Page1第十一章三角形11.2與三角形有關的角11.2.2三角形的外角學習目標1.了解三角形外角的概念.2.探究并證明三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.3.運用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和解決簡潔問題.學習過程一、自主學習問題1:如圖,已知BD∥CE,∠A=45°,∠C=65°,求∠1和∠2的度數.問題2:在問題1中,∠2被稱為三角形的外角,依據∠2的構成,你能說明什么叫三角形的外角嗎?二、深化探究探究1:依據定義探究三角形外角的個數問題1:依據定義,畫出三角形的外角.你能畫出多少個?問題2:這幾個角有什么關系?(位置關系和數量關系)探究2:手腦并用探究三角形外角的性質及外角和問題1:如圖,在△ABC中,∠ABC=65°,∠ACB=40°,求∠BAC的度數及三角形的外角∠1,∠2,∠3的度數.問題2:視察你的結論,你能發覺三角形的三個內角與它的外角有什么關系嗎?三個外角又有什么關系?問題3:試證明三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.問題4:試證明三角形的外角和等于360°.三、練習鞏固練習1:說出下列各圖中∠1和∠2的度數.(1)(2)練習2:如圖,∠BDC是的外角,∠BDC=+,∠EFC是的外角,∠EFC=+,∠BFC是的外角,∠BFC=+,∠BFC>.

練習3:如圖,CE是△ABC的外角∠ACD的平分線,且CE交BA的延長線于點E,證明∠BAC>∠B.練習4:如圖,點D是△ABC內的一點,連接BD和CD,證明∠BDC>∠A.四、深化提高練習1:如圖,在△ABC中,∠ABC與∠ACB的平分線交于點P.試證明∠P=90°+12∠練習2:如圖,在上題中,假如CP是△ABC外角∠ACD的平分線,那么∠P與∠A有什么關系?試證明你的結論.練習3:如圖,在上題中,假如BP,CP分別是∠CBD與∠BCE的平分線,那么∠P與∠A有什么關系?試證明你的結論.參考答案一、自主學習問題1:由BD∥CE可知,∠1=∠C=65°,由三角形內角和等于180°可知,∠2的鄰補角等于70°,所以∠2=110°.問題2:三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角,叫做三角形的外角.二、深化探究探究1:問題1:如圖,可以畫出6個外角.問題2:∠1和∠2是對頂角,∠3和∠4是對頂角,∠5和∠6是對頂角,所以有∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6.探究2:問題1:∠BAC=75°,∠1=105°,∠2=115°,∠3=140°.問題2:①三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和;②三角形的外角和等于360°.問題3:已知:在△ABC中,∠1是三角形的一個外角.求證:∠1=∠A+∠B.證明:∵∠ACB+∠A+∠B=180°,(三角形的內角和等于180°)∴∠ACB=180°-∠A-∠B.∵∠1與∠ACB是鄰補角,∴∠1+∠ACB=180°.∴∠1=180°-∠ACB=180°-(180°-∠A-∠B)=∠A+∠B.問題4:已知:在△ABC中,∠1,∠2,∠3都是三角形的外角.求證:∠1+∠2+∠3=360°.證明:∵∠1,∠2,∠3都是三角形的外角,∴∠1=∠ABC+∠ACB.(三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和)同理,∠2=∠BAC+∠ACB,∠3=∠BAC+∠ABC.∴∠1+∠2+∠3=∠ABC+∠ACB+∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC=2(∠BAC+∠ABC+∠ACB).∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,(三角形的內角和等于180°)∴∠1+∠2+∠3=2×180°=360°.三、練習鞏固練習1:(1)∠1=40°,∠2=140°;(2)∠1=80°,∠2=40°.練習2:△ACD∠A∠ACD△BCF∠BCF∠FBC△BDF(△CEF)∠BDF(∠CEF)∠DBF(∠ECF)∠BDF(∠CEF…)練習3:證明:∵CE是∠ACD的平分線,∴∠ACE=∠DCE.(角平分線定義)∵∠DCE是△BCE的外角,∴∠DCE>∠B.(三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內角)∴∠ACE>∠B.(等量代換)∵∠BAC是△ACE的外角,∴∠BAC>∠ACE.(三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內角)∴∠BAC>∠B.練習4:證明:延長BD交AC于點E.∵∠BEC是△ABE的外角,∠BDC是△CDE的外角,∴∠BEC>∠A,∠BDC>∠BEC.(三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內角)∴∠BDC>∠A.四、深化提高練習1:證明:∵BP,CP分別是∠ABC與∠ACB的平分線,∴∠PBC=12∠ABC,∠PCB=12∠∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∠P+∠PBC+∠PCB=180°,(三角形的內角和等于180°)∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A,∠P=180°-(∠PBC+∠PCB).∴∠P=180°-12(∠ABC+∠ACB)=180°-12(180°-∠A)=90°+12練習2:解:∠P=12∠理由:∵BP,CP分別是∠ABC與∠ACD的平分線,∴∠PBC=12∠ABC,∠PCD=12∠∵∠PCD是△PBC的外角,∠ACD是△ABC的外角,∴∠PCD=∠P+∠PBC,∠ACD=∠A+∠ABC.(三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和)∴∠P=∠PCD-∠PBC,∠ABC=∠ACD-∠A.∴∠P=12∠ACD-12∠ABC=12(∠ACD-=12[∠ACD-(∠ACD-∠A)]=12∠練習3:解:∠P=90°-12∠理由:∵BP,CP分別是∠CBD與∠BCE的平分線,∴∠PBC=12∠CBD,∠PCB=12∠∵∠CBD與∠BCE都是△ABC的外角,∴∠CBD=∠A+∠ACB,∠BCE=∠A+∠ABC,(三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和)∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∠P+∠PBC+∠PCB=180°,(三角形的內角和等于180°)∴∠P=180°-(∠PBC+∠PCB),∠AB