第25講平面向量的數量積

【提升訓練】

一、單選題

i.已知非零平面向量癡滿足|辦園=7尻則同卡|的最小值是()

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】

把給定等式兩邊平方，利用平面向量數量積性質轉化為同的不等式即可得解.

【詳解】

依題意,25>0，歸+4=￡彳。(￡+，=0而=片+2￡$+片=(￡?歷2,

<^>\af+\b\1=(ab)2-2a-b<^(\a\-\b\)2+2\a\\b\+\=(ab-\)2,

當0<〃不《1時，上述最后等式不成立，從而有

￡.[-1=引)2+2|同?歷1+12在|￡|?出|+1，當且僅當|￡|二|向時取"=”，

又。?坂<|。|“坂|,當且僅當￡與B同方向時取“="，

則有J211HH+1?￡$-1旦6?⑸-1=>2|吊.|5|+1?(|￡|?|臼-1)2,解得

|a|.|^|>4,當且僅當￡=A時取“=”，

所以同忖的最小值是4

故選：A

【點睛】

結論點睛：平面向量a,B，a-b<\a\\b\,當且僅當G與各方向相同或至少一個為零向量

時取等號；ab>-\a\\b\,當且僅當)與坂方向相反或至少一個為零向量時取等號.

2.已知點Pw{(蒼y)|(x+2)2+(y-J7)2=2},點

%=(一1嚴則而?麗的最大值為()

A.9B.8C.7D.6

【答案】A

【分析】

M+,

先分別設出P(&cos6-2,JIsine+J7),e(/7,(-l)—),再運用向量的數量積再

n

1

分析最大值即可.

【詳解】

設P(忘cose—2,后sin夕+近),0?e421，Q5,(—1)“”?—)，

n

所以麗?麗二〃(應cose—2)+(&sin9+J7)?(—1)川?立，

n

因為〃wN*,—1<cos^<1,-1<sin<1,

所以夜cos9—2<0，&sin?+近>0，

所以要使麗?麗最大，〃=1,

所以麗?麗=&cos〃-2+(x/5sine+b)b=4sin(，+e)+5.

所以（麗衣）3=9.

故選：A.

【點睛】

關鍵點睛：解決本題的關鍵一是將點坐標化，二是分析到〃=1時有最大值，然后再用輔助

角公式.

3.如圖，在正方形A8CO中，邊長為立，E是3C邊上的一點，ZE4B=30°,以A為

2

圓心，AE為半徑畫弧交8于點尸，。是弧E尸上（包括邊界點）任一點，則Q.麗的

取值范圍是（）

【答案】B

【分析】

利用向量投影的概念把求AP.BP的取值范圍轉化為求懷可|加|的取值范圍.

【詳解】

2

過P作尸于點H,因為NE44=30。，A5;也，所以AE=1，BE=DF=?，

22

因為P是弧所上（包括邊界點）任一點，所以網=1,

ULIUUUUUU

又因為5P=4P—AB，

所以正歷=麗?（而一而卜麗2-麗.麗『一麗.福

=1-布福=1-府|腳際/尸48=1-網（麻卜05/尸碼=1一|科麗，

所以當點P與點尸重合時，此時A〃=aF=；,|無叫狎最小，且最小為=￥,

所以，戶?B戶，且最大為1一且；

4

當點P與點E重合時，此時點”與點8重合，忖邳而|最大，且最大為自、岑二:,

31

所以A戶戶最小為】一二二7，

44

：/o-

所以麗?麗的取值范圍是:，1—一?

44

故選：B.

4.若兩個非零向量心日滿足m+日|=Jim-5i=6mi，則向量彳-B與彳的夾角為

（）

n八萬一2萬n5萬

A.-B.-C.—D.—

6336

【答案】B

【分析】

孱+Bl=6ia-加=后⑷平方，得到|菊,出|關系，以及〃石與向關系,求出

與111的關系，根據向量夾角公式，即可求解.

【詳解】

解：^\a+b\=yf3\a-b\=y/3\a\,

???伍+5）2=30-1）2=3萬2,

->1-152-

-\ah=a2——b2=—,：.\a\=\b\,

22

3

??\a-b\=\b\^(d-b)-d=d2-ab=b2=3戶,

J_T2

(a-b)a21

,?cos<a-b,a>=________—J_

|5-^||^|b22

且＜彳一瓦萬＞G[0,^],

???5-5與汗的夾角為?.

故選：B.

5.已知△A3C是邊長為2的等邊三角形，其中M為BC邊的中點，N4BC的平分線交線

-------------------z12

段AA7于點N,交AC于點。，且AM-3N=-（〃+〃）（其中。＞0,6＞0）,則,+g的

最小值為（）

【答案】A

【分析】

根據題意建立平面直角坐標系，求得赤?麗=-1，進而得到〃+匕=1,然后由“1”的代換,

利用基本不等式求解.

【詳解】

由題意，建立如圖所示平面直角坐標系：

4

所以麗"二仙-⑹,前

則麗？?麗=-1，

因為AM?BN=-(a+b),

所以〃+Z?=1,

12(12\與b2。、cclb2a./r

所cri以.l一+—=>3+2\J2,

ab{—a+—b)y(a+b)7=3+—a+—b>3+2\J-a----b--

a+b=1

當且僅當2a，即。=應-1,6=2-應時，等號成立.

［a=~b

故選；A.

6.己知|町二夜，/|=4,當B_L(4M—5)時，向量M與日的夾角為()

A.烏B.巳C,也D.史

6434

【答案】B

【分析】

根據題意，設向量］與弓的夾角為。，由數量積的計算公式可得

加(4M—5)=4k5—52=160cos。—16=0,變形可得cos。的值，結合。的范圍分析

可得答案.

【詳解】

根據題意，設向量］與B的夾角為6,

若B_1_(4萬—5),則B(4萬一萬)=41?5—52=16^2cos-16=0.

變形可得：cos6>=—.

2

又由啖吩)，則。=工，

4

故選：B.

7.在矩形ABCO中，A5=4，AD=B點P在CD上，~DP=3PC，點。在8P上,

而.通=14,則審福=()

A.6B.8C.10D.12

5

【答案】D

【分析】

畫出圖形，建立坐標系，求出P的坐標，然后求解。的坐標，然后求解向量的數量積即可.

【詳解】

建立如下圖的坐標系，在矩形A3CO中，A3=4,=又點尸在。。上，DP=3PC^

由已知得尸(3,6),8(4,0),4(0,0),

點。在B尸上，過點。作于點￡,又AQAB=14,所以荏.麗=14，即

|研網=14,

所以|赤卜g,EB=g,NQBA=(,所以QE=*，所以Q:，當，

8.已知點P的坐標為(U)，將向量而繞原點。逆時針方向旋轉§到OP'的位置，則點P'

坐標為()

一臂印B.增臂)c.44)T

【答案】A

【分析】

設出OPf的坐標，然后根據麗的模長以及而.郎的結果計算出p的坐標.

【詳解】

設OP=(x,y),則|。尸‘卜］。尸卜血，所以爐+/=2,

——TT

乂OPOP=x+y=2cos-=l,

6

由上面關系求得訶二(上手'等)或(?乎,竽)

而向量而由而繞原點。逆時針方向旋轉60。得到，且?在第一象限，所以P'的縱坐標

為正數，

故訶=邛￥］：

(22J

故選:A.

【點睛】

關鍵點點睛：解答本題的關鍵在于通過向量的模長公式以及數量積運算完成坐標的求解；本

例除了可以通過向量求解，還可以通過任意角的概念以及兩角和的正余弦公式完成計算：記

P(尤cos夕逝si吟)，則尸(V^cos：+?),0sin

,由此亦可求解出結

果.

9.己知而_1_/，,耳=；,卜。|=/,若P點是△A8c所在平面內一點，且

—AB9AC

阿阿則麗?定的最大值等于()

A.16B.4C.82D.76

【答案】D

【分析】

以A為坐標原點建立平面直角坐標系，可得C(0,/)(r>0),利用平面向量坐標

運算可求得P(l,9),由數量積的坐標運算可表示出方.定，利用基本不等式可求得結果.

【詳解】

以A為坐標原點，可建立如圖所示平面直角坐標系，則叫,0),C(0,r)(r>0),

7

???福而=（0"）,.，.而=（：,0）+，（0/）=（1,9）,即戶（1,9）,

:.PB=；T，-9）,PC=（-l,z-9）,.?.而.斤=1_；_%+81=82_（次+；｝

-t>0,/.9/+y>2^9r1=6（當且僅當為=>,即，=；時取等號），

.?.（麗碼482-6=76.

故選：D.

【點睛】

方法點睛：求解平面向量數量積問題的常用方法有兩種：

（1）利用平面向量線性運算將所求數量積進行轉化，轉化為夾角和模長已知的向量數量積

的求解問題；

（2）建立平面直角坐標系，利用平面向量數量積的坐標運算來進行求解.

10.等邊AABC的面積為9石，且△ABC的內心為M，若平面內的點N滿足|MN|=1,

則麗?麗的最小值為（）

A.-5-2x/3B.-5-4x/3C.-6-26D.-6-473

【答案】A

【分析】

根據三角形面積求出三角形的邊長，以A8為x軸，A8的中垂線為「軸建立平面直角坐標

系，由條件得出點N在以M為圓心，1為半徑的圓上，其方程為％2+'2-20》+2=0,

且6+退，然后用向量數量積的坐標公式得出麗?麗的表達式，在求其最小

值.

【詳解】

設等邊△A3C的邊長為。，則面積5=且/=9百，解得。二6

4

以AB為工軸，A8的中垂線為>軸建立如圖所示的平面直角坐標系.

由為AABC的內心，則M在。。上，且OM=』OC

3

則4（-3,0）,B（3,0）,C（0,3@,M（0,@

由=則點N在以M為圓心，1為半徑的圓上.

設N（x,y）,則公+（）,_6）2=1，即丁+/一2百5+2=0,且75-1?丁工1+6

8

附=(一3-x,-y),NB=(3-x,-y)

M4-A^=(x+3)(x-3)+y2=x2+y2-9=2>/3y-ll>273x(73-1)-11=-5-2>/3

本題考查動點的軌跡方程和利用坐標求向量的數量積的最值，解答本題的關鍵是建立坐標系

得出點N在以M為圓心，I為半徑的圓上，其方程為％2+,2-20y+2=0,且

+B進而得出麗?麗=(X+3)(x-3)+y2,屬于中檔題.

11.在邊長為1的菱形438中，NA=?，若點尸，。滿足麗=a豆心，DQ=/3DC,

其中。,4>0且a+/=l,則而?碩的最大值為()

1137

A.—B.3C.—D.-

284

【答案】C

【分析】

由喬=a前可得/=0而，由而=/反可得加二夕而，又以十夕=1,所以

DQ=(\-a)AB

化簡修?福，并根據福?麗=5得到衣?通=5。(1-?)+-,利用基本不等式得出

結論.

【詳解】

由題意可得1月?八方二lxlxcos￡=，

32

由麗=a而可得旃=0前，

由力0=￡加可得而二夕而，

又a+/=l,所以而二(1—a).通

9

貝1用.而=（而+而）?（而+珂

二（而+a碼?[而+（1-a）-珂

=而.而+或1-二）彷麗+（1-1）網2+《叫2

=—+—a(\-a)+l-a+a

3

1z.x,3\(a+\-a+13

-一

=—a(l-cr)+—<—2-8

2222

當且僅當a=l—a,即a=一時取等號，此時夕二,

22

故選：C.

【點睛】

如何選擇“合適”的基底：題目中是否有兩個向量模長已知且數量積可求，常見的可以邊所成

向量作基底的圖形有：等邊三角形，已知兩邊的直角三角形，矩形，特殊角的菱形等.

12.已知|1|=1,出|=3,則|2萬+日|+|2萬一5|的取值范圍是（）

A.[4,6]B.[4,2713]C.[6,2>/13]D.[6,56]

【答案】C

【分析】

令/=以）$<￡石>,則化簡可得（|21+5|+|2彳一5|）=26+2>/169-1441,根據

即可求出.

【詳解】

令t=cos<atb>,則f?—U]

\2a+b\=\l4^+4a-b+^=j4+4xlx3z+9=J13+12/，

\2a-b\=yl4^-4a-b+b="-4xlx3/+9=J13-⑵，

則（|2d+5|+|2日一bl）2=|2a+b^+2\2a+b\-\2a-b\+\2a-b\1

=13+12/+2jl3+12rJ13-⑵+13-⑵

=26+2,169-144/，

VZG[-1J],,-.25<169-144/2<169?則5KJ169-144r?43

/.36<26+2川69-144。<52?

10

則可得|2H+5|+|2M-5|的取值范圍是［6,2萬］.

故選：C.

【點睛】

關鍵點睛：本題考查平面向量模的運算和數量積的運算律，解題的關鍵是化簡求出

(|21+5|+|2彳一5『再求解.

13.在△ABC中，ZA=60。，AB=3,4c=2,若麗=2比，AE=2AC-AB(AG/?),

且而?通=-4，則％的值為()

3333

A.—B.-C.—D.—

78511

【答案】D

【分析】

設/BA0=a,NC4O=￡則。+夕=(,在4ABC中，由正余弦定理求8。、sin8、sinC，

結合已知可得30、DC，可求40,分別在△ABD、△C4O中求cos。、cos/7,而

ADAE=AADAC-ADAB＞結合向量數量積的定義有石％-5=-4，即可求〃值.

【詳解】

設?。則。+夕=?,

由題意知：BC2=AB2+AC2-2AB-AC-cosABAC=7，即BC=>/7，

AC_ABBC_2>/21p-r-

由正弦定理知：sin8-sinC一.萬一3，即sin3=-----，sinC=--------.

sin—714

VfiO=2DC>則有50=空，DC=立,

33

11

???AD2=AB2+BD2-2ABBDcosB=—,即AO=上

93

ADBD.2V1TTa5歷

在^A8D中，=.，見sina------，fixcosa------，

sinBsina3737

A。__2￡1nl.〃3Vm珈〃11后

在△C4。中，

sinCsm夕7474

ADAE=AD{^AC—AB)=4A。?AC—A￡)?AB=-4，而

■■■.jJ....

ADAC=\AD\\AC\cos/3=—fAD-AB=|AD||AB|cosa=5,

113

A—Z-5=-4,BP2=—.

311

故選：D.

【點睛】

關鍵點點睛：在三角形應用正余弦定理求邊及其對應的余弦值，根據向量數量積的運算律及

定義，結合已知列方程求參數.

14.已知向量滿足同=2版卜3,且M與5的夾角是120。，則口+目的值是（）

A.7B."C.19D.加

【答案】B

【分析】

根據模長性質先求歸+可二轉化為向量數量積運算，即可求解.

【詳解】

1+=（「+￡）2=?+2荽+12=*+2廂cosR+W=22—6+32=7,

.,.|^+h|=>/7.

故選：B

【點睛】

思路點睛：本題考查向量的模長及向量的數量積運算，求解向量的模長常用同2=12,即

同=篩，考查學生的計算能力，屬于基礎題.

15.已知非零向量之石滿足同=2耳,+司=6|陽則向量2日的夾角為（）

12

【答案】B

【分析】

由卜+5『=3時，結合平面向量數量積的運算律可求得品5=-時，由向量夾角公式計

算可求得結果.

【詳解】

由B+@=GW得：卜+耳=同2+21.B+|b|2=3W,

又同=2陣.二咽2+2不?5+|5j=3同，解得：a-b=-\b^f

_rab一|司1尸「八】尸2萬

cos<a,b>==2=,又>￡[0,笈],:.<a,b>=——.

同峭2\b[23

故選：B.

【點睛】

關鍵點點睛：本題考查平面向量夾角的求解問題，解題關鍵是能夠根據平面向量數量積的運

算律，利用模長的平方運算求得兩向量數量積與模長之間的關系.

16.已知兩個單位向量q1的夾角為60。，向量機=，1+WQVO),則()

A.匕」的最大值為一B.的最小值為-2

C.-—的最小值為-D.-—^的最大值為?2

t2t

【答案】A

【分析】

由已知表不出手，可得手=+即可根據二次函數性質求解.

【詳解】

由題可得同=同=1,不G="ix；=；，

當2=-_1,即f=y時，回取得最大值，且最大值為一如，無最小值.

t2t2

13

故選：A.

【點睛】

易錯點睛：本題考查向量數量積的運算，易錯之錯在f<0,化簡時注意將負號提出.

17.如圖，已知從O是直角。兩邊上的動點，AD-LBD^\AD\=43tZBAD=^

6

則兩?國的最大值為（）

A.?R2+9c4+如

24

【答案】C

【分析】

以點O為坐標原點,以方向為工軸正方向，以ZM方向為y軸正方向，建立平面直角坐

標系，再由題中條件得到M、N分別為ZM、的中點，求得M,NO,

點C是以￡￡>為直徑的圓上的點，設C（羽y）,用坐標表示H；函.西，進而可求出其最大

值.

【詳解】

由題意，以點O為坐標原點，以￡>8方向為元軸正方向，以方向為>軸正方向，建立如

圖所示的直角坐標系，

14

y

A

N

D

C

因為|AD\=下》，Z.BAD=一,所以BD=1，

6

則短（0,0）,5（0,0）,A（0,V3）,

又兩」（m+函，OV=-（Cb+C4）,

22

所以M、N分別為DA、84的中點，

又CDCD,所以點。可看作以8。為直徑的圓上的點,

i\2

2即爐+y2=x,

設C（x,y）,則x——+y

2)4

uuir1_Guun

又CM=5"Ty,CN=-%,

uuu-inn13_13

2-X

所以CM.CNE1X+X+/回+92-4-

令m=；x_6y,即x-2百y-2陽=0,

所以點C（X,y）為直線x-2石y-2/〃=0與圓x—；）+y2=；的一個交點，

因此圓心f"o］到直線彳-2傷-2機=0的距離小于等于半徑!，即,2-2H1

\2）2d=i-==^<-

''Vl+122

獻俎1一屈/J+至

解得------4川4-------,

44

所以兩?國的最大值為匕巫二包巫.

444

故選：c.

15

【點睛】

方法點睛：

求解平面向量的相關問題時，對應有特殊角的圖形，一般采用建立坐標系的方法進行求解,

將向量用坐標表示，得出所求的數量積(或其它量)的坐標表示，進而即可結合題中條件求

解.

18.已知向量萬、日是單位向量夾角為90。，向量1=舟+病，sinv%^>=()

A.逅B.@C.也D.1

3322

【答案】A

【分析】

設2=(1,0)石=(0,1),利用坐標運算求出cos再求sinv2”.

【詳解】

因為向量G、B是單位向量夾角為90。，

不妨設￡=(i,o)石二(o,i),則旌宿+府

/--、游6+0G

所以……耐K7

所以sin<a,e>=Ji-(cos<a,,>)2=等-=當

故選：A

【點睛】

向量類問題的常用處理方法一向量坐標化，利用坐標運算比較簡單.

19.已知在△ASC41,AB=4,8c=6,。是△ABC的外心，則明.而7的值為()

A.8B.10

C.12D.16

【答案】B

【分析】

向量衣=豆仁一麗，以及|耳0COS/。5c=|月qj的卜0$/。84=|麗卜利用已知邊長

進行求解.

【詳解】

Bd^C=BdBC-BOBA

=|BO|-|BC|COSZOBC-|BO|-|BA|-COSAOBA

16

2\i???/2v'

故選：B

【點睛】

利用向量的線性運算和向量投影的概念即可得解，解題時要結合題目中的信息進行靈活運

用.

20.已知單位向量另滿足￡4=0,若向量工=百￡+石加貝iJsinvZ，c>=（）

巫如

A.B.「小nV59

4488

【答案】B

【分析】

由題設易得7（、6￡+G5）二|￡||2|cosv￡,2>,由已知向量"的線性表達式，兩邊平方求

|c|,進而求得cos<〃,c>,即可求sin<〃,c>.

【詳解】

由題意，得7"=￡.（石￡+百歷=67+石0，又￡石=0,3為單位向量，

，〃?c=|〃c|cos<ayc>=出,又|工『=（百￡+百萬產=8,即向=20,

?--->/5V10口--r八1知.--V6

..cos<a,c>=—十二----,乂<〃,c>￡[0,;r],故sin<4,c>=—.

2V244

故選：B.

【點睛】

關犍點點睛：利用向量數量積的運算律求及|）|,再結合數量積定義求向量夾角<Z,2>

的余弦值.

21.已知產是圓C：爐+,2_41+6），+11=0外一點，過P作圓C的兩條切線，切點分別

為A,8.則麗.麗的最小值為（）

A.40-6B.4-3A/2C.2D.72

【答案】A

【分析】

把圓的一般方程化為標準方程，根據圓的切線性質，結合銳角三角函數的定義、二倍角公式、

平面向量數量積的定義、基本不等式進行求解即可.

【詳解】

圓C的標準方程為（x-2）2+（y+3>=2,則圓。的半徑為近,

17

設|PC|二d，則|PA|=|P8|="^，

?/sinZAPC=—,cosNAPB=1—2

dd=1懵

麗麗=（/-2）（1_引=/+*_6..2癢6=4加一6,

Q

當且僅當［2=/，即加=20>2時，等號成立，

故麗?麗的最小值為4及-6.

故選：A.

【點睛】

關鍵點睛：利用圓的切線性質結合銳角三角函數定義、基本不等式進行求解是解題的關鍵.

22.已知^ABC的外心為0,2A0=荏+X?，|而|二|而卜2,則布.正的值是（）

A.6B.|C.2GD.6

【答案】D

【分析】

分析出A3_L4C,由|而|=|福卜2可求得NO84=60'，再利用”面向量數量積的運算

性質可求得結果.

【詳解】

???2而=而+/，則而一通=/一衣，即加=泥，則。為的中點，

又因為0為AABC的外心，則|礪卜|麗卜|反

所以，ziABC為直角三角形，旦AB_LAC，

，。二|麗卜2=|礪卜所以，AOAB為等邊三角形，則NQR4=60：

18

由勾股定理可得|西=/因2T而1=26，

AOAC=i(AB+AC)AC=1AC2=1x(273)2=6,

故選：D.

【點睛】

方法點睛：求兩個向量的數量積有三種方法：

(1)利用定義：

(2)利用向量的坐標運算；

(3)利用數量積的幾何意義.

具體應用時可根據已知條件的特征來選擇，同時要注意數量積運算律的應用.

23.設點4一2,-2),3(—2,6),C(4,-2),P(2sina,2cosa)，其中&wR,則|AP+BP+CP\

的取值范圍為()

A.[4,8]B.[4,6]C.[-2,4]D.[6,8]

【答案】A

【分析】

由題可知，點?在圓爐+丁=4上，設尸(x,y),根據向量的坐標運算可求得

IAP+BP+CPf=40-\2y,由V的范圍可求得|A戶+B戶+。戶|的取值范圍得選項.

【詳解】

由題可知，點?在圓f+y2=4匕設P(x,y),

則Q=(x+2,y+2),而=(x+2,y-6),方=(x-4,y+2),所以Q+而+麗=(3x,3y-2),

所以|Q+而+而『=9%2+9),2_]2)，+4=40-12p，因為-2WyW2,所以

16<40-127<64,

所以4。而+而+存區8,所以|4戶+8戶+。戶|的取值范圍為[4,8],

故選：A.

【點睛】

關鍵點睛：本題考查向量的模的范圍的問題，關鍵在于得出點P的軌跡方程，運用點的坐

標表示出所求的向量的模，由點的坐標的范圍可得以解決.

24.如圖，已知圓A,圓。的半徑均為退，AABE>ABEC,△EC￡>均是邊長為4的

等邊三角形.設點P為圓。上的一動點，衣.蘇的最大值為()

19

A.18B.24C.36D.48

【答案】C

【分析】

以4力為x軸，E為坐標原點建立平面直角坐標系，由圓。方程設

P(4+>/3cosx/3sina),寫出向量的坐標，由數量積的坐標表示求出數量積，利用三角

函數知識得最大值.

【詳解】

ABC。月相對不動，只有P點繞￡>點作圓周運動.

如圖，以AO為工軸，E為坐標原點建立平面宜角坐標系，由題意4-4,0)，4(-2,2右)，

。(2,26)，

圓O方程為(x—4)2+y2=3,設尸(4+6cosa,JJsina),

則n=(6,2揚，麗=(6+#8sa,Gsina-2G),

ACBP=6(6+x/3cosa)+2瓜6sina-2百)

=65/3cosa4-6sina+24=12—sina+^cosa+24=12sin(a+—)+24,

I22)3

jr

易知當sin(a+§)=l時，而取得最大值36.

故選：C.

20

【點睛】

關鍵點點睛：本題考查平面向量的數量積，解題關鍵是建立平面直角坐標系，用坐標運算計

算向量的數量積，結合三角函數的性質求得最大值.

25.正AA/C的邊長為3,M是正AA/C所在平面內一點，則兩｛2而豆+碇）最小值

是（）

932181

A.—B.一一C.---D.——

44416

【答案】C

【分析】

首先利用向量的運算法則，轉化向量，再利用不等式關系求數量積的最小值.

【詳解】

A^（2M5+^）=3M4（-^+-A7C記麗=2麗+，碇，則麗=!而，

U3）333

連接AM取AN的中點0,

（M4+AW）~-（M4-AW）-4而-麗2部

MAMN=--------------L-------------------=---------------->---------'

444

M42=9+1-2x3x1x1=10-3=7,+

故選：C.

【點睛】

21

關鍵點點睛：本題考查向量的轉化，以及向量數量積，本題的關鍵是由麗=2礪+_1碗

33

可知麗=?而，重點考查轉化與化歸的思想，計算能力.

3

26.平面直角坐標系xOy中，A（2,0）,該平面上的動線段PQ的端點P和。滿足|麗卜5,

麗?方=6，0Q=2P0,則動線段P。所形成圖形的面積為（）

A.36B.60C.72D.108

【答案】B

【分析】

由向量數量積和模長的坐標運算可求得動點?在直線x=3上，且結合

而=2可可確定動線段尸。所形成圖形，利用數形結合的方法可求得結果.

【詳解】

設尸（x,y）,由麗.函=6得：2x=6，解得：x=3,

Q|陰=Y+y2425,代入工=3得：-4<y<4,

「?動點P在直線x=3上，且

由。。=2尸。可得：（小〃）=2（-％,一月，廠.機=-6，n=-2y,

則動線段PQ所形成圖形是△OP產和△OQQ',如圖所示，

22

..所求面積S=SqpF+S畋Q=—x8x3+—xl6x6=60.

22

故選：B.

【點睛】

關鍵點點睛：本題考查平面向量與線性規劃的綜合應用問題，解題關鍵是能夠利用平面向量

的坐標運算得到變量所滿足的關系式，從而確定滿足題意的區域.

27.已知圓M：+（y-b）2=3（。力￡R）與圓0：工2+,2=1相交于人，A兩點,

且［4同=有，則下列錯誤的結論是（）

A.必?麗是定值B.四邊形0AM8的面積是定值

C.。+力的最小值為一夜D.。?。的最大值為2

【答案】C

【分析】

根據是正三角形，計算MA?MB”：判斷A,計算出四邊形0AA/8的面積判斷B,

得出41關系后由基本不等式求得的最小值和。力的最大值判斷CD.

【詳解】

因為圓M的半徑為G，而恒卻=有，所以△M48是正三角形，

MA-MB=>/3x73xcos—=—為定值，AiE確;

32

|陰=6,圓。半徑為r=1,所以。到弦A5的距離為1=又M到

2

48的距離為所以|OM|=g+|=2,而0M_LA5,OM是46的垂史

平分線，SOAMB=^\OM\\AB\=^-x2xy/3=43,B正確;

由上得02+//-4,

22,r2

a+b

|；=2,-2五Sa+b￡2五,當。=/?=-2時，。+6=-2&，最小

值是一2&，C錯；

^<￡11^1=2,當且僅當°=b=亞時，ab=2,所以。人最大值是2,D正確.

故選：C.

【點睛】

23

關鍵點點睛：本題考查兩圓的位置關系，由相交弦長求出參數關系，再利用基本不等式求

解.在本題中有一個誤解，圓。和圓M相交有兩種情形，一種四邊形是凸四邊形，

一種四邊形O4M8是凹四邊形，而我們中學研究的是凸四邊形，凹四邊形不在研究范圍內，

不需考慮.否則B也是錯誤的.

28.在直角△A8C中，c分別是AABC的內角A,B,C所對的邊，點G是4AbC

的重心，若4G_LBG,則cosC=（）

A.正B.巫

33

c.3D.i

55

【答案】B

【分析】

把血,豆不用而龍示,然后由數敏［/為0川得a,b,C的關系，再由直角二角形A5C.

中C不可能是直角，不妨設8是直角，則bcosC=a,從而可求得f,即cosC.

b

【詳解】

因為G是AABC的重心，所以函=2x!（dX+而）=」（石+而），

323

GA=