試題PAGE1試題2024北京順義一中高一（下）期中數學本試卷共4頁，150分.考試時長120分鐘.考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結束后，將答題卡交回.一、選擇題（每小題4分，共40分，四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.在復平面內，復數z對應的點的坐標是，則（）A. B. C. D.2.在平面直角坐標系中，，則向量（）A. B. C. D.3.下列函數中，最小正周期為且是偶函數的是（）A. B. C. D.4.在中，，那么等于（）A. B. C. D.5.在，“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.將函數的圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象，則（）A. B.C. D.7.在平面直角坐標系中，O為坐標原點，，，則（）A. B. C. D.8.已知函數，則（）A.的最小值為0B.的最小正周期為C.將向右平移個單位所得圖象關于原點中心對稱D.函數在區間上單調遞增9.已知的內角所對的邊分別為，面積為，若，，則的形狀是（）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.正三角形 D.等腰直角三角形10.已知點A，點B，點P都在單位圓上，且，則的最大值是（）A. B.3 C.1 D.2二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）11.已知向量，.若，則______；若，則______.12.復數的模等于______；虛部等于______.13.已知向量，，在正方形網格中的位置，如圖所示.則______.14.已知圓柱的底面半徑為3，體積為的球與該圓柱的上、下底面相切，則球的半徑為______，圓柱的體積為______．15.如圖，在透明塑料制成的長方體容器內灌進一些水（未滿），將容器底面一邊BC固定于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下列四種說法：①水的部分始終呈棱柱狀；②棱始終與水面平行；③水面四邊形的面積不改變；④當，且時，是定值.其中所有正確的命題的序號是______.（請在橫線上寫出所有正確答案的序號，錯選不得分）三、解答題（共6小題，共85分，解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程）16.已知向量．（1）求；（2）求與夾角的大小；（3）求．17.如圖，四棱錐中，底面為矩形，與平面垂直，E為的中點.（1）證明：平面；（2）若，，，求四棱錐的體積.18.已知函數.（1）求的值；（2）求函數的單調遞增區間；（3）若函數在區間上的最大值為1，求m的取值范圍.19.如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，設平面與平面的交線為m，分別為的中點.（1）求證：平面；（2）求證：.20.①；②；③向量與平行，在這三個條件中任選一個，補充在下面題干中，然后解答問題.已知內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足______.（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）（1）求角；（2）若，求面積的最大值.21.“費馬點”是由十七世紀法國數學家費馬提出并征解的一個問題．該問題是：“在一個三角形內求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小.”意大利數學家托里拆利給出了解答，當的三個內角均小于時，使得的點即為費馬點；當有一個內角大于或等于時，最大內角的頂點為費馬點．試用以上知識解決下面問題：已知的內角所對的邊分別為，（1）若，①求；②若，設點為的費馬點，求；（2）若，設點為的費馬點，，求實數的最小值．

參考答案一、選擇題（每小題4分，共40分，四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.【答案】D【分析】根據復數的幾何意義即可得解.【詳解】因為復數z對應的點的坐標是，所以.故選：D.2.【答案】B【分析】利用起點和終點坐標求向量坐標.【詳解】依題意，，.故選：B3.【答案】A【分析】借助三角函數得周期性與對稱性逐項判斷即可得.【詳解】對A：，又是偶函數，故A正確；對B：為奇函數，故B錯誤；對C：周期為，故C錯誤；對D：為奇函數，故D錯誤.故選：A.4.【答案】C【分析】利用正弦定理求得.【詳解】由正弦定理得.故選：C5.【答案】C【分析】先考慮充分性，再考慮必要性得解.【詳解】當，因為在內單調遞減，所以，所以“”是“”的充分條件；當時，因為在內單調遞減，所以，所以“”是“”的必要條件.故選：C【點睛】本題主要考查充分條件必要條件的判斷，考查余弦函數的單調性，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.6.【答案】C【分析】由題意結合函數圖象平移的規律及誘導公式即可得解.【詳解】由題意.故選：C.【點睛】本題考查了三角函數的圖象變換與誘導公式的應用，考查了運算求解能力，屬于基礎題.7.【答案】D【分析】由兩點間的距離公式求出，再由余弦定理求解即可.【詳解】因為O為坐標原點，，，所以，，，所以.故選：D.8.【答案】C【分析】借助輔助角公式、三角函數的值域、周期、三角函數的平移變換與單調性逐項判斷即可得.【詳解】對A：，故的最小值為，故A錯誤；對B：，故的最小正周期為，故B錯誤；對C：將向右平移個單位可得，由的圖象關于原點中心對稱，故的圖象關于原點中心對稱，故C正確；對D：當，有，由在上不具單調性，故函數在區間上不是單調遞增的，故D錯誤.故選：C.9.【答案】A【分析】分別從兩個條件計算出的正切值，再計算出各個角的角度，即可判斷三角形的形狀.【詳解】由及正弦定理知，故.由，知.從而，，這說明是等腰三角形，不是直角三角形，不是正三角形，故選項A正確，選項B，C，D錯誤.故選：A.10.【答案】A【分析】設的中點為，得，，將化為，根據可得結果.【詳解】設的中點為，因為，，所以，，則，因為，所以，即的最大值是.

故選：A.【點睛】關鍵點點睛：設的中點為，將化為，是解決本題的關鍵.二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）11.【答案】①.②.【分析】利用平面向量共線的坐標表示結合垂直的坐標表示計算即可.【詳解】利用平面向量共線的坐標表示可知，若，則；若，則.故答案為：，12.【答案】①.②.【分析】直接求出復數的模和虛部即可.【詳解】由題意知：，復數的虛部為.故答案為：；.13.【答案】6【分析】將，，平移至同一個起點并構建直角坐標系，令單元格長度為1，標出相關向量的坐標，再應用向量數量積的坐標表示求.【詳解】將，，平移至同一個起點位置，如下圖點位置，并構建直角坐標系，若每個單元格長度為1，又，則，，所以.故答案為：6.14.【答案】①.2②.【分析】根據球的體積公式求出球的半徑，根據相切得圓柱的高，根據圓柱的體積公式可得結果.【詳解】設球的半徑為，則，得，則圓柱的高為，所以圓柱的體積為.故答案為：；.15.【答案】①②④【分析】從棱柱的特征平面可判斷①；由，水面，水面，可判斷②；由水面四邊形的面積是改變的可判斷③；由體積是定值，高為定值，則底面積為定值，可判斷④.【詳解】根據面面平行性質定理，可得BC固定時，在傾斜的過程中，始終有，且平面平面，故水的形狀成棱柱狀，沒水的部分也始終成棱柱狀，故①正確；因為平面，平面，則，且，則，即為矩形，又因為水面所在四邊形的面積，從圖中可以發現，邊長不變，而另外一條長隨著傾斜程度變化而變化，所以所在四邊形的面積是變化的，故③錯誤；因為，水面，水面，所以水面正確，故②正確；若，，由于水的形狀成棱柱，且水的體積是定值，高不變，所以底面面積不變，又在矩形中，四邊形的面積為是定值，因為為定值，所以是定值，故④正確.故答案為：①②④.【點睛】方法點睛：常見的線面平行的證明方法有：（1）通過面面平行得到線面平行；（2）通過線線平行得到線面平行，在證明線線平行中，經常用到中位線定理或平行四邊形的性質.三、解答題（共6小題，共85分，解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程）16.【答案】（1）5，（2），（3）5【分析】（1）直接利用坐標求解即可；（2）利用向量的夾角公式求解；（3）先求出的坐標，再求其模【詳解】解：（1）因為，所以，（2）設與夾角為，則，因為，所以，所以與夾角的大小為，（3）因為，所以，所以17.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）利用中位線的性質得線線平行，再證線面平行即可；（2）利用棱錐的體積公式計算即可.【小問1詳解】連接交于F，由底面為矩形可知F為中點，又E為的中點，利用三角形中位線的性質得，因為平面，平面，所以平面；【小問2詳解】由，，，及棱錐體積公式可知：.18.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）利用二倍角公式、差角公式及輔助角公式先化簡函數，直接代入計算函數值即可；（2）利用正弦函數的單調性計算即可；（3）利用正弦函數的圖象與性質計算即可.【小問1詳解】因為，所以；【小問2詳解】令，解之得，所以函數的單調遞增區間為；【小問3詳解】由，結合題意可知，即m的取值范圍為.19.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【分析】（1）取的中點，利用中位線的性質先證明四邊形為平行四邊形，由線線平行證線面平行即可；（2）利用線線平行先證線面平行，再由線面平行的性質證線線平行即可.【小問1詳解】取的中點，連接，因為分別為的中點，底面為平行四邊形，則，且，所以四邊形為平行四邊形，即，顯然平面，平面，則平面；【小問2詳解】易知，平面，平面，所以平面，又平面，平面與平面的交線為m，所以.20.【答案】（1）（2）【分析】（1）若選①：借助正弦定理與余弦定理計算即可得；若選②：借助正弦定理將邊化為角后借助兩角和的正弦定理計算即可得；若選③：借助向量平行計算即可得；（2）借助余弦定理與基本不等式計算即可得.【小問1詳解】若選①：：借助正弦定理可得，即，即，又，故，故；若選②：：借助正弦定理可得，即有，即，又，故，故，故；若選③：向量與平行：由題意可得，即，又，故，故，故；【小問2詳解】由（1）知：，又，所以，即，即，當且僅當時，等號成立，故，即面積的最大值為.21.【答案】（1）①；②（2）.【分析】（1）①利用正弦定理角化邊，然后利用余弦定理來求解；②利用等面積法列方程，結合向量數量積運算求得正確答案；（2）由（1）結論可得，設，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再結合基本不等式即可求得答案.【小問1詳解】①由正弦定理得，即，所以，又，所以；②由①，所以三角形的三個角都小于，則由費馬點定義可知：，設，由得