第七章靜定結構的內力計算

本章介紹靜定結構的內力分析和計算。靜定

結構內力分析的基本方法是截面法，利用截面法

求出控制截面上的內力值，再利用內力變化規律,

最后繪出結構的內力圖。靜定結構的內力計算是

靜定結構位移計算和超靜定結構內力計算的基礎。

內容

7.1多跨靜定梁

7.2靜定平面剛架

7.3靜定平面桁架

7.4靜定平面組合結構

7.5三較拱

小結

7.1多跨靜定梁

多跨靜定梁是由單跨靜定梁通過較加以適當聯

結而成的結構。

多跨靜定梁一般要跨越幾個相連的跨度，它是

工程中廣泛使用的一種結構形式，最常見的有公路

橋梁和房屋中的楝條梁等。

楝條梁

7.1.1多跨靜定梁的幾何組成

多跨靜定梁有兩種基本組成形式：

第一種是無錢跨和雙較跨交替出現；

第二種是第一跨無中間錢，其余各跨各有一個

中間較O

ABCD

橋梁的計算簡圖

AAAD,

以出事物+向

樵條梁楝條梁的計算簡圖

就幾何組成而言，多跨靜定梁的各個部分可

分為基本部分和附屬部分。

在橋梁中，梁由三根支座鏈桿與基礎相聯結,

是幾何不變體系，能獨立承受荷載，稱為基本部分。

8梁在豎向荷載作用下能獨立維持平衡，故在豎向

荷載作用下8梁也可看作基本部分。而梁則必

須依靠梁和8梁的支承才能承受荷載并維持平

衡，稱為附屬部分。

BCD

^5!0^5?°

在楝條梁中，48梁是基本部分，而5C梁、CD

梁則是附屬部分。

為清晰起見，可將它們的支承關系分別用圖表

示，這樣的圖形稱為層次圖。

7.1.2多跨靜定梁的內力計算

通過層次圖可以看出力的傳遞過程。因為基本

部分直接與基礎相聯結，所以當荷載作用于基本部

分時，僅基本部分受力，附屬部分不受力；當荷載

作用于附屬部分時，由于附屬部分與基本部分相聯

結，故基本部分也受力。

因此，多跨靜定梁的約束反力計算順序應該是

先計算附屬部分，再計算基本部分。即從附屬程度

最高的部分算起，求出附屬部分的約束反力后，將

其反向加于基本部分即為基本部分的荷載，再計算

基本部分的約束反力。

當求出每一段梁的約束反力后，其內力計算和

內力圖的繪制就與單跨靜定梁一樣，最后將各段梁

的內力圖連在一起即為多跨靜定梁的內力圖。

【例7.1】繪制圖（a）所示多跨靜定梁的內力圖。

⑻

【解】1）繪制層次圖。

F

梁48。固定在基礎上，是基本部分；梁CDE固

定在梁4BC上，是第一級附屬部分；梁EF固定在梁

CDE上，是第二級附屬部分。

根據上述分析，多跨靜定梁由三個層次構成。

2）求約束反力。

在計算時，先計算EF梁，再計算CDE梁，最

后計算48稼。

EF

(c)

取石歹為隔離體，由平衡方程求得梁的約束反

力為

缶=4.5kN,%=4.5kN

2kN/m

將小的反作用力作為荷載加在CDE梁的E處,

由平衡方程求得CDE梁的約束反力為

F^=10.5kN,FQ=4kN

10kN

I

再將歹。的反作用力作為荷載加在NEC梁上,

由平衡方程求得NEC梁的約束反力為

萬曠15kN,%=9kN

20kN

A、,B

*----------

3）繪制內力圖。

各段梁的約束反力求出后，可以根據圖（c）計

算各控制截面上的內力，并逐段繪制內力圖（此

處將計算過程略去）。最后將各段梁的內力圖連

接在一起就是所求的多跨靜定梁的內力圖［圖（d,

>--------

99

1111

(e)Fs圖(kN)

7.1.3多跨靜定梁的受力特征

上圖是多跨相互獨立的系列簡支梁及其在均

布荷載9的作用下的彎矩圖，下圖是一相同跨度、

相同荷載作用下的多跨靜定梁及其彎矩圖。比較

兩個彎矩圖可以看出，系列簡支梁的最大彎矩大

于多跨靜定梁的最大彎矩。因而，系列簡支梁雖

然結構較簡單，但多跨靜定梁的承載能力大于系

列簡支梁，在同荷載的情況下可節省材料。

q

系列簡支梁

的彎矩圖

多跨靜定

梁的彎矩

圖

7.2靜定平面剛架

?

7.2.1柄E述

1.剛架的特點

剛架是由直桿組成的具有剛性結點的結構°

在剛架中的剛結點處，剛結在一起的各桿不

能發生相對移動和轉動，變形前后各桿的夾角保

持不變，故剛結點可以承受和傳遞彎矩。

由于存在剛結點，使剛架中的桿件較少，內

部空間較大，比較容易制作，所以在工程中得到

廣泛應用。

2.剛架的分類

靜定平面剛架主要有以下四種類型:

(1)懸臂剛架

懸臂剛架一般由一個

構件用固定端支座與基礎

連接而成。

站臺雨篷

（2）簡支剛架

簡支剛架一般由一個構件用固

定較支座和活動較支座與基礎連接

或用三根既不全平行、又不全交于

一點的鏈桿與基礎連接而成。

簡支剛架常見的有門式的和T

形的兩種。

渡槽的槽身

(3)三較剛架

三較剛架一般由兩個構

件用錢連接，底部用兩個固

定較支座與基礎連接而成。

屋架

(4)組合剛架

組合剛架通常是由上述三種剛架中的某一種

作為基本部分，再按幾何不變體系的組成規則連

接相應的附屬部分組合而成。

V7977

組合剛架

7.2.2靜定平面剛架的內力計算

在一般情況下，剛架中各桿的內力有彎矩、

剪力和軸力。

靜定平面剛架內力計算的一般步驟是:先由整

體或部分的平衡條件，求出支座反力和較結點處

的約束力，然后可面對桿件，即使桿件在面前橫

放，按單跨靜定梁的內力計算法則和內力圖的繪

制方法，逐桿繪制內力圖，最后將各桿的內力圖

連在一起，即得整個剛架的內力圖。

在剛架的內力計算中，彎矩可自行規定正負,

但須注明受拉的一側，彎矩圖繪在桿的受拉一側。

剪力和軸力的正負號規定同前，即剪力以使隔離

體產生順時針轉動趨勢時為正，反之為負；軸力

以拉力為正，壓力為負。剪力圖和軸力圖可繪在

桿的任一側，但須標明正負號。

為了使桿件內力表達得清晰，在內力符號的

右下方以兩個下標注明內力所屬的截面。第一個

下標表示該內力所屬桿端的截面；第二個下標表

示桿段的另一端截面。例如，桿段43的4端的彎

矩和剪力分別用監3、FS4B表示;而5端的的彎矩

和剪力分別用融3/、FsB4表示。

【例7.2】繪制圖（a）所示懸臂剛架的內力圖。

>

(a)

【解】懸臂剛架可不計算支座反力，直接計算

內力。

1）求各控制截面上的內力。

取每個桿件的兩端為控制截面，從自由端開始,

根據荷載情況按單跨靜定梁的內力計算法則，可得

各控制截面上的內力為

(a)

X%c=O

MCD=-40kNx4m-10kN/mx4mx2m

=-240kNm（上側受拉）

MCA=MCD=-240kNm（左側受拉）

MA（f=-40kNx4m-10kN/mx4mx2m-40kNx2m

=-320kNm（左側受拉）

10kN/m40kN

40kNBu

J-------

FSDC=40kN

FSCD=40kN+10kN/mx4m=80kN

FSCA=0

FSAC=40kN

FNDC=FNCD=0

FNCA=-40kN-10kN/mx4m=-80kN

bNNC=-80kN

2）繪制內力圖。

由區段疊加法繪制彎矩圖。在CD段，將控制

截面上的彎矩值豎標按比例標出并用虛線連接，

以此虛線為基線，疊加上相應簡支梁在均布荷載

作用下的彎矩圖。在ZC段，以連接控制截面上的

彎矩值豎標的虛線為基線，疊加上相應簡支梁在

跨中點受集中荷載作用下的彎矩圖。

(a)

由控制截面上的剪力值，并

利用外紜和M三者的微分關系

繪制該剛架的剪力圖。在CD段,

有均布荷載作用，剪力圖是一條

斜直線，用直線連接兩控制截面

上剪力值的豎標即是該段的剪力

圖。

T/c段，因無均布荷載作用，剪力圖應是與軸線

平行的直線，在集中力作用的瓦點處剪力圖出現突變,

突變值等于40kN。

由于各桿均無沿桿軸方向的荷載，所以各桿軸

力為常數。根據求出的控制截面上軸力值直接繪出

軸力圖。

士-------

【例7.3】繪制圖（）所示簡支剛架的內力圖。

6=20kN

3m2m

(a)

【解】1）求支座反力。

尸］=20kN

-^lEG=60kN

D

日

N、

U

B

2

Q

由剛架整體的平衡方程，可得支座反力為

且x=60kN,4=—16kN,FB=76kN

2）求控制截面上的內力。

將剛架分為ZCCE,CD和ns四段，取每段桿

的兩端為控制截面。這些截面上的內力為

尸i=20kN

尸2=60kN

%=76kN

心尸60kN

匕,=

776kN

>------------------

叫c=0/i=20kN

—尸2=60kN

Mz=60kNX4m-lOkN/mX4mX2m

E

、N

=0n76kN日

0

I

n

=160kNm（右側受拉）5

產人=60kN

叫片013m2m

%7=76kN

MC￡=-20kNX2m=-40kNm（左側受拉）

MCD=~60kNX3m+76kNX5m

=200kNm（下側受拉）

MDC=MDB=76kNX2m=152kN-m（下側受拉）

M療0

卻=20kN

―?(￡尸2=60kN

F^60kN

sIB

E

Z三

F,=60kN-10kN/mX4m=20kN2P)=76kN

三0

srU

5

二

廠SCE=%c=20kN

%=60kN

2m

五sc?=%片60kN-76kN=—16kN4=76kN

FSDB=FSBD=~76kN

FNAC=FNCA=16kN

^NCE=^NEC=^CD=^NDC=^DB=^BD=^

3)繪制內力圖。

根據以上求得的各控制截面上的內力，繪

出剛架的內力圖如圖(b?d)所示。

J--------

F,=20kNE

—F2=60kN

日

N、

*

o

n

3m2m

(b)M圖(kN-m)

60

(c)Fs圖(kN)(d)FN圖(kN)

17.3靜定平面桁架

V————

7.3.1概述

1.桁架的特點

梁和剛架在承受荷載時，主要產生彎曲內力,

截面上的應力分布是不均勻的，構件的材料不能

得到充分的利用。

桁架是由直桿組成，全部由校結點聯結而成

的結構。在結點荷載作用下，桁架各桿的內力只

有軸力，截面上應力分布是均勻的，充分發揮了

材料的作用。

桁架是大跨度結構中應用得非常廣泛的一種,

如民用房屋和工業廠房中的屋架、托架，大跨度

的鐵路和公路橋梁，起重設備中的塔架，以及建

筑施工中的支架等。

為了便于計算，通常對工程實際中平面桁架

的計算簡圖作如下假設：

(1)桁架的結點都是光滑的理想較。

(2)各桿的軸線都是直線，且在同一平面內,

并通過錢的中心。

(3)荷載和支座反力都作用于結點上，并位

于桁架的平面內。

符合上述假設的桁架稱為理想桁架，理想

桁架中各桿的內力只有軸力。

工程實際中的桁架與理想桁架有著較大的

差別。

(b)

例如，在圖（a）所示的鋼屋架［圖（b）為

其計算簡圖］中，各桿是通過焊接、弱接而聯結

在一起的，結點具有很大的剛性，不完全符合理

想錢的情況。此外，各桿的軸線不可能絕對平直,

各桿的軸線也不可能完全交于一點，荷載也不可

能絕對地作用于結點上。因此，實際桁架中的各

桿不可能只承受軸力。

通常把根據計算簡圖求出的內力稱為主內力,

把由于實際情況與理想情況不完全相符而產生的

附加內力稱為次內力。理論分析和實測表明，在

一般情況下次內力可忽略不計。本書僅討論主內

力的計算。

在圖(a)、(b)中，桁架上、下邊緣的桿件分別

稱為上弦桿和下弦桿，上、下弦桿之間的桿件稱

為腹桿，腹桿又分為豎桿和斜桿。弦桿相鄰兩結

點之間的水平距離d稱為節間長度，兩支座之間

的水平距離/稱為跨度，桁架最高點至支座連線的

垂直距離〃稱為桁高。

2.桁架的分類

按桁架的幾何組成規律可把平面靜定桁架分為

以下三類：

(1)簡單桁架

由基礎或一個較接三角形開始，依次增加二元

體而組成的桁架稱為簡單桁架。

（2）聯合桁架

由幾個簡單桁架按照幾何不變體系的組成規則,

聯合組成的桁架稱為聯合桁架。

（3）復雜桁架

凡不按上述兩種方式組成的桁架均稱為復雜桁架。

此外，桁架還可以按其外形分為平行弦桁架、

拋物線形桁架、三角形桁架、梯形桁架等。

平行弦桁架

拋物線形桁架

7.3.2平面靜定桁架的內力計算

1.內力計算的方法

平面靜定桁架的內力計算的方法通常有結點

法和截面法。

結點法是截取桁架的一個結點為隔離體，利

用該結點的靜力平衡方程來計算截斷桿的軸力。

由于作用于桁架任一結點上的各力（包括荷載、

支座反力和桿件的軸力）構成了一個平面匯交力

系，而該力系只能列出兩個獨立的平衡方程，因

此所取結點的未知力數目不能超過兩個。

結點法適用于簡單桁架的內力計算。一般先

從未知力不超過兩個的結點開始，依次計算，就

可以求出桁架中各桿的軸力。

截面法是用一截面（平面或曲面）截取桁架的

某一部分（兩個結點以上）為隔離體，利用該部分

的靜力平衡方程來計算截斷桿的軸力。由于隔離

體所受的力通常構成平面一般力系，而一個平面

一般力系只能列出三個獨立的平衡方程，因此用

截面法截斷的桿件數目一般不應超過三根。

截面法適用于求桁架中某些指定桿件的軸力。

另外，聯合桁架必須先用截面法求出聯系桿的軸

力，然后與簡單桁架一樣用結點法求各桿的軸力。

一般地，在桁架的內力計算中，往往是結點法和

截面法聯合加以應用。

在桁架的內力計算中，一般先假定各桿的軸

力為拉力，若計算的結果為負值，則該桿的軸力

為壓力。止匕外，為避免求解聯立方程，應恰當地

選取矩心和投影軸，盡可能使一個平衡方程中只

包含一個未知力。

2.零桿的判定

桁架中有時會出現軸力為零的桿件，稱為

零桿。

在計算內力之前，如果能把零桿找出，將

會使計算得到簡化。

通常在下列幾種情況中會出現零桿：

(1)不共線的兩桿組成的結點上無荷載作用

時，該兩桿均為零桿。

(2)不共線的兩桿組成的結點上有荷載作用時,

若荷載與其中一桿共線，則另一桿必為零桿。

F

FNI=F

(3)三桿組成的結點上無荷載作用時，若其中有

兩桿共線，則另一桿必為零桿，且共線的兩桿內力

相等。

FN1=FN2

尸N2

&3=0

3.比例關系的應用

在列平衡方程時，經常要將桁Fzy

架中斜桿的軸力尸N分解成水平分力

尸Nx和豎向分力廠Ny。

廠N、尸Nx、尸Ny構成一個三角形色"

桿件45的長度/及其在水平方向的外U

投影長度4和豎直方向的投影長度4

也構成了一個三角形。

由于兩個三角形相似，因而存在如下的比例關系:

FNbNx"y

丁丁工

應用上述比例關系，可以避免計算斜桿的傾角。及

其三角函數，以減少工作量。

【例7.4】求圖（a）所示桁架各桿的內力。

【解】1）求支座反力。

由整體的平衡方程，可得支座反力為

入x=0》=40kN%=40kN

2）求各桿的內力。

在計算之前先找出零桿。由對結點。、G的分

析，可知桿CD、G”為零桿。

此桁架為對稱桁架，只要計算其中一半桿

件的內力即可，現計算左半部分。

取結點力為隔離體[圖(b)],由ZF=O得

(b)

FN/4Dv=10kN-40kN=—30kN

利用比例關系，得

F

產=-N-Pj-x3.35m=-67kN

1.5m

“N4Dy

N/O*x3m=-60kN

1.5m

由￡X=0得

正NY一五N/o『60kN

>------

取結點。為隔離體[圖(c)],由xx=o得

^CF=FNAC=60kN

取結點。為隔離體[圖(d)],列出平衡方程

尸N0切

一產

20,kNAr^DE

DL^FNDEX

Px^FNOX

1尸NDyFNDF

(a)

(d)

±NDEy

￡X=0萬No&+%a+60kN=020|kN匕A

Zy=0FNDEy-F今+30kN-20kN=0&心:60kN

尸刁Irr

外制”分

利用比例關系，得F^DE=2F^DEy=-30kN

FNDFX=2FND用(d)

代入平衡方程，得2斤NOE+2歹ND沖+60kN=0

FNDE「斤Ng+10kN=0

解得^DEx=-40kN,bNOE『一20kN,FND￡=~44.7kN

尸NDFx=-20kN,F^DFy=—10kN,五NO尸一44.7kN

取結點E為隔離體[圖(e)],由結構的對稱性有

bN9=Kg=-20kN

由￡y=o得

FNE產2X20kN-20kN=20kN

內力計算完成后，將各桿的軸力標在圖上，圖中

軸力的單位為kN。

【例7.5】求圖（a）所示桁架中桿c、d的

內力。

(a)

【解】1）求支座反力。

由整體平衡方程，可得支座反力為

乃x=0'%=50kN,為=30kN

2）求桿a、b、c的內力。

用截面I—I截取

桁架的左半部分為隔離

體，列平衡方程

毛%=0FNcX4m-20kNX3m-50kNX3m=0

得

八0=52.5kN

ZMF=O

-/N〃X4m+20kNX3m+20kNX6m—50kNX9m=0

得

/N〃=—67.5kN

X瑪=0

FNO+FNAX+FNCR

得

F^bx=~八二/Nc=15kN

利用比例關系，得

F

戶=^^x3.61m=18.05kN

ND3rm

聯合應用結點法和截面法計算桿"的內力較為方便。

先取結點E為隔離體，由平衡方程ZX=O,得

bNC產小=52?5AN

(a)

再用截面n—n截

取桁架的左半部分為隔

離體，列平衡方程

>------------------

E%=o

歹N公X4m+52.5kNX4m—50kNX3m=0

?用截面法計算桁架內力所截斷的桿件一般不

應超過三根。當被截斷的桿件超過三根時，其中某

根桿件的軸力也可選取適當的平衡方程求出。

對圖示桁架，欲求桿ED的軸力，可用I—I截面將

桁架截開，在被截斷的五根桿件中，除桿助外，其余四

桿均匯交于結點C,由力矩方程工7%0即可求得五NED。

r圖示復雜桁架，欲求桿面的軸力,可用［—

I截面將桁架截開，在被截斷的四根桿件中，除桿

理外，其余三桿互相平行，選取了軸與此三桿垂直，

由投影方程xy=0即可求得尸NC5。

7.3.3梁式桁架受力性能的比較

在豎向荷載作用下，支座處不產生水平反力

的桁架稱為梁式桁架。

常見的梁式桁架有平行弦桁架、三角形桁架、

梯形桁架、拋物線形桁架和折線形桁架等。

桁架的外形對桁架中各桿的受力情況有很大

的影響。為了便于比較，給出了同跨度、同荷載

的五種常用桁架的內力數值。并對上述幾種桁架

的受力性能進行對比分析，以便合理選用。

1.平行弦桁架

平行弦桁架的內力分布不均勻，弦桿的軸力由

兩端向中間遞增，腹桿的軸力則由兩端向中間遞減。

為節省材料，各節間的桿件應該采用與其軸力相應

的不同的截面，但這樣將會增加各結點拼接的困難。

在實用上，平行弦桁架通常仍采用相同的截面,

并常用于輕型桁架，此時材料的浪費不至太大，如

廠房中跨度在12m以上的吊車梁。

平行弦桁架的優點是桿件與結點的構造劃一，

有利于標準化制作和施工，在鐵路橋梁中常被采用。

2.三角形桁架

三角形桁架的內力分布也不均勻，弦桿的軸力由兩

端向中間遞減，腹桿的軸力則由兩端向中間遞增。

三角形桁架

三角形桁架兩端結點處弦桿的軸力最大，而夾

角又很小，制作困難。但其兩斜面外形符合屋頂構

造的要求，故三角形桁架只在屋蓋結構中采用。

.梯形桁架

梯形桁架的受力性能介于平行弦桁架和三角形

桁架之間，弦桿的軸力變化不大，腹桿的軸力由兩

端向中間遞減。

梯形桁架

梯形桁架的構造較簡單,施工也較方便，常用

于鋼結構廠房的屋蓋。

4.拋物線形桁架

拋物線形桁架的內力分布比較均勻，上、下弦

桿的軸力幾乎相等，腹桿的軸力等于零。

+4.50+4.50

1=6h

拋物線形桁架

--------------------------------------

拋物線形桁架的受力性能較好，但這種桁架的

上弦桿在每一結點處均需轉折，結點構造復雜，施

工麻煩，因此只有在大跨度結構中才會被采用，如

24?30m的屋架和100?300m的橋梁。

F折線形桁架

折線形桁架是拋物線形桁架的改進型，其受力性能與

拋物線形桁架相類似，而制作、施工比拋物線形桁架方便

得多，它是目前鋼筋混凝土屋架中經常采用的一種形式，

在中等跨度（18?24m）的廠房屋架中使用得最多。

折線形桁架

7.4靜定平面組合結構

7.4.1組合結構的概念

在工程實際中，經常會遇到一種結構，這種

結構中一部分桿件只受軸力作用，屬于鏈桿，而

另一部分桿件除受軸力作用外還承受彎矩和剪力,

屬于梁式桿。這種由鏈桿和梁式桿混合組成的結

構通常稱為組合結構。

在組合結構中，利用鏈桿的受力特點，能較

充分地利用材料，并從加勁的角度出發，改善了

梁式桿的受力狀態，因而組合結構廣泛應用于較

大跨度的建筑物。

下撐式五角形屋架[圖⑶]

的上弦桿由鋼筋混凝土制成，

主要承受彎矩，下弦桿和腹桿

由型鋼制成，主要承受軸力。

其計算簡圖如圖(b)所示。

(1))

圖示為靜定組合式拱橋的計算簡圖，它是由

若干根鏈桿組成的鏈桿拱與加勁梁用豎向鏈桿聯結

而成的組合結構。

7.4.2組合結構的內力計算

組合結構的內力計算，一般是在求出支座

反力后，先計算鏈桿的軸力，其計算方法與平

面桁架內力計算相似，可用截面法和結點法；

然后再計算梁式桿的內力，最后繪制結構的內

力圖。

【例7.6】計算圖(a)所示組合結構的內力，并繪制

梁式桿的內力圖。

(a)

【解】此結構為一下撐式組合屋架。其中桿

AC.C￡為梁式桿，桿40、DF.DE、EG、EB

為鏈桿。因為荷載和結構都是對稱的，所以支座

反力和內力也是對稱的，故可只計算半個結構上

的內力。

1）求支座反力。

lOkN/m

由對稱性，支座反力為

%0，%=%=40kN

2）計算鏈桿的內力。

用I—I截面從C處截斷結構，取左半部分為

隔離體

lOkN/m

2mzm

*

lOkN/m

由平衡方程

2>C=。

F^DEx2m-FAyx4m+10kN/mx4mx2m=0

得

然小=40kN

WO歹N。？一k=0

得%=E=40kN

LF=OFAy-10kN/mX4m+FCy=0

得%=o

取結點D為隔離體，由平衡方程ZX=O,得

10kN/m

產NDE

P

"NDAx=40kN

利用比例關系，得

FNDA=72FNDAX=：56.6kN

FAFNDF

5=40kNrNDA”

,,FNDE

由平衡方程EF=O,得

FNDF=-FNDAY=-40kN

3）計算梁式桿內力。

將鏈桿內力的反作用力作為荷載作用在梁式

桿上，取桿4FC為隔離體。

4、F,。為控制截面，控制截面上的內力為

MAF=Q

MFA=MFC=-2QkNm（上側受拉）

MCF=0

FSAF=0FSFA=-20kN%/0kNFSCF=0

FNAC=FNCA=-40kN10kN/m

4）繪制梁式桿的內力圖。

根據梁式桿內力計算的結果，可以繪出梁式桿

的內力圖。

耳.7.5三較拱

7.5.1,既述

1.拱的特點

拱是由曲桿組成的在豎向荷載作用下支座處產

生水平推力的結構。

水平推力是指拱兩個支座處指向拱內部的水平

反力。在豎向荷載作用下有無水平推力，是拱式結

構和梁式結構的主要區別。

在拱結構中，由于水平推力的存在，拱橫截面

上的彎矩比相應簡支梁對應截面上的彎矩小得多，

并且可使拱橫截面上的內力以軸向壓力為主。這樣,

拱可以用抗壓強度較高而抗拉強度較低的穆、石和

混凝土等材料來制造。

拱結構在房屋建筑、橋梁建筑和水利建筑工程

中得到廣泛應用。例如在橋梁工程中，拱橋是最基

本的橋型之一；又如屋面承重結構。

在拱結構中，由于水平推力的存在，使得拱

對其基礎的要求較高，若基礎不能承受水平推力,

可用一根拉桿來代替水平支座鏈桿承受拱的推力,

如圖(a)所示。這種拱稱為拉桿拱。

拉桿

圖(a)

為增加拱下的凈空，拉桿拱的拉桿位置可適

當提高，如圖（b）所示；也可以將拉桿做成折線

形，并用吊桿懸掛，如圖（C）所示。

圖（b）圖（c）

2.拱的分類

按錢的多少，拱可以分為無錢拱［圖(a)］、

兩錢拱［圖(b)］和三較拱［圖⑹］o無較拱和

兩錢拱屬超靜定結構，三較拱屬靜定結構。

按拱軸線的曲線形狀，拱又可以分為拋物線

拱、圓弧拱和懸鏈線拱等。

3.拱的各部分名稱

拱與基礎的聯結處稱為拱趾或拱腳。

拱軸線的最高點稱為拱頂。

拱頂到兩拱趾連線的高度/稱為拱高。

兩個拱趾間的水平距離/稱為拱跨。

拱高與拱跨的比值〃稱為高跨比。高跨比

是影響拱的受力性能的重要的幾何參數

>--------

7.5.2三錢拱的內力計算

現以圖(a)所示三校拱為例說明內力計算過程。

該拱的兩支座在同一水平線上，且只承受豎向荷

載。

L求支座反力

取拱整體為隔離體

志

由平衡方程￡%=0,得F+F2b2)(a)

由￡以=0,得七=十(瑪為+尸2a2)(b)

由EKO,得FAX=FBX=FX(C)

2.求任一截面長上的內力

再取左半個拱為隔離體

J](d)

Fcx

與三較拱同跨度同荷載的相應簡支梁如圖(b)所

示，其支座反力為

9)

"(F'b1+F2b2)

(b)

FBy+/2%)>(e)

同時，可以計算出相應簡支梁。截面上的彎矩為

筮=小—|X（「）（f）

比較以上諸式，可得三較拱的支座反力與相應

簡支梁的支座反力之間的關系為

F-y=晨

F=喝

By*)

FAXx=FBX=Fx

利用上式，可以借助相應簡支梁的支座反力和內

力的計算結果來求三較拱的支座反力。

由上式可以看出，只受豎向荷載作用的三校拱，

兩固定較支座的豎向反力與相應簡支梁的相同，水平

反力工等于相應簡支梁截面。處的彎矩與拱葡的比

值。當荷載與拱跨不變時為定值，水平反力與拱高f

成反比。若40,則￡-00,此時三個較共線，成為

瞬變體系。

借助其相應簡支梁的內力計算結果，來求拱的

任一截面K上的內力。

取三錢拱的K截面以左部分為隔離體［圖(c)］。

設K截面形心的坐標分別為打、股，K截面的法線與

X軸的夾角為*K。K截面上的內力有彎矩Me剪力

FSK和軸力FNK。

規定彎矩以使拱內側纖維受拉為正，反之為負;

剪力以使隔離體產生順時針轉動趨勢時為正，反之

為負；軸力以壓力為正，拉力為負（在隔離體圖上

將內力均按正向畫出）。

一利用平衡方程，可以求出拱的任意截面K上的

、

囹內力刀為刀M=[F

KAy,xK_F],(xK-ctxy\—Fx-yK

戶SK=(E4y-F{ycos(pK-Fx-sin(pK'(g>

F

"K=(Ay—￡)?sin0K+￡-COScpK

山*

*

在相應簡支梁上取圖(d)所示隔離體。

利用平衡方通：可以求出相應簡支梁K截面上

的內力為

]\40-/7°.Y

1V1K-rAyXK~尸i,(xK-%)

尸°=F0—F(h)

1SK1Ay11

=0

利用式（h）與式（*）,式（g）可寫為

MK=~Px'yK

FSK=F；K,COS0K_Fjsin0K；（**）

F

FNK=SK、m外+3'COS（pK

式（**）即為三較拱任意截面K上的內力計算公

式。計算時要注意內力的正負號規定和夾角軟的取值，

在左半拱時他取正值，在右半拱時。K取負值。

由式（**）可以看出，由于水平支座反力

工的存在，三校拱任意截面K上的彎矩和剪力均

小于其相應簡支梁的彎矩和剪力，并且存在著使

截面受壓的軸力。通常軸力較大，為主要內力。

3.繪制內力圖

一般情況下，三較拱的內力圖均為曲線圖

形。為了簡便起見，在繪制三校拱的內力圖時，

通常沿跨長或沿拱軸線選取若干個截面，求出這

些截面上的內力值。然后以拱軸線的水平投影為

基線，在基線上把所求截面上的內力值按比例標

出，用曲線相連，繪出內力圖。

【例7.7】求圖(a)所示三校拱截面刀和E上的內力。

4/

己知拱軸線方程為y=-x（/-x）

i

1OkN/m

【解】1)計算相應簡支梁的有關數據。

三錢拱的相應簡支梁如圖(b)所示。

1。吁10kN/m

—--------J-----------LI11I1

77?77

IJ

7^=1OOkN(b)

ArF°=100kN

其支座反力為琮=FBy=100

簡支梁截面C處的彎矩為M"500kN.m

2）計算三校拱的支座反力。

由公式，三較拱的支座反力為

J=Uy=l0°kN

^=<=100kN

FAx=FBx=Fx=M^/f=\25kN

3)計算。截面上的內力。

計算所需有關數據為

4/

x=5m,y=—x(l-x)=3m

DDIrDD

tg(pD=0.400,sin(pD=0.371,cos(pD=0.928

M

F^DA=100kN,尸黑=°，D=500kN,m

由三較拱的內力計算公式，算得。截面上的內力為

MD=Ml-FxyD=125kN.m

FSDAFSDACOS(

=PD-FxsincpD=46.4kN-m

FF

FSDC=SDCCOS3-xsin(pD=-46.4kN?m

FF

NDA=SDAsin(pD+FxcoscpD=153kN

FsinF

/NDC=SDC0。+xcos(pD=116kN

>-----------------

4)計算E截面上的內力。

計算所需有關數據為

4/

xE=15m,yE=--xE(l-xE)=3m

I

ig(pF--0.400,sin(pF--0.371,cos(pF-0.928

F"=-50kN,M"=375kN-m

由三較拱的內力計算公式，算得E截面上的內力為

ME=M^-FxyE=O

FSE=F；ECOS(pE-Fxsin(pE--0.025kN?0

FSINF

FNE=SE外+xcos(pE=134kN

7.5.3合理拱軸的概念

在一般情況下，三較拱任意截面上受彎矩、

剪力和軸力的作用，截面上的正應力分布是不均

勻的。若能使拱的所有截面上的彎矩都為零（剪

力也為零），則截面上僅受軸向壓力的作用，各

截面都處于均勻受壓狀態，材料能得到充分的利

用，設計成這樣的拱是最經濟的。

在給定荷載作用下，可以通過調整拱軸線的

形狀來達到這一目的。若拱的所有截面上的彎矩

都為零，則這樣的拱軸線就稱為在該荷載作用下