PAGE1專題21閱讀理解創(chuàng)新綜合題（解析版）1.（2024·河南·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐在學(xué)習(xí)特殊四邊形的過(guò)程中，我們積累了一定的研究經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)，對(duì)“鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形”進(jìn)行研究定義：至少有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形．（1）操作判斷用分別含有和角的直角三角形紙板拼出如圖1所示的4個(gè)四邊形，其中是鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形的有________（填序號(hào)）．（2）性質(zhì)探究根據(jù)定義可得出鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形的邊、角的性質(zhì)．下面研究與對(duì)角線相關(guān)的性質(zhì)．如圖2，四邊形是鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形，，是它的一條對(duì)角線．①寫(xiě)出圖中相等的角，并說(shuō)明理由；②若，，，求的長(zhǎng)（用含m，n，的式子表示）．（3）拓展應(yīng)用如圖3，在中，，，，分別在邊，上取點(diǎn)M，N，使四邊形是鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形．當(dāng)該鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形僅有一組鄰邊相等時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．【答案】（1）②④（2）①．理由見(jiàn)解析；②（3）或【小問(wèn)1詳解】解：觀察圖知，圖①和圖③中不存在對(duì)角互補(bǔ)，圖2和圖4中存在對(duì)角互補(bǔ)且鄰邊相等，故圖②和圖④中四邊形是鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形，故答案為：②④；【小問(wèn)2詳解】解：①，理由：延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連接，∵四邊形是鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∴；②過(guò)A作于F，∵，∴，∵，∴，在中，，∴；【小問(wèn)3詳解】解：∵，，，∴，∵四邊形是鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形，∴，∴，當(dāng)時(shí)，如圖，連接，過(guò)N作于H，∴，在中，在中，∴，解得，∴，∵，，∴，∴，即，∴，，∴，∴；當(dāng)時(shí)，如圖，連接，∵，∴，∴，故不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，連接，過(guò)N作于H，∵，，∴，∴，即，解得，∵，，∴，∴，即，∴，，∴，∴；當(dāng)時(shí)，如圖，連接，∵，∴，∴，故不符合題意，舍去；綜上，的長(zhǎng)為或．2.（2023·河南·統(tǒng)考中考真題）李老師善于通過(guò)合適的主題整合教學(xué)內(nèi)容，幫助同學(xué)們用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問(wèn)題，形成科學(xué)的思維習(xí)慣．下面是李老師在“圖形的變化”主題下設(shè)計(jì)的問(wèn)題，請(qǐng)你解答．（1）觀察發(fā)現(xiàn)：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)的直線軸，作關(guān)于軸對(duì)稱的圖形，再分別作關(guān)于軸和直線對(duì)稱的圖形和，則可以看作是繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為_(kāi)_____；可以看作是向右平移得到的，平移距離為_(kāi)_____個(gè)單位長(zhǎng)度．（2）探究遷移：如圖，中，，為直線下方一點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，再分別作點(diǎn)關(guān)于直線和直線的對(duì)稱點(diǎn)和，連接，，請(qǐng)僅就圖的情形解決以下問(wèn)題：①若，請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②若，求，兩點(diǎn)間的距離．（3）拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，若，，，連接．當(dāng)與的邊平行時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．【答案】（1），．（2）①，理由見(jiàn)解析；②（3）或【小問(wèn)1詳解】（1）∵關(guān)于軸對(duì)稱的圖形，與關(guān)于軸對(duì)稱，∴與關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則可以看作是繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為∵，∴，∵,關(guān)于直線對(duì)稱，∴，即，可以看作是向右平移得到的，平移距離為個(gè)單位長(zhǎng)度．故答案為：，．【小問(wèn)2詳解】①，理由如下，連接，由對(duì)稱性可得，，∴，②連接分別交于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，由對(duì)稱性可知：且，∵四邊形為平行四邊形，∴∴三點(diǎn)共線，∴，∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，在中，，∵，∴,∴【小問(wèn)3詳解】解：設(shè)，則，依題意，，當(dāng)時(shí)，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∴∵，，∴，∴，則，在中，，∴，則，∴在中，，則，，在中，，，∴由（2）②可得，∵∴∴，解得：；如圖所示，若，則，∵，則，則，∵，，∵，∴，解得：，綜上所述，的長(zhǎng)為或．3.（2022·河南·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)．

（1）操作判斷操作一：對(duì)折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；操作二：在AD上選一點(diǎn)P，沿BP折疊，使點(diǎn)A落在矩形內(nèi)部點(diǎn)M處，把紙片展平，連接PM，BM．根據(jù)以上操作，當(dāng)點(diǎn)M在EF上時(shí)，寫(xiě)出圖1中一個(gè)30°的角：______．（2）遷移探究小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過(guò)程如下：將正方形紙片ABCD按照（1）中的方式操作，并延長(zhǎng)PM交CD于點(diǎn)Q，連接BQ．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在EF上時(shí)，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；②改變點(diǎn)P在AD上的位置（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，D重合），如圖3，判斷∠MBQ與∠CBQ的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）拓展應(yīng)用在（2）的探究中，已知正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為8cm，當(dāng)FQ＝1cm時(shí)，直接寫(xiě)出AP的長(zhǎng)．【答案】（1）或或或（2）①15，15；②，理由見(jiàn)解析（3）cm或【小問(wèn)1詳解】解：，sin∠BME=【小問(wèn)2詳解】∵四邊形ABCD是正方形∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°由折疊性質(zhì)得：AB=BM，∠PMB=∠BMQ=∠A=90°∴BM=BC①∴②小問(wèn)3詳解】當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)F的下方時(shí)，如圖，，DQ=DF+FQ=4+1=5(cm)由（2）可知，設(shè)，即解得：∴；當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)F的上方時(shí)，如圖，

cm，DQ=3cm，由（2）可知，設(shè)，即解得：∴．4.（2021·河南·統(tǒng)考中考真題）下面是某數(shù)學(xué)興趣小組探究用不同方法作一個(gè)角的平分線的討論片段，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．小明：如圖1，(1)分別在射線OA，OB上截取OC=OD，OE=OF(點(diǎn)C，E不重合)；(2)分別作線段CE，DF的垂直平分線l1，l2，交點(diǎn)為P，垂足分別為點(diǎn)G，H；(3)作射線OP，射線即為∠AOB的平分線．

簡(jiǎn)述理由如下：

由作圖知，∠PGO=∠PHO=90°，OG=OH，OP=OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，則∠POG=∠POH，即射線OP是∠AOB的平分線．

小軍：我認(rèn)為小明的作圖方法很有創(chuàng)意，但是太麻煩了，可以改進(jìn)如下，如圖2，(1)分別在射線OA，OB上截取OC=OD，OE=OF(點(diǎn)C，E不重合)；(2)連接DE，CF，交點(diǎn)為P；(3)作射線OP.射線OP即為∠AOB的平分線．任務(wù)：

(1)小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依據(jù)是______(填序號(hào))．

①SSS②SAS③AAS④ASA⑤HL

(2)小軍作圖得到的射線0P是∠AOB的平分線嗎？請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由．

(3)如圖3，已知∠AOB=60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在射線OA，OB上，且OE=OF=3+1.點(diǎn)C，D分別為射線OA，OB上的動(dòng)點(diǎn)，且OC=OD，連接DE，CF，交點(diǎn)為P，當(dāng)∠CPE=30°時(shí)，直接寫(xiě)出線段OC的長(zhǎng)．

【答案】⑤【解析】解：(1)如圖1，由作圖得，OC=OD，OE=OF，PG垂直平分CE，PH垂直平分DF，

∴∠PGO=∠PHO=90°，

∵OE?OC=OF?OD，

∴CE=DF，

∵CG=12CE，DH=12DF，

∴CG=DH，

∴OC+DG=OD+DH，

∴OG=OH，

∵OP=OP，

∴Rt△PGO≌Rt△PHO(HL)，

故答案為：⑤．

(2)射線OP是∠AOB的平分線，理由如下：

如圖2，∵OC=OD，∠DOE=∠COF，OE=OF，

∴△DOE≌△COF(SAS)，

∴∠PEC=∠PFD，

∵∠CPE=∠CPF，CE=DF，

∴△CPE≌△DPF(AAS)，

∴PE=PF，

∵OE=OF，∠PEO=∠PFO，PE=PF，

∴△OPE≌△OPF(SAS)，

∴∠POE=∠POF，即∠POA=∠POB，

∴OP是∠AOB的平分線．

(3)如圖3，OC<OE，連接OP，作PM⊥OA，則∠PMO=∠PME=90°，

由(2)得，OP平分∠AOB，∠PEC=∠PFD，

∴∠PEC+30°=∠PFD+30°，

∵∠AOB=60°，

∴∠POE=∠POF=12∠AOB=30°，

∵∠CPE=30°，

∴∠OCP=∠PEC+∠CPE=∠PEC+30°，∠OPC=∠PFD+∠POF=∠PFD+30°，

∴∠OCP=∠OPC=12(180°?∠POE)=12×(180°?30°)=75°，

∴OC=OP，∠OPE=75°+30°=105°，

∴∠OPM=90°?30°=60°，

∴∠MPE=105°?60°=45°，

∴∠MEP=90°?45°=45°，

∴MP=ME，

設(shè)MP=ME=m，則OM=MP?tan60°=3m，

由OE=3+1，得m+3m=3+1，解得m=1，

∴MP=ME=1，

∴OP=2MP=2，

∴OC=OP=2；

如圖4，OC>OE，連接OP，作PM⊥OA，則∠PMO=∠PMC=90°，

同理可得，∠POE=∠POF=12∠AOB=30°，∠OEP=∠OPE=75°，∠OPM=60°，∠MPC=∠MCP=45°，

∴OE=OP=3+1，

∵M(jìn)C=MP=12OP=12OE=3+12，

∴OM=MP?tan60°=3+12×3=如圖1，當(dāng)時(shí)，的形狀為，連接，可求出的值為；當(dāng)且時(shí)，①中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立?如果成立，請(qǐng)僅就圖2的情形進(jìn)行證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；②當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)四邊形是平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．【答案】（1）等腰直角三角形，；（2）①結(jié)論不變，理由見(jiàn)解析；②3或1．【詳解】（1）由題知°，°，∴°，且為等邊三角形∴°，∴∵∴°∴°∴為等腰直角三角形連接BD，如圖所示∵°∴即∵∴∴故答案為：等腰直角三角形，（2）①兩個(gè)結(jié)論仍然成立連接BD，如圖所示：∵，∴∵∴∴∵∴∴是等腰直角三角形∴∵四邊形為正方形∴∴∵∴∴∴∴結(jié)論不變，依然成立②若以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，分兩種情況討論第一種：以CD為邊時(shí)，則，此時(shí)點(diǎn)在線段BA的延長(zhǎng)線上，如圖所示：此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，∴，得；②當(dāng)以CD為對(duì)角線時(shí)，如圖所示：此時(shí)點(diǎn)F為CD中點(diǎn)，∵∴∵∴∴∴∴∴綜上：的值為3或1．

一、解答題1．（2024·河南周口·二模）在和中，，，，D是的中點(diǎn)，連接，點(diǎn)E在線段上移動(dòng)（不與點(diǎn)D重合），連接，始終在的右側(cè)．(1)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，________，________．(2)探究問(wèn)題如圖2，當(dāng)E是上任意一點(diǎn)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)解決問(wèn)題當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．【答案】(1)；(2)當(dāng)為上任意一點(diǎn)，（1）中的結(jié)論仍然成立，理由見(jiàn)解析(3)或2【詳解】（1）解：根據(jù)題意，，，且，可知，均為等腰直角三角形，當(dāng)在點(diǎn)時(shí)，，，∴，∴，∵D是中點(diǎn)，，，即，，∴，∵，∴∴，即為等腰直角三角形，可得，，，故答案為：，．（2）解：當(dāng)為上任意一點(diǎn)，但不包括點(diǎn)，點(diǎn)，則有，在中，，，在中，，，在，中，存在，∵，∴，，，，，成立，當(dāng)點(diǎn)為點(diǎn)時(shí)，同（1），有，，成立．綜上，當(dāng)E是上任意一點(diǎn)時(shí)，（1）中的結(jié)論仍然成立．（3）解：當(dāng)在上時(shí)，如圖，由（2）知，，，∵當(dāng)時(shí)，∴，，當(dāng)在上時(shí)，如圖，同理可得，，，綜上，當(dāng)時(shí)，或2．2．（2024·河南濮陽(yáng)·三模）發(fā)現(xiàn)問(wèn)題（1）已知，如圖①，在四邊形中，E在上，，，若，，則．探究問(wèn)題（2）如圖②，已知長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為36，，點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)，分別交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)F，且，求四邊形的面積．解決問(wèn)題（3）如圖③，中，，，，，以為邊在其左上方作正方形，垂直于延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接，M、N分別為上兩動(dòng)點(diǎn)，連接，，，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，求多邊形的面積．（注：四邊相等，四個(gè)角是直角的四邊形是正方形，正方形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)角線是其一條對(duì)稱軸）【答案】（1）；（2）；（3）【詳解】解：（1）∵，，，∴，∵，，∴，∴，∴，故答案為：7；（2）∵長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為36，，∴，∵，，，∴，∵，，∴，∴，，∴，∵，∴，即四邊形的面積為48；（3）連接FN，如圖，由題意知B、F關(guān)于對(duì)稱，∴，∴，當(dāng)F、M、N在同一直線上等號(hào)成立，且當(dāng)時(shí)，F(xiàn)N最小，此時(shí)四邊形是矩形，，，∵，，由（2）可知，∴，∴，，∴，，∵，則，，即當(dāng)最小時(shí)，多邊形的面積為：，∴多邊形的面積為144．3．（2024·河南開(kāi)封·二模）在等腰中，，，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)落在邊的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接，，求；(2)如圖2，取的中點(diǎn)，連接，，求證：；(3)如圖3，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿著翻折得到，連接、，若，請(qǐng)直接寫(xiě)出的最小值．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)【詳解】（1）解：延長(zhǎng)交于，如圖1所示：

，，，，，，，，，，，，，，，；（2）證明：延長(zhǎng)到，使，連接，，如圖2所示：

點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，又，，，又，；（3）解：，，，，，，，，，，，在上取一點(diǎn)，使，連接，如圖3所示：

將沿著翻折得到，，，，又，，，，，當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值為的長(zhǎng)，，，，的最小值為．4．（2024·河南鶴壁·三模）如圖，將正方形放在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為原點(diǎn)，頂點(diǎn)，分別在軸和軸上，點(diǎn)坐標(biāo)為，動(dòng)點(diǎn)在邊上（不與端點(diǎn)重合），將沿翻折，點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)．

(1)如圖①，當(dāng)平分時(shí)，的度數(shù)為_(kāi)_____；(2)如圖②，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖③，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在邊上移動(dòng)時(shí)，的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？如果是，請(qǐng)求出變化范圍，如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)不變，見(jiàn)解析【詳解】（1）解：由折疊的性質(zhì)可知，，，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：；（2）解：∵軸，為等腰直角三角形，∴，∴，如圖②，連接，

∵正方形，點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，，∴三點(diǎn)共線，∴是等腰直角三角形，設(shè)，則，，由勾股定理得，，即，解得，∴；（3）解：不變，理由如下：如圖③，連接，

由折疊、正方形的性質(zhì)可知，，，∵，，∴，∴，∴，∴的周長(zhǎng)不變．5．（2024·河南開(kāi)封·一模）如圖，在矩形中，，點(diǎn)是對(duì)角線上一點(diǎn)，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接．(1)問(wèn)題提出：①如圖1，若，則______，______；②如圖2，若，求和的長(zhǎng)度．(2)推廣應(yīng)用：若，請(qǐng)直接寫(xiě)出和的長(zhǎng)．（用已知數(shù)或含的式子表示）【答案】(1)①，；②，(2)，【詳解】（1）解：①，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，，，，，∵AB∥，，，，，即；②同理①，同理①得：，，，，，，，，矩形中，，；（2）解：同理（1）得，，，，，，，，，矩形中，，．6．（2024·河南商丘·三模）如圖1，點(diǎn)O是的對(duì)角線，的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作，，垂足分別為H，M，若，我們稱是的中心距比．(1)如圖2，當(dāng)，求證：是菱形；(2)如圖3，當(dāng)，且，求的值；(3)如圖4，在中，，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)．沿線段向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q自C出發(fā)，沿線段向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)速度均為每秒1個(gè)單位，連結(jié)，以、為鄰邊作，若的中心距比．求點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)秒【詳解】（1）證明：，．，，垂足分別為，，，四邊形是平行四邊形，．．，，四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形；（2）解：由題意得：四邊形是矩形，∴，，，垂足分別為，，，四邊形是矩形，，，交于點(diǎn)，，，，，是等邊三角形，，，垂足分別為，，設(shè)，則由勾股定理得，；（3）解：設(shè)的對(duì)角線交點(diǎn)為，過(guò)作交于，過(guò)作交于，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，由題意得：，，，，在中，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，化簡(jiǎn)得：，，舍，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，故答案為：．7．（2024·河南南陽(yáng)·三模）綜合與實(shí)踐：折紙中的數(shù)學(xué)折紙是我國(guó)傳統(tǒng)的民間藝術(shù)，也是同學(xué)們喜歡的手工活動(dòng)之一，幸運(yùn)星、紙飛機(jī)、千紙鶴、密信等折紙活動(dòng)在生活中都是廣為流傳的，通過(guò)折紙我們可以得到許多美麗的圖形，同時(shí)折紙的過(guò)程還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，折紙往往從矩形紙片開(kāi)始，下面就讓我們帶著數(shù)學(xué)的眼光來(lái)探究一下有關(guān)矩形紙片的折疊問(wèn)題，看看折疊矩形紙片蘊(yùn)含著哪些豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)．(1)折紙1：如圖1，在一張矩形紙片上任意畫(huà)一條線段AB，將紙片沿線段AB折疊（如圖2）問(wèn)題1：重疊部分的的形狀______（是、不是）等腰三角形．問(wèn)題2：若，，則重疊部分的面積為_(kāi)_____(2)折紙2：如圖3，矩形紙片，點(diǎn)為邊CD上一點(diǎn)，將沿著直線折疊，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在邊AD上，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的尺子和圓規(guī)在圖中找出點(diǎn)的位置（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）．(3)折紙3：如圖4，矩形紙片，，，若點(diǎn)為射線上一點(diǎn)，將沿著直線折疊，折疊后點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)恰好落在的垂直平分線上時(shí)，求BM的長(zhǎng)．【答案】(1)是；(2)見(jiàn)解析(3)或15【詳解】（1）問(wèn)題1：如圖②，設(shè)點(diǎn)M是紙片下邊上的點(diǎn)，∵紙片為矩形，則，∴，由折疊的性質(zhì)知，，∴，∴的形狀為等腰三角形，故答案為：是；問(wèn)題2：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，則，則的面積故答案為：；（2）以點(diǎn)為圓心，以長(zhǎng)度為半徑作圓交AD于點(diǎn)，作的角平分線，交CD于點(diǎn)，作圖過(guò)程如下：（3）當(dāng)點(diǎn)落在矩形內(nèi)部時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交AD由題意得：，點(diǎn)恰好落在的垂直平分線上，故，在中，，，，則，則，則，，，，在中，，解得：，．當(dāng)點(diǎn)落在矩形外部時(shí)，如圖，，，則，則，則，，，，在中，，解得：，則．故BM的長(zhǎng)為或．8．（2024·河南安陽(yáng)·一模）隨著教育教學(xué)改革的不斷深入，數(shù)學(xué)教學(xué)如何改革和發(fā)展，如何從“重教輕學(xué)”向自主學(xué)習(xí)探索為主的方向發(fā)展，是一個(gè)值得思考的問(wèn)題．從數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展歷程來(lái)看分析，不外乎就是三個(gè)環(huán)節(jié)：【觀察猜想】-【探究證明】-【拓展延伸】．下面同學(xué)們從這三個(gè)方面試看解決下列問(wèn)題：已知：如圖1所示將一塊等腰三角板放置與正方形的重含，連接、，E是的中點(diǎn)，連接．【觀察猜想】（1）與的數(shù)量關(guān)系是________，與的位置關(guān)系是___________；【探究證明】（2）如圖2所示，把三角板繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其他條件不變，線段與的關(guān)系是否仍然成立，并說(shuō)明理由；【拓展延伸】（3）若旋轉(zhuǎn)角，且，求的值．【答案】（1）CM=2BE，CM⊥BE；（2）成立，理由見(jiàn)解析；（3）【詳解】解：（1）設(shè)交于點(diǎn)，為等腰直角三角形，，，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則，即，，，即，故答案為：，CM⊥BE；（2），，仍然成立．如圖所示，延長(zhǎng)至使，連接，，，，，，，，，而，，，，，，，，，；（3）由得，，則，由（2）知，，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，則，，，．9．（2024·河南信陽(yáng)·二模）（1）如圖①，四邊形是矩形，點(diǎn)E是左側(cè)一點(diǎn)，作點(diǎn)E關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)F，作點(diǎn)F關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)G，連接、、，且請(qǐng)你判斷點(diǎn)A、點(diǎn)E、點(diǎn)G是否共線？回答：；（填：“共線”或“不共線”）（2）如圖②，四邊形是矩形，點(diǎn)E是左側(cè)一點(diǎn)，作點(diǎn)E關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)F，作點(diǎn)F關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)G，連接、、、、、，交于點(diǎn)H，且①當(dāng)?shù)亩葦?shù)為多少時(shí)，？請(qǐng)說(shuō)明理由；②當(dāng)?shù)亩葦?shù)為多少時(shí)，是直角三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖③，矩形是的對(duì)角線，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，且點(diǎn)E是直線上一動(dòng)點(diǎn)，作點(diǎn)E關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)F，作點(diǎn)F關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)G，連接、．當(dāng)為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠EAC的度數(shù)．【答案】（1）共線（2）①當(dāng)時(shí)，，理由見(jiàn)解析②當(dāng)時(shí)，是直角三角形，理由見(jiàn)解析（3）或【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，∴；根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，∵，∴，∴，∴點(diǎn)A、點(diǎn)E、點(diǎn)G三點(diǎn)共線，故答案為：共線．（2）解：①根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，∴，根據(jù)（1）得，點(diǎn)A、點(diǎn)E、點(diǎn)G三點(diǎn)共線，∴，∴即∠EFG=90°，∵，∴，設(shè)與的交點(diǎn)為M，根據(jù)折疊，得到，∴．②根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，，∴都是銳角，∴，∵∴，∴，，根據(jù)（1）得到，∴．（3）解：∵四邊形是矩形，∴，，∵∴∴，∴，∴∠ACB=30°，∵∴，∴，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，得，∵，∴，∴，∴點(diǎn)B、點(diǎn)E、點(diǎn)G三點(diǎn)共線，∴，當(dāng)點(diǎn)E在射線上時(shí)，∵為等腰三角形，∴為等邊三角形，∴，根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，∴，∴，∵，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)E在射線上時(shí)，根據(jù)折疊的性質(zhì)，得，∵為等腰三角形，∴，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，∴，綜上所述，或．10．（2024·河南信陽(yáng)·二模）類比和轉(zhuǎn)化思想常常可以為我們的數(shù)學(xué)解題提供助力．下面題目是一次綜合復(fù)習(xí)課上老師給出的問(wèn)題，請(qǐng)你注意數(shù)學(xué)思想的使用，完成下列問(wèn)題．如圖，邊長(zhǎng)為6的等邊內(nèi)有一點(diǎn)，．(1)如圖①，若，求的長(zhǎng)；(2)如圖②，若，過(guò)作的平行線交的兩邊為，，求的長(zhǎng)；(3)如圖③，若，過(guò)作的平行線交的兩邊為，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)BM=2(2)(3)【詳解】（1）連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，與均為等腰三角形，，．為的垂直平分線．即，．如圖，，，在中，．為等邊三角形，，．，．（2）如圖，，，在中，，．在中，，，，．在與中，，，．（3）如圖，，，，與均為等邊三角形，，，為的垂直平分線，為等腰三角形，，在中，，，．在中，，，．又三角形為等邊三角形，．11．（2024·河南周口·一模）綜合與實(shí)踐下面是某數(shù)學(xué)興趣小組探究問(wèn)題的片段，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成任務(wù)．題目背景：在中，，，點(diǎn)在上．

(1)【作圖探討】如圖1，以為圓心，為半徑畫(huà)弧，為圓心，為半徑畫(huà)弧；兩弧交于點(diǎn)，連接，；則．選擇填空：得出的依據(jù)是______（填序號(hào)）．①

②

③

④(2)【測(cè)量發(fā)現(xiàn)】如圖2，在（1）中的條件下，連接．興趣小組用幾何畫(huà)板測(cè)量發(fā)現(xiàn)和的面積相等．為了證明結(jié)論，嘗試延長(zhǎng)線段至點(diǎn)，使，連接，從而得以證明．請(qǐng)完成證明過(guò)程．(3)【遷移應(yīng)用】如圖3，，，點(diǎn)在上，，，在射線上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)①(2)見(jiàn)解析(3)存在，的長(zhǎng)為3+3或【詳解】（1）由作圖可得：，又∵，∴（），故答案為：①；（2）證明：延長(zhǎng)線段至點(diǎn)，使，連接，則，

則是的中線，∴．∵，∴．∵，∴，∴，即．在和中，，∴．∴，∴．（3）存在，的長(zhǎng)為3+3或．過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，

由（2）可知．∵，，∴，∴，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴．由對(duì)稱性，當(dāng)時(shí)，，∴，此時(shí)．12．（2024·河南駐馬店·三模）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師讓同學(xué)們以“三角形紙片的折疊、旋轉(zhuǎn)”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)，探究與角的度數(shù)、線段長(zhǎng)度有關(guān)的問(wèn)題．對(duì)直角三角形紙片進(jìn)行如下操作：

【初步探究】如圖1，折疊三角形紙片，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，得到折痕，然后展開(kāi)鋪平，則與位置關(guān)系為_(kāi)______，與的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)______；【再次探究】如圖2，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，若，求的值；【拓展提升】在（2）的條件下，在順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）；（3）或【詳解】解：（1）∵折疊三角形紙片，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，得到折痕，∴點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：；（2）在中，由勾股定理得，由（1）可得，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，∴，∵，∴，∴；（3）如圖3-1所示，當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交于T，∵，∴，又∵，∴四邊形是矩形，∴，，，∴，在中，由勾股定理得：；

如圖3-2所示，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)M作于H，∵，∴，又∵，∴四邊形是矩形，∴，∴，在中，由勾股定理得：，

綜上所述，的長(zhǎng)為或．13．（2024·河南安陽(yáng)·一模）如圖，為等腰直角三角形，其中．，在射線AB取點(diǎn)D，使得，以AD為斜邊在右邊構(gòu)造等腰直角三角形．將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．(1)求證：；(2)在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，與邊交于F，G兩點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)的值是否為定值，若是，求出這個(gè)定值，若不是，說(shuō)明理由；(3)以為直角邊在右上方構(gòu)造直角三角形，其中，過(guò)點(diǎn)M作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，發(fā)現(xiàn)在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)D落在上時(shí)，點(diǎn)E恰好落在上，此時(shí)停止旋轉(zhuǎn)．求此時(shí)的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)是，定值是8(3)2【詳解】（1）證明：∵．∵，∴，∴；（2）解：在（1）中，，∴在圖2中，，∴，又即為定值；（3）如圖．連接．∵，∴，則，∴．∵．又又，∴．∴，．14．（2024·河南南陽(yáng)·一模）如圖，(1)如圖①，等腰，，D為的中點(diǎn)，，將繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，的兩邊分別與線段、線段交于點(diǎn)E、F（點(diǎn)F與點(diǎn)B、C不重合），寫(xiě)出線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)如圖②，等腰，∠ACB=120°，D為的中點(diǎn)，，將繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，的兩邊分別與線段、線段交于點(diǎn)E、F（點(diǎn)F與點(diǎn)B、C不重合），直接寫(xiě)出線段之間的數(shù)量關(guān)系為；(3)如圖③，在四邊形中，平分，，，過(guò)點(diǎn)A作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若，，則的長(zhǎng)為．【答案】(1)，理由見(jiàn)解析(2)(3)10【詳解】（1）解：．證明如下：∵等腰中，，D為的中點(diǎn)，∴，，∴，∴，∴．又∵，∴，在和中，，∴，∴，∴；（2）解：．證明如下：取中點(diǎn)G，連接，∵等腰中，∠ACB=120°，D為的中點(diǎn)，∴，即，，∵在中，點(diǎn)G是中點(diǎn)，∴，∴是等邊三角形，∴，，又∵，∴，又∵，，∴，∴，∴，∴，故答案為：；（3）解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，取G為的中點(diǎn)，如圖，∵，∴，在中，點(diǎn)G是中點(diǎn)，∴，∵平分，，∴，∴是等邊三角形，∴，，又∵，∴，又∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，故答案為：10．15．（2024·河南商丘·一模）綜合實(shí)踐課上，劉老師介紹了四點(diǎn)共圓的判定定理：若平面上四點(diǎn)連成四邊形的對(duì)角互補(bǔ)或一個(gè)外角等于其內(nèi)對(duì)角，那么這四點(diǎn)共圓．在實(shí)際應(yīng)用中，如果運(yùn)用這個(gè)定理，往往可以讓復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，以下是小明同學(xué)對(duì)一道四邊形問(wèn)題的分析，請(qǐng)幫助他補(bǔ)充完整．

特殊情況分析(1)如圖1，正方形中，點(diǎn)為對(duì)角線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將射線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，交直線于點(diǎn)．小明的思考如下：連接，∵，，∴，（依據(jù)1）∵，∴，∴點(diǎn)共圓，∴，，（依據(jù)2）∴，∴．（依據(jù)3）填空：①依據(jù)1應(yīng)為_(kāi)__________，②依據(jù)2應(yīng)為_(kāi)__________，③依據(jù)3應(yīng)為_(kāi)__________；一般結(jié)論探究(2)將圖1中的正方形改為菱形，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否成立，若成立，請(qǐng)僅以圖2的形式證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；結(jié)論拓展延伸(3)如圖2，若，，當(dāng)為直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)．【答案】(1)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；同弧所對(duì)的圓周角相等；等角對(duì)等邊(2)成立，理由見(jiàn)解析(3)或3【詳解】（1）解：由題意可知：①兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，②同弧所對(duì)的圓周角相等，③等角對(duì)等邊，故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；同弧所對(duì)的圓周角相等；等角對(duì)等邊；（2）解：（1）中結(jié)論仍然成立，理由如下：連接DQ，如圖1所示：

∵在菱形中，∴，，∵，∴點(diǎn)共圓，∴，，∵為菱形的對(duì)角線，∴，∴，∴；（3）解：或3．由于點(diǎn)為對(duì)角線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分兩類情況討論如下：①當(dāng)時(shí)，如圖2所示：

∵在菱形中，，，∴，∵，∴，∴，由（2）中知點(diǎn)共圓，知，，∴，∴，即，∴在中，，則，∴由（2）知；②當(dāng)時(shí)，如圖3所示：

在菱形中，，則，，點(diǎn)與點(diǎn)重合，由（2）可知，，，綜上所述：或3．16．（2024·河南鄭州·一模）綜合與實(shí)踐【問(wèn)題情境】在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形紙片的剪拼”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)．如圖1，將：矩形紙片沿對(duì)角線剪開(kāi)，得到和．并且量得，．【操作發(fā)現(xiàn)】（1）將圖1中的以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)∠α，使，得到如圖2所示的，過(guò)點(diǎn)C作的平行線，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，則四邊形的形狀是．（2）創(chuàng)新小組將圖1中的以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使B、A、D三點(diǎn)在同一條直線上，得到如圖3所示的，連接，取的中點(diǎn)F，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)G，使，連接、，得到四邊形，請(qǐng)你判斷四邊形的形狀，并證明你的結(jié)論．【實(shí)踐探究】（3）縝密小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基礎(chǔ)上，進(jìn)行如下操作：將沿著方向平移，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，此時(shí)A點(diǎn)平移至點(diǎn)，與相交于點(diǎn)H，如圖4所示，連接，試求的值．【答案】（1）菱形；（2）四邊形是正方形，證明見(jiàn)解析；（3）【詳解】解：（1）在圖1中，∵是矩形的對(duì)角線，∴，，∴，在圖2中，由旋轉(zhuǎn)知，，，∴，∵，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴是菱形，故答案為：菱形；（2）四邊形是正方形，證明如下：在圖1中，∵四邊形是矩形，∴，∴，，∴，在圖3中，由旋轉(zhuǎn)知，，∴，∴，∵點(diǎn)D，A，B在同一條直線上，∴，由旋轉(zhuǎn)知，，∵點(diǎn)F是的中點(diǎn)，∴，，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴是菱形，又∵，∴菱形是正方形；（3）在中，，，∴，∴，，∴∠ACB=30°，由（2）結(jié)合平移知，，在中，∠ACB=30°，∴，∴，在中，，∴，在中，．17．（2024·河南焦作·一模）在綜合實(shí)踐課上，老師設(shè)計(jì)下面問(wèn)題，請(qǐng)你解答．(1)觀察發(fā)現(xiàn)如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)作軸的對(duì)稱點(diǎn)，再分別作點(diǎn)關(guān)于直線和軸的對(duì)稱點(diǎn)，則點(diǎn)可以看作是點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為_(kāi)__________；點(diǎn)可以看作是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)___________的對(duì)稱點(diǎn)．(2)探究遷移如圖2，正方形中，為直線下方一點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，再分別作關(guān)于直線和直線的對(duì)稱點(diǎn)和P3，連接，，請(qǐng)僅就圖2的情況解決以下問(wèn)題：①請(qǐng)判斷的度數(shù)，并說(shuō)明理由；②若，求兩點(diǎn)間的距離．(3)拓展應(yīng)用在（2）的條件下，若，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)①90°，見(jiàn)解析；②(3)或3+1【詳解】（1）解：連接，∵，∴，∴，∴點(diǎn)可以看作是點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為，∵，共線，∴點(diǎn)可以看作是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，故答案為：；（2）①解：連接由對(duì)稱性可得：，∴；②由（1）可知：共線，∴∵，∴；（3）解：①當(dāng)點(diǎn)P在正方形外部時(shí)，連接，過(guò)點(diǎn)作，則，，∴，∴，∴；②當(dāng)點(diǎn)P在正方形內(nèi)部時(shí)，連接，過(guò)點(diǎn)作，則，，∴，∴，∴，∴，綜上所述：或18．（2024·河南焦作·二模）綜合與實(shí)踐【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】在學(xué)習(xí)了“特殊的四邊形”后，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)發(fā)現(xiàn)了這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，已知正方形為對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直于的射線，點(diǎn)在射線上，且，連接．通過(guò)觀察圖形，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)進(jìn)行了如下猜想：猜想①：；猜想②：；猜想③：點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形的面積不變．根據(jù)上述猜想，興趣小組的同學(xué)進(jìn)行了證明，過(guò)程如下：四邊形是正方形，，，，即．．．又，．（依據(jù)：________）．……（1）上述證明過(guò)程中的依據(jù)是________，上述猜想中正確的有________（填序號(hào)）．【類比探究】（2）興趣小組的同學(xué)在探究了正方形中的結(jié)論后，將正方形換成矩形繼續(xù)探究．如圖，已知矩形，，為對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直于的射線，點(diǎn)在射線上，且，連接．①請(qǐng)判斷線段與CF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．②點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形的面積是否改變？________．（填“不變”或“改變”）【拓展應(yīng)用】（3）在（2）的條件下，若，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)四邊形為軸對(duì)稱圖形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)．【答案】（1）（或“兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等）；①②③；（2）①，理由見(jiàn)解析；②改變；（3）2或【詳解】解：（1）四邊形是正方形，，，，，，即，，，，又，，，上述證明過(guò)程中的依據(jù)是，，猜想①、猜想②正確．，．．點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形的面積不變．猜想③正確．故答案為：ASA；①②③；（2）①．理由如下：四邊形是矩形，．，．，，即．．，．又，．．．．②改變．由（2），可知，且相似比為，．．點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形的面積改變．（3）2或．分兩種情況討論．①當(dāng)四邊形關(guān)于所在直線對(duì)稱時(shí)，如圖，此時(shí)交于點(diǎn)，，，，，，∵AB=6，，，，，∴．②當(dāng)四邊形為矩形時(shí)，如解圖2所示，此時(shí)．綜上所述，線段的長(zhǎng)為2或．19．（2024·河南信陽(yáng)·一模）李老師善于通過(guò)合適的主題整合教學(xué)內(nèi)容，幫助同學(xué)們用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問(wèn)題，形成科學(xué)的思維習(xí)慣．下面是李老師在“圖形的變化”主題下設(shè)計(jì)的問(wèn)題，請(qǐng)你解答．(1)問(wèn)題背景如圖1，正方形中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交邊于點(diǎn)，將沿直線折疊后，點(diǎn)A落在點(diǎn)處，當(dāng)時(shí)，；如圖2，連接，當(dāng)點(diǎn)恰好落在上時(shí)，其他條件不變，則；(2)探究遷移如圖3，在（1）的條件下，若把正方形改成矩形，且，其他條件不變，請(qǐng)寫(xiě)出與之間的數(shù)量關(guān)系式（用含的式子表示），并說(shuō)明理由；(3)拓展應(yīng)用如圖4，在（1）的條件下，若把正方形改成菱形，且，，其他條件不變，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．【答案】(1)，2(2)，理由見(jiàn)詳解(3)【詳解】（1）解：（1），，，，由翻折的性質(zhì)可知，，，，又，，又，，，由翻折的性質(zhì)可知，，，，，四邊形為正方形，，，，，，，，，即，故答案為：，2；（2），理由如下：由（1）可知，，，，；（3）過(guò)作，交延長(zhǎng)線于，作的平分線，交于，如圖，，，，，，又，，，，，，，，，，，，，設(shè)，四邊形為菱形，，，，，，，，由勾股定理可得：，，解得：，即的長(zhǎng)為．20．（2024·河南鄭州·二模）綜合與實(shí)踐【問(wèn)題情境】如圖，小穎將矩形紙片先沿對(duì)角線折疊，展開(kāi)后再折疊，使點(diǎn)落在射線上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為，折痕與邊，分別交于點(diǎn)，．【活動(dòng)猜想】（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出四邊形BEDF是哪種特殊的四邊形？答：______．【問(wèn)題解決】（2）在矩形紙片中，若邊，．請(qǐng)判斷與對(duì)角線的位置關(guān)系并僅就圖給出證明；當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)的長(zhǎng)度．【答案】（1）菱形；（2），證明見(jiàn)解析；或【詳解】解：（1）如圖2，由折疊得點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，直線垂直平分，點(diǎn)與點(diǎn)重合，直線垂直平分，，，四邊形是矩形，，，，，，，四邊形BEDF是菱形，故答案為：菱形．（2）①，證明：，，，，，，，是等邊三角形，，，，．②的長(zhǎng)度為或，理由：如圖3，點(diǎn)在線段上，設(shè)交于點(diǎn)，，，，，，，，，，；如圖4，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，，，，，，，，，綜上所述，的長(zhǎng)度為或．21．（2024·河南新鄭·一模）【操作與發(fā)現(xiàn)】如圖①，在正方形中，點(diǎn)N，M分別在邊上．連接、．，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，得到．易證：，從而可得：．(1)【實(shí)踐探究】在圖①條件下，若，則正方形的邊長(zhǎng)是．(2)如圖②，在正方形中，點(diǎn)M、N分別在邊上，連接、．，，若，求證：M是的中點(diǎn)．(3)【拓展】如圖③，在矩形中，點(diǎn)M、N分別在邊上，連接，已知，，則的長(zhǎng)是．【答案】(1)12(2)見(jiàn)解析(3)8【詳解】（1）解：四邊形是正方形，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，，即，，，，在和中，，，，，，在中，由勾股定理得：，則，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則，，解得：，即正方形的邊長(zhǎng)是12；故答案為：12；（2）證明：設(shè)，由（1）可知，，，，，，在中，由勾股定理得：，整理得：，，，即M是的中點(diǎn)；（3）解：延長(zhǎng)至P，使，過(guò)P作的平行線交的延長(zhǎng)線于Q，延長(zhǎng)交于E，連接，如圖③所示：則四邊形是正方形，，設(shè)，則，，，，，，由（1）得：，在中，由勾股定理得：，解得：，即的長(zhǎng)是8；故答案為：8.22．（2024·河南新鄉(xiāng)·一模）（1）創(chuàng)設(shè)情境如圖1，在正方形中，，E為線段上一動(dòng)點(diǎn)，將沿翻折，得到，若的延長(zhǎng)線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，則___________．（2）發(fā)現(xiàn)問(wèn)題如圖2，在矩形中，E為線段上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，將沿翻折，得到，延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F，若，試說(shuō)明點(diǎn)E是的中點(diǎn)．（3）問(wèn)題解決如圖3，在中，，，，E為直線上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，將沿翻折，得到，在的延長(zhǎng)線上找一點(diǎn)F，使得，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)F到直線的距離．【答案】（1）2（2）見(jiàn)解析（3）點(diǎn)F到直線的距離為或或16【詳解】解：（1）四邊形是正方形，，，，沿翻折，得到，的延長(zhǎng)線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，，，，設(shè)，則，，，解得：，，故答案為：2；（2）如圖1，連接，由折疊的性質(zhì)，知，又，，，，，由折疊的性質(zhì)，知，，，，，，即點(diǎn)E是的中點(diǎn)；（3）①如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)F分別作，的平行線，交于點(diǎn)H，HF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，連接，由（2）中推論得到點(diǎn)E是的中點(diǎn)；，，，設(shè)，則，，在中，，，解得：，，則，，，，由（2）知∠AEF=90°，，，，，由折疊的性質(zhì)得：，，，在中，，點(diǎn)F到直線的距離為；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)F作垂足為G，，，，由（2）知∠AEF=90°，，，，，，又，，，是的角平分線，，，，即，，點(diǎn)F到直線的距離為；③如圖4，當(dāng)點(diǎn)E在延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)F作垂足為G，同理得：是的角平分線，，，，，，，即，，點(diǎn)F到直線的距離為；綜上，點(diǎn)F到直線的距離為或或16．23．（2024·河南商丘·一模）張老師在講“圖形的對(duì)稱”時(shí)，進(jìn)行了如下教學(xué)設(shè)計(jì)．【觀察發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)均在第一象限，，分別作點(diǎn)關(guān)于軸，軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則可看作是由繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)______得到的；______．【遷移探究】（2）在中，邊上的高，求的長(zhǎng)．①小明利用（1）中的方法解決此問(wèn)題，過(guò)程如下：根據(jù)要求作出，如圖2所示，再分別作關(guān)于的對(duì)稱線段，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，請(qǐng)補(bǔ)全圖形并求出的長(zhǎng)．②小明發(fā)現(xiàn)根據(jù)要求還可以作出鈍角三角形，如圖3所示，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)的長(zhǎng)．【拓展應(yīng)用】（3）在中，邊上的高，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．【答案】（1）180，4；（2）①補(bǔ)全圖形見(jiàn)解析，；②的長(zhǎng)為；（3）的長(zhǎng)為或【詳解】解：（1）如圖1所示；可看作是由繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的；，故答案為：180，4；（2）①補(bǔ)全圖形如圖2所示，∵關(guān)于，的對(duì)稱線段，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是矩形，∵，∴四邊形是正方形，∵，∴2，由軸對(duì)稱的性質(zhì)得，∴，設(shè)，則，∴，∵，∴，∴，∴；②如圖3，分別作關(guān)于，的對(duì)稱線段，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，由