《工程力學》

講義

力學教研室

編著

2007年6月

目錄

緒論

0.1工程力學的課程內容及其工程意義

0.2工程力學的研究模型

第一篇工程靜力學

第1章工程靜力學根底

1.1力

1.1.1力的概念及其效應

1.1.2力系的概念（分類）

1.1.3力的性質（力的可傳性、平行四邊形法那么）

1.2約束與約束力

1.2.1約束與約束力的概念

1.2.2柔性約束

1.2.3光滑面約束

1.2.4光滑較鏈約束

1.2.5滑動軸承與推力軸承

1.3平衡的概念

1.3.1二力平衡與二力構件

1.3.2不平行的三力平衡條件

1.3.3加減平衡力系原理

1.4受力圖

1.4.1隔離體和受力分析步驟

1.4.2受力圖繪制方法應用舉例

1.5力矩

1.5.1力對點之矩

1.5.2合力矩定理

1.5.3力對軸之矩

1.6力偶及其性質

1.6.1力偶的概念

1.6.2力偶的性質

1.6.3力偶系的合成及其平衡

第2章力系的簡化

2.1力在坐標軸上的投影

2.1.I力在坐標軸上的投影

2.1.2合力投影定理

2.2力線平移定理

2.3平面任意力系的簡化

2.3.I平面力系向點的簡化一一主矢與主矩

2.3.2固定端約束

2.3.3簡化結果的討論

2.4其他力系的簡化

2.4.1平面匯交力系的合成結果

2.4.2空間任意力系的簡化

第3章工程中的靜力平衡問題分析

3.1平面力系的平衡條件與平衡方程

3.1.1平面任意力系的平衡條件與平衡方程

3.1.2平面任意力系平衡方程的其他形式

3.1.3平面匯交力系和平面平行力學的平衡（配重問題）

3.2簡單的剛體系統平衡問題

3.2.1剛體系統靜定與靜不定的概念

3.2.2剛體系統的平衡問題的求解

3.3考慮摩擦時的平衡問題

3.3.1滑動摩擦定律

3.3.2考慮摩擦時構件的平衡問題

3.3.3摩擦角與自鎖的概念

3.4空間力系平衡問題

3.4.1空間力系平衡條件與平衡方程

3.4.2重心

第二篇材料力學

第4章材料力學的根本概念

4.1材料力學的根本假設

4.1.I連續性假定

4.1.2均勻性假設

4.1.3各向同性假定

4.1.3小變形假定

4.2彈性桿件的外力與內力

4.2.1外力

4.2.2內力與截面法

4.3正應力與切應力

4.4正應變與切應變

4.5桿件受力與變形的根本形式

4.5.1拉伸或壓縮

4.5.2剪切

4.5.3扭轉

4.5.4平面彎曲

4.5.5組合受力與變形

第5章軸向拉伸、壓縮與剪切

5.1工程中的軸向拉伸和壓縮問題

5.2軸力與軸力圖

5.2.1截面法求軸力

5.2.2軸力圖

5.3拉壓桿的應力

5.3.1橫截面上的應力

5.3.2斜截面上的應力

5.3.3圣維南原理

5.4材料在拉伸與壓縮時的力學性能

5.4.1應力應變圖

5.4.2低碳鋼在拉伸時的力學性能

5.4.3其他材料的拉伸力學性能

5.4.4材料在壓縮時的力學性能

5.5拉壓桿的強度設計

5.5.1失效與許用應力

5.5.2軸向拉伸與壓縮時的強度條件

5.5.3三類強度計算問題

5.6軸向拉伸和壓縮時的變形計算

5.6.1軸向變形與虎克定律

5.6.2橫向變形與泊松比

5.7簡單拉壓靜不定問題

5.8連接局部的強度計算

5.8.1剪切的實用計算

5.8.2擠壓的實用計算

第6章圓軸的扭轉

6.1工程中的扭轉問題

6.2外力偶矩、扭矩與扭矩圖

6.2.1外力偶矩

6.2.2扭矩

6.2.3扭矩圖

6.3切應力互等定理與剪切虎克定律

6.3.1切應力互等定理

6.3.2剪切虎克定理

6.4圓軸扭轉時橫截面上的應力

6.4.1圓軸扭轉時橫截面上的切應力公式

6.4.2極慣性矩與抗扭截面系數

6.5圓軸扭轉時的變形

6.6圓軸扭轉的強度設計和剛度設計

6.6.I強度條件和強度計算

6.6.2剛度條件和剛度計算

6.7非圓截面軸扭轉簡介

第7章梁的彎曲內力

7.1工程中的彎曲問題

7.2梁的計算簡圖

7.2.1載荷的簡化

7.2.2實際約束的簡化

7.2.3梁的類型

7.3剪力與彎矩

7.4剪刀方程與彎矩方程、剪力圖與彎矩圖

7.5載荷集度、剪力、彎矩之間的微分關系

第8章梁的應力及強度設計

8.1對稱彎曲正應力

8.1.1純彎梁橫截面上的正應力

8.I.2常見界面的慣性矩、抗彎截面系數及組合截面的慣性矩

8.2對稱彎曲切應力簡介

8.3梁的強度條件及其應用

8.4提高梁強度條件的主要措施

8.5斜彎曲

8.6彎拉（壓）組合梁的強度計算

第9章平面彎曲梁的變形與剛度設計

9.1彎曲變形概念

9.2撓曲線近似微分方程

9.3計算彎曲變形的積分法

9.4計算彎曲變形的疊加法

9.5梁的剛度條件與合理剛度設計

9.5.1梁的剛度條件

9.5.2剛度的合理設計

9.5.3提高梁的彎曲剛度的措施

9.6簡單靜不定梁

第1()章壓桿穩定

1().1穩定性概念

10.2臨界壓力的歐拉公式

10.2.1兩端錢支壓桿的臨界壓力

10.2.2其他約束條件下的壓桿的臨界壓力

10.2.3臨界應力、柔度、歐拉公式的適用范圍

10.3中、小柔度桿的臨界應力

10.3.1中柔度桿臨界應力的經驗公式

10.3.2小柔度桿的臨界應力

10.3.3臨界應力總圖

10.4壓桿的穩定計算與合理設計

10.4.1穩定性條件

10.4.2壓桿的合理設計

10.4.3提高壓桿穩定性的措施

緒論

0.1工程力學的課程內容及其工程意義

工程力學是一門關于力學學科在工程上的根本應用的課程，它通過研究物體機械運

動的一般規律來對工程構件進行相關的力學分析和設計，其包含的內容極其廣泛。本書

僅包括工程靜力學和材料力學兩局部。

機械運動是人們在日常生活和生產實踐中最常見的一種運動形式，是物體的空間位

置隨時間的變化規律。

_L程靜力學研究的是機械運動的特殊情況，即物體在外力作用下的平衡問題，包括

對工程物體的受力分析，對作用在工程物體上的復雜力系進行簡化，總結力系的平衡條

件和平衡方程，從而找出平衡物體上所受的力與力之間的關系。

構件，是工程上的機械、設備、結構的組成元素。

材料力學是研究工程構件在外力作用下，其內部產生的力，這些力的分布，以及將

要發生的變形，這些變形口有些在外力解除后是可以恢復的，稱為彈性變形；而另一些

不可恢復的變形，那么稱為塑性變形。

為保證工程機械和結構的正常工作，其構件必須有足夠的承載能力，即必須具有足

夠的強度、剛度和穩定性。

足夠的強度，是保證工程構件在外力作用下不發生斷裂和過大的塑性變形。

足夠的剛度，是保證工程構件在外力作用下不發生過大的彈性變形。

足夠的穩定性，是保證工程構件在外力作用下不失穩，即不改變其本來的平衡狀態。

在工程實際中，廣泛地應用著工程力學的知識。例如圖0-1所示的簡易吊車，為了

保證它能正常工作，首先需要用靜力學知識分析和計算各構件所受的力，然后再應用材

料力學知識，在平安、經濟的前提下合理地確定各構件的材料和尺寸。因此，工程力學

是一門技術根底課程，它為后繼專業課程和工程設計提供了必要的理論根底。

圖0-1

0.2工程力學的研究模型

在工程力學中，由于工程靜力學和材料力學所研究的問題不同，其工程模型也是各

不相同的。

工程靜力學的研究模型為剛體，即受力后理想不變形的物體。因為大多數情形下，

工程構件受力后產生的變形很小，忽略不計也不會對構件的受力分析產生影響。

而材料力學的研究模型是變形體。因為材料力學是通過研究物體的變形規律來對工

程構件進行平安性設計，所以構件的變形是不可忽略的。

特別需要注意的是，由于工程靜力學和材料力學的研究模型不同，在工程靜力學中

所采用的某些受力分析方法，在材料力學中是不適用的。如前圖()-1簡易吊車中的斜桿,

如果將其兩端所受的力沿作用線任意移動，不會改變斜桿的平衡狀態，但是斜衿的變形

卻發生了明顯的改變，如圖0-2。這就說明力可以沿其作用線在剛體內任意移動，但在

變形體上那么不可以。

、生算工程靜力學

工程靜力學研究作用及其相互關系，其包括以下三方面的問題：

i.各種力系的平珠件懣厘用

2.力系的等效替換或簡心

3.物體的受力分

圖0-2

工衽肝力學根底

本章主要介紹工程靜力學的根本概念，包括力和力矩的概念、力系和力偶的概念、

約束和約束力的概念以及力偶系的合成與平衡。

1.1力

力的概念及其效應

力是物體間相互的機械作用，這種作用使物體的機械運動狀態發生變化，或者使物體發

生變形。

力使物體的運動狀態發生變化的作用效應，叫做力的外效應；而使物體發生變形的效應,

那么叫做力的內效應。而力對物體的作用效應，取決于力的大小、方向和作用點，通常

被稱為力的三要素。

力系的概念

工程中把作用于物體上的一群力稱為力系。根據力系中力的作用線是否在同一平

面，力系可分為：平面力系和空間力系；根據力系中力的作用線是否匯交，力系可分為:

匯交力系、平行力系和任意力系。

對力系研究的內容為：各力系的合成結果和平衡條件。

力的性質

★加減平衡力系原理在力系上加上或減去任意的平衡力系，并不改變原力系對

剛體的作用。

★力的可傳性原理作用于剛體上的力可沿其作用線移到剛體內的任一點，而不

改變對剛體的作用。所以作用在剛體上的力是滑動矢量，力的三要素為大小、方向和作

用線.

★平行四邊形法規咋用在物體的同一點上的兩個力的合力仍作用在該點上，其大

小和方向由兩個力組成的平行四邊形的對角線表示。

合力（合力的大小與方向）：FR=FI+F2（矢量的和）

亦可用力三角形求得合力矢。

1.2約束和約束力

約束和約束力的概念

能在空間有任意位移的物體稱為自由體。阻礙非自由體運動的限制條件稱為對

非自由體的約束。而約束對物體的作用力稱為約束力。工程中約束的種類很多，根據其

所具有的特性，可以歸納成以下幾種根本類型。

柔性約束（繩索、皮帶、鏈條）

由柔軟的繩索、膠帶或鏈條等構成的約束。

柔性體只能受拉力，又稱張力，用FT表示.

光滑面的約束

具有光滑接觸面（線、點）的約束［光滑接觸約束）光滑支承接觸對非自由體的約

束力，作用在接觸處；方向沿接觸處的公法線并指向受力物體，故稱為法向約束力，用

FN表不。

光滑較鏈的約束（徑向軸承、圓柱錢鏈、固定錢鏈支座等）

（1）徑向軸承（向心軸承）約束特點：當不計摩擦時，軸與孔在接觸處為光滑接觸約

束一一法向約束約束力：當外界載荷不同時.，接觸點會變，那么約束力的大小與方向

均有改

變.可用二個通過軸心的正交分力Fx,Fy表示。

滑動軸承與推力軸承

（1）滾動支座

約束特點：在上述固定被支座與光滑固定平面之間裝有光滑輯軸而成.

約束力：構件受到垂直于光滑面的約束力.

⑵止推軸承

立移限制.

行三個正交分力.

囪必要和充分條件是：這兩個力的大小相

不平衡的三力平衡條件

作用于剛體上三個相互平衡的力，假設其中兩個力的作用線匯交于一點，那么此三

力必在同一平面內，且第三個力的作用線通過匯交點。

1.4受力圖

隔離體和受力分析步驟

在受力圖上應畫出所有力，主動力和約束力（被動力）

畫受力圖步驟：

1、取所要研究物體為研究對象（別離體），畫出其簡圖

2、畫出所有主動力

3、按約束性質畫出所有約束（被動）力

受力圖繪制方法應用舉例

畫受力圖是解力學問題的重要一步，不能省略，更不能發生錯誤,否那么將導致以

后分析計算上的錯誤結果。下面說明受力圖的畫法。

例1-1

碾子重為，拉力為，、處光滑接觸，畫出碾子的受力圖.

解：畫出簡圖

例12

屋架受均布風力(N/m),

屋架重為，畫出屋架的受力圖.

解：取屋架畫出簡圖

畫出主動力

畫出約束力

例1-3

水平均質梁重為，電動機重為，

不計桿的自重，畫出桿和梁

的受力圖。

解：

取CD桿，其為二力構件，簡稱二力桿,

其受力圖如圖(b)

取AB梁，其受力圖如圖(c)

例1-4

不計三較拱橋的自重與摩擦，畫出左

右拱ABBC的受力圖與系統整體受力B

解：

右拱BC為二力構件，其受力圖如圖

取左拱AC,其受力圖如圖(c)所示

1.5力矩

力對點之矩

力對點之矩用Mo(F)=rXF

其中F為，。為矩心，r與

徑。大小:M0(F)|=|FXF|=A

2+(zXx-xZx)'(xYx+yXy):方向:

按右手法那么確定力對點之矩的矢量與矩m0(F)

心位置有關，是個定位矢量。

平面內的力對點之矩為代數量M()(F)=±Fh

逆時針方向為+,順時針方向為一。力

對軸之矩

力對剛體所產生的繞某軸轉動的效

應，即為力對軸之矩。大小等于力在垂直于該軸的平面上的投影對軸和平面的交點之矩。

同樣逆時針方向為+,順時針方向為一。

mz(F)=0的情況：力F平行于z軸力z軸L5.3合力矩定理

＞力F片z軸共面

合力矩定理：假設力系可合成為一合力（R=SF）,那么其合力對點（軸）之矩等

于力系的各個力對同點（軸）之矩的矢量（代數）和。（Mo（R）=Smo（F））

（矢量和）

平面力系的情況下：如（R）:Smo（F）（代數和）

1.6力偶及其性質

力偶的概念

力偶：由兩個等值、反向、不共線的〔平行）力組成的力系稱為力偶，記作（F,F）

力偶的性質

1.力偶在任意坐標軸上的投影等于零.

2.力偶對任意點取矩都等于力偶矩本身，不因

3.只要保持力偶矩不變，力偶可在其作用面內，力的大

小與力臂的長短，對剛體的作用效果不變.

4.力偶沒有合力，力偶只能由力偶來平衡.

空間力偶的力偶矩是個矢量，以m表示:,矢量

的長短代表力偶矩的大小，矢量的箭頭以右手;偶的三

要素。

兩力偶的等效條件是：它們的力偶矩矢量

力偶系的合成及其平衡

力偶系合成的結果得到一個合力偶，合力偶的力偶等夕節各電

和。Ob'

dA

M=M1+M2+........+Mi=sMi

大小：Mx=ZmxMv=^mvM戶gm?F'

22

M=V(￡mx)+(^my)+(Xmz)

方向：cos(Mx,i)=XiBx/Mcos(Mv.j)=￡m,/Mcos(M-k尸gniz/M

平衡條件：￡niv=O￡mz=0

例1-5

用多軸鉆床在水平放置的工件上同時鉆三個空，

Mi=M2=10Nin,Ma=20Nm,/=200mm,試求A、B

的約束力。

解：由力偶只能由力偶平衡的性質,其受力圖如圖,

￡M=Fi/-Mi-MLMJ=0,

FA=FB=200N

R

F.

例1-6

圖示Fl=Fr=15ON,F2=F2'=200N,

F3=F3'=250N0求合力偶。

解：(D求各個力偶的力偶矩:

(2)求合力偶矩：

合力偶轉向是逆時針。

第1章習題

1.1試畫出以下各題中圓柱的受力圖。與其它物體接觸處的摩擦力均略去。

0

A

B

B

1.2試畫出以下各桿的受力圖。W

S)

A(.)(C)

BOC

力

C

L3試畫出以下各篇密忽物體的受力窗?W

(fl)

⑷S)W

B

C

CW

A

B

B

c

剛架

1.4梁AB梁長為！＜=)地南機匕呼用情況下，支座A和B

A、

W

F

U2M

L/31.4圖

理趴||直聊.區恒哂為,試求A

習題1.5圖

(a)-

1.6齒輪箱的兩個軸上作用的J|a

J偶門的力偶矩的大小分別為M,=500Nm,M?=125Nmo

求兩螺栓處的鉛垂約束力1llo

C

A

Ar

習題1.6圖

1.7機構OABCh在圖示位置平衡，OA=40cm,。田=60cm,作用在曲柄上的力偶矩大小為m1=IN.m,

不計桿重；求力偶矩m2的大小及連桿AB所受的力。

A

900

1.7圖

。2

和O：圓盤衛%抨,固連施播盤垂直x軸,盤面上分別作用力偶(E,FJ,(F,F)

1.80,MB,01盤22

如題圖所示。如W半徑為r=20cm,E=3N,F2=5N,AB=80cm,不計構件自重,試計算軸承A和B

的約束力。

z

習

產1'09

1.9在圖示結構中，各構件的11重都不i；BC上作用一力偶矩為M的力偶，各尺寸如圖。

求支座A的約束力4B

v

1.10試求題4-1割保［染

J的1:為kN,力偶矩的單位為kNm,長度單位為m,

溶力的投影和與力矩和

2

;匕。力系田簡花

0.80.4(b)

究各種力系的簡化。對于力系分類，我們可以按：

力系中各力的作南曦是否在同一平面內力系可分：平面力系和空間力系

按力系中各力的作用線是否匯交一點力系可分：匯交力系、力偶系和任意力系

2.1力在坐標軸上的投影

力在坐標軸上的投影A

力的矢量表示式

1.直接投影法：力的大小F,力與坐標軸的夾角aS

2.二次投影法

：F,仰角9,方位角(p先投影到xoy平面上Ly

再投到軸上X=Fxycos(p=Fsin9cos(p---?乎-?在.F=f

Y=Fxysin(p=Fsin9sin(p

Z=Fcos0

X’'y

X

合力投影定理

合力在某軸上的投影等于力系中各力在同一軸上投影的代數和。

R二ZFxRy=EFyR,=EF?

2.2力線平移定理

力線的平移定理

假設要將一個力平行移到剛體內的任一點，而不改變它對剛體的作用，那么必須在該力

和新的作用點所決定的平面內附加一力偶，其力偶矩等于原來的力對新的作用點之矩。

平面任意力系向點的簡化....主矢與主矩

1.簡化的三種最后結果

「R'=0力偶

-R'iO

合力

R'=()平衡

2.合力矩定理假設平面任意力系合成為一合力時，其合力對平面內任一點之矩，等于

力系的各力對同一點之矩的代數和。表示為：假設R=￡F,那么M0(R)=Zm0(F)

2.4其他力系的簡化

平面匯交力系的合成結果

平面匯交力系的合成結果-----合力R=用幾何表示為力的多邊形的最后一邊。

空間任意力系的簡化

對于空間任意力系的簡化，我們同樣應用力線的平移定理，得到的結果為------一

合力和一合力偶。

R=LF,Mo(R)=Emo(F)

既合力等于力系中各力的矢量和，合力偶等于力系中各力對簡化中心取矩的矢量和。

例2-1

抑接薄鋼板在孔心A、B和C處受三力作用如圖，P1=1OON沿鉛垂方向,P2=50N沿AB方向，P3=50N沿

水平方向；求該力系的合成結果。

解：屬平面匯交力系；

合力大小和方向：

第2章習題

2-1.求圖示平面力系的合成結果，長度單位為

y

400N

2-2.求以下各圖中平行分布力的合力和對HJON點之矩.

0.8m

工程中的‘靜力平衡問題分析

本章主要研究工程中各力系的平衡條件和平衡方程，包括簡單的剛體系統的平衡問

題。此外，本章還介紹了工程中的靜定與靜不定問題的概念。

3.1平面力系的平衡條件與平衡方程

平面任意力系的平衡條件與平衡方程

平面任意力系向一點簡化，得到一主矢和一主矩，那么平面任意力系平衡的充要條

件是：力系的主矢和對任意點的主矩都等于零

笈=0M0=0

平衡方程：

上式稱為平面任意力系平衡方程一般形式。

平面任意力系平衡方程的其他形式

平面任意力系作用下剛體平衡方程的二矩式如下：

EFx=0,EIHA(F)=0,EmB(F)=0

條件為A、B兩個取矩點連線，不得與投影軸x垂直。

平面任意力系作用下剛體平衡方程的三矩式如下：

EmA(F)=0,EmB(F)=0,Emc(F)=0,

條件為A、B、C三個取矩點不得共線。

平面匯交力系和平面平行力系的平衡(配重)

平面匯交力系可以合成為一合力，因此，力系平衡的必要與充分條件是力系的和力

為零。

平面匯交力系平衡條件可以用幾何形式和解析形式來表示，幾何條件就是力的多邊

形自行封閉；解析條件就是￡F=0。可表示為

EFX=0,EFy=0o

例3-1

：P=20kN,R=0.6m,/?=0.08m

求:

1.水平拉力F=5kN時，碾子對地面及障礙物的壓力？

2.欲將碾子拉過障礙物，水平拉力廠至少多大？

3.力尸沿什么方向拉動碾子最省力，及此時力尸多大?

解：1.取碾子，畫受力圖.用幾何法，按比例畫封閉力四邊形

得FA=11.4KN,FB=10KN

例3-2

：AC=CB,尸=10kN,各桿自重不計;

求：CD桿及較鏈A的受力.

解：CO為二力桿，取4B桿，畫受力圖.

用幾何法，畫封閉力三角形.

按比例量得Fc=28.3KN,FA=22.4KN

平面平行力系是平面任意力系的特情

導出。設有平面平行力系(B，F2,…，f

取y軸與各力的作用線平行，那么產而任

根本形式中，EFx=0將變為恒等

兩個有效的平衡方程LFy=0,tmo

這就是平面平行力系平衡方程的根本形式。

例題3-3

起重機重P=300kN,重物重W=IOOkN,e=0.5m,a=5m,d=2.5m.b=4m.求起重機在滿載和空載時都不致

翻倒的配重G應多大？

W

空載時HGNA,NB不向左翻倒皂(戶)二+Gh-P(d-e)=0

解得.?.乂kNSG3⑶kN

3.2簡單的剛體系統平衡問題

剛體系統靜定與靜不定的概念

在求解單個剛體的平衡問題時，對于每一種力系，都有其獨立的平衡方程數目。當

未知量的數目少于或等于平衡方程數目時，應用剛體的平衡條件，就可以求出全部未知

量，這種問題稱為靜定問題。反之，假設未知量的數目大于力系的平衡方程數目，那么

僅應用剛體的平衡條件是不能求出全部未知量的，這種問題稱為靜不定問題。

剛體系統平衡問題的求解

求解剛體系統平衡問題與求解單一剛體平衡問題的步驟根本相同，即選擇適當的研

究對象，畫出其別離圖和受力圖，然后列出平衡方程求解。不同之處是，單一剛體平衡

問題研究對象的選擇是唯一的，而剛體系那么不同，可以選擇剛體系統整體或其某個局

部作為研究對象，并寫出相應的平衡方程。這樣，在求解剛體系統的平衡問題時，研究

對象的選擇存在多樣性和靈活性，問題的解法也往往不止一種。

下面通過例題介紹剛體系統平衡問題的求解方法。

例題3-4

圖示二較拱.載荷和尺寸如圖，求錢鏈A、R的約束力八

解：研究對象：三皎拱整體

分析力：七。，心，匕，刈，丫8

Ph+3QL

YmA(h=-P^-Q^+Yn2L=0

乙乙YcXL

取左半部為研究對象

分析力：P.XA.YA.XC,YC￡卷*/fL=0

代入第三式解得_-3P/?+4-Ph-4QL

X

B—4/?

3.4空間力系平衡問題

本章將研究作用于剛體上的空間任意力系的簡化結果與平衡條件。

空間力系的平衡條件與平衡方程

設剛體上作用有空間任意力系(Fl,F2,…Fn),在剛體上任選一點0為簡化中心，

將力系力系中每個力平移至0點，那么可得一空間匯交力系(Fl,F2,…Fn)和由

所有附加力偶組成的空間力偶系(Ml,M2,…Mn)。空間匯交力系可合成一通過簡化

中心0的合力FR,空間力偶系可合成一合力偶M。

在空間任意力系作用下剛體平衡的必要與充分條件是合力FR為零及合力偶M為

零。即

EFX=0LFy=0LFz=0Emx(F)=0Lmy(F)=0Emz(F)=0

此式稱為空間任意力系作用下剛體平衡方程，可解六個未知量。

對于空間平行力系，可以看成空間任意力系的特殊情況，上面六個方程有三個成為恒

等式，EFx=0,訃產0,￡mz(F)g),所以只有三個有效方程，E|JEFz=0Lmx(F)=0

Xmy(F)=0

上式稱為空間平行力系作用下剛體的平衡方程，可解三個未知量。

重心

地球上的物體會受到地心引力的作用。物體的諸元體所受到的地心引力，由于距離

地心很遠，可看成是一組平行力系。這組平行力系有一個合力，

合力的大小稱為物體的重力。合力的作用點稱為物體的重心。

第3章習題

3.1桿ACBC在C處較接，另一端均與墻面較接，如下圖,F和F作用在銷釘C上,F】=445N,F2=535N,不計

桿重,試求兩桿所受的力.

鄉3個3.1圖

點Z如下前不小剛架重量，試求支座A和D處的約束力。

3.2水平力F作用在剛架的B,如塞圖,

F；'

3.3在簡支梁AB的中甲3/

D「小等于20KN,如F圖。假設梁的自重不計,

試求支座A和BL"必BC

a

習題圖/I

3.3I3D

3.4如下圖結構由兩修FABC

和DE構成。^著不怒圖中的長度單位為cm。F=20()N,試求支

座A和E的約束力。

F

B.C習題3.4圖

3.5在四連桿機構ABCD的T兒1:分別作用有力F和F,機構在圖示位置平衡。試求平衡時力

6■:￥J]

Fi和F2的大小之間的

T〃已0箔T

6f賽整伍兆接，各桿與水平面的夾角分別為

3.6三根不計重量的桿3B,'

族在goD平行1'碗^作用下，各桿所受的力。F=0.6kNo

45°',45。和60。，如下圖。

——-Fb

凍\習題3.6圖

45°

3.7試求題3-1圖所~單位為kN，力偶矩的單位為kNm,長度單位為m,

分布載荷集度碼”\\\\\*荷的投影和與力矩和時需應用枳分)。

c

p0808飛\身」」

習題3.7圖

3.8AB梁一端砌在墻內，在自由端裝有滑輪用以勻速吊起重物。，設重物的重量為G,乂/W長為人

斜繩與鉛垂線成a角，求同定端的約束力。

b

3.9練鋼爐的發車A和可移動的橋4IN沿橋上的軌道運動，兩輪間距離為2m,跑

，料斗每次魁物料重W=l5kN,平臂長OC=5m。設跑

車與操作架、平臂OC以及料斗C相迪

車A，操作架D和所有附件總重為片點涉于操作,問戶至少應多大才能使料斗在滿載

時跑車不致翻倒？口

Im1m

習題39

--i--|A

3.10活動梯子置于光滑水打產上月號面內，梯子兩局晉r)和4B各重為Q,重心在A點，彼

此用較鏈人和繩子§OE的拉力和8、C兩點的約束力。

」0圖

3.11由AC和C。構成的7、力如題4-16圖所示。均布載荷集度q=10

kN/m,力偶M=40、B、力的約束力和較鏈C所受的力。

D圖

4

剛架ABC和剛架CD城

3.12皤數唐H給現■潞過較鏈A、B、。連接，如題4-17圖所示，載

荷如圖,■^位為kN,載荷集度單位為kN；m)o

C

炕1里a

3

CU呼二50

3.13試求以下剛架白J約束反力.3

先MmP

BD2a

—>3,

c

3AJ]

2m

3.14a、q、札不計梁重所示各連續梁在IA工C處的約束反力。

2m

Armnwfl

3.15圖示渤呼uT,T*~/io破碎時礦石對活動夾板作用力沿垂直J--

人8方向的芬彼=

反方向雕形kN7^^tC=C￡>=6(|K)mm,/1G=4OO1

[OE=100mm,圖示位置時，機構平衡。

試求電機對桿。怖而施西另稱

3.16插床機構如下圖，OA=310mm,O\B=AB=BC=665mm?CD=600mm,301=545mm,P=25kN<,

在圖示位置：。。/在鉛垂位置；OC在水平位置，機構處于平衡，試求作用在曲柄OA上的主

動力偶的力偶矩m。

習題3.16酯/r^

3.17由桿A3、BC和CE組成的走2和滑輪E支持著獷林。.物體重12kNo。處亦為錢鏈連接，尺寸

如題418圖所示。空鏈支座B的約束力以及桿8C所受的力。

545

2m

3.18起重構架如題LU?輪.?^W=200mm,鋼絲繩的傾斜局部平行「桿

BE。廣..門ui.1m、8的約束力。

廿

8()0習題3就8圖1.5m

3.19A8、AC.DE連接如寇二插銷廠套在4C桿的導槽內。求在水平桿

OE的E端有-J,r?M二IT1設八D=Q8,DF=FE,BC=DE,所有桿重均

不計.

600習題3.19P"

A

3.20一重量W=勺勻質薄板用推軸承A、徑向軸承B和繩索CE支持在水平面上，可以繞水

平軸AB我作國一力其力偶矩為M,并設薄板平衡。a=3m,b=4m,h=5m,

M=2000N-力和軸承A、8約束力。

C習題3.20圖

3.21作用于半反5120mm

徜合力/推動皮帶繞水平軸A6作勻速轉動。皮帶緊邊拉力為

200N,松邊拉力為100N乩燈題5-5圖所示。試當力戶的大小以及軸承A、8的約束力。(尺

1'-?

寸單位mm)o

b

2(尸121圖

3.223為節圓直徑大17.3cm,壓力角a=20。。在法蘭盤上作

用一如雁軸自聿和摩擦不ih求傳動軸勻速轉動時的嚙合力戶及A、

無軸

150

IQfe為題、地

3.23傳動軸如萬玲?輪直徑Q二理+m,了

2=1000N,皮帶拉力與水平線夾

均為砒的節圓鉗呼成20“角。試求軸承反力和

d

齒輪填注

20AD

《23圖

z

25-1STE

/念15

3.24為了測汽車的重心位置，可將汽車駛到秤上，秤得汽車總重的大小為W,再將后輪駛到地秤上，

秤得后辦的壓力N,即可求得重心的位置。今W=34.3kN,219.6kN,前后兩輪之間的距離/=3.1

m,試求重心C到后軸的距離瓦

前一篇主要討論了剛體在載荷作用下的平衡規律，本篇將討論變形體在載荷作用下

的力學性能。

工程中常見的機器和結構.例如機床、內燃機、起重機等.都是由構件組成的。為

了保證機器和結構在載荷作用下能正常地工作，必須要求這些構件具有足夠的承受載荷

的能力（簡稱承載能力）。構件的承載能力文要由以下三方面來衡量：

1.強度

構件在工作時首先要保證不破壞。例如，起重用的鋼絲繩，在起吊額定的重力時不

能被拉斷，傳動軸在正常二作時不能被扭斷等。可見，所渭的強度是指構件抵抗破壞的

能力。構件能正常工作必須具有足夠的強度。

2.剛度

在有些場合，構件受載后雖不會斷裂.但由于變形過大，也會影響機器或垢構的正

常工作。例如傳動中的齒輪軸，如果變形過大，會使齒輪嚙合不良，引起振動和噪聲，

影響傳動的精確性。所謂的剛度是指構件抵抗變形的能力。構件能正常工作必須具有足

夠的剛度。

3.穩定性

工程中，某些受軸向壓縮的細長桿，如千斤頂中的螺桿，當壓力較小時.螺桿保

持直線的平衡形式。當壓力到達某一數值時，螺桿就會由直線的平衡形式突然彎曲。這

種突然改變原有平衡形式的現象，稱為喪失穩定（簡稱失穩）。可見穩定性是指構件保持

其原有平衡形式的能力。這類桿件能正常工作，必須具有足夠的穩定性。

綜上所述，為了保證構件能平安、正常地工作，構件必須具有足夠的強度、剛度和

穩定性。

但是，如果只強調平安，構件尺寸可能選得過大或不恰當地選用優質材料，這將使

構件的承載能力得不到充分發揮.結構笨重、本錢增加，造成浪費。材料力學的任務就

是在保證構件既平安又經濟的前提下.為構件選用臺適的材料，確定合理的截面形狀和

尺寸，提供必要的根底知識。

第4章

材料力學的根本概念

4.1材料力學的根本假設

材料力學研究的對象均為變形固體。它們在載荷作用下要發生變形。變形固體的變

形可分為彈性變形和塑性變形。載荷卸除后能消失的變形稱為彈性變形；載荷卸除后不

能消失的變形稱為塑性交形。為便于材料力學問題的理論分析，對變形固體作如下假設:

連續性假設

即假設組成固體的物質不留空隙地充滿了固體的體積。實際上，組成固體的粒子之

間存在著空隙并不連續，但這種空隙與構件的尺寸相比極其微小，可以不計。于是就認

為固體在其整個體積內是連續的。這樣，在對某些力學量進行數學分析時，就可將其用

連續性函數表示，并可進行坐標增量為無限小的極限分析。

均勻性假設

即假設固體內到處具有相同的力學性能。就使用最多的金屬來說，組成金屬的各晶

粒的力學性能并不完全相同。但因構件或構件的任一局部中都包含為數極多的晶粒，而

且無規那么地排列，固體的力學性能是各晶粒的力學性能的統計平均值，所以可以認為

各局部的力學性能是均勻.這樣，如從固體中取出一局部，不管大小，也不管從何處取

出，力學性能總是相同的。

各向同性假設

即假設無論沿任何方向，固體的力學性能都是相同的.就金屬的單一晶粒來說，沿

不同的方向，力學性能并不一樣。但金屬構件包含數量極多的晶粒，且又雜亂無章地排

列，這樣沿各個方向的力學性能就接近相同了。具有這種屬性的材料稱為各向同性材料,

如鑄鋼、鑄銅、玻璃等。

沿不同方向力學性能不同的材料稱為各向異性材料，如木材、膠合板和某些人工合

成材料等。

小變形假設

在工程實際中，構件受力后的變形一般都很小，材料力學只研究這種小變形問題。

小變形是指構件的變形量遠小于其原始尺寸的變形。由于變形小，故在分析構件受力的

平衡關系時，變形的影響可以忽略不計?，仍按構件原有尺寸進行計算，如圖4.1所示。

圖4.1小變形假設

4.2彈性桿件的外翡丙力詞:

外力

當研究其一構件時，可以設想把這一構件從周I制物體中單獨取出，并用力來代替周

圍各物體對構件的作用。這些來自構件外部的力就是外力。我們在靜力學的受力分析中

討論的所有主動力和約束力都屬于構件的外力。

內力

為了維持構件各局部之間的聯系，保持構件的形狀和尺寸，構件內部

各局部之間必定存在著相互作用的力，該力稱為內力。在外部載荷作用下，

構件內部各局部之間相互作用的內力也隨之改變，這個因外部載荷作用而

引起的構件內力的改變量，稱為附加內力。在材料力學中，附加內力簡稱

內力。它的大小及其在構件內部的分布規律隨外部載荷的改變而變化，并

與構件的強度、剛度和穩定性等問題密切相關。假設內力的大小超過一定的

限度，那么構件將不能正常工作。內力分析是材料力學的根底。

求解內力的截面法

為了揭示在外力作用下構件所產生的內力，確定內力的大小和方向，通常采用截面

法。截面法可以用以下四個步驟來概括：

1.截在構件上任意截面m-m處假想地截開構件,將構件分成兩個局部，見圖4.2a。

如果所取截面與構件的軸線垂直稱為橫截面，而構成任意夾角的稱為斜截面。

圖4.2腕面法

取新書?向結構幾何圖

金，由于所取

會面上的，因此所加內

合力形式，如下

一般情況下,,加的內力合力須沿各坐標方向，如圖（⑴i所示，我們把沿構件軸線

方向，與截面垂直的內力稱為軸力1圖中的￡v）,與截面平行的內力成為剪力（圖中的

八x和尸力，與截面垂直的內力矩矢稱為扭矩（圖中與截面平行的內力矩矢稱為

彎矩(M、.和MJ,這些內力在以后的各章中都會詳細分析。

4.平最后根據所取局部上由外力和內力構成的力系的實際情況，選用適當的靜力

平衡方程求出所加內力。

例4-1

求等截面直桿的橫截面〃〃〃上和斜截面〃〃上的內力。

(a)等截斜截面nnH的內力

解使用截面法求內力。

5橫截面mm上的內力。用橫截面〃“(a)等截面直桿截成二局部，取左邊局部作為研究對象,

加上主動力〃和橫截面上的內力FNmm，然后區”］平衡方程

(b)笳旦平曦型〃〃把等截iy月桿邊》n..史研窮計第.加

上主動力,夕使用平衡X

題解注釋:(1)此時中，橫截面的面枳與斜截面的面積不相等，住(C)§個截普上的內力相等。(2)如

果取右邊局部作為研(b)f象，所求出的內力大小和符號與上面的結果/匕相同的。

4.3正應力與切應力

由于截面上的內力是分布在整個截面上的，上述用截面法求出的截面上的內力只是

其合力形式。要描述截面上內力的分布情況，在這里必須引入應力的概念。所謂應力，

即是截面上的分布內力在一點的集度，也就是截面某單位面積上內力的大小。

如下圖4.3a,在截面上任意一點M處取一微小面積4A,