PAGEPAGE1第2課時實際問題中二次函數的最值問題1．經驗數學建模的基本過程，能分析實際問題中變量之間的二次函數關系．2．會運用二次函數求實際問題中的最大值或最小值．3．能應用二次函數的性質解決圖形最大面積、利潤最大問題．一、情境導入孫大爺要圍成一個矩形花圃．花圃的一邊利用足夠長的墻，另三邊用總長為32米的籬笆恰好圍成．圍成的花圃是如圖所示的矩形ABCD.設AB邊的長為x米，矩形ABCD的面積為S平方米．當x為何值時，S有最大值？并求出最大值．二、合作探究探究點一：最大面積問題【類型一】利用二次函數求最大面積小李想用籬笆圍成一個周長為60米的矩形場地，矩形面積S(單位：平方米)隨矩形一邊長x(單位：米)的改變而改變．(1)求S與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；(2)當x是多少時，矩形場地面積S最大？最大面積是多少？解析：利用矩形面積公式就可確定二次函數．(1)矩形一邊長為x，則另一邊長為eq\f(60－2x,2)，從而表示出面積；(2)利用配方法求出頂點坐標．解：(1)依據題意，得S＝eq\f(60－2x,2)·x＝－x2＋30x.自變量x的取值范圍是0＜x＜30.(2)S＝－x2＋30x＝－(x－15)2＋225，∵a＝－1＜0，∴S有最大值，即當x＝15(米)時，S最大值＝225平方米．方法總結：二次函數與日常生活的例子還有許多，體現了二次函數這一數學模型應用的廣泛性．解決這類問題關鍵是在不同背景下學會從所給信息中提取有效信息，建立實際問題中變量間的二次函數關系．【類型二】最大面積方案設計施工隊要修建一個橫斷面為拋物線的馬路隧道，其高度為6米，寬度OM為12米．現以O點為原點，OM所在直線為x軸建立直角坐標系(如圖所示)．(1)干脆寫出點M及拋物線頂點P的坐標；(2)求出這條拋物線的函數關系式；(3)施工隊安排在隧道門口搭建一個矩形“腳手架”CDAB，使A、D點在拋物線上，B、C點在地面OM上．為了籌備材料，需求出“腳手架”三根木桿AB、AD、DC的長度之和的最大值是多少，請你幫施工隊計算一下．解：(1)M(12，0)，P(6，6)．(2)設這條拋物線的函數關系式為y＝a(x－6)2＋6，因為拋物線過O(0，0)，所以a(0－6)2＋6＝0，解得，a＝－eq\f(1,6)，所以這條拋物線的函數關系式為：y＝－eq\f(1,6)(x－6)2＋6，即y＝－eq\f(1,6)x2＋2x.(3)設OB＝m米，則點A的坐標為(m，－eq\f(1,6)m2＋2m)，所以AB＝DC＝－eq\f(1,6)m2＋2m.依據拋物線的軸對稱，可得OB＝CM＝m，所以BC＝12－2m，即AD＝12－2m，所以l＝AB＋AD＋DC＝－eq\f(1,6)m2＋2m＋12－2m－eq\f(1,6)m2＋2m＝－eq\f(1,3)m2＋2m＋12＝－eq\f(1,3)(m－3)2＋15.所以當m＝3，即OB＝3米時，三根木桿長度之和l的最大值為15米．探究點二：最大利潤問題【類型一】利用解析式確定獲利最大的條件為了推動學問和技術創新、節能降耗，使我國的經濟能夠保持可持續發展．某工廠經過技術攻關后，產品質量不斷提高，該產品按質量分為10個檔次，生產第一檔次(即最低檔)的新產品一天生產76件，每件利潤10元，每提高一個檔次，每件可節約能源消耗2元，但一天產量削減4件．生產該產品的檔次越高，每件產品節約的能源就越多，是否獲得的利潤就越大？請你為該工廠的生產提出建議．解析：在這個工業生產的實際問題中，隨著生產產品檔次的改變，所獲利潤也在不斷的改變，于是可建立函數模型；找出題中的數量關系：一天的總利潤＝一天生產的產品件數×每件產品的利潤；其中，“每件可節約能源消耗2元”的意思是利潤增加2元；利用二次函數確定最大利潤，再據此提出自己認為合理的建議．解：設該廠生產第x檔的產品一天的總利潤為y元，則有y＝[10＋2(x－1)][76－4(x－1)]＝－8x2＋128x＋640＝－8(x－8)2＋1152.當x＝8時，y最大值＝1152.由此可見，并不是生產該產品的檔次越高，獲得的利潤就越大．建議：若想獲得最大利潤，應生產第8檔次的產品．(其他建議，只要合理即可)【類型二】利用圖象解析式確定最大利潤某水果店銷售某種水果，由歷年市場行情可知，從第1月至第12月，這種水果每千克售價y1(元)與銷售時間第x月之間存在如圖①所示(一條線段)的改變趨勢，每千克成本y2(元)與銷售時間第x月滿意函數關系式y2＝mx2－8mx＋n，其改變趨勢如圖②所示．(1)求y2的解析式；(2)第幾月銷售這種水果，每千克所獲得利潤最大？最大利潤是多少？解：(1)由題意可得，函數y2的圖象經過兩點(3，6)，(7，7)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9m－24m＋n＝6，,49m－56m＋n＝7，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,8)，,n＝\f(63,8).))∴y2的解析式為y2＝eq\f(1,8)x2－x＋eq\f(63,8)(1≤x≤12)．(2)設y1＝kx＋b，∵函數y1的圖象過兩點(4，11)，(8，10)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4k＋b＝11，,8k＋b＝10，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(1,4)，,b＝12.))∴y1的解析式為y1＝－eq\f(1,4)x＋12(1≤x≤12)．設這種水果每千克所獲得的利潤為w元．則w＝y1－y2＝(－eq\f(1,4)x＋12)－(eq\f(1,8)x2－x＋eq\f(63,8))＝－eq\f(1,8)x2＋eq\f(3,4)x＋eq\f(33,8)，∴w＝－eq\f(1,8)(x－3)2＋eq\f(21,4)(1≤x≤12)，∴當x＝3時，w取最大值eq\f(21,4)，∴第3月銷售這種水果，每千克所獲的利潤最大，最大利潤是eq\f(21,4)元/千克．三、板書設計實際問