立體幾何第八章第6講立體幾何中的向量方法(一)高考要求考情分析1.理解直線的方向向量及平面的法向量．2．能用向量語言表述線線、線面、面面的平行和垂直關系．3．能用向量方法證明立體幾何中有關線面位置關系的一些簡單定理證明平行與垂直是高考每年必考內容，是高考的熱點，考查直觀想象和邏輯推理的核心素養欄目導航01基礎整合自測糾偏03追蹤命題直擊高考02重難突破能力提升04配套訓練基礎整合自測糾偏11．兩個重要向量直線的方向向量直線的方向向量是指和這條直線平行(或重合)的非零向量，一條直線的方向向量有______個平面的法向量直線l⊥平面α，取直線l的方向向量，則這個向量叫做平面α的法向量．顯然一個平面的法向量有______個，它們是共線向量無數無數2．空間中平行、垂直關系的向量表示設直線l，m的方向向量分別為a，b，平面α，β的法向量分別為n1，n2，則線線平行l∥m?a＝kb(k∈R)線面平行l∥α?a⊥n1?a·n1＝0面面平行α∥β?n1∥n2?n1＝kn2(k∈R)線線垂直l⊥m?a·b＝0線面垂直l⊥α?a∥n1?a＝kn1(k∈R)面面垂直α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝02．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(3,2，λ)，若a，b，c三向量共面，則實數λ等于(

)A．2

B．3

C．4

D．5【答案】C

3．若直線l∥平面α，直線l的方向向量為s，平面α的法向量為n，則下列結論正確的是(

)A．s＝(－1,0,2)，n＝(1,0，－1)B．s＝(－1,0,1)，n＝(1,2，－1)C．s＝(－1,1,1)，n＝(1,2，－1)D．s＝(－1,1,1)，n＝(－2,2,2)【答案】C

【解析】因為直線l∥平面α，直線l的方向向量為s，平面α的法向量為n，所以s·n＝0.對于A，s·n＝－1－2＝－3；對于B，s·n＝－1－1＝－2；對于C，s·n＝－1＋2－1＝0；對于D，s·n＝2＋2＋2＝6.故選C．4．在平面ABC中，A(0,1,1)，B(1,2,1)，C(－1,0，－1)，若a＝(－1，y，z)，且a為平面ABC的法向量，則y＋z＝________.【答案】1

5．(2019年日照期末)設平面α的一個法向量為n1＝(1,2，－2)，平面β的一個法向量為n2＝(－2，－4，k)，若α∥β，則k＝________.【答案】4

1．用向量知識證明立體幾何問題，仍然離不開立體幾何中的定理．如要證明線面平行，只需要證明平面外的一條直線和平面內的一條直線平行，即化歸為證明線線平行，用向量方法證明直線平行，只需證明直線的方向向量共線即可．若用直線的方向向量與平面的法向量垂直來證明線面平行，仍需強調直線在平面外．2．用向量證明立體幾何問題，寫準點的坐標是關鍵，要充分利用中點、向量共線、向量相等來確定點的坐標．判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)：(1)直線的方向向量是唯一確定的．(

)(2)若兩直線的方向向量不平行，則兩直線不平行．(

)(3)若兩平面的法向量平行，則兩平面平行或重合．(

)(4)若空間向量a垂直于平面α的法向量，則a所在直線與平面α平行．(

)【答案】(1)×

(2)√

(3)√

(4)×重難突破能力提升2利用空間向量證明平行問題

如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面為正方形，側棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分別是線段PA，PD，AB的中點．求證：(1)PB∥平面EFH；(2)PD⊥平面AHF.【規律方法】用向量證明平行的方法：(1)線線平行：證明兩直線的方向向量共線．(2)線面平行：①證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；②證明直線的方向向量與平面內某直線的方向向量平行．(3)面面平行：①證明兩平面的法向量為共線向量；②轉化為線面平行、線線平行問題．【跟蹤訓練】1．已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，E，F分別是BB1，DD1的中點，求證：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.利用空間向量證明垂直問題

如圖所示，已知四棱錐P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，側面PBC⊥底面ABCD.證明：(1)PA⊥BD；(2)平面PAD⊥平面PAB.【證明】(1)取BC的中點O，連接PO.因為平面PBC⊥底面ABCD，△PBC為等邊三角形，所以PO⊥底面ABCD.以BC的中點O為坐標原點，以BC所在直線為x軸，過點O與AB平行的直線為y軸，OP所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示．【規律方法】用向量證明垂直的方法：(1)線線垂直：證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數量積為零．(2)線面垂直：證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或將線面垂直的判定定理用向量表示．(3)面面垂直：證明兩個平面的法向量垂直，或將面面垂直的判定定理用向量表示．【跟蹤訓練】2．如圖所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點．求證：AB1⊥平面A1BD.【證明】如圖所示，取BC的中點O，連接AO.因為△ABC為正三角形，所以AO⊥BC.因為平面ABC⊥平面BCC1B1，AO?平面ABC，所以AO⊥平面BCC1B1.利用空間向量解決探索性問題

如圖所示，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱長都等于2，∠ABC和∠A1AC均為60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求證：BD⊥AA1；(2)在直線CC1上是否存在點P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出點P的位置；若不存在，請說明理由．【規律方法】立體幾何開放性問題求解方法：(1)根據題目的已知條件進行綜合分析和觀察猜想，找出點或線的位置，然后再加以證明，得出結論．(2)假設所求的點或線存在，并設定參數表達已知條件，根據題目進行求解，若能求出參數的值且符合已知限定的范圍，則存在這樣的點或線，否則不存在．【跟蹤訓練】3．如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分別是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中點，點P，Q分別在棱DD1，BB1上移動，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．(1)當λ＝1時，求證：直線BC1∥平面EFPQ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ⊥平面PQMN？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．追蹤命題直擊高考3【典例精析】

典例．(2020年岳麓區校級模擬)如圖，直三棱柱ABC－DEF的底面是邊長為2的正三角形，側棱AD＝1，P是線段CF的延長線上一點，平面PAB分別與DF，EF相交于M，N.(1)求證：MN∥平面CDE；(2)求當PF為何值時，平面PAB⊥平面CDE.【考查角度】線面平行的判定及性質，考查面面垂直的判定．【考查目的】考查邏輯推理能力及運算求解能力，體現數學運算和直觀抽象的核心素養．【思路導引】(1)利用線面平行的性質可得AB∥MN，進一步得到DE∥MN，由此得證；(2)方法一：取線段AB，DE的中點G，H，分析可得若PG⊥CH，則平面PAB⊥平面CDE，由此利用解三角形知識求解；方法二：建立空間直角坐標系，利用向量知識得解．【解析】(1)因為AB∥DE，AB在平面DEF外，則AB∥平面DEF.因為平面PAB∩平面DEF＝MN，則AB∥MN，從而DE∥MN.因為MN在平面CDE外，所以MN∥平面CDE.【拓展延伸】1．用向量方法證明平行與垂直的思路用向量知識證明立體幾何問題有兩種基本思路：一種是用向量表示幾何量，利用向量的運算進行判斷；另一種是用向量的坐標表示幾何量，共分三步：①建立立體圖形與空間向量的聯系，用空間向量(或坐標)表示問題中所涉及的點、線、面，把立體幾何問題轉化為向量問題；②通過向量運算，研究點、線、面之間的位置關系；③根據運算結果的幾何意義來解釋相關問題．2．空間向量與立體幾何的聯系用向量知識證明立體幾何問題，仍然離不開立體幾何中的定理．如要證明線面平行，只需要證明平面外的一條直線和平面內的一條直線平行，即化歸為證明線線平行，用向量方法證明直線l1∥l2，只需證明向量a＝λb(l1，l2的方向向量分別為a，b，λ∈R)即可．若用直線的方向向量與平