第二十二章四邊形

本/章/整/體/說/課

V教學目標

知識寫技能-

1.了解多邊形的定義，多邊形的頂點、邊、內角、外角、對角線等概念;探索并掌握多邊形的內角和與

外角和公式.

2.理解平行四邊形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它們之間的關系;了解四邊形的不穩定性.

3.探索并證明平行四邊形的性質定理和判定定理.

4.探索并證明矩形、菱形、正方形的性質定理和判定定理.

5.探索并掌握三角形的中位線定理.

過程與方法

1.在本章知識的探究與深化的過程中，提高學生的合情推理與演繹推理的能力.

2.在探索圖形的性質與判定定理的活動過程中，進一步建立空間觀念.

帽蘸鱷腑1期

1.通過經歷運用圖形變換探索圖形性質的過程,體驗數學研究和發現的過程，并能得出正確的結論.

2.通過逆命題猜想、操作驗證、邏輯推理證明的過程，體驗數學研究和發現的過程，學會數學思考的方

法.

3.進一步培養學生的數學說理能力與習慣，并要求學生能熟練書寫規范的推理格式.

G教材分析

1.本章的內容、地位和作用

本章內容包括三個方面:基礎知識一四邊形、特殊四邊形以及多邊形的有關概念，平行四邊形、矩形、

菱形和正方形的性質定理和判定定理，三角形的中位線定理;基本方法——探索圖形性質的基本方法（觀察、

試驗、作圖、變換、推理等）;推理一合情推理與演繹推理，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等方法，發現

問題，提出問題及從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規則（包括運算的定義、法則、順序等）

出發，按照邏輯推理的法則進行證明和計算.

在知識方面，四邊形是最基本的平面圖形之一，是三角形有關內容的進一步發展，也是學生繼續學習空

間與圖形等其他內容的基礎.

在幾何知識研究方法與過程方面,把圖形變換作為有效的工具，充分體現了圖形變換在研究圖形性質和

判定中的作用.

在推理能力訓練方面，理解兩種推理功能不同.二者相輔相成:合情推理用于探索思路，發現結論;演繹推

理用于證明結論，在解決問題的過程中,逐步掌握兩種推理的運用.

2.本章內容呈現方式及特點.

（1）以學生已經掌握的三角形有關知識以及圖形變換（軸對稱、平移、旋轉，特別是中心對稱）等有關幾

何事實為基礎，通過觀察、操作、思考和交流等數學活動，獲得幾何概念、性質定理、判定定理，培養學生

推理的意識和能力.

(2)根據本章內容的特點，采用“先特殊的多邊形(四邊形)，再一般的多邊形”的編排思路，在呈現方式上，摒

棄“結論——例題一練習”的陳述模式，改用“問題——探究一發現一證明”的探究模式，并采用多種探

究方法.

(3)將合情推理與演繹推理緊密結合起來，把推理能力的培養建立在可操作的環節上.

(4)本章特別強調圖形性質和判定的探索過程，而不是簡單地得到四邊形、特殊四邊形的有關性質和判

定的結論.

(5)在呈現具體內容時,教材力圖為學生提供生動有趣的現實情境，通過各種活動,充分挖掘特殊四邊形

的中心對稱性和軸對稱性.這種設計，旨在進一步深化學生對四邊形性質定理和判定定理的理解，以及對識

圖、簡單畫圖等操作技能的掌握，進一步豐富學生的數學活動經驗，有意識地培養學生積極的情感態度，并

促進其形成良好的數學觀，

G教學重難點

【重點】

1.理解和掌握平行四邊形的性質定理和判定定理以及特殊平行四邊形的性質和判定方法.

2.多邊形的內角和與外角和.

【難點】

平行四邊形的性質定理與判定定理的綜合應用.

&教學建議

1.教學活動的組織要根據本章的具體內容和呈現方式的特點，以學生的生活經驗和已有的數學活動經

驗(包括操作經驗)為基礎，注意題材選取的靈活性(既可以充分利用教材中已有的題材,也可以根據實際創設

更現實、更有趣的問題情境)，充分展開學生的活動，通過圖形性質的探究過程，培養學生的抽象概括能力和

推理能力.

2.應特別關注學生的探索精神的培養.要有意識地引導學生自覺地表達對有關概念、結論的理解，自覺

地用自己的語言說明操作的過程，并利用說理和簡單的推理印證結論的真實性.

3.應注意圖形變換的工具性作用.充分利用圖形的平移、旋轉(特別是中心對稱)和軸對稱來探究圖形

的性質和判定方法.

4.注意合情推理與演繹推理地有機結合.要有意識地培養學生有條理的思考、表達和交流，使學生體會

證明的過程要步步有據，使學生逐步掌握幾何推理的基本步驟和綜合法證明的格式.

5.關注學生的合作與交流.在課堂上給學生自主、合作的活動機會,逐步培養學生的團體合作和競爭意

識，發展交往與審美的能力,強調合作動機和個人責任.

6.加強對關鍵問題與困難環節的引導與指導，增強學生的興趣和信心.

e課時劃分

22.1平行四邊形的性質2課時

22.2平行四邊形的判定2課時

22.3三角形的中位線1課時

22.4矩形2課時

22.5菱形2課時

22.6正方形1課時

22.7多邊形的內角和與外角和1課時

回顧與反思1課時

課/時/教/學/詳/案

22.1平行四邊形的性質

c教學目標

,知識寫技能.

1.經歷平行四邊形概念的形成過程和性質的探究過程，體會平移、中心對稱等圖形變化在研究平行四

邊形及其性質中的作用.

2.通過旋轉等操作活動體會平行四邊形的中心對稱性.

3.探索并掌握平行四邊形的性質.

■過程寫方濤

通過證明平行四邊形的性質定理的過程，進一步理解幾何證明的意義.

度馬.就

在操作、探究等數學活動中,提高學生的探究能力，增強交流與合作的意識.

(￡)教學重難點

【重點】

平行四邊形的性質的探索.

【難點】

平行四邊形的性質的探究和應用.

第①課時

區L整體設計

(④)教學目標

，知識與支能，

通過運用圖形的變化探索并掌握平行四邊形的有關概念和特征.

過程與方法

1.體驗數學研究和發現的過程，并得出正確的結論.

2.進一步體驗一些變換思想，發展合情推理，進一步學習有條理地思考與表達，培養學生的探索能力與合

作交流的習慣.

3.嘗試從不同角度尋求解決問題的多種方法，提高解決問題的能力.

恬感態度寫價值則

感受數學學習的樂趣，增加學習數學的興趣和自信心.

?)教學重難點

【重點】

平行四邊形的概念和特征.

【難點】

探索和掌握平行四邊形的性質.

(①教學準備

【教師準備】課件1~6.

【學生準備】刻度尺.

舊教學過程

區新課導入

導入一：

你知道為什么用正方形地面磚鋪地嗎？伸縮門為什么能像松緊帶似的折疊嗎？

更有趣的是蜜蜂蜂房是嚴格的六角形柱狀體，它的一端是平整的六角形開口，另一端是封閉的六角菱形

的底，由三個相同的特殊的平行四邊形組成，組成底盤的特殊的平行四邊形的鈍角為109度28分,銳角為

70度32分，這樣既堅固又省料，你想知道為什么如此神奇嗎？請跟我一起走進平行四邊形的課堂去探索吧！

［設計意圖］從生活實際出發，創設情境，提出問題，激發學生強烈的好奇心和求知欲.學生經歷了將實際

問題抽象為數學問題的建模過程.

導入二：

問題:什么叫做平行四邊形？它有什么性質？

回答1:兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.

回答2:平行四邊形的對邊平行，相鄰的內角互為補角.

I)

如圖所示，平行四邊形用符號表示，平行四邊形48CD記作讀作“平行四邊形ABCD'.

學生回答,師生共同評價，教師要強調平行四邊形的符號記法,并板書示范.

［設計意圖］通過簡單的提問喚起學生對平行四邊形的回憶，至于性質并不要求學生表達如何準確，更

多的是為本節課指明方向.

導入三：

問題1:同學們，你們觀察過陽光透過長方形窗口投在地面上的影子是什么形狀嗎？

學生根據自己的生活經驗，可能回答:平行四邊形、矩形、四邊形……

教師:太陽光線屬于平行光線，窗口投在地面上的影子通常是平行四邊形.

問題2:愛動腦筋的小剛觀察到平行四邊形的影子有一種對稱的美，他說只要量出一個內角的度數，就能

知道其余三個內角的度數;只需測出一組鄰邊的長,便能計算出它的周長，這是為什么呢？

通過本節課的學習，大家就能明白其中的道理.今天，我們共同研究平行四邊形及其性質.

［設計意圖］通過觀察平行光線在室內的投影,讓學生感受到平行四邊形與生活實際緊密相連;同時，把

思維興奮點集中到要研究的平行四邊形上來，為下面學習新知識創造了良好開端.

國新知構建

［過渡語］從本節開始，我們將進一步認識一些特殊的四邊形，并探究這些四邊形的一些基本性質和判

定方法.首先我們來確定一下平行四邊形的性質.

活動平行四邊形的性質的探究

思路一

1.創設問題情境

【課件1】在我們的周圍存在著許多四邊形,觀察下列圖片，從中找出四邊形，并就它們的共同特性和

不同特性，和大家交流你的看法.

我們知道,平行四邊形是我們生活中常見的一種圖形，它有著十分和諧的對稱美，四邊形就在我們身邊

并與我們的生活息息相關.

2.知識形成

(1)讓學生交流說出生活中見到的平行四邊形.

(2)拿出一張坐標紙,畫線段48和直線PQ,學生動手操作:把48沿著戶。方向平移到C。位置.

(3)學生對(2)操作的思考:四邊形488是一個怎么樣的四邊形？根據平移的原則,48與CD,AD與BC

的位置關系如何？

概括:兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.

［知識拓展］定義具有雙重性，具備”兩組對邊分別平行”的四邊形才是“平行四邊形”.反過來，“平行四邊

形”就一定具有“兩組對邊分別平行”的性質.平行四邊形的定義既是平行四邊形的一種性質，也是平行四邊形

的一種判定方法.

【思考】

(1)要識別一個圖形是否是平行四邊形，目前的方法有幾個？

(2)平行四邊形應該有幾組對邊平行？

3.一起探究

【課件2］(1)在半透明的紙上畫一個。48C2再復制一個,將兩個圖形完全重合，用大頭針釘在中心

處，使下面的圖形不動，將上面的圖形繞中心。旋轉180°,這兩個圖形能完全重合嗎？平行四邊形是不是中

心對稱圖形？如果是中心對稱圖形，哪個點是它的對稱中心？被對角線分成的三角形中,關于點。成中心對

稱的圖形有幾對？

(2)在。488中，你發現有哪些相等的邊或角,請你寫出來.

這一過程，教師要深入到學生中進行指導、點撥,及時總結學生的發現，教學環節可按步驟進行.

總結:(1)平行四邊形是中心對稱圖形，它的對稱中心是兩條對角線的交點.

(2)平行四邊形的對邊相等，對角相等，對角線互相平分.

請同學們先來證明平行四邊形的對邊相等、對角相等.

I)

BC

已知:如圖所示,四邊形43co是平行四邊形.

求證:⑴

②zBA—DCB,zABC=zCDA.

證明:如圖所示，連接BD^ABD和ACDB中，

:AD//CB,AB//CD,

:"BD=zCDByAD—CBD.

又:BD=DB,

:aAB欣3CDB.

:.AOCB,AB=CD,zBAgDCB.

?：zABgCDBuAD—CBD、

zABD+zCBD=nCDB+zADB、

即“3/84

平行四邊形的性質定理:平行四邊形的對邊相等，對角相等.

思路二

1.拼圖游戲

【課件3】你能利用手中兩張全等的三角形紙板拼出四邊形嗎？

學生動手操作，教師觀察,請學生代表將拼出的不同形狀的四邊形展示在黑板上.

［設計意圖］通過拼圖游戲，讓學生經歷平行四邊形概念的探究過程，自然而然地形成平行四邊形的概

念,符合學生的認知規律，避免以往概念教學的機械記憶，同時培養學生的探究意識，拓展學生思維的廣闊性.

AIM')

【課件4］觀察拼出的這個四邊形的對邊有怎樣的位置關系？說說你的理由.

【師生活動】結合拼出的這個特殊的四邊形，給出平行四邊形的定義.

［設計意圖］滲透類比思想.在比較中學習,能夠加深學生對平行四邊形概念的理解.

問題:黑板上展示的圖形中，哪些是平行四邊形？

學生對黑板上拼出的四邊形進行識別.

教師強調定義的兩個作用:一是可以判定一個四邊形是不是平行四邊形;二是平行四邊形具有兩組對邊

分別平行的性質.

根據定義畫一個平行四邊形.

教師畫圖示范，結合圖形介紹平行四邊形的對邊、對角、對角線等元素及平行四邊形的記法、讀法.

［設計意圖］鼓勵學生學習方式的個性化，滿足學生的多樣化學習需求，做到既著眼于共同發展,又關注

到個性差異.

2.探究平行四邊形的性質

(1)活動要求：

①請你適當利用材料袋里的學具；

②可以采用度量、平移、旋轉、折疊、拼圖等方法；

③通過小組內合作，探究平行四邊形有哪些性質.

大家先看清要求，再動手操作，結論寫在記錄板上.

(2)學生利用學具(全等的三角形紙板、平行四邊形紙板各一對,刻度尺，量角器,圖釘)小組內合作探究，

教師以合作者的身份深入到各小組中，了解學生的探究過程并適當予以指導.

(3)匯報:學生展示試驗過程，相互補充探究出的結論,教師要引導學生將探究出的結論按照邊、角進行

歸類梳理,使知識的呈現具有條理性.

(4)請大家思考一下,利用我們以前學習的幾何知識通過說理能驗證這三個結論嗎？

【教師小結】連接平行四邊形的對角線,是我們常作的輔助線，它構造出兩個全等的三角形,從而將

四邊形問題轉化為熟悉的三角形問題，充分體現了由未知轉化為已知，由繁化簡的數學思想.

(5)平行四邊形的性質定理:平行四邊形的對邊相等，對角相等.

【教師小結】我們用不同的方法,從不同的角度，通過試驗、說理得到了平行四邊形的性質,它為我

們得到線段相等、角相等提供了新的方法和依據.

［設計意圖］小組合作探究結果的展示,從多個方面完善了學生對平行四邊形性質的認識，大大提高了

學習效率;更為重要的是在這一過程中，不但完成了學習任務,而且還學會了與人交流溝通的本領,真正體現

了新課程理念中“以人為本，促進學生終身發展”的教學理念.

解決課前提出的實際問題：

某時刻小剛用量角器量出地面上平行四邊形影子的一個內角是60。,就說知道了其余三個內角的度數;

又用直尺量出一組鄰邊的長分別是40cm和55cm,便胸有成竹地說能夠計算出這個平行四邊形的周長.

你知道小剛是如何計算的嗎？這樣計算的根據是什么？

［設計意圖］回顧導入中的問題，體現了教學的連貫性,也體現出數學知識的實用性，學以致用的體驗使

學生感受到數學學習是有趣的、豐富的、有價值的.開放性的命題培養了學生思維的嚴謹性、發散性、靈

活性.

3.性質的應用

I)

BC

【課件5】已知:如圖所示,。49CD的周長為22c的周長為18cm,求對角線3。的長.

分析:求對角線8。的長，要先利用平行四邊形的對邊相等的性質彳導到然后根據。

的周長和SBD的周長進行推理.

解:：四邊形43CO是平行四邊形，

:.AD=BC,AB^DC.

由已知條件，得

2(AB+AD}=22,

:.AB+AD=^-\.

又128+4＞的18,

.?.80=18-11=7.

I)

【課件6】(教材第128頁例1)已知:如圖所示，在。488中,/8+工場260°,求〃,NC的度數.

分析:根據平行四邊形的對角相等進行求解.

解:在。49C。中，

：zB=zD,zB+^D=260°,

:.zB=zD^=-\30°.

又:ADUCB,

???）=1800?N次180°?130°=50°.

.上-0°.

［設計意圖］通過例題的講解，讓學生進一步理解和掌握平行四邊形的性質，并能正確地加以應用.

亙課堂小結

平行四邊形的相關知識：

兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊

定義

形

表示方法平行四邊形/I8C。記作

中心對稱圖形，它的對稱中心是對角線

對稱性

的交點

兩組對邊分別平行

邊

兩組對邊分別相等

性質

兩組對角分別相等

角

鄰角互補

w檢測反饋

1.如圖所示,在平行四邊形中,對角線4G8。相交于點圖中的全等三角形的對數為（）

I)

H

A.1對B.2對C.3對D.4對

解析:：四邊形488是平行四邊形08,04=OC.在“。。和△CO8

（DO=BO,

中,］NA。。=/。08,.”。38町冏.同理可得“。*6。3\5）.在“8。和人83

Uo=CO,

（AD=BC,

中JAB=。。,.24884（7￡?僅555）.同理可得4/1的4。4鳳555）.共有4對全等三角形.故選D.

（BD=DB,

D

BEC.

2.如圖所示，。/18CZ?中,AE平分N8A2若CC=3cm,49=4cm,則“48CZ?的周長是（）

A.20cmB.21cmC.22cmD.23cm

解析:：四邊形48co是平行四邊形jSaSC/岳。GA勿平分N847,.J

BAE=zDAE：./BE-BAE、:.BE=ARcm,:.BC=BE^CE=7cm,.，A8CZ?的周長

=2G3+3C）=2（4+7）=22（cm）.故選C.

3.在。48CZ?中，若則NA等于（）

A.18°B.36°C.72°D.144°

解析:：四邊形43C。是平行四邊形,;.4?他問n成/。；”+/代180°,2反4”,;./4+4"=180°,解得n

4=36°,二.0144°,.?,4144°.故選D.

4.如圖所示，在。A3C。中，下列結論一定正確的是（）

1f）

①N1+N2=180°;

②N2+N3=180°;

③N3+N4=180°;

@z2+z4=180°.

A.①②③B.②③④

C.①②④D.①③④

解析:.2和N2是鄰補角,.?.N1+N2=180°.??四邊形Z8C。是平行四邊形,，川?修組C，N2=N4/2+

N3=180°,N3+N4=1800,.?.正確的有①②③.故選A.

5.（2016?孝感中考）在中，力。=8,4E平分/射。交8c于點EQF平分，ADC交8c于點￡且

￡7之2,則28的長為（）

A.3B.5

C.2或3D.3或5

圖(2)

解析:第一種情況:如圖⑴所示，在中,

/ADF=ADFC::AE平分ABADQF平64ADC、」BA—DAE/ADE￡CDF、"BAE^AEB/CFD=￡

。。斤.乂8=8￡；*。2.￡^2,..8年陽日一折2/歷￡e8,.乂氏3.第二種情況:如圖出所示,在。/88

中,.8。=/4。=8,88=/48。￡於毋，/。4￡="修〃。片」。尸。,./石平分工射。,。尸平分〃。。,?上

BAE=ADAE/ADF=ACDF、:/BAE=AAEB/CFD=ACDF,:.AB=BE,CF=CD::EF=2、，BUB&CF-EF=2AB-

日三8,..48=5.綜上，46的長為3或5.故選D.

6.一個平行四邊形的周長為70cm,相鄰兩邊長度的差是5cm,則這個平行四邊形較長邊的長為

解析:設該平行四邊形的兩邊長分別為xcm,ycm,且心乂根據題意，得r,=，0'解得｛；二黑'則

這個平行四邊形較長邊的長為20cm.故填20.

7.用40cm長的繩子圍成一個平行四邊形，使其相鄰兩邊的長度比為3:2,則較長邊的長為

cm.

解析:設較長邊的長為3xcm,則另一邊的長為2xcm.根據題意，得2(2x+3M=40,解得片4,.?.較長邊的

長為3x4=12(cm).故填12.

I)

8.如圖所示，在中,E是C9的中點,力￡的延長線與8c的延長線相交于點F.

求證BOCF.

解析:先證明a/g△尸CE得出力8小；再根據平行四邊形的性質可知2O=8G繼而得出結論.

證明，?四邊形48C。為平行四邊形，

:.AD//BC,AD=BC.

，ADE=zFCE.

,.正是。。的中點,..gCE

zADE=NFCE,

DE=CE,

{zAED=zFEC,

:?AD?FCE;AFCF.

:.BOCF.

叵板書設計

第1課時

活動平行四邊形的性質的探究

6布置作業

一、教材作業

【必做題】

1.教材第119頁練習第1,2題.

2.教材第119頁習題A組第1,2,3,4題.

【選做題】

教材第119頁習題B組第1,2題.

二、課后作業

【基礎鞏固】

1.如圖所示，在。中，已知4。=12cm/氏8cm/E平分,84。交8c邊于點￡則C￡的長等于

()

A.8cmB.6cmC.4cmD.2cm

(第2題圖)

2.如圖所示，在。中,8〃是N/18c的平分線交CD于點〃，且用的周長是14,則DM等于

()

A.1B.2C.3D.4

1ED

Hc.

3.如圖所示產48CZ?中,CE平分NSCD.若8C=10/E=4,則。48CD的周長是()

A.28B.32

C.36D.40

4.(2016?福州中考)平面直角坐標系中，已知“18C。的三個頂點坐標分別是4。,〃),筑2,-1),。［-切,-〃),則點

。的坐標是()

A.(-2,1)B.(-2,-1)

C.(-1,-2)D.(-1,2)

5.在。49CZ?中,N4N8：NC：N〃的值可以是()

A.1:2:3:4B.1:2:1:2

C.1:1:2:2D.1:2:2:1

6.在。48CZ?中“84=30°,則”,N8,NC,N。的度數分別是()

A.95O,85<,,95O,85OB.85O,95O,85°,95O

C.105°,75°,105°,75°D.75°,105°,75°,105°

【能力提升】

7.在。488中,力。=8。,8￡是4?邊上的高握f8Z>20°,則的度數為.

8.已知:如圖所示，點￡尸分別為“43CZ?的邊8c,4?上的點，且點=/2.求證

(第8題圖)

(第9題圖)

9.如圖所示，在。A8CZ?中，點￡?在邊8c上，點尸在8C的延長線上，且曰匕4。求證

A___________O

10.如圖所示,將平行四邊形的邊A3延長至點￡使4代8￡連接BD、EC.來亞、AB受BEC.

【拓展探究】

11.如圖所示，在。49C。中平分”3c且交邊4?于點￡如果A反6cm,80=10cm,試求：

(1)。力58的周長；

(2)求OE的長.

BC

(第11題圖)

H

（第12題圖）

12.如圖所示,四邊形43CD是平行四邊形，點64C,尸在同一直線上，且.求證BE=DF.

D

H

13.如圖所示，在。45CD中，點￡是。。的中點，連接并延長交3C的延長線于點F.

（1）求證4/1。￡和4<?￡尸的面積相等；

（2）若試說明力尸恰好是，54。的平分線.

【答案與解析】

1.C（解析:：四邊形438是平行四邊形,.^S。=45=12cm,/W〃8C,.^.N,E=N8E4^.2E平分N54。.^.N

BAE=zDAE,"BEA=zBAE;BE=AB=Bcm,:.CE=BC-BE=^cm.）

2.C（解析：：BM是/ABC的平分統二zABM=zCBM::AB"CD,:.zABM=zBMC,:.zBMC=z

C8M150=例0=2.:。48co的周長是14”SC+CO=7,:CZ>5,則DM=CD~MC=3）

3.B（解析:：四邊形48C。是平行四邊形,;.4>8O10,4氏Z7C,4勿8c.。￡"2/4華6,/。￡。=/86￡;，￡

平分N8Ca^.N8C尺/。C￡■；N。EOz。C￡.,.。O*6,.^.。^8C。的周長=2（。C+8C）=2（6+10）=32.）

4.”解析:1工（/77,功,。-/77,-切,二點4和點C關于原點對稱，:四邊形48CD是平行四邊形；點。和點8關于

原點對稱，：仇2,-1）,.?.點。的坐標是（-2,1）.故選A.）

5.B（解析:由于平行四邊形的對角相等,所以對角的比值數應該相等，其中A,C,D都不滿足，只有B滿足.）

6.D（解析:設“I的度數為X,則有（180°-出-430°,解得產75°,所以NXURNCNZ?的度數分別是

75°,105°,75°,105°.）

7.55°或35°（解析:第1種情況:當E點在線段47上時,如圖⑴所示是4。邊上的高,

圖⑴

C

圖⑵

=20°”丁/1。8=90°-20°=70°.171。=8。；/4=N/1的竺等”=55°.第2種情況:當E點在的延長線上時,

如圖(2)所示是邊上的高,，￡8。=20°,.丁8。￡=70°.:4882二"="8。=/8。￡=1*70。=35°.故

填55°或35°.)

8.證明:：四邊形48C。是平行四邊形8G.LO4e",：，1=<2,.N。4e/2,二4切。￡:47￡&.1四邊

形4EC尸是平行四邊形；aecf

9.證明:：四邊形48C。是平行四邊形氏CZ?,47=8G/l8〃CaL/48eN〃C￡又

MB=DC,

/B=ZDCF/QBA莊4CD《AS)；ZBAE=ZCDF.

KEB=CF,

10.證明:在平行四邊形ABCD中,AD=BC,AB=CD,ABHCD網BE/CD.又?:AB=BE,:.BE=DC,:口也形BECD

(AB=BE,

為平行四邊形jSZAEC.在A/48Z?與A8EC中,|BD=EC,"AB廢ABEQSSS).

(AD=BC,

11.解:(1):四邊形48C。是平行四邊形,45=6cm,80=10cm;平行四邊形49C。的周長

=2G8+8C)=2x16=32(cm).⑵在平行四邊形48CZ?中,：/10/8&二"*/。8￡?:86平分"8。；,

ABE=^AEB,SSiAB=AE:.DE=AD-AE=10-6=4(<cm).

12.證明:：四邊形48CD為平行四邊形,二8。=4?,8GM2：.N8C4=N。4c.又：/4e=C￡〔&>4:：在A8CE和

(BC=DA,

△04尸中,(zBCA=ZDAC,.'^BC^DAF{S/\S),:.BE=DF.

(FC=FA,

13.⑴證明:：四邊形48CD是平行四邊形；47羽C.L04e點E是0c的中點,二.垮。￡在和

zDAE=zF,

._“吸”1以型尸改小$)，:"。￡和ACE尸的面積相等?(2)解:：四邊形45C。是平

^r\CrUn—NCitr,

{DE=CE,

行四邊形,;.4>8C.由⑴知”以居△尸EC,;SO=C￡1/W=8O=CEM所242:45=28。=8G上射向/尸.又

?2)尺/尸；/歷1e/。48即力尸是N847的平分線.

區L教學反思

Q)成功之處

在導入部分，通過對生活中的幾幅精美圖片的欣賞，讓學生由最熟悉的生活場景入手，使學生體會到數

學無處不在，增強了學生的感性認識，從而激發了學生的學習熱情.通過采用探究式的教學方法，把課堂的自

主權交給學生，讓學生真正成為課堂的主人，充分體現了學生的主體作用,尤其在拼接平行四邊形的過程中，

對學生進行分組，讓學生自己動手,自己歸納結論，突出了重點并突破了難點.通過合作交流的學習方式，培養

學生的實際操作能力和互助的學習技能,同時提高了學生的學習熱情，把枯燥乏味的數學教學活動轉變為生

動有趣的小組學習活動，更加有利于學生對知識的理解和掌握，在此過程中，更注重學生數學解題思維能力

的培養，充分體現了教師引導下的學生主體地位，符合新課標的要求，更有利于教學相長.

.不足之處

對學生在解題過程中說理能力方向強調得不夠.

八年級學生對平面圖形的認識能力網剛形成，抽象思維還不夠，學習幾何知識處于現象描述和說理的過

渡時期.因此，對這部分內容的學習，要引導學生學會用準確的符號語言進行正確的說理.而教師在教學中，由

于時間緊，所以這部分知識過渡較快，可能對于基礎比較差的學生有一定的困難.在例題講解中，時間把握的

不是很到位,顯得有點倉促.在分析例題的時候，基本上沒有詳細解答，只是簡單分析了一下題意，沒有很好地

進行板書和照顧基礎稍微弱一點的學生.

(,)再教設計

教師在幾何問題的教學中，要注意符號語言的正確書寫和語言的邏輯性，能板書示范的教師要進行示范,

以規范學生的做題步驟，體現講題說理的重要性.加強練習，互相講評，強調學生做題每一步的合理性.另外在

例題的講解上，應該掌握好時間，讓學生能夠徹底掌握.

15教材習題解答

練習(教材第119頁)

1.解:的周長=2(48+/l0=2x(3+2)=10.

2.提示:根據平行四邊形的對角相等及平行線的性質，可證AHSC是等腰三角形，則。48CD的周長=44斤12.

3.解:NC="=180°X&=100°.

5+4

習題(教材第119頁)

A組

1.解:在乂8CZ?中,〃+/俳180°,“-/俳40°,所以“1=110°,N氏70°,NCM10°,，Z>70°.

2.解:如圖所示，已知四邊形438是平行四邊形，所以40〃8G所以“+/518O°,NC+N0=18O°,所以N4+N

3+NONCM80°+180°=360°,即平行四邊形48CD的內角和為360°.

3.解:在。ABCD中；:AD0BC,:工比/EAD=

46°.:C￡lS4,;.N6g90°,;.N8cm90°-出44°.：/-二446°.

4.解：AE=CF.證明如下:在。ABCD中,AB=CD,AB"CD,:./ABE=zCDF.又':BE=DF，AABm

CDF[S^S),:.AE=CF.

B組

1.證明:在。A8CD中,力成CD,AB0CD；zF=zCDE::E%BC的中點CE在△BEF和&CED

NF="DE,

:ABE0CED(S：BF=CD.又?:A5CD,:.BF=48：點8為4尸的中點，

/BDECFC=zrCcEnD,

{BE=CE,

2.證明:在。ABCD中,AFCD,BND,叉:BE=DF；GAB叱CDF,:.AE=CF.

s備課資源

(耳！鏈接中考

例1(2016?益陽中考)如圖所示，在乂8C。中/￡18。于ECFiBD于￡連接45CE.求證/反

I)

H

〔解析)首先證明4切CQ再證△/照正;得到76=6；根據有一組對邊平行且相等的四邊形是

平行四邊形可得四邊形力長?廠是平行四邊形，由平行四邊形的性質可得AF=CE.

證明:??四邊形28。。是平行四邊形，

:.AB=CD,ABHCDy

:.zABE=zCDF.

又.AEiBDCFiBD,

:.zAEB=zCFD=90°,AE//CF.

在和AC。尸中，

zABE=zCDF,

zAEB=aFD,

AB=CD,

."8￡^CO&AAS).

:.AE=CF.

：AE//CF,

四邊形/EC廠是平行四邊形，

:.AF^CE.

例2(2016?永州中考)如圖所示,四邊形/I8CO為平行四邊形/54。的平分線4E交8于點片交

8c的延長線于點E

(1)求證BE=CD,

(2)連接BF芳8乩4￡>3￡4=60°,/1代4,求平行四邊形力88的面積.

解析:(1)由平行四邊形的性質和角平分線的定義得出nm尺/3￡4,從而得出力8=36即可證得

8￡=8.(2)先證明"8E是等邊三角形居出4￡=48=4/六占三2,由勾股定理求出8A由證明必。危△

ECA得出A/I。尸的面積=4&7尸的面積，因此平行四邊形488的面積=A48E的面積="IE8A即可得出

結果.

證明:(1):四邊形4SC。是平行四邊形,

:.AD//BC,AB//CD,AB=CD,

:.zAEB=zDAE.

ME是N847的平分線，

：/BAE=，DAE,

:.zBAE=zAEB,

:.AB=BEi:.BE=CD.

解:(2)MF8EN8E4=60°,

.?.△川用是等邊三角形，

:.AE=AB=4.

.BFLAE、

,AEEE2,

:.B0AB2?AF?=y［爐磔=2?

:AD//BC,

:.zD=zECF,zDAF^zE.

在尸和△&7尸中，

zD=NECF,

zDAF=NE,

AF=EFt

■陽AAS),

.?.△力。尸的面積二尸的面積，

;平行四邊形48C。的面積="亞的面積=/萬所咨x4x2g=4VT

第②課時

舊—整體設寸

Q教學目標

知識與技能

1.掌握平行四邊形對角線互相平分的性質.

2.能綜合應用平行四邊形的性質進行計算和證明.

卷鸛

1.根據平行四邊形的性質進行計算和證明，通過觀察、試驗、歸納、證明,培養學生的推理論證能力和

邏輯思維能力.

2.學生親自經歷探索平行四邊形有關性質的過程，在解決問題的過程中，培養學生“應用數學”的能力.

r情身.1^*1

在應用所學知識解決問題的過程中，培養學生獨立思考的習慣，在數學學習活動中獲得成功的體驗.

?)教學重難點

【重點】

平行四邊形的對角線互相平分及其應用.

【難點】

綜合運用平行四邊形的性質進行有關的論證和計算.

G)教學準備

【教師準備】課件1~7.

【學生準備】復習平行四邊形的相關知識.

用教學過程

JT新課導入

導入一：

【課件1】小明用幾根小棒搭成一個有兩條對角線的平行四邊形，他先找到一根長6cm與一根長8

cm的小棒作為平行四邊形的兩條對角線，然后他又找到了長分別為5cm,8cm,12cm的三種小木棒，其中

有幾種小棒可以用來作為平行四邊形的邊？為什么？你自己動手搭一搭,如果一根小棒可以用來作為這個平

行四邊形的一邊,那么它的長度應該在什么范圍內？

［設計意圖］通過實際的小問題，讓學生通過動手操作、猜測，得出結論，緊接著設下懸念,進入本節課的

學習.

導入二：

回答下列問題：

(1)平行四邊形的邊之間有什么關系？角之間有什么關系？

(平行四邊形的對邊平行且相等，平行四邊形的對角相等，鄰角互補.)

AI)

BC

(2)平行四邊形除了邊和角之外還有其他的研究對象嗎？還有沒有其他的性質呢？

(提示:畫出平行四邊形.)

(3)平行四邊形的對角線之間有什么關系？

(提示:連接對角線)

學生隨著教師的提問獨立思考，交流討論.

猜測:平行四邊形的對角線互相平分.

［設計意圖］從平行四邊形的邊和角兩個方面考查平行四邊形的性質，引出是否還有其他性質這個問

題.在教師的引導下畫出圖形，使得教學過程流暢自然，鼓勵學生大膽猜測，培養直覺思維.

至新知構建

活動1平行四邊形對角線的性質

思路一

1.知識回顧

(1)什么是平行四邊形？

(2)平行四邊形的邊、角有何特征？

(3)如何得出平行四邊形的邊與角的性質？

2.知識形成

I)

請學生觀察如圖所示的平行四邊形ABCD.

(1)由圖可以發現平行四邊形的邊與角的關系.

即AB=CD,AD=BC,zDAB=zBCD,zABC=zCDA.

(2)尋找。4和OGQ8和的長度之間的數量關系.

問:能用什么方法證明你的結論？

①用刻度尺分別量出04和OC,08和。。的長度,并進行比較；

②用折疊的方法；

③復制平行四邊形/18CA用上一節的辦法將04繞著對角線的交點旋轉180°后與0c重合，同理OB

與重合.

結論:平行四邊形的對角線互相平分.

推理格式：

:四邊形是平行四邊形，

:.OA=OC,OB=OD.

【課件2】已知:如圖所示，在。中,對角線相交于點O.

求證OA=OC,OB=OD.

證明:：四邊形48C。是平行四邊形48=8.

.z.BAO—Z.DCO.

又:，AOB=，COD,

:4AO給COD.

:.OA=OC,OB=OD.

平行四邊形的性質定理:平行四邊形的對角線互相平分.

［設計意圖］在幾何教學中用文字語言表述一件事相對比較容易,但用符號語言表述對學生來說還是

有些生疏，教師在教學中隨時引導學生用符號語言來描述某種數學現象，提升學生的數學語言表述能力.

［知識拓展］(1)把四邊形問題轉化為三角形問題是解決四邊形問題的常用方法之一，而連接對角線是

轉化時常用的一種輔助線作法.(2)平行四邊形是特殊的四邊形，因此除了上述我們學過的性質之外,還具有

一般四邊形的性質:四邊形的不穩定性，四邊形的內角和、外角和都等于360°.

活動2例題講解

［過渡語］到目前為止，平行四邊形的性質研究就告一段落了，我們不僅從邊與角兩方面考查了平行四

邊形的性質，還考查了它的對角線的特點,現在我們就可以利用這些知識點來解決問題了.

思路一

【課件3】

(教材第120頁例2)已知:如圖所示,。為。48CO兩條對角線的交點力。=24mm,80=38

mm,5(9=28mm,求人。/!。的周長.

分析:根據平行四邊形的對角線互相平分和平行四邊形的對邊相等即可得出結論.

讓學生先自己獨立完成，指一名學生板演，然后集體講評.

解:在。48C。中，

>4024mm,8838mm,

4c24“c，、

-/4O=—=—=12(mm),

CZ1-BD38^,\

DO—=y=19n(mm).

X.5028mm.

:.AD=BC=28mm.

：a04。的周長=40QOM)12+19+28=59(mm).

【課件4】

(教材第120頁例3)已知:如圖所示，在中,對角線相交于點。，直線E尸過點。，交

。4于點￡交8c于點F.

求證OE=OF、AE=CF,DE=BF.

分析:可以根據三角形全等的知識，先證AZQ艮ACOA從而得到oeQE/iecA再根據/IACB,即可

得到DE=BF.

證明:：四邊形48CZ?是平行四邊形，且對角線4C與8。相交于點O,