，3，4，6，則，，，，.∴X的分布列為X02346P∴……15分17.（1）易知，∵雙曲線的漸近線為，∴，解得，所以，得曲線方程為：.………………6分（2）由同向可知，直線、與E均有兩個交點.設直線，它與E的另一個交點記為C.由雙曲線的對稱性可知，，故三角形面積等于三角形面積，所以四邊形面積等于三角形面積.設，聯立方程：，得………8分三角形面積整理得，解得或………………12分經檢驗時，反向，故舍去；當同向，符合題意，此時原方程解為或，故.……………15分18.（1）當，，（i）因為，則，故切線方程為………………3分（ii），記……………5分則，易知是關于的增函數且……8分所以當；當故最小值為，得的最小值.……9分（2）記，則，易知是關于的增函數且存在負實數使得，即.………………11分所以當單調遞減，當故最小值為，注意到，，且，為使有兩個不等實數解，則有.…………12分即.考慮到函數是關于的減函數，且，，故該函數存在唯一零點滿足，（此處只需給出零點的一個合理估計即可.）①若，即，則.由化簡得，記，注意到在區間的減函數，所以，故時，恒成立，即滿足.…………………14分（幾何法：由時，經過點，且，而兩點在以原點為圓心，為半徑的圓上，且，因此點在圓內，結合圖像，知函數圖象與圓的圖象必有兩個不同交點，故滿足）…14分②若，即，則.由化簡得，記，則，所以單調遞減，在區間單調遞增且，，故由解得，而，故滿足.綜上所述.……………17分19.（1）此處三個變換順序可調換，也可得到其他全相等的數.………………5分（2）存在，,上述變換的順序可以調換，也可以得到其他全相等的數，酌情給分.……10分結合上述情況，推斷當為奇數時，對于任意數列，總存在一系列變換能使該數列成為常數列.（判斷結論正確即可給分，無須證明）……………