解題秘籍03幾何背景下的線段最值問題（6種題型匯總+專項(xiàng)訓(xùn)練+真題訓(xùn)練）【題型匯總】【考情分析】線段最值問題在中考中常常以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，分值較小但難度較高.此類題型多綜合考查將軍飲馬、費(fèi)馬點(diǎn)、胡不歸等問題，一般要用到特殊三角形、特殊四邊形、相似三角形、勾股定理和二次函數(shù)等相關(guān)知識(shí)，以及數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想.題型01垂線段最短圖形條件如圖，點(diǎn)P為直線m1上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為直線m2上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A為定點(diǎn)，求PA+PQ的最小值.如圖，點(diǎn)P為直線m1上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為直線m2上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A為定點(diǎn)，求PA+PQ的最小值.10．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，⊙M的圓心為M4，0，半徑為2，P是直線y=x+4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙M的切線，切點(diǎn)為Q，則【答案】2【分析】記直線y=x+4與x，y軸分別交于點(diǎn)A，K，連接QM，PM，KM；由直線解析式可求得點(diǎn)A、K的坐標(biāo)，從而得△OAK，△OKM均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得：PQ=PM2-QM2，由QM=2，則當(dāng)PM最小時(shí)，【詳解】解：記直線y=x+4與x，y軸分別交于點(diǎn)A，K，連接QM，PM當(dāng)x=0，y=4，當(dāng)y=0，即x+4=0，解得：x=-4，即K(0,4)，而M4,0∴OA=OK=OM=4，∴△OAK，∴∠AKO=∠MKO=45°，∴∠AKM=90°，∵QP與⊙M相切，∴∠PQM=90°，∴PQ=P∵QM=2，∴當(dāng)PQ最小時(shí)即PM最小，∴當(dāng)PM⊥AK時(shí)，取得最小值，即點(diǎn)P與點(diǎn)K重合，此時(shí)PM最小值為KM，在Rt△OKM中，由勾股定理得：KM=∴PQ=32-4∴PQ最小值為27【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，勾股定理，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，垂線段最短，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．11．（2022·山東菏澤·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，AB=2,∠ABC=60°，M是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，CF=BF，則MA+MF的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．2【答案】C【分析】連接AF，則AF的長(zhǎng)就是AM+FM的最小值，證明△ABC是等邊三角形，AF是高線，利用三角函數(shù)即可求解．【詳解】解：連接AF，則AF的長(zhǎng)就是AM+FM的最小值．∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∵CF=BF∴F是BC的中點(diǎn)，∴AF⊥BC．則AF＝AB?sin60°＝2×3即MA+MF的最小值是3．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形以及三角函數(shù)，確定AF的長(zhǎng)就是MA+MF的最小值是關(guān)鍵．題型02將軍飲馬問題圖形條件如圖，點(diǎn)M，N分別為m1，m2上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為定點(diǎn)，求PM+PN+MN的最小值.結(jié)論做點(diǎn)P關(guān)于m1，m2的對(duì)稱點(diǎn)P',P''，那么當(dāng)P'，M，N，P''四點(diǎn)共線時(shí)，PM+PN+MN取得最小值，最小值為的距離.圖形條件如圖，A，B為定點(diǎn)，M，N分別為m，n上的動(dòng)點(diǎn)，MN⊥n，m∥n，且MN為定值，求AM+MN+NB的最小值.如圖，A，B為定點(diǎn)，M，N分別為m上的動(dòng)點(diǎn)，且MN為定值，求AM+MN+NB最小值.結(jié)論如圖，將點(diǎn)A向下平移MN的單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)A'，連接A'B，交n于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作MN⊥m，垂足為點(diǎn)M，點(diǎn)M和點(diǎn)N即為所求，當(dāng)A'，N，B三點(diǎn)共線時(shí)AM+MN+NB取得最小值，最小值為A'B+MN.如圖，將點(diǎn)A向右平移MN個(gè)單位長(zhǎng)度得點(diǎn)A'，作B關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)B’，連接A'B'，交直線m于點(diǎn)N，將點(diǎn)N向左平移MN個(gè)單位長(zhǎng)度得點(diǎn)M，點(diǎn)M和點(diǎn)N即為所求，當(dāng)A'，N，B'三點(diǎn)共線時(shí)AM+MN+NB取得最小值，最小值為A'B'+MN.3．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A3,0，B0,2，過點(diǎn)B作y軸的垂線l，P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，連接PO，PA，則PO+PA的最小值為【答案】5【分析】本題考查軸對(duì)稱—最短問題以及勾股定理和軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)．先取點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A'，連A'O交直線l于點(diǎn)C，連AC，得到AC=A'C，A'A⊥l，再由軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短，得到當(dāng)【詳解】解：取點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A'，連A'O交直線l于點(diǎn)C則可知AC=A'C∴PO+PA=PO+PA即當(dāng)O,P,A'三點(diǎn)共線時(shí)，PO+PA的最小值為∵直線l垂直于y軸，∴A'∵A3,0，B∴AO=3,AA∴在Rt△A'故答案為：54．（2023·山東菏澤·二模）如圖，直線y1=kx+2與反比例函數(shù)y2=3x的圖象交于點(diǎn)

(1)若y1>y(2)動(dòng)點(diǎn)Pn,0在x軸上運(yùn)動(dòng)．當(dāng)n為何值時(shí)，PA-PC【答案】(1)x>1(2)當(dāng)n為-2時(shí)，|PA-PC|的值最大，最大值為2【分析】（1）由點(diǎn)A的縱坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系，即可得出當(dāng)y1>y（2）由點(diǎn)A的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線AB的函數(shù)解析式，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可確定當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，|PA-PC|的值最大，利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求出此最大值．【詳解】（1）解：當(dāng)y2=3∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,3)，觀察函數(shù)圖象，可知：當(dāng)x>1時(shí)，直線在雙曲線上方，∴若y1>y2>0（2）解：將A(1,3)代入y13=k+2，解得：k=1，∴直線AB的解析式為y1當(dāng)x=0時(shí)，y1∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,2)，∴AC=(0-1)當(dāng)y1=x+2=0時(shí)，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-2,0)．當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，|PA-PC|的值最大，此時(shí)n=-2，|PA-PC|=AC=2∴當(dāng)n為-2時(shí)，|PA-PC|的值最大，最大值為2．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、一次（反比例）函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是：（1）利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）利用三角形的三邊關(guān)系確定點(diǎn)P的位置．5．（2023·陜西咸陽·一模）【問題提出】（1）如圖1，點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)A到直線l的距離AC=2，點(diǎn)B到直線l的距離BD=4，A、B兩點(diǎn)的水平距離CD=8，點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AP+BP的最小值是________；【問題探究】（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中點(diǎn)，線段EF在邊AB上左右滑動(dòng)，若EF=1，求GE+CF的最小值；【問題解決】（3）如圖3，某公園有一塊形狀為四邊形ABCD的空地，管理人員規(guī)劃修兩條小路AC和BD（小路的寬度忽略不計(jì)，兩條小路交于點(diǎn)P），并在AD和BC上分別選取點(diǎn)M、N，沿PM、PN和MN修建地下水管，為了節(jié)約成本，要使得線段PM、PN與MN之和最小．已測(cè)出∠ACB=45°，∠ADB=60°，∠CPD=75°，PD=40m，PC=502m

【答案】（1）10；（2）32；（3）能實(shí)現(xiàn)，最小值為20【分析】（1）作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接BA'交直線l于P，則AP+BP的值最小，且AP+BP的最小值=A'（2）如圖，作G關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)G'，在CD上截取CH=1，連接EH，G'E，G'H，則G'E=GE，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到（3）作點(diǎn)P關(guān)于AD、BC的對(duì)稱點(diǎn)E、F，連接PE，PF分別交AD、BC于點(diǎn)O、H，則PE⊥AD，PF⊥BC，連接EF，與AD、BC的交點(diǎn)即為點(diǎn)M、N的位置，連接PM，PN，此時(shí)PM=EM，PN=FN，EF的長(zhǎng)就是PM+PN+MN的最小值，過點(diǎn)E作EG⊥PF交FP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】.解：（1）如圖，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接BA'交直線l于P，則AP+BP的值最小，且AP+BP的最小值=A'B，過A'作A

∴BE=2+4=6，∴A即AP+BP的最小值是10；（2）如圖，作G關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)G'，在CD上截取CH=1連接EH，G'E，G'

∵CH=EF=1，CH∥EF，∴四邊形EFCH是平行四邊形，∴EH=CF，∴GE+CF=G∵AB=4，BC=AD=2，G為AD的中點(diǎn)，∴DG'=AD+A由勾股定理得G'∴GE+CF≥32，即GE+CF的最小值為：3（3）管理人員的想法能實(shí)現(xiàn)，作點(diǎn)P關(guān)于AD、BC的對(duì)稱點(diǎn)E、F，連接PE，PF分別交AD、BC于點(diǎn)O、H，AP⊥AD，PF⊥BC，連接EF，與AD、BC的交點(diǎn)即為點(diǎn)M、N的位置，連接PM，PN，此時(shí)PM=EM，PN=FN，EF的長(zhǎng)就是PM+PN+MN的最小值，過點(diǎn)E作EG⊥PF交FP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，

∵∠ACB=45°，∠ADB=60°，PE⊥AD，PF⊥BC，∴∠CPH=45°，∠DPO=30°，∵PC=502m，∴PH=PC?sin∠BCP=50m∴OP=P∴PE=2OP=403m，∵∠CPH=45°，∠CPD=75°，∠DPO=30°，∴∠EPG=180°-∠CPH-∠CPD-∠DPO=30°，∵EG⊥PG，∴GE=1∴PG=P∴GF=PG+PF=160m在Rt△GEF中，EF=∴PM+PN+MN的最小值為2067【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，考查了軸對(duì)稱-最短路線問題及矩形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．6．（2024·重慶·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+4a≠0經(jīng)過點(diǎn)-1,6，與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)（(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)P是射線CA上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為E，交AC于點(diǎn)D．點(diǎn)M是線段DE上一動(dòng)點(diǎn)，MN⊥y軸，垂足為N，點(diǎn)F為線段BC的中點(diǎn)，連接AM，NF．當(dāng)線段PD長(zhǎng)度取得最大值時(shí)，求(3)將該拋物線沿射線CA方向平移，使得新拋物線經(jīng)過（2）中線段PD長(zhǎng)度取得最大值時(shí)的點(diǎn)D，且與直線AC相交于另一點(diǎn)K．點(diǎn)Q為新拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠QDK=∠ACB時(shí)，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【答案】(1)y=-x(2)AM+MN+NF的最小值為412(3)符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為-1,-2或-19【分析】（1）利用正切函數(shù)求得OB=1，得到B1,0（2）求得A-4,0，利用待定系數(shù)法求得直線AC的解析式，設(shè)Pp,-p2-3p+4，求得PD最大，點(diǎn)P-2,6，再證明四邊形AMNE是平行四邊形，得到AM=EN，推出當(dāng)（3）求得D-2,2，再利用平移的性質(zhì)得到新拋物線的解析式y(tǒng)【詳解】（1）解：令x=0，則y=4，∴C0,4∴OC=4，∵tan∠CBA=4∴OCOB∴OB=1，∴B1,0將B1,0和-1,6代入y=ax2解得a=-1b=-3∴拋物線的表達(dá)式為y=-x（2）解：令y=0，則0=-x解得x=-4或x=1，∴A-4,0設(shè)直線AC的解析式為y=mx+4，代入A-4,0，得0=-4m+4解得m=1，∴直線AC的解析式為y=x+4，設(shè)Pp,-p2-3p+4（∴PD=-p∵-1<0，∴當(dāng)p=-2時(shí)，PD最大，此時(shí)P-2,6∴AE=2，MN=OE=2，E-2,0∴AE=MN，AE∥連接EN，∴四邊形AMNE是平行四邊形，∴AM=EN，∴AM+MN+NF=EN+MN+NF≥MN+EF，∴當(dāng)E、N、F共線時(shí)，∵點(diǎn)F為線段BC的中點(diǎn)，∴F1∴EF=-2-∴AM+MN+NF的最小值為412（3）解：由（2）得點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-2，代入y=x+4，得y=2，∴D-2,2∴新拋物線由y=-x2-3x+4向左平移2∴y'過點(diǎn)D作DQ1∥BC交拋物線∴∠Q同理求得直線BC的解析式為y=-4x+4，∵DQ∴直線DQ1的解析式為聯(lián)立得-4x-6=-x解得x1=-1，當(dāng)x=-1時(shí)，y=-2，∴Q1作DQ1關(guān)于直線AC的對(duì)稱線得DQ2交拋物線∴∠Q設(shè)DQ1交x軸于點(diǎn)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到DG=DG過點(diǎn)D作DR∥x軸，作DH⊥x軸于點(diǎn)H，作G'當(dāng)y=0時(shí)，0=-4x-6，解得x=-3∴G∵A-4,0，C∴OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=45°，∵DR∥∴∠RDA=∠DAH=∠ADH=45°，∴∠G∵∠G'∴△GD∴G'H'∴G'同理直線DQ2的解析式為聯(lián)立-x解得x=-2或x=-19當(dāng)x=-194時(shí)，∴Q2綜上，符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為-1,-2或-19【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合問題，考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．7．（2024·西藏·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+3a≠0與x軸交于A-1,0，B3,0兩點(diǎn)，與(1)求拋物線的解析式；(2)如圖（甲），設(shè)點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，在直線l上是否存在一點(diǎn)P，使PA-PD有最大值？若存在，求出PA-PD的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)如圖（乙），設(shè)點(diǎn)M為拋物線上一點(diǎn)，連接MC，過點(diǎn)M作MN⊥CM交直線l于點(diǎn)N．若tan∠MCN=23【答案】(1)y=-(2)PA-PD存在最大值；最大值為10(3)點(diǎn)M的坐標(biāo)為-1,0或12,154【分析】（1）把A-1,0，B3,0代入拋物線求出a、（2）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)為0,3，連接PC、PD、PA，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得出PC=PD，PA-PC=PA-PD，得出當(dāng)PA-PC最大時(shí)，PA-PD最大，根據(jù)當(dāng)點(diǎn)A、C、P三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，PA-PC最大，即當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)P'時(shí)，PA-PD（3）過點(diǎn)M作ED∥y軸，過點(diǎn)C作CD⊥DE于點(diǎn)D，過點(diǎn)N作NE⊥DE于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：m,-m2+2m+3，得出DM=-m2+2m+3-3=-m2+2m，NE=m-1，證明△CDM∽△MEN【詳解】（1）解：把A-1,0，B3,0代入a-b+3=09a+3b+3=0解得：a=-1b=2∴拋物線的解析式為：y=-x（2）解：PA-PD存在最大值；把x=0代入y=-x2+2x+3∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為0,3，∵y=-x∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，連接PC、PD、PA，如圖所示：∵點(diǎn)C關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)P在直線l上，∴PC=PD，∴PA-PC=PA-PD，∴當(dāng)PA-PC最大時(shí)，PA-PD最大，∴當(dāng)點(diǎn)A、C、P三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，PA-PC最大，即當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)P'時(shí)，PA-PD∴PA-PD最大值為：AC=1（3）解：過點(diǎn)M作ED∥y軸，過點(diǎn)C作CD⊥DE于點(diǎn)D，過點(diǎn)N作NE⊥DE于點(diǎn)∵CM⊥MN，∴∠CMN=90°，∴tan∠MCN=設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：m,-m∴DM=-m2∵∠CMN=∠NEM=∠CDM=90°，∴∠DCM+∠CMD=∠CMD+∠NME=90°，∴∠DCM=∠NME，∴△CDM∽△MEN，∴NEDM∴m-1-∴2-當(dāng)m≤0時(shí)，-m2+2m≤02m解得：m1=-1，此時(shí)點(diǎn)M坐標(biāo)為：-1,0；當(dāng)0<m≤1時(shí)，-m2+2m>0-2m解得：m1=3此時(shí)點(diǎn)M坐標(biāo)為：12當(dāng)1<m≤2時(shí)，-m2+2m≥0-2m解得：m1=3此時(shí)點(diǎn)M坐標(biāo)為：32當(dāng)m>2時(shí)，-m2+2m<02m解得：m1=3，此時(shí)點(diǎn)M坐標(biāo)為：3,0；綜上分析可知：點(diǎn)M坐標(biāo)為：-1,0或12,154或【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，求二次函數(shù)解析式，軸對(duì)稱的性質(zhì)，兩點(diǎn)間距離公式，解直角三角形的相關(guān)計(jì)算，解一元二次方程，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)，注意進(jìn)行分類討論．題型03胡不歸問題【模型詳解】條件：已知A，B為定點(diǎn)，其中點(diǎn)A在定直線m上，點(diǎn)P在直線m上一動(dòng)點(diǎn)，求k?PA+PB（k＜1）的最小值.圖示：解題步驟：作射線AM使sin∠PAM=k（k＜1），且點(diǎn)M與點(diǎn)B位于直線m的兩側(cè).2）過點(diǎn)P作PC⊥AM于點(diǎn)C，則PC=k?PA，此時(shí)k?PA+PB=PC+BP.3）過點(diǎn)B作BD⊥AM于點(diǎn)D，該垂線段長(zhǎng)即為所求最小值，計(jì)算垂線段的解題大招：即當(dāng)B，P，C三點(diǎn)共線時(shí)，k?PA+PB取最小值，最小值為BD的長(zhǎng)度.模型總結(jié)：在求形如“k?PA+PB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與k?PA相等的線段，將“k?PA+PB”型問題轉(zhuǎn)化為“PC+PB”型.而這里的PA必須是一條方向不變的線段，方能構(gòu)造定角利用三角函數(shù)得到k?PA的等線段注意：若k>1，則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可.【模型拓展】對(duì)形如a?PA+b?PB(a>b)的式子，可以先將式子變形為，再求出的最小值，此時(shí)只需要構(gòu)造,作垂線即可求出最小值.8．（2023·湖南湘西·中考真題）如圖，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，其半徑為4．過點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P為線段BE上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與B，E重合），則CP+12BP

【答案】6【分析】過點(diǎn)P作PD⊥AB，連接CO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)F，連接AO，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)得到OA=OB=4，CF⊥AB，然后利用含30°角直角三角形的性質(zhì)得到OE=12OA=2，進(jìn)而求出BE=BO+EO=6【詳解】如圖所示，過點(diǎn)P作PD⊥AB，連接CO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)F，連接AO

∵△ABC是等邊三角形，BE⊥AC∴∠ABE=∠CBE=∵⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，其半徑為4∴OA=OB=4，CF⊥AB，∴∠OBA=∠OAB=30°∴∠OAE=∠OAB=∵BE⊥AC∴OE=∴BE=BO+EO=6∵PD⊥AB，∠ABE=30°∴PD=∴CP+∴CP+12BP∵△ABC是等邊三角形，BE⊥AC，CF⊥AB∴CF=BE=6∴CP+12BP故答案為：6．【點(diǎn)睛】此題考查了圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含30°角直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．9．（22-23九年級(jí)上·廣東茂名·期末）如圖，AB=AC，A0，15，C（1，0），D為射線AO上一點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，運(yùn)動(dòng)路徑為A-D-C，在AD上的速度為4個(gè)單位/秒，在CD上的速度為1個(gè)單位/秒，則整個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最少時(shí)，D的坐標(biāo)為【答案】0,【分析】如圖，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M，交AO于D′．運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=AD4+CD1=AD4+CD，由△AHD∽△AOB【詳解】如圖，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M，交AO于D'∵運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=AD∵AB=AC，AO⊥BC，∴BO=OC=1，∵A(0,15)，C（1，0），AB=AC，∴AB=AC=O∵∠DAH=∠BAO，∠DHA=∠AOB=90°，∴△AHD∽△AOB，∴ADAB∴DH=1∴14∴當(dāng)C，D，H共線且和CM重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，∴1∴CM=15∴AM=A∵AD'=4MD'則有：16∴m=71530∴A∴D0,故答案為0,15【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．10．（2024·四川德陽·二模）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(1，0)，C(-3，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B(0，A．2 B．2 C．22 D．4【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短等知識(shí)，關(guān)鍵在于把求22BP+AP最小值轉(zhuǎn)化為求PG+AP的最小值；連接BC，AP，過點(diǎn)P作PG⊥BC于點(diǎn)G，連接AG，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H；由B、C的坐標(biāo)得OB=OC，則有∠OBC=45°，從而PG=2【詳解】解：連接BC，AP，過點(diǎn)P作PG⊥BC于點(diǎn)G，連接AG，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)∵C(-3，0)∴OC=OB，∴∠OBC=45°，∴PG=2∴22∴22BP+AP∵A(1，0)∴AC=1-(-3)=4，在Rt△ACH∵∠ACH=45°，∴AH=2∴22BP+AP故選：C．11．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·中考真題）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足為D，P為線段AD上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PC．則PA+2PB的最小值為．【答案】42【分析】在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此時(shí)PA+2PB＝212PA+PB＝12PF+PB＝2【詳解】解：如圖，在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此時(shí)PA+2PB最小，∴∠AFB＝90°∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD＝12∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，∴PF＝12∴PA+2PB＝212PA+PB＝12PF+PB在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，∴BF＝AB?sin45°＝4×2∴（PA+2PB）最大＝2BF＝42故答案為：42【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解直角直角三角形，解題的關(guān)鍵是作輔助線．題型04費(fèi)馬點(diǎn)費(fèi)馬點(diǎn)概念：三角形內(nèi)部滿足到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，稱為費(fèi)馬點(diǎn).結(jié)論：1）對(duì)于一個(gè)各角不超過120°的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)是對(duì)各邊的張角都是120°的點(diǎn)；2)對(duì)于有一個(gè)角超過120°的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)就是這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn).（注意：通常涉及費(fèi)馬點(diǎn)的試題中三角形的最大頂角小于120°）【解題思路】運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的方法，以?ABC任意一條邊向外旋轉(zhuǎn)60°構(gòu)造等邊三角形，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，得出最短長(zhǎng)度.【進(jìn)階】加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)模型概述：前面學(xué)的PA+PB+PC最小值的費(fèi)馬點(diǎn)問題線段前面系數(shù)都是l，如果現(xiàn)在求mPA+nPB+xPC最小值，前面系數(shù)不是1，那么此類題目就叫做“加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)”.【模型拓展】類型一單系數(shù)類當(dāng)只有一條線段帶有不為1的系數(shù)時(shí)，相對(duì)較為簡(jiǎn)單，一般有兩種處理手段，1）一種是旋轉(zhuǎn)特殊角度：對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)90°，對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)120°求AD+CD+BD的最小值求AD+CD+BD的最小值旋轉(zhuǎn)角度是90°旋轉(zhuǎn)角度是120°2）另一種是旋轉(zhuǎn)放縮，對(duì)應(yīng)三角形三邊之比類型二多系數(shù)類其實(shí)當(dāng)三條線段的三個(gè)系數(shù)滿足勾股數(shù)的關(guān)系時(shí)，都是符合加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)的條件的。以不同的點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)不同的三角形得到的系數(shù)是不同的，對(duì)于給定的系數(shù)，我們?cè)撊绾芜x取旋轉(zhuǎn)中心呢？我們總結(jié)了以下方法：1.將最小系數(shù)提到括號(hào)外；2.中間大小的系數(shù)確定放縮比例；3.最大系數(shù)確定旋轉(zhuǎn)中心（例如最大系數(shù)在PA前面，就以A為旋轉(zhuǎn)中心），旋轉(zhuǎn)系數(shù)不為1的兩條線段所在的三角形。12．（2024·陜西榆林·二模）如圖，在?ABCD中，AD=6，連接AC，AB=AC=5，以點(diǎn)C為圓心，15CD長(zhǎng)為半徑畫弧，弧分別交BC、AC、CD于點(diǎn)M、H、N，點(diǎn)P是HN上方△ACD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是HN上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、DP、PQ，則AP+DP+PQ的最小值為【答案】33+3【分析】如圖，把△APD繞D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'P'D，連接PP'，AA'，證明△DPP'為等邊三角形，△AA'D為等邊三角形，可得PD=PP【詳解】解：如圖，把△APD繞D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'P'D∴AP=A'P'，∴△DPP'為等邊三角形，∴PD=PP'，當(dāng)C，Q，P，P'，AAP+DP+PQ=PQ+PP∵?ABCD，AB=AC=5∴AB=CD=AC=5，而A'A=A∴A'C⊥AD，AK=DK=3，∴A'K=6∵CQ=CN=1∴A'∴AP+DP+PQ的最小值為33故答案為：3【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，化為最簡(jiǎn)二次根式，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．13．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）閱讀以下材料并完成問題材料一：數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想如a2+b2可看做是圖一中AB的長(zhǎng)，a+12材料二：費(fèi)馬點(diǎn)問題是一個(gè)古老的數(shù)學(xué)問題．費(fèi)馬點(diǎn)即在△ABC中有一點(diǎn)P使得PA+PB+PC的值最小．著名法學(xué)家費(fèi)馬給出的證明方法如下：將△ABP繞B點(diǎn)向外旋轉(zhuǎn)60°得到△A1B1C1，并連接PP1易得△PP1B請(qǐng)結(jié)合以上兩材料求出x2

【答案】19【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，將原式轉(zhuǎn)化為x2+y2+1-x2+y2+x2+23-y2，構(gòu)造直角三角形ABC，∠ACB=90°，AC=23,BC=1，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)構(gòu)造直角坐標(biāo)系，設(shè)P為x,y，進(jìn)而得到PC=x【詳解】解：原式=x可看做下圖中的PA+PB+PC，其中P為x,y則PC=x2+y將△APC繞點(diǎn)C點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A1∵∠PCP1=∠ACA1=60°，∠ACD=90∴∠A1CD=30°∴A1D=12又∵BC=1∴DC=4∴A∵PA+PB+PC=AP∴PA+PB+PC=AP∴PA+PB+PC的最小值為19；∴x2+

14．（2023·湖北隨州·中考真題）1643年，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出一個(gè)著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C，求平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，該點(diǎn)也被稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”或“托里拆利點(diǎn)”，該問題也被稱為“將軍巡營(yíng)”問題．(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請(qǐng)補(bǔ)充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點(diǎn)之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)）當(dāng)△ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，如圖1，將△APC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'P

由PC=P'C，∠PCP'=60°，可知△PCP'為由②可知，當(dāng)B，P，P'，A在同一條直線上時(shí)，PA+PB+PC取最小值，如圖2，最小值為A'B，此時(shí)的P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，且有∠APC=∠BPC=∠APB=已知當(dāng)△ABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)．如圖3，若∠BAC≥120°，則該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為④點(diǎn)．(2)如圖4，在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知點(diǎn)P為△ABC的“費(fèi)馬點(diǎn)

(3)如圖5，設(shè)村莊A，B，C的連線構(gòu)成一個(gè)三角形，且已知AC=4km，BC=23km，∠ACB=60°．現(xiàn)欲建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向A，B，C三個(gè)村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A，B，C的鋪設(shè)成本分別為a元/km，a元/km，2a元/【答案】(1)①等邊；②兩點(diǎn)之間線段最短；③120°；④A．(2)5(3)2【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行推理分析即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)（1）的方法將△APC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'P'C，即可得出可知當(dāng)B，P，P'，A在同一條直線上時(shí)，PA+PB+PC取最小值，最小值為A'（3）由總的鋪設(shè)成本=a(PA+PB+2PC)，通過將△APC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'P'C，得到等腰直角△PP'C，得到2PC=PP'，即可得出當(dāng)B，P【詳解】（1）解：∵PC=P∴△PCP∴PP'=PC又P'A'由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)B，P，P'，A在同一條直線上時(shí)，PA+PB+PC最小值為A'B，此時(shí)的P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)∴∠BPC+∠P'PC=180°∴∠BPC=120°，∠A又∵△APC?△A∴∠APC=∠AP∴∠APB=360°-∠APC-∠BPC=120°，∴∠APC=∠BPC=∠APB=120°；∵∠BAC≥120°，∴BC>AC，BC>AB，∴BC+AB>AC+AB，BC+AC>AB+AC，∴三個(gè)頂點(diǎn)中，頂點(diǎn)A到另外兩個(gè)頂點(diǎn)的距離和最小．又∵已知當(dāng)△ABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn)．∴該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為點(diǎn)A，故答案為：①等邊；②兩點(diǎn)之間線段最短；③120°；④A．（2）將△APC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'P由（1）可知當(dāng)B，P，P'，A在同一條直線上時(shí)，PA+PB+PC取最小值，最小值為A

∵∠ACP=∠A∴∠ACP+∠BCP=∠A又∵∠PC∴∠BCA由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：AC=A∴A'∴PA+PB+PC最小值為5，（3）∵總的鋪設(shè)成本=PA·a+PB·a+PC·∴當(dāng)PA+PB+2將△APC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'P'由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：P'C=PC，∠PCP'=∠AC∴PP∴PA+PB+2當(dāng)B，P，P'，A在同一條直線上時(shí)，P'A'+PB+P

過點(diǎn)A'作A'H⊥BC∵∠ACB=60°，∠ACA∴∠A∴A'∴HC=A∴BH=BC+CH=23∴APA+PB+2PC總的鋪設(shè)成本=PA·a+PB·a+PC·2故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查了費(fèi)馬點(diǎn)求最值問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)點(diǎn)，讀懂題意，利用旋轉(zhuǎn)作出正確的輔助線是解本題的關(guān)鍵．15．（2023九年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)P是正方形內(nèi)部一點(diǎn)，求PA+2PB+5【答案】4【分析】延長(zhǎng)DC到H，使得CH=2BC=8，則BH=45，在∠CBH的內(nèi)部作射線BJ，使得∠PBJ=∠CBH，使得BJ=5BP，連接PJ，JH，AH．先證明△JBP∽△HBC，可得PJ=2PB，再證明△PBC∽△JBH，可得：HJ=5PC【詳解】解：延長(zhǎng)DC到H，使得CH=2BC=8，則BH=45，在∠CBH的內(nèi)部作射線BJ，使得∠PBJ=∠CBH，使得BJ=5BP，連接PJ，JH∵∠PBJ=∠CBH，BPBJ=∴PBBC∴△JBP∽△HBC，∴∠BPJ=∠BCH=90°，∴PJ=B∵∠PBC=∠JBH，PBBJ∴△PBC∽△JBH，∴PCJH∴HJ=∴PA+2PB+5∵PA+PJ+JH≥AH，∴PA+2PB+5∴PA+2PB+5PC的值最小，最小值為【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短，正方形的性質(zhì)，，正確理解費(fèi)馬點(diǎn)問題，利用相似構(gòu)造2PB與5PC16．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△ABC中，∠ACB=30°，BC=4，在△ABC內(nèi)有一點(diǎn)O，連接OA，OB，OC，若2OA+OB+5OC的最小值為45，則AC

【答案】17【分析】本題考查了圖形的變換，勾股定理，最短路徑的計(jì)算方法，掌握?qǐng)D象旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，最短路徑的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，將△AOC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°并放大2倍，得△CA'O'，連接OO'，根據(jù)邊的關(guān)系可得2OA=O'A'，5OC=O【詳解】解：如圖所示，將△AOC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°并放大2倍，得△CA'O

∴A'O'=2AO，∴在Rt△OCO'∴2OA+OB+5根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，∴在△A'OB∵2OA+BO+5OC的最小值為45∴A'在Rt△ACA'中，∴AA∵∠ACA∴∠A延長(zhǎng)A'C，作點(diǎn)B作BE⊥A∴∠BCE=60°，且BC=4，在Rt△BCE中，∠CBE=30°∴CE=12BC=2∴A'∴在Rt△A'∴45解得，AC=17故答案為：17-1．題型05阿氏圓問題使用場(chǎng)景已知兩個(gè)定點(diǎn)A，B，動(dòng)點(diǎn)P在定圓上，求PA+kPB的最小值類型點(diǎn)A，B均在圓外，r=kOB(k<1)點(diǎn)A，B均在圓內(nèi)，r=kOB(k>1)圖示解題策略第一步:在OB上取點(diǎn)D，使得OD=kr；第二步:由母子相似模型可得△POD∽△BOP，則PD=kPB,此時(shí)PA+kPB=PA+PD;第三步:連接AD，則AD的長(zhǎng)即為PA+kPB的最小值.第一步:在OB的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)D，使得OD=kr;第二步:由母子相似模型可得△POD∽△BOP，則PD=kPB.此時(shí)PA+kPB=PA+PD;第三步:連接AD，則AD的長(zhǎng)即為PA+kPB的最小值大招結(jié)論AD的長(zhǎng)即為PA+kPB的最小值【模型總結(jié)】對(duì)于阿氏圓而言：當(dāng)系數(shù)k＜1的時(shí)候，一般情況下，考慮向內(nèi)構(gòu)造.當(dāng)系數(shù)k＞1的時(shí)候，一般情況下，考慮向外構(gòu)造.【注意事項(xiàng)】針對(duì)求PA+kPB的最小值問題時(shí)，當(dāng)軌跡為直線時(shí)，運(yùn)用“胡不歸模型”求解；當(dāng)軌跡為圓形時(shí)，運(yùn)用“阿氏圓模型”求解.17．（2024·山東泰安·二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=22，AC=9，以C為圓心，3為半徑作⊙C，P為⊙C上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP，則1A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形；懂得依題意作輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．在CA上截取CM，使得CM=1，連接PM，PC，BM．利用相似三角形的性質(zhì)證明MP=13PA，可得1【詳解】解：如圖，在CA上截取CM，使得CM=1，連接PM，PC，BM．∵PC=3，CM=1，CA=9，∴PC∴PCCA∵∠PCM=∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴PMPA∴MP=1∴13∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∠BCM=90°，CM=1，CB=22∴BM=C∴13∴13AP+BP的最小值為故選：C．18．（2024·安徽六安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=6，E為AD邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△ABE沿BE翻折到△FBE的位置，點(diǎn)A與點(diǎn)F重合，連接DF，CF，則DF+1A．92 B．132 C．4 D【答案】D【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，找到最小距離是解題的關(guān)鍵．在BC上取點(diǎn)G，使BG=32，連接FG，DG，證明△FBG∽△CBF，可得出FG=12CF，則DF+12FC=DF+GF≥DG，當(dāng)D、F、【詳解】解：如圖，在BC上取點(diǎn)G，使BG=32，連接FG，∵△ABE沿BE邊翻折到△FBE，∴BF=AB=3，又∵BC=6，∴BGBF=1∴BGBF又∠FBG=∠CBF，∴△FBG∽△CBF，∴GFCF∴FG=1∴DF+1當(dāng)D、F、G三點(diǎn)共線時(shí)，DF+1在Rt△CDG中，CD=AB=3CG=BC-BG=4.5，∠BCD=90°，∴DG=C即DF+12FC故選：D．19．（2020·廣西·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是扇形AEF的EF上任意一點(diǎn)，連接BP，CP，則12BP+CP的最小值是【答案】17．【分析】在AB上取一點(diǎn)T，使得AT＝1，連接PT，PA，CT．證明△PAT∽△BAP，推出PTPB＝APAB＝12，推出PT＝12PB，推出12PB+CP＝CP+PT，根據(jù)PC+PT【詳解】解：在AB上取一點(diǎn)T，使得AT＝1，連接PT，PA，CT．∵PA＝2．AT＝1，AB＝4，∴PA2＝4=AT?AB，∴PAAT＝AB∵∠PAT＝∠PAB，∴△PAT∽△BAP，∴PTPB＝APAB＝∴PT＝12PB∴12PB+CP＝CP+PT∵PC+PT≥TC，在Rt△ACT中，∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4，∴CT＝AT2+A∴12PB+PC≥17∴12PB+PC的最小值為17故答案為17．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，三角形的三邊關(guān)系，圓的基本性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．20．（2020·江蘇常州·一模）如圖，在⊙O中，點(diǎn)A、點(diǎn)B在⊙O上，∠AOB=90°，OA=6，點(diǎn)C在OA上，且OC=2AC，點(diǎn)D是OB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是劣弧AB上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+2DM的最小值為．【答案】4【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題．延長(zhǎng)OB到T，使得BT=OB，連接MT，CT．利用相似三角形的性質(zhì)證明MT=2DM，求CM+2DM的最小值問題轉(zhuǎn)化為求CM+MT的最小值．利用兩點(diǎn)之間線段最短得到CM+MT≥CT，利用勾股定理求出CT即可解題．【詳解】解：延長(zhǎng)OB到T，使得BT=OB，連接MT，CT．∵OA=6，∴OM=OB=6，∵點(diǎn)D是OB的中點(diǎn)，∴OD=DB=3，OT=12，∴OM∴OMOD∵∠MOD=∠TOM，∴△MOD∽∴DMMT∴MT=2DM，∵CM+2DM=CM+MT≥CT，∵OC=2AC，∴OC=4，又∵在Rt△OCT中，∠COT=90°，OT=12∴CT=O∴CM+2DM≥410∴CM+2DM的最小值為410故答案為：41021．（20-21九年級(jí)上·江蘇宿遷·期末）問題提出：如圖①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C的半徑為2，(1)嘗試解決：為了解決這個(gè)問題，下面給出一種解題思路：如圖①，連接CP，在CB上取一點(diǎn)D，使CD＝1，則CDCP=CPCB=12．又∠PCD＝∠BCP，所以△PCD∽△BCP(2)自主探索：在“問題提出”的條件不變的前提下，求13(3)拓展延伸：如圖②，已知在扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝【答案】(1)37(2)2(3)13【分析】（1）利用勾股定理即可求得本題答案；（2）連接CP，在CA上取點(diǎn)D，使CD=23，則有CDCP=CPCA=13，可證△PCD∽△ACP（3）延長(zhǎng)OA到點(diǎn)E，使CE=6，連接PE,OP，可證△OAP∽△OPE，得到EP=2PA，得到2PA+PB=EP+PB，當(dāng)E,P,B三點(diǎn)共線時(shí)，得到最小值．【詳解】（1）解：如圖連接AD，∵AP+12BP=AP+PD∴當(dāng)AP+AD最小，當(dāng)點(diǎn)A,P,D在同一條直線時(shí)，AP+AD最小，∴AP+12BP在Rt△ACD中，CD＝1，∴AD=A∴AP+12BP故答案為：37；（2）解：如圖連接CP，在CA上取點(diǎn)D，使CD=2∴CDCP∵∠PCD=∠ACP，∴△PCD∽△ACP，∴PD=1∴13∴13AP+BP的最小值為故答案為：237（3）解：如圖延長(zhǎng)OA到點(diǎn)E，使CE=6，∴OE=OC+CE=12，連接PE,OP，∵OA=3，OB＝∴OAOP∵∠AOP=∠AOP，∴△OAP∽△OPE，∴APEP∴EP=2PA，∴2PA+PB=EP+PB，∴當(dāng)E,P,B三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值：BE=O故答案為：13．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，相似三角形判定及性質(zhì)，最值得確定．22．（2025九年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=2BC=6，BD=1，P在以B為圓心3為半徑的圓上，則AP+6PD的最小值為．【答案】3【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，圓的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．在AB上取點(diǎn)E，連接PE，使BE=32，證△PBE∽△ABP，得PE=12PA，在BD延長(zhǎng)線上取BF=9，連接EF,PF，證△PBD∽△FBP，得PF=3PD，即PA+6PD=2【詳解】解：在AB上取點(diǎn)E，連接PE，使BE=3∵AB=2BC=6，∴BPAB∵∠PBE=∠ABP，∴△PBE∽△ABP，∴PEPA∴PE=1在BD延長(zhǎng)線上取BF=9，連接EF,PF．∵BD=1，則BFPB又∵∠PBD=∠FBP，∴△PBD∽△FBP，∴PFPD∴PF=3PD，∴PA+6PD=21∴當(dāng)P為EF和圓的交點(diǎn)時(shí)PE+PF最小，即PA+6PD最小，且值為2EF，∵EF=B∴PA+6PD的最小值為2EF=337故答案為：33723．（2023·陜西咸陽·三模）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別是OD、OC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF=4，P是EF的中點(diǎn)，連接OP、PC、

【答案】1452/【分析】在OD上取一點(diǎn)G，使得OG=12,連接PG、CG．根據(jù)菱形的性質(zhì)可知OC=6,OD=8，則OGOP=OPOD=14，結(jié)合∠GOP=∠POD，可得【詳解】解：如圖，在OD上取一點(diǎn)G，使得OG=12，連接

∵四邊形ABCD為菱形，AC=12,BD=16，∴OC=12AC=6∵EF=4，P是EF的中點(diǎn)，∴OP=1∴OGOP又∵∠GOP=∠POD，∴△POG∽△DOP，∴GPPD=1∵PC+PG≥CG，∴當(dāng)點(diǎn)G、P、C在同一直線上時(shí)，PC+1此時(shí)PC+14故答案為：1452【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握“胡不歸”問題模型，正確畫出輔助線，構(gòu)造相似三角形，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和勾股定理求解．24．如圖，在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D、E分別是邊BC、AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且DE=4，P是DE的中點(diǎn)，連接PA，PB，則PA+14【答案】145【分析】如圖，在CB上取一點(diǎn)F，使得CF=12，連接PF，AF，利用相似三角形的性質(zhì)證明PF=14PB【詳解】解：如圖，在CB上取一點(diǎn)F，使得CF=12，連接PF，∵∠DCE=90°，DE=4，DP=PE，∴PC=1∵CFCP=1∴CFCP∵∠PCF=∠BCP，∴△PCF∽△BCP，∴PFPB∴PF=1∴PA+1∵PA+PF≥AF，AF=C∴PA+1∴PA+14PB故答案為1452【點(diǎn)睛】本題考查阿氏圓問題，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．題型06瓜豆模型【模型一】點(diǎn)在直線上條件;如圖，點(diǎn)O是定點(diǎn)，點(diǎn)A、B是動(dòng)點(diǎn)，∠AOB=α（α≠0）且OBOA圖示：結(jié)論：B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡也是直線，OBOA=OB’OA’=k，【模型二】點(diǎn)在圓上條件;如圖，點(diǎn)O是定點(diǎn)，點(diǎn)A、B是動(dòng)點(diǎn)，∠AOB=α且OBOA=k，A點(diǎn)圖示：結(jié)論：1)當(dāng)α=0，①B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓，②A,B,O始終是一條直線，③主動(dòng)圓與從動(dòng)圓的半徑之比為OBOA2)當(dāng)α≠0，①B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是圓，②主動(dòng)圓與從動(dòng)圓的半徑之比為OBOA③主從動(dòng)圓的圓心與定點(diǎn)連線構(gòu)成的夾角為α（定值）.【總結(jié)】1）在線段最值問題中，有時(shí)可先利用“瓜豆”模型確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡，再根據(jù)點(diǎn)線最值，點(diǎn)圓最值來求線段最值；2）部分求動(dòng)點(diǎn)軌跡長(zhǎng)的問題中，只要確定屬于"瓜豆“模型，就可以利用路經(jīng)之比等于相似比，根據(jù)主動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)直接求得25．（2022·安徽合肥·三模）如圖，在Rt△ABC紙片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，點(diǎn)D，E分別在BC，AB邊上，連接DE，將△BDE沿DE翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F的位置，連接AF，若四邊形BEFD是菱形，則AF的長(zhǎng)的最小值為（

）A．5 B．3 C．52 D．【答案】A【分析】連接BF交ED于點(diǎn)0，設(shè)EF與AC交于點(diǎn)G．根據(jù)菱形的性質(zhì)可得點(diǎn)F在∠ABC的平分線上運(yùn)動(dòng)，從而得到當(dāng)AF⊥BF時(shí)，AF的長(zhǎng)最小．再證明△BEO∽△BAF，可得BE=12AB=AE，再證明△AGE∽△ACB，EG=1【詳解】解：如圖，連接BF交ED于點(diǎn)O，設(shè)EF與AC交于點(diǎn)G．∵四邊形BEFD是菱形，∴BF平分∠ABC，∴點(diǎn)F在∠ABC的平分線上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)AF⊥BF時(shí)，AF的長(zhǎng)最小．在菱形BEFD中，BF⊥ED，OB=OF，EF∥BC，∴EO∥AF，∴△BEO∽△BAF，∴BEAB∴BE=1在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，∴AB=5，∴BE=AE=2.5，∵AF⊥BF，∴EF=2.5，∵EF∥BC，∴△AGE∽△ACB，∴EGBC∴EG=1∴GF=EF-EG=1，∵∠AGF=∠AGE=90°，∴AF=A故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，準(zhǔn)確得到點(diǎn)F在∠ABC的平分線上運(yùn)動(dòng)是解題的關(guān)鍵．26．（2023·廣東廣州·二模）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為42，E為BC上一點(diǎn)，且BE=2，F(xiàn)為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為

【答案】522【分析】由題意分析可知，點(diǎn)F為主動(dòng)點(diǎn)，G為從動(dòng)點(diǎn)，所以以點(diǎn)E為旋轉(zhuǎn)中心構(gòu)造全等關(guān)系，得到點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡，之后通過垂線段最短構(gòu)造直角三角形獲得CG最小值．【詳解】將△EFB繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)60°，使EF與EG重合，得到△EFB≌△EHG，

∴BE=HE，∠BEH=60°∴△EBH為等邊三角形，∠BEH=60°，BE=HE=2則有點(diǎn)G在垂直于HE的直線HN上，過C作CM⊥HN，當(dāng)G與點(diǎn)M重合時(shí)即CM即為CG的最小值，如圖，過E作EP⊥CM，易得四邊形HEPM為矩形，∴∠HEP=∠EPG=∠EPC=90°，HE=MP=2∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=BC=42∴CE=BC-BE=42∴∠CEP=30°，∴CP=12∴CM=MP+CP=HE+1故答案為：52【點(diǎn)睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，線段最值問題，解題的關(guān)鍵是分清主動(dòng)點(diǎn)和從動(dòng)點(diǎn)，通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等，從而判斷出點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡，之后運(yùn)用垂線段最短，構(gòu)造圖形計(jì)算，是最值問題中比較典型的類型．27．（2024·安徽淮北·三模）如圖，線段AB=4，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離是1，連接PB，線段PB繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PC，連接AC，則線段AC長(zhǎng)度的最大值是（

）A．3 B．4 C．22 D．【答案】D【分析】以AB為斜邊向上作等腰直角△AJB，連接CJ，BC．利用相似三角形的性質(zhì)證明JC=2，推出點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是以J為圓心，2為半徑的圓，根據(jù)AC≤AJ+JC=3【詳解】解：以AB為斜邊向上作等腰直角△AJB，連接CJ，BC．∵AM=BM，∴JM=AM=MB，∴△JMB是等腰直角三角形，△PBC是等腰直角三角形，∴∠MBJ=∠PBC=45°∴BJ=BMcos45°∴∠MBP=∠JBC，JBMB∴△JBC∽△MBP，∴JCPM∵PM=1，∴JC=2∴點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是以J為圓心，2為半徑的圓，∵AJ=2∴AC≤AJ+JC=32故線段AC長(zhǎng)度的最大值為32故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，三角形三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．28．（2023·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）如圖，△ABC中，∠ABC=90°，tan∠BAC=12，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，P是以A為圓心，以AD為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接PB、A．103 B．31010 C．13【答案】D【分析】此題考查了解直角三角形，根據(jù)阿氏圓的定義，分別固定BP，分別確定A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為阿氏圓O，C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為阿氏圓O'，，由此可知，當(dāng)PC最最小時(shí)，PBPC【詳解】解：固定BP，則BAAP∴A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為阿氏圓O，設(shè)OP=a，則AO=2a，BO=4a，則PB=BO-OP=3a，∵∠ABC=90°，ABBC∴C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為阿氏圓O'∴∠OBO∴O'∴當(dāng)PC最小時(shí)，PBPCPO∴PBPC故選：D．【專項(xiàng)訓(xùn)練】【將軍飲馬】1．（2023·四川宜賓·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，等腰直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)C3，0，頂點(diǎn)A、B6，

(1)分別求反比例函數(shù)的表達(dá)式和直線AB所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式；(2)在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使△ABP周長(zhǎng)的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)y=6x(2)在x軸上存在一點(diǎn)P5,0，使△ABP周長(zhǎng)的值最小,最小值是2【分析】（1）過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，證明△ACE≌△CBDAAS，則CD=AE=3,BD=EC=m，由OE=3-m得到點(diǎn)A的坐標(biāo)是3-m,3，由A、B6，m恰好落在反比例函數(shù)y=kx第一象限的圖象上得到33-m=6m，解得m=1，得到點(diǎn)（2）延長(zhǎng)AE至點(diǎn)A'，使得EA'=AE，連接A'B交x軸于點(diǎn)P，連接AP，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)得到AP=A'P，A'2,-3，則AP+PB=A'【詳解】（1）解：過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，則∠AEC=∠CDB=90°，

∵點(diǎn)C3，0∴OC=3,OD=6,BD=m，∴CD=OD-OC=3，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=90°,AC=BC，∵∠ACE+∠BCD=∠CBD+∠BCD=90°，∴∠ACE=∠CBD，∴△ACE≌△CBDAAS∴CD=AE=3,BD=EC=m，∴OE=OC-EC=3-m，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是3-m,3，∵A、B6，m恰好落在反比例函數(shù)y=∴33-m解得m=1，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是2,3，點(diǎn)B的坐標(biāo)是6,1，∴k=6m=6，∴反比例函數(shù)的解析式是y=6設(shè)直線AB所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式為y=px+q，把點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得，2p+q=36p+q=1，解得p=-∴直線AB所對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式為y=-1（2）延長(zhǎng)AE至點(diǎn)A'，使得EA'=AE，連接A'B交

∴點(diǎn)A與點(diǎn)A'關(guān)于x∴AP=A'P∵AP+PB=A∴AP+PB的最小值是A'∵AB=2-62+∴此時(shí)△ABP的周長(zhǎng)為AP+PB+AB=AB+A設(shè)直線A'B的解析式是則2n+t=-36n+t=1解得n=1t=-5∴直線A'B的解析式是當(dāng)y=0時(shí)，0=x-5，解得x=5，即點(diǎn)P的坐標(biāo)是5,0，此時(shí)AP+PB+AB=AB+A綜上可知，在x軸上存在一點(diǎn)P5,0，使△ABP周長(zhǎng)的值最小，最小值是2【點(diǎn)睛】此題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、用到了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、勾股定理求兩點(diǎn)間距離、軸對(duì)稱最短路徑問題、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合和準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．2.（2025·湖南婁底·一模）如圖，點(diǎn)A是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在第一象限．AB=4，∠CAB=30°，∠CBA=120°．(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)P是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P處于何位置時(shí)，PB+PC的值最小？【答案】(1)6,2(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到0,435【分析】（1）過點(diǎn)C作CE⊥x軸交x軸于點(diǎn)E，證明∠BAC=∠ACB，得出BC=AB=4，解直角三角形得出BE=BC·cos60°=4×12=2，（2）作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為D，則D-4，0，連接CD，CD與y軸交于點(diǎn)P，連接PB，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，得出此時(shí)點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)，先求出直線y=3【詳解】（1）解：過點(diǎn)C作CE⊥x軸交x軸于點(diǎn)E，如圖所示：∵∠CAB=30°，∠CBA=120°，∴∠ACB=180°-30°-120°=30°，∠CBE=180°-120°=60°，∴∠BAC=∠ACB，∴BC=AB=4，∴BE=BC·cos60°=4×CE=BC·sin∴AE=AB+BE=4+2=6，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為6,23（2）解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為D，則D-4，0，連接CD，CD與y軸交于點(diǎn)P根據(jù)軸對(duì)稱可知：PB=PD，∴PB+PC=PD+PC，∴當(dāng)PD+PC最小時(shí)，PB+PC最小，∵兩點(diǎn)之間線段最短，∴此時(shí)點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)，設(shè)直線CD的解析式為：y=kx+b，則-4k+b=06k+b=23解得：k=∴y=3當(dāng)x=0時(shí)，y=∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到0,435【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的幾何綜合，解直角三角形的相關(guān)計(jì)算，求一次函數(shù)解析式，軸對(duì)稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握待定系數(shù)法，作出輔助線．【費(fèi)馬點(diǎn)】1．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）閱讀以下材料并完成問題材料一：數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想如a2+b2可看做是圖一中AB的長(zhǎng)，a+12材料二：費(fèi)馬點(diǎn)問題是一個(gè)古老的數(shù)學(xué)問題．費(fèi)馬點(diǎn)即在△ABC中有一點(diǎn)P使得PA+PB+PC的值最小．著名法學(xué)家費(fèi)馬給出的證明方法如下：將△ABP繞B點(diǎn)向外旋轉(zhuǎn)60°得到△A1B1C1，并連接PP1易得△PP1B請(qǐng)結(jié)合以上兩材料求出x2

【答案】19【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，將原式轉(zhuǎn)化為x2+y2+1-x2+y2+x2+23-y2，構(gòu)造直角三角形ABC，∠ACB=90°，AC=23,BC=1，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)構(gòu)造直角坐標(biāo)系，設(shè)P為x,y，進(jìn)而得到PC=x【詳解】解：原式=x可看做下圖中的PA+PB+PC，其中P為x,y則PC=x2+y將△APC繞點(diǎn)C點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A1∵∠PCP1=∠ACA1=60°，∠ACD=90∴∠A1CD=30°∴A1D=12又∵BC=1∴DC=4∴A∵PA+PB+PC=AP∴PA+PB+PC=AP∴PA+PB+PC的最小值為19；∴x2+

【胡不歸】1．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，E是BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE，AE的垂直平分線MN交AE于點(diǎn)M，交BD于點(diǎn)

(1)求證：EN=CN；(2)求2EN+BN的最小值．【答案】(1)見詳解(2)2【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)證明△ABN≌△CBN，再結(jié)合MN是AE的垂直平分線，即可證明EN=CN；（2）過點(diǎn)N作NF⊥BC于點(diǎn)F，連接NF,AF，∠DBC=30°，則NF=12BN，故2EN+BN=2EN+1【詳解】（1）證明：連接AN，

∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=30°∵BN=BN，∴△ABN≌△CBN，∴AN=CN，∵M(jìn)N是AE的垂直平分線，∴AN=NE，∴EN=CN；（2）解：過點(diǎn)N作NF⊥BC于點(diǎn)F，連接NF,AF，

∵∠DBC=30°，∴NF=1∵AN=EN，∴2EN+BN=2EN+當(dāng)點(diǎn)A、N、F三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，如圖：

即AF⊥BC，∴在Rt△ABF中，AF=AB?∴2EN+BN的最小值為23【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短，解直角三角形，正確添加輔助線是解決本題的關(guān)鍵．【阿氏圓】1．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=6,BC=8,，D，E為BC，AC上的動(dòng)點(diǎn)，且DE=4，P(1)若DE∥AB，求(2)在線段DE的運(yùn)動(dòng)過程中，CD的長(zhǎng)由2到23，求這一變化過程中，點(diǎn)P(3)連結(jié)PA，PB，求【答案】(1)16(2)1(3)145【分析】（1）先利用勾股定理求出AB=10，根據(jù)DE∥AB，證明（2）連接CP，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半求出CP=2，再根據(jù)當(dāng)CD=2時(shí)，△DCP為等邊三角形，∠DCP=60°；當(dāng)CD=23時(shí)，∠DCP=30°，得到弧的圓心角為30°（3）在CB上取一點(diǎn)F，使得CF=12，連接PF，AF，利用相似三角形的性質(zhì)證明PF=14PB【詳解】（1）解：在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=6,BC=8∴AB=A∵DE∥AB∴△CDE∽∴CDBC=DE∴CD=16（2）解：連接CP，∵∠C=90°，P為DE的中點(diǎn)，DE=4，∴CP=1∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路線是以C為圓心，2為半徑的一段圓弧，當(dāng)CD=2時(shí)，△DCP為等邊三角形，∠DCP=60°；當(dāng)CD=23時(shí)，∠DCP=30°，得到弧的圓心角為30°則P運(yùn)動(dòng)的路程即為圓心角為30°的弧的長(zhǎng)度，即為30×2π（3）解：如圖，在CB上取一點(diǎn)F，使得CF=12，連接PF，∵∠DCE=90°，DE=4，DP=PE，∴PC=1∵CFCP=1∴CFCP∵∠PCF=∠BCP，∴△PCF∽△BCP，∴PFPB∴PF=1∴PA+1∵PA+PF≥AF，AF=C∴PA+1∴PA+14PB【點(diǎn)睛】本題考查阿氏圓問題，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．2．（2021·四川宜賓·中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，6），拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為E（2，8），連結(jié)BC、BE、CE．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）判斷△BCE的形狀，并說明理由；（3）如圖2，以C為圓心，2為半徑作⊙C，在⊙C上是否存在點(diǎn)P，使得BP＋12EP【答案】（1）y=-12x2+2x+6；（2）直角三角形，見解析；（3【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）分別求出三角形三邊的平方，然后運(yùn)用勾股定理逆定理即可證明；（3）在CE上截取CF=22（即CF